福大高数微积分作业答案6.5隐函数求导公式
隐函数的求导公式
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1
1、隐函数的求导公式
F ( x, y, z ) f ( x y z, xyz) z
Fz f1 f 2 xy 1
Fx f1 f 2 yz Fy f1 f 2 xz
z Fx x Fz
f1 yzf 2 , 1 f1 xyf2 f1 xzf2 , f1 yzf 2
2
x y x
Fx ( ) Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy
Fx y Fy Fy y Fx
2 Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
例1. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
y (ln x y ) (arctan ) x yx y 2 1 2 x 2 yy x 则 2 2 y 2 2 x y 1 ( ) x x yy xy y
2 2
x y y . y x
方法三： 利用微分形式不变性，在方程两端同时微分：
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) ( F , G ) Fu Fv J x J ( u, x ) (u , v) Gu Gv 定理证明略 Fu Fv . 1 v 1 ( F , G ) 仅推导偏导 Gu Gv Fu Fv J ( u, y ) 数公式如下： y Gu Gv
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
第六节隐函数的求导公式
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页 下页 返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、 设 确定 ， 求 及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2
高等数学第六章多元函数微分法及应用第五节 隐函数的求导公式
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
2020/2/13
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三 方程组的情形
(Equation set)
F (x, y, u, v) 0 G(x, y, u, v) 0
第五节 隐函数的求导公式
(Implicit differentiation)
一 问题的提出
二 一个方程的情形 三 方程组的情形 四 小结 五 思考判断题
2020/2/13
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一 问题的提出
在一元函数微分学中我们已经提出了隐 函数的概念，并且通过举例的方法指出了不 经过显化直接由方程
F(x, y) 0
F[x, y, z( x, y)] 0.
根 据 链 式 法 则 ， 在 方 程两 端 对x和y求 导 ， 得
F F z 0, F F z 0 x z x y z y
由于Fz连续，且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以在( x0 , y0 , z0 )的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式（1）
2020/2/13
3
定理的证明比较细微而繁复，这里从略， 仅推导（1）式。
设方程在点x0 , y0 的某邻域内确定了连续可导函数
则
Fx ( x, y)
x x2
y y2 ,
Fy( x, y)
隐函数求导专题训练
隐函数求导专题训练引言隐函数求导是微积分中的重要部分，也是较为复杂的知识点。
隐函数求导运用较为广泛，特别是在自然科学领域，如物理、化学、经济学等。
因此，熟练掌握隐函数求导的方法对于我们的研究和未来的研究都有很大的帮助。
本文将从基础知识介绍、公式推导及例题训练等方面，让大家更好地掌握隐函数求导知识点。
隐函数求导基础知识何为隐函数？隐函数是指，由一个或多个自变量和一个或多个方程组成的函数，我们很难通过显式的形式来表示它。
例如，方程$x^2+y^2=1$就可以看作是$y$关于$x$的一个隐函数。
隐函数求导公式对于一个由$x$和$y$表示的函数$f(x,y)$，如果需要求得$\frac{dy}{dx}$，常规的方法是通过对$f(x,y)$求偏导数，即：$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dx}$$则：$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$$隐函数求导实例现在，我们以这样一道例题作为展示：有一个方程$y^3+3yx^2=1$，求$\frac{dy}{dx}$的值。
我们先对它进行微分$$\frac{d}{dx}[y^3+3yx^2]=0$$$$3y^2\frac{dy}{dx}+6xy=0$$将$\frac{dy}{dx}$单独提出来$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2xy}{y^2}$$将$y$带回去$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{y}$$隐函数求导专题训练隐函数求导需要熟练的掌握基础知识和公式推导，更需要通过实例训练来巩固所学。
下面我们提供几道隐函数求导的练题，供大家练。
隐函数求导理解
隐函数求导理解
隐函数求导是微积分中的一种方法，它用于对无法用显式函数来表示的函数求导。
在隐函数求导中，我们假定有一个未知的函数，该函数不能被简单地表示为 "y = f(x)" 的形式。
而是可以表示为隐函数 "F(x,y) = 0" 的形式，其中x和y都是自变量。
为了对这种隐含的函数进行求导，我们应该使用一种被称为 "隐函数定理" 的方法。
隐函数定理可以用于求出给定隐函数的导数，它的基本思想是假设y是x的函数，并将 "F(x,y) = 0" 两侧同时对x求导。
这可以得到一个方程式，该方程式可以用来计算dy / dx的值。
在隐函数求导中，需要特别注意的是，由于y是x的函数，所以在计算y对x的导数时，必须将所有与y相关的项视为常数。
这意味着，如果y出现在F(x,y)中，则必须将其视为常数。
同样，如果
F(x,y)中还有其他变量，我们也必须将它们视为常数，并对x进行求导。
在求解隐函数求导问题时，通常需要使用链式法则和求导法则，以简化问题并找出正确的答案。
总之，隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它用于求解无法直接用显式函数表示的函数的导数。
它需要使用隐函数定理和其他微积分工具来计算dy / dx的值，并应用求导法则和链式法则来简化问题。
隐函数的求导公式共28页文档
并有连续
导数
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
02.10.2019
3
则 两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
02.10.2019
4
例1 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
解: 令 ① ②
则 连续 ,
③
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
2u 2v
1 1 v 2u 2x u x x 1 1 v u
2u 2v
将所给方程的两边对 y 求导.用同样方法在 J 2(v u) 0
的条件下可得
u y v ， v u y .
y v u y v u
02.10.2019
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例 4 设 r(x, y) 和 (x, y) 由 x r cos ，y r sin 确定，
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解法2 设 则
利用公式
两边对 x 求偏导
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二、方程组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
由 F, G 的偏导数组成的行列式
称为F, G 的雅可比( Jacobi )行列式.
02.10.2019
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例 3 求由方程组
x y u v 1,
x
2
y2
u2
v2
2,