2020年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列

2020年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1 ．（2020年高考上海卷（理））在数列{}n a 中,21n n a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==L L )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A.2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于 (A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313--(D)()1031+3-【答案】C3 ．（2020年高考新课标1（理））设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n na b c ,n n nA B C ∆的面积为nS ,1,2,3,n =L,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===,则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列【答案】B4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3【答案】B5 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列{}n a 的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=•••∈则以下结论一定正确的是( )A.数列{}nb 为等差数列,公差为mq B.数列{}nb 为等比数列,公比为2mqC.数列{}nc 为等比数列,公比为2m q D.数列{}nc 为等比数列,公比为mm q【答案】C6 ．（2020年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等比数列{}n a 的前n项和为nS ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a(A)31 (B)31- (C)91 (D)91-【答案】C7 ．（2020年高考新课标1（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( )A.3B.4C.5D.6【答案】C8 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p【答案】D9 ．（2020年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】A 二、填空题10．（2020年高考四川卷（理））在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.【答案】解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=,解得14,0ad ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和4n s n =或232n n n s -=11．（2020年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则nnS 的最小值为________.【答案】49-12．（2020年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第n 个三角形数为()2111222n n nn +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 ()211,322N n nn =+ 正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n nn =- 六边形数 ()2,62N n n n =-可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N =___________. 选考题【答案】100013．（2020年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足nn a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n的值为_____________.【答案】1214．（2020年高考湖南卷（理））设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2n nn n Sa n N *=--∈则 (1)3a =_____; (2)12100SS S ++⋅⋅⋅+=___________.【答案】116-;10011(1)32- 15．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））当,1x R x ∈<时,有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得:1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:122311111111()()...()_____2223212nn n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+16．（2020年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8_____S =【答案】6417．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n 项和n=S __________.【答案】25766n n -18．（2020年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____. 【答案】2019．（2020年高考陕西卷（理））观察下列等式:211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=- 照此规律, 第n 个等式可为___)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（Λ____. 【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（Λ 20．（2020年高考新课标1（理））若数列{n a }的前n 项和为S n =2133n a +,则数列{na }的通项公式是na =______.【答案】n a =1(2)n --.21．（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,互不-相同的点12,,,n A A X K K 和12,,,n B B B K K 分别在角O 的两条边上,所有nnA B 相互平行,且所有梯形11nnn n A B BA ++的面积均相等.设.nn OAa =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.【答案】*,23N n n a n∈-=22．（2020年高考北京卷（理））若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_______;前n 项和S n =___________.【答案】2,122n +-23．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540xx -+=的两个根,则6S =____________.【答案】63三、解答题24．（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数22222()1(,)23nn n x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈K ,证明:(Ⅰ)对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3nx∈,满足()0n n f x =; (Ⅱ)对任意np N ∈,由(Ⅰ)中nx 构成的数列{}nx 满足10nn p x x n+<-<.【答案】解: (Ⅰ)224232224321)(0nx x x x x x f n x y x nn n ++++++-=∴=>ΛΘ是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n nf f且.010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x Λ，且满足存在唯一x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322Λ时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f综上,对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3nx∈,满足()0n n f x =;(证毕) (Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+nxx x x x x f x xnn n n n n n n pn nΛ)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x nx x x x x x f pn pn n pn np n p n p n p n p n p n p n ΛΛ上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x pn p n n p n np n p n p n p n p n nnn n n n ++++++++++=++++++++++++++ΛΛΛ）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x nx x x x x x x x x x pn pn n pn nnnp n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ΛΛnx x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+.法二:25．（2020年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+,数列123,,,a a a L 满足*1(),n n af a n N +=∈.(1)若12ac =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*1,n n n N a a c +∈-≥,;(3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a LL成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为0c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=,3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+(2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立,()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤,显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立; 若0x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*n N ∈,1n n aa c +-≥(3)由(2)知,若{}na 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0na>此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++即8d c =+故21111()2|4|||8af a a c a c a c ==++-+=++,即1112|4|||8a c a c a c ++=++++, 当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意;若10ac +<,则11|4|48a c a c ++=⇒=--,此时,230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+L 也满足题意;综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--.26．（2020年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.设数列{}122,3,3,34444n a L ：，-，-，-，-，-，-，，-1-1-1-1k k k k k 644474448L 个（），，（）,即当1122k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时,11k nak-=（-）,记12nn Sa a a =++L ()n N +∈,对于l N +∈,定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍，，且(1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列{}n a 的定义得:11=a ,22-=a ,23-=a,34=a,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,410-=a ,511=a∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S,35=S,66=S,27=S,28-=S,69-=S,1010-=S ,511-=S∴111a S•=,440a S •=,551a S •=,662a S •=,11111a S •-=∴集合11P 中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i事实上, ① 当1=i 时,3)12(13)12(-=+•-==+S Si i 故原式成立② 假设当m i =时,等式成立,即)12()12(+•-=+m m S m m 故原式成立则:1+=m i ,时,2222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m )32)(1()352(2++-=++-=m m m m综合①②得:)12()12(+-=+i i S i i 于是)1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i由上可知:}12(+i i S 是)12(+i 的倍数而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a ji i Λ,所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是)12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i Λ的倍数又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数, 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a ji i Λ所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i Λ的倍数故当)12(+=i i l 时,集合lP 中元素的个数为2i 1-i 231=+++）（Λ于是当）（1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时,集合lP 中元素的个数为j i2+又471312312000++⨯⨯=）（ 故集合2000P 中元素的个数为100847312=+27．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求na d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a++++Λ【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或; (Ⅱ)由(1)知,当0d <时,11n a n =-, ①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==g g g g g g ②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=g g g g g g g g g g g g g g g所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩g g g ; 28．（2020年高考湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310aa -=,123125a a a =.(I)求数列{}na 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥L ?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}na 的通项或253n na-=⨯(II)若1q =-,12111105m a a a +++=-L 或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ,不存在这样的正整数m .29．（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.(Ⅰ)求数列{}na 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和nR .【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424SS =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩,解得,11a=,2d =因此21n a n =-*()n N ∈ (Ⅱ)由题意知:12n n n T λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===- *()n N ∈所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n nn R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n nn R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯11()144(1)()1414n nn -=---整理得1131(4)94n n n R -+=-所以数列数列{}nc 的前n项和1131(4)94n n n R -+=-30．（2020年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,nS 是其前n 项和.记cn nS bnn+=2,*N n ∈,其中c 为实数.(1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nkS n S2=(*,N n k ∈);(2)若}{nb 是等差数列,证明:0=c .【答案】证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和 ∴d n n na Sn2)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S bn n21-+==∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+=∴左边=a k n a nk Snk222)(== 右边=a k n S n k 222=∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{nb 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b bn-+=带入cn nS b nn +=2得:11)1(d n b -+cn nS n +=2 ∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d-=++--+-对+∈N n 恒成立∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d 由①式得:d d211=∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c 法二:证:(1)若0=c ,则d n a an)1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(a d n b n +-=. 当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=. 由此:a n S n2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=.故:k nkS n S2=(*,N n k ∈).(2)c n ad n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(, c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{nb 是等差数列,则Bn An bn+=型.观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c .经检验,当0=c 时}{nb 是等差数列.31．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}na 的通项式.【答案】32．（2020年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为32的等比数列{}na 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}na 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1nn nTS n S ∈=-N , 求数列{}nT 的最大项的值与最小项的值.【答案】33．（2020年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0nn sn n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)nn bn a +=+,数列{b n }的前n 项和为nT .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <【答案】(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}na 是正项数列,所以20,nn SS n n >=+.于是112,2aS n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}na 的通项2nan =.(2)证明:由于2212,(2)nn nn a n b n a +==+.则222211114(2)16(2)nn bn n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.34．（2020年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列{}n a 的前n项和为nS .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}na 的通项公式;(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L . 【答案】.(1) 解:Q 2121233nn S a n n n +=---,n N *∈. ∴ 当1n =时,112212221233a S a a ==---=-又11a=,24a ∴=(2)解:Q 2121233nn Sa n n n +=---,n N *∈. ∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=- ① ∴当2n ≥时,()()()111213n n n n n S n a =-+=--②由① — ②,得 ()()112211nn n n SS na n a n n -+-=---+1222n n n a S S -=-Q()()1211n n n a na n a n n +∴=---+111n n a a n n +∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列.()()2111,2nn a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥ 当1n =时,上式显然成立. 2*,na n n N ∴=∈(3)证明:由(2)知,2*,na n n N =∈①当1n =时,11714a =<,∴原不等式成立. ②当2n =时, 121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立. ③当3n ≥时, ()()()()221111,11n n n nn n >-⋅+∴<-⋅+Q()()()2221211111111111121324211n a a a n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+L L L 111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭L 1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立.综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L .35．（2020年高考北京卷（理））已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项1n a +,2n a +,的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(I)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,4n n a a +=),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值;(II)设d 为非负整数,证明:d n =-d (n =1,2,3)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列;(III)证明:若a 1=2,d n =1(n =1,2,3,),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I)12341, 3.d d d d ====(II)(充分性)因为{}na 是公差为d 的等差数列,且0d ≥,所以12.n a a a ≤≤≤≤L L因此n n A a =,1n n B a +=,1(1,2,3,)n n n d a a d n +=-=-=L .(必要性)因为0(1,2,3,)n dd n =-≤=L ,所以n n n n A B d B =+≤. 又因为n n aA ≤,1n n aB +≥,所以1n n a a +≤. 于是n n A a =,1n n B a +=. 因此1n n n n n a a B A d d+-=-=-=,即{}n a 是公差为d 的等差数列. (III)因为112,1a d ==,所以112A a ==,1111B A d =-=.故对任意11,1n n a B ≥≥=.假设{}(2)na n ≥中存在大于2的项. 设m 为满足2n a>的最小正整数,则2m ≥,并且对任意1,2k k m a ≤<≤,. 又因为12a =,所以12m A -=,且2m m A a =>.于是211m m m BA d =->-=,{}1min ,2m m mB a B -=≥. 故111220m m m d A B ---=-≤-=,与11m d -=矛盾.所以对于任意1n ≥,有2n a≤,即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2.因此对任意1n ≥,12n aa ≤=,所以2n A =. 故211n n n B A d =-=-=. 因此对于任意正整数n ,存在m 满足m n >,且1m a =,即数列{}n a 有无穷多项为1. 36．（2020年高考陕西卷（理））设{}na 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式; (Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.①.}{111111na a a a S a a q n n =+++==Λ的常数数列，所以是首项为时，数列当②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a Sq ++++=⇒++++=≠--1211211ΛΛ时，当. 上面两式错位相减: .)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=-Λ（qq a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=⇒. ③综上,⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q q q a q na S n n(Ⅱ) 使用反证法.设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则①当1*+∈∃n a N n ，使得=0成立,则{1}n a +不是等比数列. ②当01*≠+∈∀n a N n ，使得成立,则恒为常数=++=++-+11111111n n n n q a q a a a 1,0111111=≠⇒+=+⇒-q a q a q a n n 时当.这与题目条件q ≠1矛盾. ③综上两种情况,假设数列{1}n a +是等比数列均不成立,所以当q ≠1时, 数列{1}n a+不是等比数列.。