上海市中考数学压轴题综合复习八(教师版)

中考压轴题综合复习八
1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。

知识结构
【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概5分钟左右。

一．中考压轴题命题方向：
二．动点产生的分类讨论类型：
例1.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =4，AD =BC =2，∠ABC =120°。

P 、Q 分别为射 线BC 和线段CD 上的动点，且CQ =2BP 。

（★★★★）
（1）如图1，当点P 为BC 的中点时，求证：△CPQ ∽△DAQ ；
（2）如图2，当点P 在BC 的延长线上时，设BP =x ，△APQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）以点A 为圆心AQ 为半径作⊙A ，以点B 为圆心BP 为半径作⊙B ，当⊙A 与⊙B 相 切时，求BP 的长。

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AB =4，AD =BC =2，AB ∥DC ；
2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：∠ABC =120°，DAB B ∠=∠；
3.点的运动情况？ 提示：P 、Q 分别为射线BC 和线段CD 上的动点。

二．当点P 为BC 的中点时，求证：△CPQ ∽△DAQ ：
1.这时，线段BP 、CP 、CQ 、DQ 的长度是否能求解？ 提示：让学生计算看看。

2.根据目前已知的条件，怎么证明相似？ 提示：因为题中已知的都是边，则利用两边成 比例且夹角相等证明。

三．求解函数关系式：
1.寻找一下x 与y 分别所表示的量？ 提示：BP =x ，△APQ 的面积为y
2.三角形面积怎么求解？ 提示：因为APQ ∆的每一边都在变化，并且每一条边的长度都 不好求解，则考虑将三角形分成两个三角形；设PA 与DC 的交点为点E ，则： AQE QEP y S S ∆∆=+。

C
D
A
B
备用图
P
C D
Q
A
B
图1
P C
D
Q
A
B
图2
3.计算求解，注意求解函数定义域。

（见后面满分解答部分） 四.两圆相切：
1.回顾两圆相切的三大解题步骤。

提示：求解三个量、分类讨论、计算求解。

2.你能分别求解出两元的半径和圆心距吗？ 提示：让学生计算看看。

3.分内切和外切讨论计算。

【满分解答】
（1）过点A 作CD AM ⊥,M 为垂足， 过点A 作CD AN ⊥,N 为垂足
根据题意得:AM =BN ,AB =MN =4,DM =CN 在直角三角形△CBN 中, ∴︒=∠60DCB ,BC =2 CN =1,BN =3 ∴ DM =1,AM =3∴CD =6
∵点P 为BC 的中点，且CQ =2BP ∴CP =1,CQ =2,DA =2,DQ =4
∴
DQ
CQ
DA CP = 又︒=∠=∠60D QCP ∴△CPQ ∽△DAQ (2) ∵AB ∥DC ∴
AB CE PB PC = ∴42CE x x =- ∴x
x CE 8
4-= ∴x
x x x x x QE 8
428422+-=--= 过点P 作CD PH ⊥交DC 的延长线于H
在直角三角形△CBN 中, ∴︒=∠60PCH ,2-=x PC
)2(2
3
-=
x PH ∵AQ P PQ E APQ S S S ∆∆∆+=
∴x
x x x x x x y 842321842)2(232122+-⨯
⨯++-⨯-⨯= ∴)42(2
32
+-=
x x y )32(≤<x (3) ∵x DQ DM 26,1-== ∴x QM 25-= 在直角三角形△AQM 中,
3)25(2+-=x AQ
当⊙A 与⊙B 外切时， AB BP AQ =+
43)25(2=++-x x
221==x x
当⊙A 与⊙B 内切时， AB BP AQ =-
43)25(2=-+-x x
3104141-=
x ,3
10
4142+=x (舍去) ∴当2=BP 时, ⊙A 与⊙B 外切; 当3
10
414-=BP 时, ⊙A 与⊙B 内切时.
1.如图，在四边形ABCD 中，∠B =90°，AD //BC ，AB =4，BC =12，点E 在边BA 的延长线上，AE =2，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF ⊥EF ，设AG =x , DF =y 。

（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）当AD =11时，求AG 的长；
（3）如果半径为EG 的⊙E 与半径为FD 的⊙F 相切，求这两个圆的半径。

（★★★★）
D
G
B
C
A
E F
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.已知边和特殊关系的边：AB =4，BC =12，AE =2，AD //BC ，DF ⊥EF 。

2.已知角和特殊角度：90B EFD ∠=∠=。

3.相似基本型：AG BF ∥形成相似基本型“A 字型” 二.求解函数关系式：
1.寻找x 与y 所代表的量： AG x =，ADF y =。

2.计算求解：用EAG EBF ∆∆∽、EAG DFG ∆∆∽产生的比例关系式求解。

三.当11AD =：用11AD AG DG =+=求解即可。

四.当⊙E 与⊙F 外切时：
1.分别求解两圆的半径和圆心距：半径E r 、F r ，和圆心距EF ；
2.分内切和外切分类讨论；
3.计算求解。

【满分解答】
（1）∵AD //BC ，∠B =90º，∴∠EAG =∠B =90º，
∴EG =.4222x AG AE +=+
∵,AE
EG AB FG = ∴FG =2242244x x AE EG AB +=+⋅=⋅．
∵∠DFG =∠EAG =90º，∠EGA =∠DGF ，∴△DFG ∽△EAG ．
∴
AG AE GF DF =，∴x
x y 2
422=+，
∴y 关于x 的函数解析式为x
x y 2
44+=，定义域为40≤<x ．
（2）∵△DFG ∽△EAG ，∴
,AG FG EG GD =∴x x x
GD 22424+=
+，∴GD =x x 228+．
当AD =11时，11282
=++x
x x ，
3
8
,121==x x ．
经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以AG 的长为1或
3
8． （3）当⊙E 与⊙F 外切时，EF =EG +FD =EG +FG ，∴FD =FG ，
∵△DFG ∽△EAG ，∴∠E =∠AGE =∠FGD =∠GDF ．∴AG =AE =2；
∴⊙E 的半径EG =22，⊙F 的半径FD =24．
当⊙E 与⊙F 内切时，EF = FD –EG ，∴322
2
4444x x
x x +-+=+，
∵042≠+x ，∴3=
14
-x
，∴1=x ． ∴⊙E 的半径EG =514=+，⊙F 的半径FD =54．
所以⊙E 的半径为22，⊙F 的半径为42；或⊙E 的半径为5，⊙F 的半径为45。

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【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。

先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。

教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。