[配套k12学习]新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.4.1.1
配套K12高中数学第三章指数函数与对数函数学业分层测评18换底公式北师大版必修1
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第三章 指数函数与对数函数 学业分层测评（18）换底公式 北师大版必修1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B.32 C ．1D.23【解析】 原式＝lg 16lg 27×lg 3lg 4＝2lg 4·lg 33lg 3·lg 4＝23.【答案】 D2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．1＋3a －a 2【解析】 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 【答案】 A3. (2016·石景山高一检测)若x ＝60，则1log 3x ＋1log 4x ＋1log 5x 的值为( )A ．1 B.12C ．2D ．以上都不对 【解析】 原式＝log x 3＋log x 4＋log x 5＝log x 60＝log x x ＝1. 【答案】 A4．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12 B ．9 C ．18D ．27【解析】 由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝log 442＝2， ∴lg mlg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9， ∴m ＝9. 【答案】 B5．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c【解析】 B 中log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg blg c ＝log c b ，A 、C 、D 中由对数的运算法则知不成立．【答案】 B 二、填空题6．计算：log 43·log 3432＝________. 【解析】 原式＝lg 3lg 4·lg 432lg 3＝54lg 22lg 2＝58.【答案】 587．若m log 35＝1，n ＝5m＋5－m，则n 的值为________． 【解析】 ∵m log 35＝1， ∴m ＝1log 35＝log 53，∴n ＝5m ＋5－m＝5log 53＋5－log 53＝3＋5log 513＝3＋13＝103.【答案】1038．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________. 【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧p ＝lg 2lg 6，q ＝lg 5lg 6，故lg 2lg 5＝pq， 故1－lg 5lg 5＝p q ，则lg 5＝qp ＋q. 【答案】qp ＋q三、解答题9．求下列各式的值：(1)(2016·西城高一检测)log 427·log 258·log 95； (2)(2016·济南高一检测)log 225·log 3116·log 519.【解】 (1)原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9＝3 lg 32lg 2·3lg 22lg 5·lg 52 lg 3＝98. (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－lg 3·－lg 5＝16.10．已知x ，y ，z 为正数，且3x＝4y＝6z. (1)求使2x ＝py 的p 的值；(2)求证：12y ＝1z －1x . 【导学号：04100059】【解】 (1)设3x ＝4y ＝6z＝k (显然k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ， 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34，∵log 3k ≠0， ∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3 ＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y. [能力提升]1．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4【解析】 由(lg x )2－lg x 2－3＝0，即(lg x )2－2lg x －3＝0， 解得lg x ＝3或lg x ＝－1，故x ＝103或x ＝10－1＝110.不妨令a ＝103，b ＝110，故log a b ＋log b a ＝log 103110＋log 110103＝－13－3＝－103.【答案】 C2．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝________. 【解析】 原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5lg 3·lg 9lg 25·lg 5＝1＋lg 2lg 5－lg 2－lg 2lg 5－lg 5lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1－lg 2－lg 5＝1－1＝0. 【答案】 03．某城市为加快现代化都市的建设，决定从2007年起逐年增加城市化面积．若每年的新增绿地亩数比上一年递增10%，则该市实现绿地面积翻两番大约是在哪一年？(参考数据：lg2＝0.301 0，lg1.1＝0.041 4)【解】 若设该市2006年年底有绿地面积a ，则经过1年，即2007年的绿地面积是a ＋a ·10%＝a (1＋10%)；再经过一年，即2008年的绿地面积是a (1＋10%)2；经过3年，即2009年的绿地面积是a (1＋10%)3，…，经过x 年的绿地面积是a (1＋10%)x，依题意，a (1＋10%)x ＝4a ，即(1＋10%)x＝4，∴x ＝log 1.14＝2lg2lg1.1≈15.∴大约经过15年，也就是到2022年该市的绿地面积将翻两倍．。
【教育专用】新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.4.2
4.2换底公式课时过关·能力提升1的值为()A.2B.C.1D.解析:原式=,故选D.答案:D2=()A.lg 3B.-lg 3C.D.-解析:原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=,故选C.答案:C3若log5·log36·log6x=2,则x=()A.9B.C.25D.解析:∵由换底公式,得=2,∴-=2.∴lg x=-2lg 5=lg .∴x=.故选D.答案:D4如果lg 2=m,lg 3=n,那么等于()A. B.C. D.解析:∵lg 2=m,lg 3=n,∴=,故选C.答案:C5已知f(3x)=2x log23,则f(21 008)的值等于.解析:设3x=t,则x=log3t,∴f(t)=2log3t·log23=2log2t.∴f(21 008)=2log221 008=2 016.答案:2 0166设log89=a,log35=b,则lg 2=.解析:由log89=a得log23=a,所以 a.又因为log35==b,所以ab.所以ab,所以lg 2=.答案:7已知2m=5n=10,则=.答案:18分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60~110为过渡区,110以上为有害区.(1)根据上述材料,列出声压级y与声压P的函数关系式;(2)某地声压P=0.002帕,试问该地为以上所说的什么区,声音环境是否优良?解(1)由已知得y=20lg(其中P0=2×10-5帕).(2)当P=0.002帕时,y=20lg =20lg 102=40(dB).由已知条件知40 dB小于60 dB,所以此地为无害区,声音环境优良.9若lg 2=a,lg 3=b.(1)用a,b表示lg与log245;(2)求102a-b的值.解(1)lg=lg 3-lg 2=b-a,log245=.(2)102a-b=102lg 2-lg 3=10lg 4-lg 3=1.★10设a>0,a≠1,x,y满足log a x+3log x a-log x y=3,用log a x表示log a y,并求当x取何值时,log a y取得最小值.解由换底公式,得log a x+=3,整理,得(log a x)2+3-log a y=3log a x,∴log a y=(log a x)2-3log a x+3=.∴当log a x=,即x=时,log a y取得最小值.★11甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+c log x2=0,甲写错了常数b,得到两实数解分别为;乙写错了常数c,得到两实数解分别为,64.求这个方程的真正实数解.解原方程可化为log2x+b+c=0,即(log2x)2+b log2x+c=0.因为甲写错了常数b,得两实数解分别为,所以c=log2·log2=6.因为乙写错了常数c得两实数解分别为,64,所以b=-=-5.故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0,解得log2x=2或log2x=3,所以原方程的真正实数解为x=4或x=8.。
【K12小初高学习】新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.5.1
§5对数函数5.1对数函数的概念课时过关·能力提升1已知全集U=R,集合A为函数f(x)=ln (x-1)的定义域,则∁U A=()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)解析:函数f(x)=ln (x-1)的定义域为{x|x>1},所以∁U A={x|x≤1}.答案:A2若函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则()A.f(x)=lg xB.f(x)=log2xC.f(x)=ln xD.f(x)=x e解析:易知y=f(x)是y=e x的反函数,则f(x)=ln x.故选C.答案:C3已知f(x)=若f(a)=1,则实数a=()A.1或2B.1C.2D.-1或2解析:当a≤0时,f(a)=a3=1,解得a=1,1>0,故a=1舍去;当a>0时,f(a)=log2a=1,解得a=2,2>0,故a=2.答案:C4若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(x)的图像经过点(,a),则f(x)=()A.log2xB.lo xC.D.x2解析:因为函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,所以f(x)=log a x.又因为f(x)=log a x的图像经过点(,a),所以log a=a⇒a=,即f(x)=lo x.答案:B5设f(x)=log a x(a>0,a≠1),对于任意的正实数x,y都有()A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(x+y)=f(x)f(y)C.f(x+y)=f(x)+f(y)D.f(xy)=f(x)+f(y)解析:因为f(x)=log a x(a>0,a≠1),所以f(xy)=log a(xy).又f(x)+f(y)=log a x+log a y=log a(xy),所以f(xy)=f(x)+f(y).答案:D6对数函数f(x)满足f(9)=2,则f(3)=()A.0B.1C.3D.4解析:设对数函数为f(x)=log a x,所以2=log a9.所以a=3.所以解析式为y=log3x.所以f(3)=log33=1.答案:B7已知f(x)=log3x,则f+f=.解析:f+f=log3+log3=log3=log3=-2.答案:-28若f(x)=则满足f(x)=的x的值为.解析:因为当x≤1时,f(x)=,解得x=2,舍去.当x∈(1,+∞)时,log81x=,解得x==3.答案:39函数f(x)=的定义域为.解析:由解得x<4且x≠3,所以定义域为{x|x<4且x≠3}.答案:{x|x<4且x≠3}★10若函数y=log2的定义域为R,求实数a的取值范围.解由题意得,(a-1)x2+2x+>0在R上恒成立,当a=1时,显然不成立,所以a≠1,所以解得a>5.所以a的取值范围为a>5.★11已知函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=(-1≤x≤0)的值域为B.(1)求A∩B;(2)若C={y|y≤a-1},且B⊆C,求a的取值范围.解(1)由题意知,解得x≥2,⇒1≤≤2,所以A={x|x≥2},B={y|1≤y≤2},所以A∩B={2}.(2)由(1)知B={y|1≤y≤2},若要使B⊆C,则有a-1≥2,所以a≥3.。
[推荐学习]新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.3.1
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§3指数函数第1课时指数函数的图像和性质课时过关·能力提升1若函数y=(2a2-5a+4)a x是指数函数,则a的值为()A.1或B.1C. D.以上均不正确解析:由2a2-5a+4=1,解得a=(a=1舍去).答案:C2若函数y=a x-(b+1)(a>0,a≠1)的图像在第一、三、四象限,则有()A.a>1且b<0B.a>1且b>0C.0<a<1且b>0D.0<a<1且b<0答案:B3已知集合M={-1,1},N=,则M∩N=()A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}解析:N={x|2-1<2x+1<22,x∈Z},又y=2x在R上为增函数,所以N={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0},所以M∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}.故选B.答案:B4函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有()A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)解析:由同底数指数幂的运算性质可知选C.答案:C5设<1,那么()A.a a<b b<b aB.a a<b b<aC.a b<b a<a aD.a b<a a<b a解析:∵函数f(x)=为减函数,且<1,∴0<a<b<1.∴函数g(x)=a x为减函数,即a b<a a,函数h(x)=x a为增函数,即a a<b a,故a b<a a<b a,故选D.答案:D6三个数a=(-0.3)0,b=0.32,c=20.3的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a解析:因为a=(-0.3)0=1,而c=20.3>20=1,b=0.32<0.30=1,所以c>a>b.答案:C7已知指数函数y=f(x)的图像过点(1,3),则f(f(1))=.答案:278已知函数f(x)=则f(-3)的值为.解析:f(-3)=f(-1)=f(1)=f(3)=2-3=.答案:9当x∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域为.解析:∵x∈[-2,0]时,y=3x+1-2是增加的,∴3-2+1-2≤y≤30+1-2,即-≤y≤1.答案:10若函数f(x)=a x-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.分析:解答本题的关键是根据函数f(x)的定义域[0,2],确定f(x)的最大值与最小值,要注意底数a的取值(a>1还是0<a<1)对f(x)最值的影响,然后根据f(x)的最值列出关于a的方程求解.解当a>1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是增加的,由题意可知,解得a=(a=-舍去).当0<a<1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是减少的,由题意可知,此时a无解.综上所述,a=.★11已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,试判断f(b x)与f(c x)的大小关系.解由f(1+x)=f(1-x),可得函数f(x)的对称轴是直线x=1,所以b=2.所以函数f(x)在(-∞,1]上是减少的,在[1,+∞)上是增加的.又f(0)=3,所以c=3.若x≥0,则3x≥2x≥1,所以f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,所以f(3x)>f(2x).综上所述,f(3x)≥f(2x),即f(c x)≥f(b x).★12已知函数f(x)=(a>0,a≠1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求a的取值范围,使xf(x)>0在定义域上恒成立.解(1)由a x-1≠0,解得x≠0.∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.(2)f(-x)===-=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)∵f(x)为奇函数,∴xf(x)为偶函数.∴xf(x)>0在定义域上恒成立等价于f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即>0恒成立,即>0.∴a x-1>0即a x>1在(0,+∞)上恒成立,∴a>1.故实数a的取值范围是(1,+∞).。
【教育专用】新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 检测
第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:要使f(x)=有意义,需2x-1≥0,故x∈[0,+∞).答案:B2若a>1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:y=a x+b(a>1,b<-1)的图像如图.故选B.答案:B3设集合M=,N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N等于()A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1)答案:C4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+e x解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=,y=2x+为偶函数,y=x+为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D.答案:D5函数y=log2(1-x)的图像是()解析:∵1-x>0,∴x<1.这样可排除选项A,D.∵y=log2(1-x)在定义域上是减函数,∴B选项正确.答案:B6的值为()A. B. C.2 D.3解析:.答案:A7设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12解析:∵f(-2)=1+log24=3,f(log212)==6,∴f(-2)+f(log212)=9.答案:C8已知函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1)-f(x2)=1,则f()-f()等于() A.2 B.1C. D.log a2解析:f()-f()=log a-log a=2log a x1-2log a x2=2[f(x1)-f(x2)]=2.答案:A9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a答案:B10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()A.f(x)=3xB.f(x)=log2xC.f(x)=xα(α≠1)D.f(x)=kx(k≠0)解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.答案:C11函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A. B. C.2 D.4解析:函数f(x)=a x+log a(x+1),令y1=a x,y2=log a(x+1),显然在[0,1]上,y1=a x与y2=log a(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+log a2+1+0=a,解得a=.答案:B12设偶函数f(x)=log a|x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系为()A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>f(a+1)C.f(b-2)<f(a+1)D.不能确定解析:∵函数f(x)是偶函数,∴b=0,此时f(x)=log a|x|.当a>1时,函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上是增加的,∴f(a+1)>f(2)=f(b-2);当0<a<1时,函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上是减少的,∴f(a+1)>f(2)=f(b-2).综上可知,f(b-2)<f(a+1).答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)13lg+2lg 2-=.解析:根据对数的运算法则知,lg+2lg 2-=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1.答案:-114若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a=.解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+)=ln,f(1)=ln(1+),因此ln(+1)-ln a=ln(+1),于是ln a=0,∴a=1.答案:115若a=log43,则2a+2-a=.解析:由a=log43,知2a+2-a=.答案:16设函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1x2…x2 018)=8,则f()+f()+…+f()的值等于.答案:16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)化简求值:(1)2()6+(-4×80.25+(-2 016)0;(2).解(1)原式=2()6+(-4×+1=2×22×33+2-7-2+1=210.(2)∵lg 5·lg 8 000+(lg)2=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3,lg 600-lg 0.36=(lg 6+2)-lg=lg 6+2-lg=3,∴原式==1.18(12分)已知函数f(x)=-a.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)为奇函数,求a的值.解(1)∵4x-1≠0,∴4x≠1.∴x≠0.∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴-a=-+a.∴2a==-1.∴a=-.19(12分)(1)已知x+x-1=3(x>0),求的值; (2)已知log4(3x-1)=log4(x-1)+log4(3+x),求实数x的值.解(1)∵()2=x+x-1+2=5,∴.∴=()(x+x-1-1)=(3-1)=2.(2)∵log4(3x-1)=log4(x-1)+log4(3+x),∴log4(3x-1)=log4[(x-1)(3+x)].∴3x-1=(x-1)(3+x),且x>1.∴x=2.20(12分)已知函数f(x)=(1)画出函数f(x)的图像,并根据图像写出该函数的递减区间;(2)求不等式f(x)>的解集.解(1)作函数f(x)的图像如下,函数的递减区间为(-∞,0],[1,+∞).(2)令f(x)=,解得x=±或x=3,结合图像可知,f(x)>的解集为.21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f(x)(万元)与投资额x(万元)的函数关系为f(x)=k1x(k1≠0,x≥0),投资股票等风险型产品的收益g(x)(万元)与投资额x(万元)的函数关系为g(x)=k2(k2≠0,x≥0),则f(1)=0.125=k1,g(1)=0.5=k2,则k1=0.125=,k2=0.5=,故f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资债券类产品x万元,则投资股票类产品(20-x)万元,依题意得,获得的总收益y=f(x)+g(20-x)=(0≤x≤20).令t=(0≤t≤2),则y=t=-(t-2)2+3,当t=2时,y max=3,故当x=16万元时,y max=3万元.所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.22(12分)已知函数f(x)=(a>1).(1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数的值域;(3)证明:f(x)是R上的增函数.(1)解函数的定义域为R,f(-x)+f(x)===0,∴函数f(x)为奇函数.(2)解∵f(x)==1-(a>1),设t=a x,则t>0,y=1-的值域为(-1,1),∴该函数的值域为(-1,1).(3)证明任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)==.∵a>1,x1,x2∈R,且x1<x2,∴<0,+1>0,+1>0.∴<0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).∴f(x)是R上的增函数.。
新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 检测(1)
第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=√2x-1的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:要使f(x)=√2x-1有意义,需2x-1≥0,故x∈[0,+∞).答案:B2若a>1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:y=a x+b(a>1,b<-1)的图像如图.故选B.答案:B3设集合M={y |y =(12)x,x ∈[0,+∞)},N={y|y=log 2x ,x ∈(0,1]},则集合M ∪N 等于( )A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1) 答案:C4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=√1+x 2 B.y=x+1x C.y=2x +12xD.y=x+e x解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=√1+x 2,y=2x +12x 为偶函数,y=x+1x 为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D. 答案:D5函数y=log 2(1-x )的图像是( )解析:∵1-x>0,∴x<1.这样可排除选项A,D .∵y=log 2(1-x )在定义域上是减函数, ∴B 选项正确. 答案:B6log 89log 23的值为( )A.23B.32C.2D.3解析:log 89log 23=lg9lg8·lg2lg3=2lg33lg2·lg2lg3=23. 答案:A7设函数f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212-1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.答案:C8已知函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 12)-f (x 22)等于( )A.2B.1C.12D.log a 2解析:f (x 12)-f (x 22)=log a x 12-log a x 22=2log a x 1-2log a x 2=2[f (x 1)-f (x 2)]=2. 答案:A9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a答案:B10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()A.f(x)=3xB.f(x)=log2xC.f(x)=xα(α≠1)D.f(x)=kx(k≠0)解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.答案:C11函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A.14B.12C.2D.4解析:函数f(x)=a x+log a(x+1),令y1=a x,y2=log a(x+1),显然在[0,1]上,y1=a x与y2=log a(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+log a2+1+0=a,解得a=12.答案:B12设偶函数f (x )=log a |x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f (b-2)与f (a+1)的大小关系为( )A.f (b-2)=f (a+1)B.f (b-2)>f (a+1)C.f (b-2)<f (a+1)D.不能确定 解析:∵函数f (x )是偶函数,∴b=0,此时f (x )=log a |x|.当a>1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是增加的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2);当0<a<1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是减少的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2). 综上可知,f (b-2)<f (a+1). 答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上) 13lg 52+2lg 2-(12)-1= .解析:根据对数的运算法则知,lg 52+2lg 2-(12)-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1. 答案:-114若函数f (x )=x ln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . 解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-1)=f (1).又f (-1)=-ln(-1+√a +1)=ln√a+1+1a ,f (1)=ln(1+√a +1),因此ln(√a +1+1)-ln a=ln(√a +1+1), 于是ln a=0,∴a=1. 答案:115若a=log 43,则2a +2-a = .解析:由a=log 43,知2a +2-a=2log 43+2-log 43=2log 2√3+2log 2√33=√3+√33=4√33. 答案:4√3316设函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 018)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 2 0182)的值等于 . 答案:16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10分)化简求值:(1)2(√23×√3)6+(√2√2)43-4(1649)-12−√24×80.25+(-2 016)0;(2)lg5·lg8 000+(lg2√3)2lg600-12lg0.36.解(1)原式=2(213×312)6+(212×214)43-4×74−214×234+1=2×22×33+2-7-2+1=210.(2)∵lg 5·lg 8 000+(lg 2√3)2=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3, lg 600-12lg 0.36=(lg 6+2)-lg √36100=lg 6+2-lg 610=3,∴原式=33=1.18(12分)已知函数f (x )=14x -1-a.(1)求函数f (x )的定义域; (2)若f (x )为奇函数,求a 的值. 解(1)∵4x -1≠0,∴4x ≠1.∴x ≠0.∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ). ∴14-x -1-a=-14x -1+a. ∴2a=4x1-4x +14x -1=1-4x4x -1=-1. ∴a=-12.19(12分)(1)已知x+x -1=3(x>0),求x 32+x -32的值; (2)已知log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),求实数x 的值. 解(1)∵(x 12+x -12)2=x+x -1+2=5,∴x 12+x -12=√5.∴x 32+x -32=(x 12+x -12)(x+x -1-1) =√5(3-1)=2√5.(2)∵log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),∴log 4(3x-1)=log 4[(x-1)(3+x )]. ∴3x-1=(x-1)(3+x ),且x>1.∴x=2.20(12分)已知函数f (x )={(12)x -1,x >1,x 2,x ≤1.(1)画出函数f (x )的图像,并根据图像写出该函数的递减区间; (2)求不等式f (x )>14的解集. 解(1)作函数f (x )的图像如下,函数的递减区间为(-∞,0],[1,+∞). (2)令f (x )=14,解得x=±12或x=3, 结合图像可知,f (x )>14的解集为 {x |x <-12或12<x <3}.21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图). (1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为f (x )=k 1x (k 1≠0,x ≥0),投资股票等风险型产品的收益g (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为g (x )=k 2√x (k 2≠0,x ≥0),则f (1)=0.125=k 1,g (1)=0.5=k 2, 则k 1=0.125=18,k 2=0.5=12, 故f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12√x (x ≥0).(2)设投资债券类产品x 万元,则投资股票类产品(20-x )万元,依题意得,获得的总收益y=f (x )+g (20-x )=x8+12√20-x (0≤x ≤20).令t=√20-x (0≤t ≤2√5),则y=20-t 28+12t=-18(t-2)2+3,当t=2时,y max =3,故当x=16万元时,y max =3万元.所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.22(12分)已知函数f (x )=a x -1a x +1(a>1). (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明:f (x )是R 上的增函数. (1)解函数的定义域为R ,f (-x )+f (x )=a -x -1a -x +1+a x -1a x +1 =1-a x1+a x +a x -1a x +1=0,∴函数f (x )为奇函数. (2)解∵f (x )=a x -1a x +1=1-2a x +1(a>1),设t=a x,则t>0,y=1-2t+1的值域为(-1,1), ∴该函数的值域为(-1,1).(3)证明任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a x1-1a x1+1−a x2-1a x2+1=2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1).∵a>1,x1,x2∈R,且x1<x2,∴a x1−a x2<0,a x1+1>0,a x2+1>0.∴2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1)<0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).∴f(x)是R上的增函数.。
【专业资料】新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.2.2 含解析
2.2 指数运算的性质课时过关·能力提升1已知a>0,b>0,则(2a -3b -23)·(-3a -1b )÷(4a -4b -53)=( )A.-32b 2B.32b 2C.-32b 73 D.32b 73解析:原式=-2×34a -3-1+4b -23+1+53=-32b 2,故选A.答案:A2已知a>0,则√a 92·√a -33÷√√a -73·√a 133=( )A.1B.2C.3D.5解析:原式=√a 33÷√a 2=a ÷a=1(a>0).答案:A3√(a -b )33+√(b -a )2的值是( )A.0B.2(a-b )C.0或2(a-b )D.a-b解析:当a-b ≥0时,原式=a-b+a-b=2(a-b );当a-b<0时,原式=a-b+b-a=0,故选C . 答案:C4设a 12−a -12=m ,则a 2+1a =( )A.m 2-2B.2-m 2C.m 2+2D.m 2答案:C5化简2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k 等于( )A.2-2kB.-2-(2k-1)C.-2-(2k+1)D.2解析:原式=2-(2k+1)-2-(2k+1)+2+2-(2k+1)+1=2-(2k+1)-22·2-(2k+1)+2·2-(2k+1)=-2-(2k+1).故选C .答案:C6若a=(2+√3)-1,b=(2-√3)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是( )A.1B.14C.√22D.23解析:∵a=12+3=2-√3,b=12-3=2+√3,∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-√3)-2+(3+√3)-2 =(3-3)2(3+3)2(3+√3)2√3)2(3-3)2(3+3)2=[(3-√3)(3+√3)]2=2436=23.故选D .答案:D7已知x -3+1=a (a 为常数),则a 2-2ax -3+x -6= . 解析:由x -3+1=a 得a-x -3=1,原式=a 2-2ax -3+(x -3)2=(a-x -3)2=12=1.答案:18设α,β是方程2x 2+3x+1=0的两个根,则(14)α+β= .解析:由根与系数的关系,得α+β=-32,所以(14)α+β=(14)-32=√43=8.答案:89设2x =8y+1,9y =3x-9,则x+y= . 解析:由2x =8y+1,得2x =23y+3,即x=3y+3.① 由9y =3x-9,得32y =3x-9,即2y=x-9.② 由①②联立方程组,解得x=21,y=6,所以x+y=27.答案:2710计算:(1)(-338)-23+(0.002)-12-10(√5-2)-1+(√2−√3)0;(2)80.25×√24+(√23×√3)6;(3)22n+1÷4n+1-(√5+3)0×(√2+1)-1+[(1-√2)2]12.解(1)原式=(-278)-23+(21 000)-12105-2+1=[(-32)3]-23+(1500)-12-10(√5+2)+1=49+10√5-10√5-20+1=-1679.(2)原式=(23)14×214+(213)6×(312)6=(23×2)14+22×33=2+4×27=110.(3)原式=22n+122n+2-1×√2+1+[(√2-1)2]12=12-(√2-1)+(√2-1)=12. 11已知3a 2+b=1,求a ·3b√3a的值.解因为3a 2+b=1,所以原式=32a ·3b3a 2=32a+b -a 2=332a+b =3.★12若x>0,y>0,且x-√xy -2y=0,求√xyy+2√xy 的值.解∵x-√xy -2y=0,x>0,y>0,∴(√x )2-√xy -2(√y )2=0, 即(√x +√y )(√x -2√y )=0. 由x>0,y>0,得√x +√y >0,∴√x -2√y =0,∴x=4y. ∴√xy y+2xy =8y -2y y+4y =65.。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b > B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >2．函数()f x =的定义域是（ ） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞3．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--4．若x ，y ，z 是正实数，满足2x =3y =5z ，试比较3x ，4y ，6z 大小（ ）A ．3x >4y >6zB ．3x >6z >4yC ．4y >6z >3xD ．6z >4y >3x5．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．已知函数()()3,<1log ,1aa x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>8．已知正实数a ，b ，c 满足：21()log 2a a =，21()log 3b b =，2log c c 1=，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，x ∈[1，2]与函数.2y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y =xB ．1y x x=+ C ． 22x x y -=- D ．y ＝log 0.5x 11．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（ ）A ．2aB ．2C ．154D ．17412．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若()2lg 2lg lg x y x y -=+，则2x y=______．14．已知0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，方程组58log log 4log 5log 81xy x y +=⎧⎨-=⎩的解为11x x y y =⎧⎨=⎩或22x x y y =⎧⎨=⎩，则()1212lg x x y y =________. 15．函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______.16．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.17．给出下列命题：①函数2x y =与2log y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称； ②已知函数2(1)21f x x x -=-+，则(5)26f =；③当0a >且1a ≠时，函数()log (2)3a f x x =--的图像必过定点(3,3)-； ④用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1；⑤函数2()2x f x x =-的零点有2个. 其中所有正确命题．．．．的序号是______ 18．下列五个命题中：①函数log (21)2015(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象过定点()1,2015； ②若定义域为R 函数()f x 满足：对任意互不相等的1x 、2x 都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则()f x 是减函数；③2(1)1f x x +=-，则2()2f x x x =-；④若函数22()21x xa a f x ⋅+-=+是奇函数，则实数1a =-； ⑤若log 8(0,1)log 2c c a c c =>≠，则实数3a =. 其中正确的命题是________.（填上相应的序号）.19．若函数1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有最小值-2，则实数a =_______.20．函数22()log (2)f x x x =--的单调递增区间是_____________．三、解答题21．已知函数122()log 2xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性；（2）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明． 22．设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值．（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数()21log 1xf x x-=+. （1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的奇偶性；（3）证明：函数()f x 在定义域上单调递减. 24．已知函数()11xaf x e =++为奇函数. （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数；（2）求不等式()()2230f tf t +-≤的解集.25．设函数()()22()log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）求()y f x =的最大值和最小值，并求出最值时对应的x 值； （2）解不等式()60f x ->.26．已知函数210(),22,01xx ax a x f x a a x ⎧+--≤<=⎨-≤≤⎩，其中a >0且a ≠1. （1）当12a =时，求f (x )的值域； （2）函数y =f (x )能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a 的范围；如果不能，则给出理由；（3）()2f x -在其定义域上恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.2．A解析：A 【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域. 【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x <<所以函数的定义域是()0,2. 故选：A . 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.3．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 4．B解析：B 【分析】令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg 5tz =，利用作差法能求出结果. 【详解】∵x 、y 、z 均为正数，且235x y z ==， 令235x y z t ===，则1t >， 故2lg log lg 2t x t ==，3lg log lg 3t y t ==，5lg log lg 5tz t ==， ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=>⎪⋅⎝⎭，即36x z >； ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭，即64z y >， 即364x z y >>成立，故选：B. 【点睛】 关键点点睛：（1）将指数式转化为对数式； （2）利用作差法比较大小.5．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.6．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤， 故选：A ． 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 7．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x=的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点， 即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标， 如图所示：由图象可得：c a b >>， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.8．B解析：B 【分析】a ､b ､c 的值可以理解为图象交点的横坐标，则根据图象可判断a ，b ，c 大小关系.【详解】因为21()log 2a a =，21()log 3b b =，2log c c 1=，所以a ､b ､c 为2log y x =与1()2x y =，1()3xy =，y x =-的交点的横坐标，如图所示：由图象知： c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查对数函数，指数函数的图象性质以及函数零点问题，还考查了数形结合的思想方法，属中挡题.9．C解析：C 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y x a a -[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f (0)1a -1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10．B解析：B【分析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确； 对C ：22x x y -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x xf xg x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+xx g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②，得()24g x =，()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.二、填空题13．16【分析】由通过对数运算得出由此再求的值要注意定义域【详解】∵∴解得∴故答案为：16【点睛】本题主要考查对数的运算还考查了运算求解能力属于基础题解析：16 【分析】由()2lg 2lg lg x y x y -=+，通过对数运算得出4x y =，由此再求2x y的值．要注意定义域. 【详解】∵()2lg 2lg lg x y x y -=+，∴2(2)2000x y xy x y x y ⎧-=⎪->⎪⎨>⎪⎪>⎩，解得4x y =，∴42216x y==．故答案为：16 【点睛】本题主要考查对数的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题．14．【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为：【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运 解析：6【分析】利用换底公式得出5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，分别消去5log x 和8log y ，可得出二次方程，利用韦达定理可求出12x x 和12y y 的值，进而可计算出()1212lg x x y y 的值. 【详解】由换底公式得5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②， 由①得58log 4log x y =-，代入②并整理得()288log 2log 40y y --=，由韦达定理得8182log log 2y y +=，即()812log 2y y =，则261282y y ==，()51528182log log 8log log 6x x y y ∴+=-+=，6125x x ∴=，因此，()61212lg lg106x x y y ==.故答案为：6. 【点睛】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．15．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值.【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =，故答案为：27【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.16．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型 解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可. 【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立. 故实数k 的取值范围是[)0,4. 故答案为：[)0,4 【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.17．①③【分析】①求解出的反函数再根据反函数的特点进行判断；②采用换元法求解出的解析式由此计算出的值并进行判断；③分析当对数式的真数为时此时的值由此确定出函数所过定点并进行判断；④根据每经过一次操作区间解析：①③ 【分析】①求解出2x y =的反函数，再根据反函数的特点进行判断；②采用换元法求解出()f x 的解析式，由此计算出()5f 的值并进行判断；③分析当对数式的真数为1时，此时,x y 的值，由此确定出函数所过定点并进行判断； ④根据每经过一次操作区间长度变为原来的一半，由此列出关于次数的不等式，求解出次数的范围并进行判断；⑤根据()()2,4f f 的值以及零点的存在性定理进行判断. 【详解】①令2y x =，所以2log y x =，所以函数2x y =与2log y x =互为反函数，则图象关于y x =对称，故正确；②令1x t -=，则1x t =+，所以()()()221211f t t t t =+-++=，所以()2f x x =，所以()525f =，故错误；③令21x -=，所以3x =，所以()3log 133a f =-=-，所以()f x 过定点()3,3-，故正确；④因为区间()2,3的长度为1，经过n 次操作过后区间长度变为12n ，所以10.12n≤，所以4n ≥，故错误；⑤因为()()22422220,4240f f =-==-=，且()()()21011210,020102f f --=--=-<=-=>，所以()f x 在()1,0-上有零点，所以()f x 的零点至少有3个，故错误； 故答案为：①③. 【点睛】 结论点睛：（1）同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y x =对称；（2）形如()()()log 0,1a f x g x b a a =+>≠的图象过定点问题，可考虑令()1g x =，由此求解出x 的值，从而对应的()f x 的值可求，则定点坐标可求；（3）利用二分法求解函数零点的近似值时，每进行一次操作，区间长度会变为原来的一半.18．①③⑤【分析】对①由对数函数恒过即可判断；对②由函数单调性的定义即可判断函数的单调性；对③利用换元法即可求得函数的解析式；对④由奇函数的定义即可判断；对⑤由换底公式即可求得的值【详解】解：对①令解得解析：①③⑤ 【分析】对①，由对数函数恒过(1,0)，即可判断； 对②，由函数单调性的定义即可判断函数的单调性； 对③，利用换元法即可求得函数()f x 的解析式； 对④，由奇函数的定义即可判断； 对⑤，由换底公式即可求得a 的值. 【详解】解：对①，令211x -=， 解得：1x =，则(1)2015f =，()f x ∴的图象过定点()1,2015，故①正确；对②，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，当12x x <时，()()12f x f x <； 当12x x >时，()()12f x f x >；()f x ∴是R 上的增函数，故②错误；对③，令1t x =+，则1x t =-；2()2f t t t ∴=-，即2()2f x x x =-，故③正确；对④，由题意知()f x 的定义域为R ， 又()f x 为奇函数，(0)0f ∴=，解得：1a =，故④不正确； 对⑤，log 8lg83lg 2=3log 2lg 2lg 2c c a ===，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 【点睛】方法点睛：求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)方程法：已知关于()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或()f x -的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．19．或2【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出的值【详解】当时在为增函数求得即;当时在为减函数求得即故答案为:或【点睛】本题考查复合函数单调性对数方程的解法难度一般解析：12或2 【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出a 的值. 【详解】当1a >时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数,min 33log 1-224a y f ⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得-214a =,即=2a ; 当01a <<时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数,()()min 6log 31-2a y f ==+=,求得-24a =,即1=2a . 故答案为:12或2. 【点睛】本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般.20．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可【详解】函数的定义域为：解得：或令为增函数当为增函数为增函数当为减函数为减函数所以增区间为故答案为：【点睛】本题主要考查复合函数的解析：()2,+∞【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可. 【详解】函数()f x 的定义域为：220x x -->，解得：2x >或1x <-. 令22t x x =--，2log y t =为增函数.当2x >，t 为增函数，22()log (2)f x x x =--为增函数，当1x <-，t 为减函数，22()log (2)f x x x =--为减函数.所以增区间为(2,)+∞. 故答案为：(2,)+∞ 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，同增异减为解题的关键，属于中档题.三、解答题21．（1）定义域为(2,2)-，奇函数（2）函数()f x 在(2,2)-上为增函数，证明见解析 【分析】（1）根据真数大于0可得定义域，根据奇函数的定义可得函数为奇函数；（2）设1222x x -<<<，根据对数函数的单调性可得12()()f x f x <，再根据定义可证函数()f x 在(2,2)-上为增函数. 【详解】（1）由函数有意义得202xx->+，解得22x -<<， 所以函数的定义域为(2,2)-，因为1112222()log log ()22x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数为奇函数. （2）因为124()log 12f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 证明：设1222x x -<<<， 则120224x x <+<+<，则1244122x x >>++，则124411022x x -+>-+>++， 因为1012<<，所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数，【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的思路： ①求出定义域，并判断其是否关于原点对称；②若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=-，则函数为奇函数；若()()f x f x -=，则函数为偶函数.22．（1）1a =-；（2）89m <. 【分析】（1）由奇函数的性质()()0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；（2）转化条件为131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.【详解】（1）因为131()log 1axf x x -=-为奇函数， 则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()21231log 01ax x-==-， 则()22111ax x -=-，所以21a =即1a =±， 当1a =时，()11331()log log 11xf x x -==--，不合题意； 当1a =-时，131()log 1x f x x +=-，由101xx +>-可得1x >或1x <-，满足题意； 故1a =-；（2）由1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，则131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，因为函数12111x y x x +==+--在[2,4]上单调递减， 所以函数131log 1xy x +=-在[2,4]上单调递增，所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min 32log 182993g x g -===+， 所以89m <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值. 23．(1) (1,1)- (2) 函数()f x 为奇函数 (3)证明见解析. 【分析】(1)由()f x 的定义域满足101xx->+可得答案. (2)直接判断()f x 与()f x -的关系可得答案. (3) 设1211x x -<<<，先作差判断出212111011--<<++x x x x ，再由对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++，即可得出结论. 【详解】解：（1）令101xx->+，可得()()110x x -+>，即()()110x x -+<，解得11x -<< 函数()f x 的定义域为(1,1)-（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称 由2211()log log ()11x xf x f x x x+--==-=--+，可得函数()f x 为奇函数 （3）设1211x x -<<< 设()()()()()()()()()122112212112121111211111111+--+-----==++++++x x x x x x x x x x x x x x∵1211x x -<<<∴121210,10,0x x x x +>+>-< ∴212111011--<<++x x x x 利用对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++ 即()()21f x f x <故函数()f x 在(1,1)-上单调递减． 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关键是先得出2211x x -+与1111x x -+的大小关系，再由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增得到21222111log log 11x x x x --<++，即()()21f x f x <，属于中档题. 24．（1）2a =-；证明见解析；（2）[]3,1-. 【分析】（1）根据()f x 为奇函数求得a 的值.利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上是增函数； （2）利用()f x 的奇偶性和单调性化简不等式()()222320f t t f t-+-≤，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】（1）由已知()()f x f x -=-， ∴1111x x a a e e -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭， ∴22011x x x ae a a e e ++=+=++， 解得2a =-. ∴2()11x f x e -=++. 证明：12,x x R ∀∈，且12x x <，则()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++， ∵12x x <，∴12x x e e <，∴210x x e e ->，又110x e +>，210x e +>， ∴()()()()()2112122011x x x x e e f x f x ee ---=<++，∴()()12f x f x <， 故函数()f x 在R 上是增函数. （2）∵()2(23)0f t f t +-≤，∴()2(23)f tf t ≤--，而()f x 为奇函数， ∴()2(32)f tf t ≤-，∵()f x 为R 上单调递增函数， ∴223t t ≤-+，∴2230t t +-≤， ∴31t -≤≤，∴原不等式的解集为[]3,1-. 【点睛】关键点点睛：根据奇函数的定义求出a ，利用定义证明函数为增函数，可将()2(23)0f t f t +-≤转化，脱去“f ”，建立不等式求解，考查了转化思想，属于中档题.25．（1）当4x =时，()f x 取得最小值14-；当4x =时，()f x 取得最大值12；（2）{}24x x <≤【分析】（1）令2log t x =，可得[]2,2t ∈-，从而()()22log 4log 2x x ⋅232t t =++，结合二次函数的性质，可求出最大值和最小值，及取得最值时对应的x 值；（2）由（1）知，2()32f x t t =++，[]2,2t ∈-，则不等式可化为2340t t +->，可求出t 的范围，结合2log t x =，可求出x 的范围. 【详解】 （1）由题意，()()()()222222log 4log 2log 4log log 2log x x x x ⋅=+⋅+=()()222log 1log x x +⋅+，令2log t x =，∵1,44x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴[]2log 2,2t x =∈- 则()()22132y t t t t =++=++，根据二次函数的性质，可得当32t =-，即3224x -==232y t t =++取得最小值，最小值为233132224⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当2t =时，即224x ==时，232y t t =++取得最大值，最大值为2232212+⨯+=.（2）由（1）知，2()32f x t t =++，[]2,2t ∈-，则()60f x ->可化为2340t t +->，解得1t >或4t <-， 因为[]2,2t ∈-，所以12t <≤， 则222log 2log log 4x <≤，即24x <≤， 故不等式()60f x ->的解集为{}24x x <≤. 【点睛】关键点点睛：本题考查求复合函数的最值，及函数不等式的解.解决本题的关键是利用换元法，令2log t x =，可将()f x 转化为关于t 的二次函数232y t t =++，进而可求出最值，并解不等式即可，注意不要漏掉[]2,2t ∈-.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.26．（1）()f x 的值域为9[16-，1]；（2）能，a 的取值集合为{2}；（3）232a -. 【分析】（1）由二次函数和指数函数的值域求法，可得()f x 的值域；（2）讨论1a >，01a <<，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；（3）讨论x 的范围和a 的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围．【详解】（1）当10x -<时，21122y x x =+-，对称轴为1[14x =-∈-，0)， 可得y 的最小值为916-，y 的最大值为0； 当01x 时，12?()1[02x y =-∈，1]；综上()f x 的值域为9[16-，1]； （2）当1a >时，函数22x y a a =-在[0，1]递增，故二次函数2y x ax a =+-在[1-，0]也要递增， 1222a a a⎧--⎪⎨⎪--⎩，故只有2a =符合要求； 当01a <<时，函数22xy a a =-在[0，1]递减，故二次函数2y x ax a =+-在[1-，0]也要递减， 0222a a a⎧-⎪⎨⎪--⎩，无解． 综上，a 的取值集合为{2}；（3）①当[1x ∈-，0]时，22x ax a +--恒成立，即有2(1)2a x x ---，即221x a x +-， 由221x y x+=-，令1t x =-，[1t ∈，2]， 可得32232y t t=+--，当且仅当t =时，取得等号，可得232a -；②当[0x ∈，1]时，①当1a >时，22x y a a =-，222x a a --，即有222a -，求得2a ，故12a <；②当01a <<时，成立，综上可得a 的范围为232a -．【点睛】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．。
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§4对数
4.1对数及其运算
第1课时对数及其运算
课时过关·能力提升
1如果=b(a>0且a≠1),则()
A.2log a b=1
B.log a=b
C.lo a=b
D.lo b=a
解析:由题意,=b(a>0且a≠1),则=b,由对数的定义得,=log a b,即2log a b=1.故选A.答案:A
2若102x=25,则x等于()
A.lg
B.lg 5
C.2lg 5
D.2lg
解析:∵102x=25,∴2x=lg 25=2lg 5,
即x=lg 5.
答案:B
3已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为()
A.1
B.-1
C.5
D.
答案:A
4已知,则x=()
A. B.
C.2
D.
解析:因为,所以=3-1,
即2log2x=-1,所以log2x=-,
解得x=,故选B.
答案:B
5已知(x-2)2+(y-1)2=0,则log x(y x)的值是()
A.1
B.0
C.x
D.y
解析:因为(x-2)2+(y-1)2=0,
所以x-2=0,y-1=0,所以x=2,y=1.
所以log x(y x)=log2(12)=log21=0.
答案:B
6有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若e=ln x,则x=e2;④ln(lg 1)=0.其中正确的是()
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.②③④
解析:可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化,对各结论进行判断.由于1的对数等于0,底数的对数等于1,所以可判断①②均正确;③中应得到x=e e,故③错误;④中由于lg 1=0,而0没有对数,所以④式不成立.综上可知,正确的结论是①②.故选A.
答案:A
7已知函数f(3x)=log2,那么f(1)的值为()
A.log2
B.2
C.1
D.
解析:∵f(3x)=log2=log2,
∴f(1)=log2=log22=1,故选C.
答案:C
8若log2[lg(ln x)]=0,则x=.
解析:因为log2[lg(ln x)]=0,
所以lg(ln x)=20=1,
所以10=ln x,所以x=e10.
答案:e10
★9若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则的值为.
答案:108
10求+103lg 3+的值.
解原式=31·-24·+(10lg 3)3+
=3×6-16×3+33+()-2
=18-48+27+=-.
11解下列关于x的方程:
(1)log2(2x+1)=log2(3x);
(2)log5(2x+1)=log5(x2-2).
解(1)由log2(2x+1)=log2(3x),
得2x+1=3x,
解得x=1.
经检验,当x=1时,满足2x+1>0,3x>0,
故x=1.
(2)由log5(2x+1)=log5(x2-2),
得2x+1=x2-2,
即x2-2x-3=0,
解得x=-1或x=3.
经检验,当x=-1时,2x+1<0,x2-2<0,不满足真数大于0,应舍去;
当x=3时,2x+1>0,x2-2>0,故x=3.
★12设M={0,1},N={lg a,2a,a,11-a},问是否存在a,使得M∩N={1}?
解不存在a,使得M∩N={1}成立.
理由如下:若lg a=1,则a=10,此时,11-a=1=lg a,这与集合中元素的互异性矛盾;
若2a=1,则a=0,此时lg a无意义;
若a=1,则lg a=0,此时M∩N={0,1},与题设不符;
若11-a=1,则a=10,lg a=1=11-a,这与集合中元素的互异性矛盾.综上所述,不存在a,使得M∩N={1}.。