高等代数与解析几何(三)期末考试试卷(参考答案)(A卷)(2007年1月)
高代参考答案
高代参考答案高代参考答案高等代数，作为数学中的一门重要学科，是许多学生在大学阶段必须学习的一门课程。
高等代数的内容涉及到向量空间、线性变换、矩阵理论、特征值与特征向量等等，对于初学者来说，往往需要一定的时间和精力来理解和掌握。
本文将为大家提供一些高等代数的参考答案，希望能够帮助学生更好地理解和应对这门课程。
在高等代数中，矩阵是一种非常重要的概念。
矩阵可以看作是一个由数值排列成的矩形阵列，它在线性代数中有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，加法和乘法是两个基本的运算。
矩阵的加法满足交换律和结合律，即对于任意的矩阵A、B和C，有(A+B)+C=A+(B+C)。
矩阵的乘法也满足结合律，但不满足交换律，即对于任意的矩阵A和B，一般情况下，AB≠BA。
在高等代数中，线性变换是一个非常重要的概念。
线性变换是指一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，它保持向量空间的加法和标量乘法运算。
线性变换可以用矩阵来表示，矩阵的每一列代表了线性变换对应的基向量在新的向量空间中的坐标。
线性变换有许多重要的性质，比如线性变换的复合仍然是一个线性变换，线性变换的逆变换也是一个线性变换。
在高等代数中，特征值与特征向量是一个非常重要的概念。
特征值是指线性变换对应的矩阵的特征方程的根，特征向量是指线性变换对应的矩阵的特征值所对应的非零向量。
特征值与特征向量在许多领域中有着广泛的应用，比如在物理学中，特征值与特征向量可以用来描述一个物理系统的稳定性和振动模式。
高等代数中还有许多其他的重要概念和定理，比如行列式、正交矩阵、对角化等等。
行列式是一个用于描述线性变换对体积变化的度量，它可以用来求解线性方程组的解。
正交矩阵是指一个方阵的转置矩阵等于它的逆矩阵，它在几何学中有着重要的应用。
对角化是指将一个矩阵通过相似变换变为对角矩阵的过程，它可以简化矩阵的运算和分析。
通过学习高等代数，我们可以更好地理解和应用数学知识。
高等代数中的许多概念和定理都是数学中的基础，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
大一高等代数与解析几何期末考试卷
考试样卷（A ）卷学年第1学期考试有关事项说明考试日期：年01月17日（星期五）考试用时：150分钟考试地点：（花都校区教学楼_____室）考试形式：闭卷有关考试的特殊提示：（沉着冷静、认真作答！相信自己，你是最棒的！）此此为为考考试试样样卷卷，，仅仅提提供供试试卷卷题题型型，，内内容容与与实实际际考考试试无无关关。
如如有有雷雷同同，，纯纯属属巧巧合合！！一、填空题（每小题2分，共14分）1、等式222)(baba•成立的充分必要条件是）共线（或、baba//；。
2、若置换24131234,32411234qp,则qp14321234。
3、将矩阵541312bA的第1行乘上-2加到第二行后变成5421112B, 则b 4 。
4、1至6的排列241356的逆序数为________ 3 。
5、四阶行列式展开式中，项23413412aaaa的符号为负 (或-1) 。
6、如果线性方程组5-32221232131321x x x x x x x ax 有唯一解，a 的取值范围 611 a 。
7、 设在空间直角坐标系下，A=(2,0,0),B=(2,1,2),C=(0,-1,4),则空间ABC 面积等于 6。
二、判断题（每小题2分，共10分）1、 0ab ac a b cr r r r若且则一定有。
（ × ）2、 若a r （，，b r ，c r ）=0r，则必存在不全为零的实数 ， ，使得c a b r r r 。
（ × ）3、1112111221222122ka ka a a kka ka a a 。
（ × ）4、在△ABC 中一定存在一点O ，可以使得 0OC OB OA 。
（ √ ） 5、m ,,,21 线性相关当且仅当m rank m )),,,((21 。
（ √ ）三、选择题（每小题2分，共10分）1、 在四边形ABCD 中,若AB u u u v 2a b rr ,BC uuu v 4a b r r ,CD uuu v 53a b r r ,则四边形ABCD 为( A ).A.梯形;B.平行四边形;C.一般四边形;D.以上结论都不正确. 2、n 维向量组s ,,,21 )3(n s 线性无关的充分必要条件是（ D ） A. 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211 s s k k k B. s ,,,21 中任意两个向量组都线性无关C. s ,,,21 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示D. s ,,,21 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示3、 行列式00 (010)0 (200).............10......00000......00n n的值为（ D ）.A. !n ;B. 1(1)!n n ; C. (1)2(1)!n n n ; D. (1)(2)2(1)!n n n4、行列式41032657a 中，元素a 的代数余子式是（ D ）。
《高等代数》期末考试卷
[ ϑ1 2 3 | | 22高等代数期末考试卷一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设 b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则。
CA) 对任意的 b ，V 均是线性空间； B) 对任意的 b ，V 均不是线性空间； C) 只有当 b = 0 时，V 是线性空间；D) 只有当 b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA) 若向量组 I 线性无关，则 s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则 s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则 s t ；D) 若向量组 II 线性相关，则 s > t 。
3)设非齐次线性方程组 AX = ⎭ 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则。
DA) 当 r < n 时，方程组 AX = ⎭ 有无穷多解； B) 当 r = n 时，方程组 AX = ⎭ 有唯一解；C) 当 r < m 时，方程组 AX = ⎭ 有解；D) 当 r = m 时，方程组 AX = ⎭ 有解。
4)设 A 是 m n 阶矩阵， B 是 n m 阶矩阵，且 AB = I ，则。
AA) r ( A ) = m , r (B ) = m ；B) r ( A ) = m , r (B ) = n ；C) r ( A ) = n , r (B ) = m ；D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。
{1 1 1[5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换ϕ 在基 ⋂ ,⋂ ,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1|，则 ϕ 在基|1 1 1|⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是。
高等代数与解析几何习题答案
习题习题设A是一个"阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；（2）如果A的对角线元素a ll=a22=-=a ll…f且A不是对角阵，则A不可对角化。
证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为I 2E - A 1= （2 - ! ）（2 - «22）■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。
（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。
又因为矩阵A的特征多项式为Ixtf —A1=（几_°］］）“ ，所以= ■ ■ ■ = A lt =, 从|（［J / 、如B=如=如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有、% >X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。
证明：（1）叫+岭+…+匕是直和；（2）a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。
证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有a x +a 2 + -- + a x =0,其中 q e V ； J = 1,2,…,s 。
现用 6b[…,b分别作用分解式两边，可得印+色+…+ % = 0人 © + + ・・• + A s a s = 0 常匕+石么+・・・+町匕=0写成矩阵形式为‘1人( 、1(4S ，…心):J 人f 1由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1零，即矩阵B 是可逆的，进而有(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a 「勺，…)=(0,0,…,0)。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]
![北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/447c948ecc22bcd126ff0c92.png)
例如，设V = P[x] 是数域 P 上多项式全体所构成的线性空间，定义 Af (x) = f ′(x) ， Bf (x) = xf (x) ， ∀f (x) ∈V ，
北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
北京大学 2007 年高等代数与解析几何试题 解答
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 n 阶方阵 A, B ，满足 AB − BA = E （单位矩阵）？又，是否存在 n 维
线性空间V 上的线性变换 A ，B ，满足 AB − BA = E (恒等变换)? 若是，举出例子；若否，
的基础解系)构成 n × r 矩阵 C ，则 rank(C) = r ，且 AC = O ， BC = O .
考虑齐次线性方程组 CT X = 0 ，其解空间 S 的维数 dim(S ) = n − r = rank( A) .
因为 C T AT = O ，所以 A 的行向量都是 C T X = 0 的解，因此 A 的行空间WA 是 S 的一 个子空间，即WA ⊆ S .注意到 dim(WA ) = rank( A) = dim(S ) ，故WA = S .
容易验证： AB − BA = E . （2）设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和为常数 c ，则 A3 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由.
【解】是.设 η = (1,1, ,1)T 是 n 维列向量，则由 A 的各行元素之和为常数 c ，知 Aη = cη ，从而 A3η = c3η .所以 A3 的各行元素之和为常数 c3 .
2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。
4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。
高等代数与解析几何练习题
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
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（3）由子式因子组和不变因子组之间的关系，得 A 的不变因子为： d1() 1() 1,
d2 ()
2 () 1 ( )
1,
d3 ()
3 () 2 ()
1,
d4 ()
4 () 3 ()
(
3)2 (
4) 2
（12 分）
（4） 由初等因子组和不变因子组之间的关系，得 A 的初等因子组为：( 3)2 ，( 4)2 ； （16 分）
4 3
4
（4 分） （8 分）
2
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
3
2 4
3 4
；
1
（2）由于E A 存在一个三阶子式 3 2
=6，所以 A 的子式因子组为
4 3
3 1
1 () 2 () 3 () 1, 而 4 ()
3 2
( 3)2 ( 4)2 。
5、设 A 是复矩阵，如果 A 满足 AA' A'A , 则称 A 是正规矩阵 .
得分 评阅人 二、判断题： （共 5 题， 每题 3 分， 共 15 分，对的请打 “ √ ” ，错的请打 ” ”）
1、设 A() 是 n 阶 —矩阵，则 A() 可逆当且仅当 A() 是有限个初等 —矩阵的乘积。（√ ）
所以矩阵 A 是正规矩阵。
（5 分）
2i （2） 由于 | E A | 2i
2 0
2 2i 2
2i
0 = 2i
1 2 2 i
0 =(2) 1
= (2 8) ， 所以 A 的特征根为1 0, 2 2 2, 3 2 2 。
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
（11 分）
当1 0 时， 解线性方程组 AX=0,得基础解系为：1 0 i 1' 。（12 分）
当2 2 2 时， 解线性方程组(2 2E A) X 0 ,得基础解系为：2 2 i 1 ' 。 （13 分）
当3 2 2 时， 解线性方程组(2 2E A) X 0 ,得基础解系为：3 2 i 1 ' 。（14 分）
1
,
2
,,
n
)
1
1
,
求线性变换 A 在基底(1, 2 ,, n )下的矩阵.
1
1
解：
A
(1,2 ,,n
)=A
(1, 2 ,, n
)
1
1
=(
1
,
2
,
,
n
)A
1
1
量，证明： 是 A* 的属于特征值0 的特征向量.
证明：由假设，Α 0 ，且由 A 是酉空间 V 的正规变换，从而
A* , A* = A, A ，
故有
A* 0,A* 0 = A* , A* - A*,0 - 0,A* + 0,0
年级：
专业：
院（系）：
1
2、正交变换的积还是正交变换.
（√）
3、对称变换的积还是对称变换.
（ ）
4、 若 A 为线性空间 V 到 U 的线性映射，且为单射，则 A 为 V 到 U 的同构映射.（ ）
5、向量空间 V 的任何子空间 W 都有补子空间.
（√）
得分 评阅人
三、计算题： （共 3 题，共 50 分）
解：（1） 因为有
0 2i 2 0 2i 2' 0 2i 2 0 2i 2
AA' = 2i 0 0 2i 0 0 = 2i 0 0 2i 0 0 = A2 A'A
2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0
1 1
（17 分）
0
则 Q 是酉矩阵，且 Q 1 AQ = 2 2
。
2 2
（20 分）
4
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
1、一个向量 构成的向量组线性无关当且仅当 0 .
3 1 0
2、矩阵 0 3 1 的初等因子组为( 3)3 .
0 0 3
3、设 A 为向量空间 V 到 U 的线性映射，则dim(Ker(A)) dim(Im(A)) =
dim(V) .
4 、 设 E A 的 初 等 因 子 组 为 2 , , 1, ( 1)2 ， 则 E A 的 不 变 因 子 组 是 1, 1, 1, 1, ( 1), 2 ( 1)2 .
（5 分）
又因为 W 是 A 的不变子空间，故对任意的 W ，有 A W ，从而
A, , A 0
所以 A W ,即W 也是 A 不变子空间。
（10 分）
2、 （本题 10 分） 设 A 是酉空间 V 的正规变换， 是 A 的属于特征值0 的特征向
学号：
学生姓名：
华中师范大学 2006–2007 学年第一学期 期末考试试卷（A 卷）参考答案
课程名称 高等代数与解析几何(三) 编号 83410005 任课教师 樊、朱、刘
题型 填空题 判断题
分值 15
15
得分
计算题 50
证明题 总分
20
100
得分 评阅人
一、填空题：（共 5 题，每题 3 分，共 15 分）
0
1
1
1 0 =
1
0 01
（10 分）
3
3、 （本题 20 分）
设A
=
0 2i
2i 0
2 0
，
2 0 0
(1) 证明：矩阵 A 是正规矩阵；
(2) 求酉矩阵Q ，使得Q 1 AQ 为对角形，并写出此对角形.
3
（5）
A
的 Jordan
标准形为： J
1
3 4 1
。
4
（20 分）
2、 （本题 10 分） 设线性变换 A 在基底(1, 2, , n )下的矩阵为
0
1
A
1
0
，而
(1,2 ,,n
)=
1 0
(
将这三个向量单位化得：
1
1 | 1
|
0
1i 2
'
1 2
， 2
2 |2
|
2 2
1i 2
1 2
'
3
3 |3
|
2 2
1i 2
1 2
'
，
令
Q (1 23 )
1
2
0 2i 2
2 2 i i
（8 分）
由内积的正定性，有A* 0 0 ，因此 A* 0
（10 分）
5
6
7
（3 分）
= A, A - ,(A*)*0 - A0, + 0,0
= 0 0 , - , A0 - 0 0, + 0 0 ,
= 0 0 , - 0 0 , - 0 0 , + 0 0 , = 0 .
1、 (本题 20 分)
3 1
设
A
3
2 4
43
.
（1） 求 A 的特征矩阵；
（2） 求 A 的子式因子组；
（3） 求 A 的不变因子组；
（4） 求 A 的初等因子组；
（5） 求 A 的若当标准形.
3 1
解：
（1）A 的特征矩阵为：
E
A
得 分 评阅人
四、证明题：（共 2 题，共 20 分）
1、 （本题 10 分） 设 A 是酉空间 V 的一个对称变换，W 是 A 的不变子空间，证明： W 也是 A 不变子空间.
证明： 由 A 是酉空间 V 的对称变换 ， 故 A =A*， 从而对任意的 W , , W ，有