高数第十章10-5

n
0 取极限得到流量的精确值.
i 1
lim [ P ( i , i , i )( Si ) yz Q( i ,i , i )( Si ) xz
0
R( i , i , i )( Si ) xy ]
P ( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
n
三、物理意义
实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1).
v
流量

A
0 n
A v cos 0 Av n v A
(2)
设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
D xy D xy
2 xy 1 x 2 y 2 dxdy
D xy
2 2 r sin cos 1 r rdrd . 15 D
2 2
xy
例 计算 ( x y )dydz zdxdy
2 2 S外
z
H
S3
S 为柱面 x 2 y 2 R 2 与 其中

1 2 z ( x y 2 ) 介于平面z 0 及 旋转抛物面 2 z 2 之间的部分的下侧.
解
( z 2 x )dydz


( z 2 x ) cosdS
与平面 z 0 和 z H ( 0)
所围柱体边界面的外侧。 解
I ( x y )dydz zdxdy
2 2 S外
yz
S2
x
o
S1
y
[

S1
S 2 ( 下)

S3 （上）
] ( x y )dydz zdxdy
2 2
[ (
S1 ( 前 )
z
1
r
x
1
1y
曲面的分类: 1.双侧曲面;
典 型 双 侧 曲 面
2.单侧曲面.
n
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
放映
曲面的投影问题: 在有向曲面Σ 上取一小块
曲面 S S在xoy面上的投影 (S) xy 为 ,
( ) xy 当 cos 0 时 ( ) xy 当 cos 0 时. 当 cos 0 时 0

n
( Si ) xy ( ) xy ,
n i 1
lim R( i , i , i )( Si ) xy
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z f ( x, y)

o
Dxy
lim R( i , i , z ( i , i ))( i ) xy
0
i 1
n
即
(S ) xy
M d S D 3 1 4 ( x y ) d xd y
2 2

xy
3
2 0
d
2 0
r 1 4r2 d r
1 2 6 1 4 r 2 d(1 4 r 2 ) 13 8 0
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
2
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
2.
P( x, y, z )dydz P( x, y, z )dydz


与侧有关！

Q( x, y, z )dzdx Q( x, y, z )dzdx , R( x, y, z )dxdy R( x, y, z )dxdy
v i v ( i , i , i )
o
y
d vi Si vi n i S (i 1,2,, n).
0
2. 求和 通过Σ 流向指定侧的流量
v i ni S i
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i

S1 ( 后)
)
S 2 ( 下)

( R 2 y 2 y 2 )dydz
S1( 前 )
Dyz
2 2 2
] ( x y )dydz zdxdy S3 ( 上) z S3
2 2
H
( R y y )dydz 0 0
S1(后)
Dyz
2 2 2 例 计算 ( x y z )dS , 其中 为内接于球面
x 2 y 2 z 2 a 2 的八面体| x | | y | | z | a 表面.
提示：原积分 ( x 2 y 2 z 2 )ds 8 ( x 2 y 2 z 2 )ds
i 1 n
n
i 1
R( i , i , i ) cos i ]Si
[ P ( i , i , i )( Si ) yz Q( i , i , i )( Si ) xz
i 1 n
R( i , i , i )( Si ) xy ]
3.取极限
上侧取“+”
Dxy { x 2 y 2 1, x 0, y 0}
y
x
1

xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2 1
xy 1 x 2 y 2 dxdy xy( 1 x 2 y 2 )dxdy
如果由 x x( y , z )给出, 则有
D yz
D xy
（前、后侧）
P ( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz
如果由 y y( z , x )给出, 则有 （右、左侧）
Q( x , y, z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
§4

对面积的曲面积分
n
f ( x , y , z )dS lim f ( i , i , i )Si 0 i 1
计算法 1. 若曲面 :
则
z z( x , y )
f ( x, y, z )dS



D xy
2 zy 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x
y
R( x , y, z )dxdy

x
R[ x , y, z( x , y )]dxdy
Dx y
若取下侧, cos 0,

( Si ) xy ( ) xy ,
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy
( S ) xy
z
其中( ) xy 表示投影区域的面积.

dS
en
(S ) xy cos S
二、概念
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界, 把Σ分成n 块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积),有向曲面 Si 在 xoy 面上的投 影为(Si ) xy ,( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的一点, 如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
x

的速度场由
o
y
1. 分割 把曲面Σ 分成n 小块si (si 同时也代表 第i 小块曲面的面积), vi 在si 上任取一点 z S i ni ( i , i , i ) ( i , i , i ) ,
则该点流速为 v i . 法向量为 ni .


P ( i , i , i )i Q( i , i , i ) j R( i , i , i )k , x 0 ni cos i i cos i j cos i k ,
v ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k k
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z ) z 都在Σ 上连续, 求在单位 时间内流向Σ 指定侧的流 体的质量 .
Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
例 1 计算 xyzdxdy

其中Σ 是球面 x 2 y 2 z 2 1外侧 在 x 0, y 0的部分.
解
把分成 1和 2两部分
2 2
z

2
1 : z1 1 x y ;
下侧取“-”
2 : z2 1 x 2 y 2 ,

四、两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy

( P cos Q cos R cos )dS

向量形式
A dS A ndS 或

A ds AndS

其 中 A { P , Q , R}, n {cos , cos , cos } 为
(其中1 表示第一卦限部分曲面)
1
2 3a 4 .
1 ： x y z a , 即 z a x y
dS 1 z x z y dxdy 3dxdy
2 2
1. 已知曲面壳
的面密度 求此曲面壳在平面 z＝1以上部分 的
质量 M .
解: 在 xoy 面上的投影为 Dx y : x 2 y 2 2 , 故
yz