四边形讲义 2015
四边形讲义
二、矩形
名称
文字语言
符号语言
图形
定义
性
质
边
角
对角线
判定
四边形
平行四边形
三、菱形
名称
文字语言
符号语言
图形
定义
性
质
边
角
对角线
判定
四边形
平行四边形
四、正方形
名称
文字语言
符号语言
图形
定义
性
质
边
角
对角线
判定
四边形
平行四边形
菱形
矩形
四边形对比表
平行四边形性质：
边
角
对角线
对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
平行四边形的常用判定方法
平行四边形
4条
矩形
3条
菱形
3条
正方形
3条
特殊的四边形一平行四边形名称文字语言符号语言图形定义性质边角对角线判定边对角线角abcd1234abcd二矩形名称文字语言符号语言图形定义性质边角对角线判定四边形平行四边形三菱形名称文字语言符号语言图形定义性质边角对角线判定四边形平行四边形四正方形名称文字语言符号语言图形定义性质边角对角线判定四边形平行四边形菱形矩形四边形对比表平行四边形性质
四边形
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；
（2）四边形的外角和等于360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；
（2）任意多边形的外角和等于360°.
特殊的四边形
一、平行四边形
名称
文字语言
符号语言
八年级下册四边形讲义
精锐教育学科教师辅导讲义〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形〔不再添加辅助线〕．例5、如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．命题角度3、平行四边形的判定例6、，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．例7、如图，，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．二、矩形、菱形、正方形：知识点梳理：2.1、几种特殊平行四边形的性质：2.2、几种特殊平行四边形的转换图：2.3、种特殊平行四边形的判定方法：命题聚焦：特殊四边形是历年中考必考内容之一，主要考察矩形、菱形、正方形的性质和判定，要求会运用这些性质及判定定理判断真假命题，证明线段或角相等，考察题型有填空题、选择题，更多以证明题求值计算题及探索性问题、几何动态问题出现，试题强调根底，突出能力，源于教材，变中求新，考察学生的发散思维能力。
典例精析：命题角度1、矩形的判定与性质例1、如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点． 求证：∠EBC=∠ECB ．例2、在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ． 〔1〕求证：△BEC ≌△DFA ；〔2〕连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．图形 用边判定用角判定用对角线判定矩形 有一个角是直角的平行四边形 三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 菱形一组邻边相等的平行四边形或四边相等的四边形对角线互相垂直的平行四边形正方形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 对角线相互垂直平分相等的四边形命题角度2、菱形的判定与性质例3、如下图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=1/2BE．例4、如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．〔1〕求证：DE∥BF；〔2〕假设∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．命题角度3、正方形的性质及应用例5、如图，在正方形ABC1D1中，AB=1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2，连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．〔1〕求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长；〔2〕请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长。
北师大版九年级数学(上)《四边形》讲义
1. 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。
②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。
教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。
教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。
学习过程： 活动一：1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。
2. 按探究步骤剪下一个四边形。
①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为什么是轴对称图形？ 有 对称轴。
图中相等的线段有： 图中相等的角有：③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？活动二：对比菱形与平行四边形的对角线 菱形的对角线：平行四边的对角线：活动三：菱形性质的应用1.菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，求菱形的周长和面积。
平行四边形菱形 ？2.如图，菱形花坛ABCD 的边长为20cm ，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积。
随堂练习： 一、填空（1）菱形的两条对角线长分别是12cm ，16cm ，它的周长等于 ，面积等于 。
（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是 。
（3）已知：菱形的周长是20cm ，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是 。
（4）已知：菱形的周长是52 cm ，一条对角线长是24 cm ，则它的面积是 。
二、解答题已知：如图，在菱形ABCD 中，周长为8cm ，∠BAD=1200 对角线AC ，BD 交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积。
菱形的性质作业1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等 2、 菱形的周长为100cm ，一条对角线长为14cm ，它的面积是（ ）A. 168cm 2B. 336cm 2C. 672cm 2D. 84cm 2 3、下列语句中，错误的是（ ）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm ，8 cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5, AO ＝4，求对角线BD 和菱形ABCD 的面积.A BC D O6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3 （C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。
2015年期末复习——四边形
第一讲 平行四边形一、课标要求：1、掌握平行四边形有关概念、性质及判定。
2、探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等对角线互相平分的性质。
3、运用性质及判定证明。
二、知识疏理 1、温故知新：（1）、平行四边形的定义：2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记作：□ABCD ，读作平行四边形ABCD.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
（2）、平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行； ②平行四边形的对边相等； ③平行四边形的对角相等； ④平行四边形的对角线互相平分。
（3）、平行四边形的判定：①2组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②2组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③2组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、教材解读：1．平行四边形ABCD 中，若∠A ＋∠C ＝120 o ，则∠D 的度数是 . 2．ABCD 中，∠B =30°，AB ＝4 cm ，BC =8 cm ，则四边形ABCD 的面积是_____.3．平行四边形ABCD 的周长是18，三角形ABC 的周长是14，则对角线AC 的长是 . 4.如图, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是__________________________________. 5.已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是________________. 6.如图，在平行四边形ABCD 中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度, ∠CAD=______度.7、 □ABCD 中，∠A 比∠B 大20°,则∠C 的度数为___ .8、□ABCD 中, AB:BC ＝1:2，周长为24cm, 则AB ＝_____cm, AD ＝_____cm ． 三、典型例题解析FED CBADCBA1、 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 上的点，且DE ＝BF. 求证：AE ＝CF2、 如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线与AD 、BC 分别相交于点E 、F 。
2015415四边形讲座 PPT
会不会想问题，就是自己会不会悟。 不是教出来的，是学生自己感悟出来的。
会思考问题、会做事情能力的培养，依 赖的不是说教和理解。 依赖的是学生参与其中的活动，依赖的 是学生在这过程中自己的思考和感悟， 这种能力是经验的积累。
启发学生思考的最好办法是和学生一起 思考、千方百计地让学生思考感悟。
无论就算术和几何内容的教学而言，我们都应 十分重视如何能够通过具体知识的学习帮助学生学 会数学的思维。
从根本上说，具体判断我们的数学教学工作成 功与否的一个关键因素在于，我们是否真正做到了 通过自己的教学促使学生更为积极的去思考，并能 逐步想得更深、更清晰、更有条理。与此相对照， 下面这种数学教学则是完全不应提倡的：我们的学 生一直在做，一直在算，但就是不想！
我的追求：简约而灵动的课堂
简单的才能进入平常的课堂 能简单尽量简单 用简单的材料上出富 有思考的课，体现“深刻”。一节好的数学课 一定是兼顾了生动与深刻。
既要真正读懂教材，抓住数学的本质，把 一堂课的脉络梳理清晰，找到最核心的问题， 把这个最核心的问题分解成几个层层递进的小 问题，放手让学生自主探索、合作交流，教师 该出手时再出手。
设计——为什么这样构思？
就学习而言，教育大概可以分为三种：经 验的教育，知识的教育，智慧的教育。
我们现在的教育本质上是知识的教育，我 们理想的教育应当是智慧的教育。知识更多地 表现于结果，可以是经验的结果，也可以是思 维的结果；智慧更多的表现于过程，可以是游 戏的过程，也可以是学习的过程。知识的习得 主要靠理解和记忆，智慧的习得主要靠感悟和 积累。因此，智慧的教育要重视结果，更要重 视过程。
反之，听者焦虑不安，惋惜不已，时而抬腕看表， 时而交头接耳，等待着下课钟声响起，那么，这样的 课是不能列入好课之列的。
四边形讲义
一、基础归纳1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆．平行四边形的性质 ...⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩对边平行；边对边相等对角相等；角邻角互补对角线：对角线互相平分另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆．边 ⎧⎪⎨⎪⎩两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等角：两组对角分别相等对角线：对角线互相平分3．注意的问题：平行四边形的判定定理，有的是相应性质定理的逆定理． 学习时注意它们的联系和区别，对照记忆． 二、基本思想方法研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角形及平移、旋转和对称图形的问题来研究． 三、平行四边形知识的运用1．直接运用平行四边形的性质解决某些问题. 如求角的度数、线段的长度、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系等；2．判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；的四边形是 平行四边形3．先判定一个四边形是平行四边形，再利用其性质去解决某些问题． 【重点难点】重点：1、平行四边形、特殊平行四边形的特征。
2、平行四边形、特殊平行四边形的识别方法以及彼此之间的关系。
难点：发展学生进一步的推理和解决问题的能力。
【典例分析】例1．如图1，ABCD 中，∠A =125°，∠B = ．解析：由平行四边形的定义知，AD ∥BC ，得∠BAD ＋∠ABC = 180°． 已知∠A = 125°，故∠B = 180°－125°= 55°． 例2．已知：如图2，在ABCD 中，AB =4cm ，AD =7cm ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF = cm ．解析：由平行四边形的性质知，AD ∥BC ，得∠AEB =∠EBC ，又BF 是∠ABC 的平分线， 即∠ABE =∠EBC ，所以∠AEB =∠ABE ．则AB = AE = 4cm ．所以DE = AD －AE = 7－4 =3（cm ）．又由AB ∥CD ，则∠F =∠ABE ，所以∠F =∠AEB ． 因为∠AEB=∠FED ，所以∠F =∠FED ，故DF = DE = 3cm ．例3．已知：如图3，在平形四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ． 求证：DE =BF ．ADC BF E(图2)ＡＢ ＣＤ 125（图1）(图3) ＡＤＣＢＦＥ证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAE =∠BCF ，AD = BC ． 又∵AE =CF ，∴△A DE ≌△CBF ，∴DE =BF ．例4．已知：如图4，在△ABC 中，AB =AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，使ED = DF = EB ，连接FC ．求证：四边形AEFC 是平行四边形． 证明：利用定义判定，即证明对边分别平行． ∵AB = AC ，∴∠B =∠ACB ． ∵ED = EB ，∴∠B =∠BDE ． ∴∠BDE =∠ACB ，∴EF ∥AC ． 又∵E 是AB 的中点，∴DB = DC ．∵DF = EB ，∠BDE =∠CDF ，∴△BDE ≌△CDF ．∴∠BED =∠F ．∴AB ∥CF ．故四边形AEFC 是平行四边形．评注：本题还可以利用“一组对边平行且相等”、“两组对角分别相等”来证明，但较繁杂．有兴趣的同学，自己来证明．例5．如图5，BD 是ABCD 的对角线，点E ，F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形）．解析：本题是一道条件开放性问题．判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行AD BCE F (图5)(图4)B ACEFＤ四边形的定义及其判定定理；分析已有的条件可以发现，ABCD能创造多个不同角度的结论，因此，增加的条件也可从不同的角度来考虑．如BF = DE，∠BAE =∠DCF，∠BCE = ∠DAF等．教学过程知识点归纳矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
四边形复习讲义精讲
四边形复习讲义考试目标要求：1.探索并了解多边形的角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.知识考点梳理知识点一、多边形的有关概念和性质1.多边形的定义：在平面，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的角和定理：n边形的角和等于(n-2)•180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.知识点二、四边形的有关概念和性质1.四边形的定义：同一平面，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.2.四边形的性质：(1)定理：四边形的角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.知识点三、平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分；3.平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.面积公式：S=ah(a是平行四边形的一条边长，h是这条边上的高).知识点四、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质；(1)矩形的对边平行且相等；(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等.3.矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.4.面积公式：S=ab(a、b是矩形的边长).知识点五、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质；(1)菱形的对边平行，四条边都相等；(2)菱形的对角相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形的判定方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4.面积公式：S=ah(a是平行四边形的边长，h是这条边上的高)或s= mn(m、n是菱形的两条对角线长). 知识点六、正方形1.正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形.2.正方形的性质:正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质；(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；3.正方形的判定方法：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.4.面积公式：S=a2(a是边长)或s= b2(b正方形的对角线长).平行四边形和特殊的平行四边形之间的联系:知识点七、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.5. 等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S= (a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).知识点八、平面图形的镶嵌1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.四、规律方法指导1.数形结合思想多边形是反映了数的抽象性与形的直观性这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化，由数构形，由形思数的数形结合思想.尤其在平行四边形和矩形、菱形、正方形、梯形中，图形的特点非常鲜明，与我们现实生活的联系很大，利用它们的性质和判定能解决实际中的问题.2.分类讨论思想根据题目中的已知判断是哪种特殊的平行四边形，不同的特殊的平行四边形的性质和判定不同.结合各自的特点进行分类，得出最终的结论.3.化归与转化思想要记清和分清平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，要体会化归思想的应用，如：多边形转化为三角形；平行四边形、梯形及特殊的平行四边形性质的讨论通过对角线转化为全等三角形等.4.注意观察、分析、总结在判断边相等或角相等的问题上，常以平行四边形、梯形及特殊的平行四边形的性质或判定为依据，当条件结论的关系无法找到时，可以通过辅助线将图形适当变化，使条件集中，以便应用条件达到解题的目的，由繁变简，一般与特殊之间的转化.5.四边形知识点间的联系经典例题透析考点一、多边形及镶嵌1．若一个正多边形的角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______.考点：本题考查n边形的角和公式：(n-2)•180°和多边形的外角和是360°.解析：设正多边形边数为n，由题意得：(n-2)•180°=360°×3，解得n=8，∴这个多边形的边数是八边.2．下列正多边形中，能够铺满地面的是( )A、正五边形B、正六边形C、正七边形D、正八边形考点：镶嵌的条件：周角是这种正多边形的一个角的整倍数.思路点拔：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.答案：B3．一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是( )A.四边形B. 五边形C.六边形D.三角形思路点拔：n边形的对角线从一个顶点共引(n-3)条对角线.解析：根据题意列式为n-3=3，∴n=6.故选C.4. 一个同学在进行多边形角和计算时，求得的角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现少了一个角.少了的这个角是_________度，他求的是_________边形的角和.思路点拔：一个多边形的角和能被180°整除，本题角和1125°除以180°后有余数，则少的角应和这个余数互补.解析：设这个多边形边数为n，少算的角度数为x，由题意得：(n-2)•180°=1125°+ x°，∴n=∵n为整数，0°＜x＜180°，∴符合条件的x只有135°，解得n=9.应填135、九.总结升华：多边形根据角或外角求边数，或是根据边数求角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算.举一反三：【变式1】如果一个多边形的每一个角都相等，且每一个角的度数为135°，那么这个多边形的边数为( )A.6B.7C.8D.以上答案都不对思路点拔：在本题可利用外角去求边数，每个外角为45°，外角和是360°，有几个外角就有几条边.解析：∵多边形的每个角度数为135°，∴每个外角为45°又∵多边形外角和为360°，∴边数=360°÷45°=8，故选C.【变式2】多边形的角和随着边数的增加而______，边数增加一条时，它的角和增加_____度.解析：多边形每增加一边，角和就增加180°.答案：增加、180.考点二、平行四边形5. 平行四边形的周长为40，两邻边的比为2：3，则这一组邻边长分别为________.考点：平行四边形的边的性质.思路点拔：掌握平行四边形的对边相等.解析：∵□ABCD中，AB=CD，BC=AD，周长为40∴AB+BC=20，又∵AB：BC=2：3，令AB=2k，BC=3k，∴2k+3k=20，解得k=4，∴这一组邻边长分别为8和12.6. 已知O是□ABCD的对角线交点，AC=24，BD=38，AD=14，那么△OBC的周长等于_______.考点：平行四边形的对角线互相平分.解析：□ABCD中，OC= AC=12，OB= BD=19，BC=AD=14∴△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45.7. 如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是______________.考点：平行四边形的判定.思路点拔：本题可以利用平行四边形的判定中的一组对边平行且相等；也可以利用对角线互相平分来判定等.答案不唯一.条件一：增加的条件为∠AFE=∠CEF.证明：∵∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE，∠AFD=∠CEB∵□ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE∴△ADF≌△CBE，∴AF=CE∴四边形AECF是平行四边形.条件二：增加的条件为BE=DF.解法一：可利用SAS证明△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，得AE=CF，AF=CE∴四边形AECF是平行四边形.解法二：连结AC交BD于O□ABCD中，OA=OC，OB=OD∵BE=DF，∴OB-BE=OD-DF，得OE=OF∴四边形AECF是平行四边形.总结升华：借助平行四边形的性质进行线段或角相等的证明，或利用平行四边形的判定条件确定四边形的形状，是考查的重点.举一反三：【变式1】在平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，如右图，与△ABO面积相等的三角形有( )个.A、1B、2C、3D、4解析：两条对角线分成的四个小三角形面积都相等，等底等高.∴与△ABO面积相等的三角形有△AOD、△COD、△BOC.故选C【变式2】如图，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A.求证：四边形DECF是平行四边形.考点：本题要求会综合运用所学的知识证明结论：(1)三角形的中位线性质；(2)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；(3)两组对边分别平行的四边形是平行四形.证明：∵D、E分别是AC，AB的中点，∴CE是△ABC的中位线∴AE= AB，DE∥BC 即DE∥CF∵△ABC中∠ACB=90°，E是AB的中点，∴CE= AB∴CE=AE，∴∠A=∠ECD∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ECD，∴CE∥DF∴四边形DECF是平行四边形.考点三、矩形8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=8，则矩形对角线的长_________.考点：矩形的性质.思路点拔：掌握矩形的对角线相等,会用一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解析：在矩形ABCD中，AC=BD，OA= AC，OB= BD∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形∴OA=AB=8，∴AC=2OA=16，故应填16.9. 如右图，把一矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处且与AD相交于点O.写出一组相等的线段__________.(不包括和 ).思路点拔：理解折叠前后图形的变化，△BCD≌△BED，也可证出△AOB≌△EOD，找出对应量相等.解析：OD=OB或OE=OA、AB=ED、BE=AD等总结升华：矩形在平行四边形的基础上进一步特殊化，结合矩形的对角线平分且相等，会运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质.举一反三：【变式1】四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判定它是矩形的是( )A.AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°B.AO=CO，BO=DO，AC=BDC.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D.∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°思路点拔：本题应结合图形去解决，掌握矩形的判定方法.解析：A选项由AB=CD，AD=BC判定是□ABCD，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；B选项由AO=CO，BO=DO判定是□ABCD，再利用对角线相等的平行四边形是矩形；D选项由∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC判定是□ABCD，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；而C选项却不能判定,举反例如直角梯形.故选C.【变式2】矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为__________.考点：矩形的面积公式思路点拔：在没有图形的题中，画图时应考虑全面，本题体现了分类的思想，被分的两部分长度不确定解析：如图(1)若AE=3，ED=2，则矩形边长分别3和5，面积为15cm2如图(2)若AE=2，ED=3，则矩形边长分别2和5，面积为10cm2则这个矩形面积就为10cm2和15cm2.考点四、菱形10．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC、BD的长分别为5厘米、10厘米，则菱形ABCD的面积为_________厘米2.考点：菱形面积.思路点拔：菱形的对角线互相垂直，面积公式有两个：(1)底乘高；(2)对角线乘积的一半.解：菱形ABCD的面积= AC×BD= ×5×10=25cm2.11．能够判别一个四边形是菱形的条件是( )A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角考点：菱形的判定解析：A选项可判定为矩形；B选项不能判定是平行四边形，∴也不能判定是菱形；C 选项只能判定是平行四边形；D选项由等角对等边和三角形全等得到四条边都相等.故选D.总结升华：菱形在平行四边形的基础上进一步特殊化，菱形的对角线互相垂直，把菱形分成四个全等的直角三角形，常利用这一性质求线段和角，以及菱形的面积.举一反三：【变式1】已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两个邻角度数分别为 ( )A. 45°，135°B. 60°，120°C. 90°，90°D. 30°，150°思路点拔：菱形的一条对角线与边长相等，则构成等边三角形，从而求出菱形的角度数.答案：B【变式2】如图，已知AD平分∠BAC，DE∥AC， DF∥AB， AE=5.(1)判断四边形AEDF的形状?(2)它的周长是多少?考点：菱形的判定思路点拔：利用一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定方法证明.证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD∵DE∥AC， DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形，∠CAD=∠ADE∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE∴平行四边形AEDF是菱形.(2)∵平行四边形AEDF是菱形，AE=5∴菱形AEDF的周长=4AE=4×5=20.【变式3】如图，菱形ABCO的边长为2，∠AOC=45°，则点B的坐标为___________.思路点拔：利用数形结合的思想，可先求A点坐标，再向右平移2个单位.解析：过A作AD⊥OC于D，∵∠AOC=45°，OA=2，∴AD=OD= ，∴A( ， )∵AB=2，∴B(2+ ， ).考点五、正方形12．正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A.四个角都是直角B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等思路点拔：正方形是满足矩形和菱形的所有性质.∴正方形的对角线互相垂直，而矩形对角线则不一定互相垂直.答案：C.13．如图，以A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可以作( )A.1个B.2个C.3个D.4个思路点拔：本题考查学生解题能力，容易将AB是对角线的情况忽略，而错误的选B.解析：如图，共有3个.14．图中的矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，求这个矩形的长和宽各是多少？思路点拔：本题利用正方形的边长相等，及矩形的对边相等，设某个正方形的边长为x，并用x表示矩形的对这得出相应的方程，求出矩形的长和宽.解：设右下方正方形的边长为，则左下方正方形的边长为 +1，左上方正方形的边长为 +2，右上方正方形的边长为 +3，根据长方形的对边相等可列方程2 + +1= +2+ +3，解这个方程得 =4，∴长方形的长为13，宽为11.总结升华：正方形的性质很多，往往是在判定矩形或菱形的基础上再进一步判定正方形，∴做正方形的问题时，要考虑全面，有选择的运用正方形的知识解题.举一反三：【变式1】下列选项正确的是( )A.四边相等的四边形是正方形B.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.四角相等的四边形是正方形考点：正方形的判定方法.思路点拔：掌握正方形的判定方法要从边、角、对角线各方面考虑.解析：A、C选项能判定是菱形；D选项能判定是矩形；故应选B.【变式2】正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于__cm.思路点拔：本题方法很多，(1)可以利用三角形面积去求：连接PO，△ABO的面积等于△APO和△BPO的面积之和；(2)也可证明矩形PEOF，得PF=EO，再证PE=AE，从而得出结论.总之，P在AB上移动时，点P到AC、BD的距离之和总等于对角线长的一半.解析：PE+PF=OA=8cm【变式3】(1)顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形(2)顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形(3)顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形(4)顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形考点：中点四边形的判定由原四边形的对角线决定.思路点拔：规律：顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是平行四边形；顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是菱形；顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形；顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是正方形.答案：(1)A (2)C (3)B (4)D考点六、梯形15．等腰梯形中，， cm， cm，，则梯形的腰长是_________cm.考点：等腰梯形的性质.思路点拔：梯形常作的辅助线是作梯形的高，将梯形分成一个矩形和两个直角三角形；本题也可平移一腰，将梯形分成一个平行四边形和一个等边三角形.解析：过A作AE∥CD交BC于E∵AD∥EC，∴EC=AD=5，AE=CD，∴BE=BC-EC=9-5=4∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∴AB=AE∵∠C=60°，∴△ABE是等边三角形∴AB=BE=4cm，即梯形的腰长是4cm.16. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是( )(A)24 (B)20 (C)16 (D)12思路点拔：梯形常作的辅助线还有就是平移对角线，将梯形分成一个三角形以及一个平行四边形.解析：过D作DE∥AC交BC延长线于E，可得CE=AD，DE=AC，∴BE=10，∴△BDE的三边为6、8、10，∴△BDE为直角三角形，∵△ADB和△CED等底等高，∴梯形ABCD的面积等于△BDE的面积.即梯形ABCD的面积=6×8× =24.17．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O.•有下列四个结论：①AC=BD；②梯形ABCD是轴对称图形；③∠ADB=∠DAC；④△AOD≌△ABO.其中正确的是( ).(A)①③④ (B)①②④(C)①②③(D)②③④考点：本题考查的是等腰梯形的性质.答案：C总结升华：解决梯形问题时，辅助线是常用的方法，除上述辅助线之外，还可以延长两腰交于一点，构成三角形；若已知一腰中点，可连结一顶点和这个中点，构成两个全等的三角形.举一反三：【变式1】已知梯形的上底长为3 ，中位线长为6 ，则下底长为______ .考点：梯形的中位线性质.思路点拔：梯形的中位线平行两底，且等于上、下底和的一半.答案：9.【变式2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠ABC和∠BCD 互余，若AD=4，BC=10，则EF=_________.解析：过E作EM∥AB，EN∥CD，交BC于M、N，可求MN=BC-AD=10-4=6∵∠ABC和∠BCD互余，可得Rt△MEN，再证EF是Rt△MEP斜边上的中线，可求EF的长= MN= ×6=3.【变式3】已知等腰梯形ABCD，AD∥BC ，E为梯形一点，且 .求证： .思路点拔：利用梯形的性质可证明三角形全等.证明：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠CDA∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA∴∠BAD-∠EAD=∠CDA-∠EDA，即∠BAE=∠CDE∴△BAE≌△CDE，∴EB=EC.中考题萃1.(市)(4分)若一个多边形的角和等于720°，则这个多边形的边数是( )A.5B.6C.7D.82.(市)(3分)分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④都可以3.(省襄樊市)(3分)顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是( )A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形4.(市)(3分)如图，在平行四边形中，，为垂足，如果，那么的度数是( )A. B. C. D.5.()(3分)如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( )A. B.2 C. D.6.(永春县)(3分)四边形的外角和等于__________度.7.如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，则∠CAD的度数是__________°.8.(市)(3分)一幅图案.在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是__________.9.(省宿迁市)(3分)若一个正多边形的角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______.10.(市)(4分)若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则原四边形可能是__________.(写出两种即可)11.(市)(4分)如图，已知平分，，，则 ________.12.(市)(3分)如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是__________.13.(省市)(2分)如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CE BD于E，则__________.14.(省)(3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AB=6cm，则AE=__________cm.15.(市)(3分)如图，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是__________.16.()(3分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，AD=6，BC=8，则梯形的高为.17.(市)(3分)如图，四边形ABCD是一矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A 角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=______________度.18.(省市)(3分)如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为________.19.(省宿迁市)(3分)如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_________.20.()(6分)如图，在梯形中，AD∥BC，，，AE⊥BD于E， .求梯形的高.21.(省荆州市)(6分)如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF=DC.22.(市)(5分)如图，在梯形中，，，，，，求的长.23.(省市)(10分)某人定制了一批地砖，每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？答案与解析1.B2.C3.A4.D5.C6.3607.368.129.八边10.矩形、等腰梯形、正方形、对角线相等的四边形11.3 12.22.5度13.25° 14.6 15.1016.7 17.60 18. 19.520.解：∵AD∥BC，∴∠2=∠3又AB=AD，∴∠1=∠3.∠ABC=∠C=60°∴∠1=∠2=30°在Rt△ABE中，，，∴AB=2作AF⊥BC垂足为F，在Rt△ABF中，∴梯形的高为 .21.证明：∵AD=AE∴∠ADE=∠FED又AD∥BC∴∠ADE=∠DEC∴∠DEC=∠DEF又DF⊥AE，四边形ABCD是矩形∴∠DFE=∠C=90°又DE=DE∴△DEF≌△DEC(AAS)∴DF=DC.22.解法一：如图1，分别过点作于点，于点 ..又，四边形是矩形..在中，，.解法二：如图2，过点作，分别交于点 .，.23.解：(1) 四边形EFGH是正方形.图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG.∴△CEF是等腰直角三角形.因此四边形EFGH是正方形.(2) 设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为y，那么y= x ×30+ ×0.4×(0.4-x)×20+=10(x -0.2x+0.24)=10［(x-0.1)2+0.23］ (0＜x＜0.4).当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1.答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省.。
八年级数学下册(沪科版)《四边形》讲义
八年级数学下册(沪科版)《四边形》讲义八年级下册数学讲义第19章四边形知识脉络：1.四边形的内角和与外角和定理：1）四边形的内角和等于360°；2）四边形的外角和等于360°。
2.多边形的内角和与外角和定理：1）n边形的内角和等于(n-2)180°；2）任意多边形的外角和等于360°。
3.平行四边形的性质：1）两组对边分别平行；2）两组对边分别相等；3）两组对角分别相等；4）对角线互相平分；5）邻角互补。
4.平行四边形的判定：1）两组对边分别平行；2）两组对边分别相等；3）两组对角分别相等；4）一组对边平行且相等；5）对角线互相平分。
5.矩形的性质：1）具有平行四边形的所有通性；2）四个角都是直角；3）对角线相等。
6.矩形的判定：1）平行四边形加一个直角；2）三个角都是直角；3）对角线相等的平行四边形。
7.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有通性；2）四个边都相等；3）对角线垂直且平分对角。
8.菱形的判定：1）平行四边形加一组邻边等；2）四个边都相等；3）对角线垂直的平行四边形。
9.正方形的性质：1）具有平行四边形的所有通性；2）四个边都相等，四个角都是直角；3）对角线相等垂直且平分对角。
10.正方形的判定：1）平行四边形加一组邻边等加一个直角；2）菱形加一个直角；3）矩形加一组邻边等。
11.三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半。
基本概念：四边形是由四条线段组成的图形，四边形的内角是四个角的和，四边形的外角是四个角向外的角度，多边形是由多条线段组成的图形，平行线间的距离是两条平行线上任意一点到另一条线的距离，平行四边形是具有两组平行且相等的对边的四边形，矩形是具有对边平行且相等的四边形，菱形是具有对角线相等的平行四边形，正方形是具有对边平行且相等的正多边形，中心对称是指图形中存在一个中心点，将该点作为对称轴，将图形中的每个点通过对称轴对称得到的图形是中心对称图形，梯形是具有一组平行边的四边形，等腰梯形是具有两个对边相等的梯形，直角梯形是具有一个直角的梯形，三角形中位线是连接三角形一个角的中心点与对边中点的线段，梯形中位线是连接梯形两个非平行边中点的线段。
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四边形讲义 2015.07.20
知识梳理
1. 平行四边形的定义：
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）表示：平行四边形用符号“”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四
边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“
ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
2. 平行四边形的性质
（1）边：平行四边形的对边平行且相等．
（2）角：平行四边形的对角相等．
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．
3. 平行四边形的判定方法
（1）定义识别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）用平行四边形的判定定理识别：
判定定理①：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
判定定理②：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
判定定理③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
4. 三角形中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线．（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
典型例题
知识点一：平行四边形的性质的应用
例1.已知：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
例2. 已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD
＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及
ABCD的面积．
例3. 已知：如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、
F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行
四边形．
例4. 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．
求证：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
（2）△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′各边的中点．
例5. 已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，
求证：BE=DF．
例6. 已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，
且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行
四边形．
例7. 已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中
点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
1. 如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）
2. 如图2，在ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边
形的个数共有（）
A. 7 个
B. 8个
C. 9个
D. 11个
3. 下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A. AB∥CD ，AD=BC
B. AB=AD，CB=CD
C. AB=CD，AD=BC
D. ∠B=∠C，∠A=∠D
4. 如图3，在ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD
至E，连接EF，则∠E+∠F的值为（）
A. 110°
B. 30°
C. 50°
D. 70°
5. 如图4，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD
平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
6. 如图5，点D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点，则图中的
平行四边形一共有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题
1. 在平行四边形ABCD中，若∠A－∠B=70°
则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______，∠D=_________．
2. 在ABCD中，AC⊥BD，相交于O，AC=6，BD=8，
则AB=________，BC= _________．
3. 如图6，已知ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上
的高AE=2，则DC边上的高AF的长是________．
4. 如图7，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，
且DE=6cm，则BC=__________．
5. 用40cm长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边
的比是3：2，则长边是____cm，短边是_____cm.
6. 如图9，ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=_____度。
7. 如图10，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．
1. 如图11，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交
于点O，△AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与
BD的和。
2. 已知如图12，在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，
使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由。
3. 如图13，ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，
AC=26cm，求AD、BD的长．
4. 如图14，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：（1）△AFD≌△CEB．
（2）四边形ABCD是平行四边形．。