狂刷19 平面向量的数量积-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版(原卷版)
2019版文科数学大5.3 平面向量的数量积 含答案
§5。
3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1。
理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2。
了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现,属于中档题。
1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是［0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ,则数量|a｜3。
平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e）的夹角．则（1）e·a＝a·e＝|a|cos θ。
(2）a⊥b⇔a·b＝0。
(3)当a与b同向时,a·b＝|a｜|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a｜|b|.特别地，a·a＝|a｜2或｜a｜＝错误!.（4)cos θ＝错误!.(5）｜a·b｜≤｜a|｜b｜.4．平面向量数量积满足的运算律（1)a·b＝b·a；（2）（λa）·b＝λ（a·b)＝a·(λb）(λ为实数);(3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c。
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1）若a＝（x,y)，则｜a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.（2）设A（x1，y1)，B（x2，y2)，则A，B两点间的距离｜AB|＝|错误! |＝错误!。
(3）设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.（4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角,则cos θ＝错误!＝错误!。
高考数学一轮复习讲义平面向量数量积
变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方 向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北 方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)， 且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的 方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突 破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由 条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的 难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向 量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.
狂刷19 平面向量的数量积-小题狂刷高考数学(文)人教版(原卷版)
专题五 平面向量狂刷19 平面向量的数量积1．已知()1,3=-a ，(),4m m =-b ，()2,3m =c ，若∥a b ，则⋅=b c A ．7- B ．2- C ．5D ．82．已知4=a ，e 为单位向量，当,a e 的夹角为2π3时，a 在e 上的投影为 A ．2B ．2-C ．23D ．23-3．在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD =120°，则AD 在AB 方向上的投影为A ．23B ．-3C ．-2D ．24．已知向量()3,0=a ，()0,1=-b ，(3k =c ，若()2-⊥a b c ，则k =A ．2B ．2-C ．32D ．32-5．若非零向量,a b 满足(),20=+⋅=a b a b b ，则a 与b 的夹角为 A ．30°°B ．60°C ．120°D ．150°6．设向量,a b 满足2,3==+=a b a b ,则2+=a b A ．6B ．32C ．10D ．7．已知ABC △是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．22a - B ．232a -C ．243a -D ．2a -8．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2,λ=-=+a i j b i j ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 A ．222,,33⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．()1,22,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭9．已知单位向量,a b 的夹角为60，则2-=a b ____________.10．已知向量(=a ，()3,m =b ，且b 在a 上的投影为3，则a 与b 的夹角为______.11．设,a b 为向量，则“⋅=a b a b ”是“∥a b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知向量()2,1AB =，点()1,0C -，()4,5D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A ．2-B ．-CD ．13．若两个非零向量,a b 满足2+=-=a b a b a ，则向量+a b 与-a b 的夹角的余弦值是 A ．12B ．12-C D ．-14．已知向量,a b 满足0,m ⋅=+=a b a b a ，若+a b 与-a b 的夹角为2π3，则m 的值为A ．2BC ．1D ．1215．已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足--c a b ＝2，则｜c ｜的取值范围为A ．11⎡+⎣， B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡+⎣－ 16．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ==⋅=-点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为A ．2B 1C ．0D 117．已知点()1,0M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是 A ．2,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,9C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,33⎤⎥⎣⎦18．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ，若0⋅=b c ，则实数t 的值为______． 19．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若12AD BE ⋅=，则AB 的长为__________． 20．已知平面向量a 与b 的夹角为120︒，且2,4==a b ，若()m +⊥a b a ，则m =__________．21．（2017新课标全国Ⅱ文科）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b22．（2017北京文科）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件23．(2016新课标全国Ⅲ文科) 已知向量1(2BA =,31(),2BC = 则ABC ∠=A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°24．（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A1 B C．2D ．225．（2018天津文科）在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．026．（2018北京文科）设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.27．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________． 28．（2017天津文科）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________．学科网29．（2017浙江）已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．。
【2019年高考】真题和模拟题分项汇编数学(文)专题07 平面向量(解析版)
专题07 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.4．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】10-【解析】2826cos ,||||10⨯-+⨯⋅===-⋅a b a b a b ． 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．5．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BEy x=-， 直线AE的斜率为y =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x=1y =-， 所以1)E -.所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____..【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令(123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλ=+++++=≥00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||=b 且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a b A ．12 B ．32-C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()2212223122+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ， 所以()12,23λλλ-+a +b =， 又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ， 即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则||1+===a b ，因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+a b ||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||+=a b 不能推出“a 与b 夹角为2π3”因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则 A ．3y x = B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m =A ．1±B ．2±C ．2±D ．12±【答案】C【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴∆=-2m 2+8＞0，解得x <<，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±． 故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1A E A F ⋅=，则λ的值为 A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭， 且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD得：5BD ==，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF=A ．3144AB AD + B ．1344AB AD +C ．12AB AD + D ．3142AB AD + 【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________. 【答案】8. 【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程22450x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-， 令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.11。
高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册《平面向量的数量积与平面向量的综合应用》综合复习课件
1．平面向量数量积运算的常用公式
常
用
结
论
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，
反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，
反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
3 ，
AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，
﹣1
则 · ＝________.
➢ 求非零向量a，b的数量积的3种方法
方
法
总
结
方法
适用范围
定义法 已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的
基底法
一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一
些实际问题.
考向预测
1.平面向量数量积的运算
命题
2.平面向量数量积的性质
角度
3.平面向量数量积的应用
核心
素养
数学运算、直观想象
基础梳理
一、平面向量的数量积
1．数量积定义
|a||b|cos θ
• 已知两个非零向量a与b，我们把数量__________
叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·
垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解；
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其
他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用正弦、
余弦函数在定义域内的有界性求值域等．
2．平面向量在几何中的应用主要体现在：
狂刷20 平面向量的综合应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版(解析版)
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
4．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在该椭圆上，且 ，则点 到 轴的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设M（x，y），则 ①，
∵椭圆 的焦点分别是 ， ，
【答案】
【解析】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为 的边长为 ，三角形 是等腰直角三角形，
所以 ，设 .
因为 ，所以 .
因为 ，
所以.
由基本不等式，得 .
因为 ，
所以 ，
即 的范围为 .
19．（2017北京文科）设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
则 的最小值是 .
所以选B.
14．在等腰直角三角形ABC中，C=90°， ，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足 =1，则 的取值范围是
A． B．
C．[-2,2]D．
【答案】D
【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示：
则A（0，2），B（2，0），C（0，0），
由| |=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，
设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
则 =（cosθ，sinθ），
又 + =（2，2），
∴ •（ + ）=2cosθ+2sinθ=2 sin（θ+ ），
当θ+ = ，即θ= 时， •（ + ）取得最大值2 ，
狂刷23 等比数列-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版(解析版)
故选C.
13．已知 是首项和公比都为 等比数列,若 = ,且数列 是单调递增数列,则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 是首项和公比都为 等比数列，所以 = ，
所以 = = .
而数列 是单调递增数列，所以 ,
解得 .
故实数 的取值范围为 .选B．
14．若 是首项为正数的等比数列，公比为q，则“ ”是“对任意的正整数 ， ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
15．如果数列 是首项为1,公比为 的等比数列,则 等于
A．32B．64
C． D．
【答案】A
【解析】因为数列 是首项为1,公比为 的等比数列，所以 = ，
所以 = = = .选A．
16．已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且满足a3=a1+a2,{anan+1}是等比数列,则a10的值为____________.
∴a4= =1×（﹣ ）3=﹣ ．
故选A．
3．已知{ }是等比数列，数列{ }满足 ，且 ，则 的值为
A．1B．2
C．4D．16
【答案】C
【解析】因为 为等比数列，所以 ，
因为 ，所以 ，
可得 ，则 ，故选C．
4．已知 为等比数列， ， ，则
A．7B．
C．15D．
【答案】B
5．若数列 为等比数列，首项 ，前 项和 ，则公比为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设数列 的公比为 ，则 ， .
又 ， ，
，解得 .故选C．
6．已知数列 为等比数列，且 ，则
2019年高考数学真题分类汇编：专题(05)平面向量(文科)及答案
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A． ⊥ B．
C． ∥ D．
22．（2017北京文科）设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
23．(2016新课标全国Ⅲ文科)已知向量 , 则
A．30°B．45°
A． B．
C． D．
13．若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角的余弦值是
A． B．
C． D．
14．已知向量 满足 ，若 与 的夹角为 ，则m的值为
A．2B．
C．1D．
15．已知 与 为单位向量，且 ，向量 满足 ＝2，则｜ ｜的取值范围为
A． B．
C． D．
16．平行四边形 中， 点 在边 上，则 的最大值为
A． B．
C． D．
9．已知单位向量 的夹角为 ，则 ____________.
10．已知向量 ， ，且 在 上的投影为3，则 与 的夹角为______.
11．设 为向量，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．已知向量 ，点 ， ，则向量 在 方向上的投影为
27．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．
28．（2017天津文科）在 中， ， ， ．若 ，
，且 ，则 的值为________．学科网
29．（2017浙江）已知向量a，b满足 则 的最小值是________，最大值是___________．
C．60°D．120°
24．（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A． −1B． +1
C．2D．2−
25．（2018天津文科）在如图的平面图形中，已知 , 则 的值为
A． B．
C． D．0
26．（2018北京文科）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若 ，则m=_________.
专题五平面向量
狂刷19平面向量的数量积
1．已知 ， ， ，若 ，则
A． B．
C．5D．8
2．已知 ， 为单位向量，当 的夹角为 时， 在 上的投影为
A． B．
C． D．
3．在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则 在 方向上的投影为
A． B．-
C．-பைடு நூலகம்D．2
4．已知向量 ， ， ，若 ，则
A．2B．
C．0D．
17．已知点 ， 是椭圆 上的动点，且 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
18．已知两个单位向量 ， 的夹角为60°， ，若 ，则实数 的值为______．
19．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若 ，则AB的长为__________．
20．已知平面向量 与 的夹角为 ，且 ，若 ，则 __________．
A．2B．
C． D．
5．若非零向量 满足 ，则 与 的夹角为
A．30°°B．60°
C．120°D．150°
6．设向量 满足 ,则
A．6B．
C．10D．
7．已知 是边长为 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 的最小值是
A． B．
C． D．
8．已知 与 为互相垂直的单位向量， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是