1986年全国高考数学理科

1986年全国高考数学（理科 ）试题及其解析一、（本题满分30分）本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ ）（A ）)4sin 4(cos2π-πi （B ）)4sin 4(cos 2π+πi （C ）)4cos 4(sin 2π-πi （D ）)4cos 4(sin 2π-π-i （2）函数1)2.0(+=-x y 的反函数是 （ ）（A ）1log 5+=x y （B ）15log +=x y（C ）)1(log 5-=x y （D ）1log 5-=x y（3）极坐标方程34cos =θρ表示 （ ） （A ）一条平行于x 轴的直线 （B ）一条垂直于x 轴的直线（C ）一个圆 （D ）一条抛物线（4）函数x x y 2cos 2sin 2=是 （ ） （A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数 （C ）周期为4π的奇函数 （D ）周期为4π的偶函数 （5）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是 （ ）（A ）1789 （B ）1799 （C ）1879 （D ）1899（6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件（7）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F ＞0)所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有 （ ）（A ）D=E （B ）D=F （C ）E=F （D ）D=E=F（8）在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1 、G 2 、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S-EFG中必有 （ ）（A ）SG ⊥△EFG 所在平面 （B ）SD ⊥△EFG 所在平面（C ）GF ⊥△SEF 所在平面 （D ）GD ⊥△SEF 所在平面（9）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b(ab ≠0）的图象只可能是 （ ）（10）当]0,1[-∈x 时，在下面关系式中正确的是 （ ）（A ）21arcsin )arccos(x x -=--π （B ）21arccos )arcsin(x x -=--π（C ）21arcsin arccos x x -=-π （D ）21arccos arcsin x x -=-π二．（本题满分24分）只要求直接写出结果.（1）求方程4)5.0(5252=-+x x的解 （2）已知1,2312+ω+ω--=ω求i 的值 （3）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及 （0，3）求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积（4）求11)2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n nn n （5）求523)12(xx -展开式中的常数项 （6）已知θ-θ=θ-θ33cos sin ,21cos sin 求的值三．（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC 四．（本题满分12分） 当sin2x ＞0,求不等式)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 的解集五．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B 试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值六．（本题满分10分）已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）B A C ⋃⊂且C 中含有3个元素，（2）φ≠⋂A C （φ表示空集）七．（本题满分12分）过点M （-1，0）的直线L 1与抛物线y 2=4x 交于P 1、P 2两点记：线段P 1P 2的中点为P;过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为L 2;L 1的斜率为k 试把直线L 2的斜率与直线L 1的斜率之比表示为k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数八．（本题满分12分）已知x 1＞0,x 1≠1，且).,2,1(,13)3(221 =++=+n x x x x n n n n 试证：数列{x n }或者对任意自然数n 都满足x n ＜x n+1,或者对任意自然数n 都满足x n ＞x n+1.九．（附加题，本题满分10分）（1）求2xarctgx y =的导数 （2）求过点（-1，0）并与曲线21++=x x y 相切的直线方程参考答案及其解析一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)C; (3)B; (4)A; (5)B; (6)D; (7)A; (8)A; (9)D; (10)C.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证：设圆O 所在平面为α，由已知条件，PA ⊥平面α，又BC 在平面α内，因此PA ⊥BC 因为∠BCA 是直角，因此BC ⊥AC而PA 与AC 是△PAC 所在平面内的相交直线，因此BC ⊥△PAC 所在平面，从而证得，△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.解：满足sin2x ＞0的x 取值范围是,,2Z k k x k ∈π+π<<π （1） 而由)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 得 ⎪⎩⎪⎨⎧>+>--+<--)4(013)3(0152)2(1315222x x x x x x 解得：-4＜x ＜-3,5＜x ＜7 (5)由（1）、（5）可知所求解集为).7,2()3,(π⋃-π-五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.解：设点A 的坐标为（0，a )、点B 的坐标为（0，b ），0＜b ＜a ，又设所求点C 的坐标为（x,0)记β+α=∠β=∠α=∠OCA OCB BCA 则,, 显然，.20π<α<现在有.1)(1)(])[(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+-=ββ+α+β-β+α=β-β+α=αx ab ab x ab ba xab x ba x ab xbx a tg tg tg tg tg tg记x abab xy +=，那么，当ab x =时，y 取得最小值2因此，当ab x =时，αtg 取得最大值.2ab ba -因为在)2,0(π内αtg 是增函数，所以当ab x =时，∠ACB 取最大值 .2ab ba arctg -故所求点C 的坐标为（,ab 0）六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力. 解法一:因为A 、B 各含12个元素,A ∩B 含4个元素,因此, A ∪B 元素的个数是12+12-4=20.解法二:由题目条件可知,属于B 而不属于A 的元素个数是12-4=8.七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力. 解：由已知条件可知，直线L 1的方程是 y=k(x+1) ① 把①代入抛物线方程y 2=4x ，整理后得到 0)42(2222=+-+k x k x k ②因此，直线L 1与该抛物线有两个交的充要条件是：04)42(2222>⋅--k k k ③及.0≠k ④解出③与④得到)1,0()0,1(⋃-∈k现设点P 的坐标为),(y x ， 则直线L 1的斜率,1+=x y k 而直线L 2的斜率,12-=x y k 记,)(2k k k f =则11)(-+=x x k f 今记L 1与抛物线的两个交点P 1与P 2的横坐标分别为x 1和x 2，由韦达定理及②得))1,0()0,1((,242221⋃-∈-=+k kk x x )1,0()0,1(,11)(,2222221⋃--=-=+=定义域是由此得到因此k k f k k x x x显然，1-k 2在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减所以， 211)(k k f -=在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数 八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.证：首先，,13)1(213)3(22221+-=-++=-+n n n n n n n n n x x x x x x x x x 由于x 1＞0，由数列{x n }的定义可知 x n ＞0，（n=1,2,…） 所以，x n+1-x n 与1-x n 2的符号相同 （1）假定x 1<1,我们用数学归纳法证明1-x n 2＞0（N n ∈) 显然，n=1时，1-x 12＞0设n=k 时1-x k 2＞0,那么当n=k+1时,0)13()1(13)3(11223222221>+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+k k k k k k x x x x x x 因此，对一切自然数n 都有1-x n 2＞0，从而对一切自然数n 都有x n ＜x n+1（2）若x 1＞1,用理可证，一切自然数n 都有x n ＞x n+1.九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.解：（1）.12422x x arctgx y ++=' （2）,)2(12+='x y 而点（-1，0）在曲线21++=x x y 上，,1|1='-=x y 所以所求的切线方程为y=x+1。