2013-2014北京九年级第一学期期末数学模拟练习
2013-2014学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷
2013-2014 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4 分，共32 分）1．（4 分）﹣5 的倒数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣2．（4分）如果，那么下列等式成立的是（）A．B．C．5x=4y D．3．（4 分）2012 年“十一”黄金周期间，我区共接待游客482 600 人次．把482 600 用科学记数法表示为（）A．4.826×105 B．4.826×104 C．4.826×103 D．4.826×102 4．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，若∠BAC=40°，则∠D 等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．（4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若tanA=，则sinA 等于（）A．B．C．D．6．（4 分）如图，▱ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E 是AD 的中点，连接OE，如果AB=8，那么OE 为（）A．6 B．4 C．3 D．27．（4 分）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点（1，y1），（﹣2，y2），则y1﹣y2 的值是（）A．负数B．非正数C．正数D．不能确定8．（4 分）如图，A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4 分，共16 分）9．（4 分）如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E，∠BCD=15°，⊙O 的半径为10，则AB=．10．（4 分）将抛物线y=2x2 先沿x 轴方向向左平移2 个单位，再沿y 轴方向向下平移3 个单位，所得抛物线的解析式是．11．（4 分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 米的点 E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 米，观察者目高CD=1.6 米，则树（AB）的高度为米．12．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把由两条射线AE、BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE ∥BF，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上，当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是．三、解答题13．（5 分）计算：tan45°﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+（）﹣2．14．（5 分）已知x+y=时，求代数式x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）+x2 的值．15．（5 分）如图，在△ABC 中，∠A=60°，AC=6，AB=8．求tanB 的值．16．（5 分）如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接BE 交对角线AC 于F．（1）求证：△ABF∽△CEF；（2）若AC=9，求AF 的长．17．（5 分）已知：如图，BC 是⊙O 的切线，C 是切点，AC 是⊙O 的弦，AO 的延长线交BC 于点B，设⊙O 的半径为，∠ACB=120°．求AB 的长．18．（5 分）已知一次函数与反比例函数y=﹣的图象交于点P（﹣3，m），Q（2，﹣3）．求一次函数的解析式．四、解答题（本题共10 分，每小题5 分）19．（5 分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，F 是AD 上一点，CF ⊥EF 于点F 交AB 于点E，．求AE 的长．20．（5 分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B 分别分成4 等份、3 等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．五、解答题（本题共17 分，其中第21 题5 分，22 题5 分，23 题7 分）21．（5 分）已知：如图，点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x 对称，且都在反比例函数y=的图象上．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且S△AOP=6，直接写出点P 的坐标．22．（5 分）如图1，数学课上，老师要求小明同学作△A′B′C′∽△ABC，且小明的作法是：（1）作B′C′=；（2）过点B′作B′D∥AB，过点C′作C′E∥AC，它们相交于点A′；图2△A′B′C′就是满足条件的三角形（如图1）．解答下列问题：①若△ABC 的周长为10，根据小明的作法，△A′B′C′的周长为；②已知四边形ABCD，请你在图2 的右侧作一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，且满足（不写画法，保留作图痕迹）．﹣23．（7 分）如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA= ，求△ACF 的面积．六、解答题（本题7 分）24．（7 分）已知关于x 的方程x2﹣（m﹣3）+m﹣4=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 是整数，方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，求反比例函数y=的解析式．七、解答题（本题8 分）25．（8 分）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C 在x 轴的正半轴上，关于y 轴对称的抛物线y=ax2+bx+c 经过点A，D（3，﹣2）．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式并判断点C 是否在抛物线上；（3）设点P 在（2）中的抛物线上，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，求点P 的坐标．2013-2014 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4 分，共32 分）1．（4 分）﹣5 的倒数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣【分析】根据倒数的定义可直接解答．【解答】解：﹣5 的倒数是﹣．故选：D．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1 的两数互为倒数．2．（4分）如果，那么下列等式成立的是（）A．B．C．5x=4y D．【分析】根据两內项之积等于两外项之积分别进行计算即可得解．【解答】解：∵=，∴5x=4y，A、∵=，∴4x=5y，故本选项错误；B、∵=，∴5（x+y）=4y，整理得，5x=﹣y，故本选项错误；C、5x=4y 正确，故本选项正确；D、∵=，∴5（x+y）=9x，整理得，5y=4x，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两內项之积等于两外项之积．3．（4 分）2012 年“十一”黄金周期间，我区共接待游客482 600 人次．把482 600 用科学记数法表示为（）A．4.826×105 B．4.826×104 C．4.826×103 D．4.826×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【解答】解：482 600=4.826×105，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，若∠BAC=40°，则∠D 等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°【分析】由“直径所对的圆周角是直角”推知∠ACB=90°，则易求∠D=∠ B=90°﹣40°=50°．【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．又∵∠BAC=40°，∠D=∠B，∴∠D=∠B=90°﹣∠BAC=50°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等．5．（4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若tanA=，则sinA 等于（）A．B．C．D．【分析】利用tanA=，进而表示出AC，BC，AB 的长，再利用锐角三角函数关系得出即可．【解答】解：如图所示：∵tanA= ，∴设BC=3x，则AC=4x，∴AB=5x，∴sinA= ==．故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．6．（4 分）如图，▱ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E 是AD 的中点，连接OE，如果AB=8，那么OE 为（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】根据平行四边形性质得出OD=OB，根据三角形的中位线性质得出OE= AB，代入求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DO=OB，∵E 是AD 的中点，∴OE= AB，∵AB=8，∴OE=4．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理的应用，关键是求出OE=AB．7．（4 分）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点（1，y1），（﹣2，y2），则y1﹣y2 的值是（）A．负数B．非正数C．正数D．不能确定【分析】求出y1，y2 的值，求出其差是，根据k＜0 即可得出答案．【解答】解：点（1，y1），（﹣2，y2）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，∴代入得：y1=k，y2=﹣，∴y1﹣y2=k+ =，∵k＜0，∴y1﹣y2 的值是负数，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的计算能力．8．（4 分）如图，A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知得出S 与x 之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，即可得出图象．【解答】解：∵A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，∴tan60°= = ，解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，∴S△ABP= ×PA×AB= （2﹣x）••（﹣x+2）= x2﹣2 x+2 ，故此函数为二次函数，∵a=＞0，∴当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，根据图象得出只有D 符合要求．故选：D．【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S 与x 之间的函数解析式是解题关键．二、填空题（每题4 分，共16 分）9．（4 分）如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E，∠BCD=15°，⊙O 的半径为10，则AB= 10 ．【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOD 的度数，再根据垂径定理得出∠ AOD 的度数，由等边三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵∠BCD 与∠BOD 是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠BOD=2∠BCD=2×15°=30°，∵点E 是弦AB 的中点，∴AB⊥CD，=，∴AB=2AE，∠AOD=∠BOD=30°，∴∠AOB=60°，∵AO=BO，∴△AOB 是等边三角形，∵⊙O 的半径为10，∴OA=AB=BO=10．故答案为：10．【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理、等边三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．10．（4 分）将抛物线y=2x2 先沿x 轴方向向左平移2 个单位，再沿y 轴方向向下平移3 个单位，所得抛物线的解析式是y=2x2+8x+5 ．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移2 个单位，将抛物线y=2x2 先变为y=2（x+2）2，再沿y 轴方向向下平移3 个单位抛物线y=2（x+2）2，即变为：y=2（x+2）2﹣3．故所得抛物线的解析式是：y=2x2+8x+5．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．11．（4 分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 米的点 E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 米，观察者目高CD=1.6 米，则树（AB）的高度为 5.6 米．【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，则△ABE∽△CDE，则，即，解得：AB=5.6 米．故答案为：5.6．【点评】应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．12．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把由两条射线AE、BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE ∥BF，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上，当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是b= ．【分析】利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB 为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离，可利用数形结合的方法得到当直线与图形C 有一个交点时自变量x 的取值范围．【解答】解：如图，分别连接AD、DB，则点D 在直线AE 上，∵点D 在以AB 为直径的半圆上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，在Rt△DOB 中，由勾股定理得，BD=，∵AE∥BF，∴两条射线AE、BF 所在直线的距离为，则当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是b= 或﹣1≤b＜1．故答案为：b= 或﹣1＜b＜1．【点评】本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了数形结合思想．三、解答题13．（5 分）计算：tan45°﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+（）﹣2．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=1﹣2×+1+4，再计算乘法，然后进行加减运算．【解答】解：原式=1﹣2×+1+4=1﹣1+1+4=5．【点评】本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．14．（5 分）已知x+y=时，求代数式x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）+x2 的值．【分析】分别进行单项式乘多项式，平方差公式等运算，再合并同类项然后代入求值即可．【解答】解：原式=x2+2xy﹣（x2﹣y2）+x2=x2+2xy﹣x2+y2+x2=x2+2xy+y2=（x+y）2．∵x+y= +1，∴原式=（）2=3+2．【点评】本题主要考查单项式乘多项式和平方差的运算，巧妙运用化简结果与已知条件的形式相同是解题的关键．15．（5 分）如图，在△ABC 中，∠A=60°，AC=6，AB=8．求tanB 的值．【分析】过点C 作CD⊥AB 于点D．在Rt△ADC 中，根据三角函数求出AD、CD 的长，从而得到BD 的长，再在Rt△BDC 中，根据三角函数求出tanB 的值．【解答】解：过点C 作CD⊥AB 于点D．在Rt△ADC 中，∵∠A=60°，AC=6，∴AD=AC•cos60°=6×=3，CD=AC•sin60°=6×=3 ，∵AB=8，∴BD=5，∴tanB= = ．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是过 C 点作CD⊥AB 于D 点，构成直角三角形．16．（5 分）如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接BE 交对角线AC 于F．（1）求证：△ABF∽△CEF；（2）若AC=9，求AF 的长．【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得：△ABF ∽△CEF；（2）由平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，易得CE：AB=1：2，又由相似三角形的对应边成比例，即可得CF：AF=1：2，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC．…..（1 分）∴△ABF∽△CEF．…（2 分）（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC．∵E 是DC 的中点，∴EC= DC，∴EC= AB，…（3 分）∵△ABF∽△CEF，∴．…..（4 分）设AF=x，则CF=9﹣x．∴=，解得：x=6．即AF=6．…..（5 分）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．17．（5 分）已知：如图，BC 是⊙O 的切线，C 是切点，AC 是⊙O 的弦，AO 的延长线交BC 于点B，设⊙O 的半径为，∠ACB=120°．求AB 的长．【分析】如图，连接OC 构建直角△OCB，利用该直角三角形的性质求得∠B=30°；然后在直角△OCB 中利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得OB 的长度；最后利用线段间的和差关系求得AB 的长度．【解答】解：连接OC．∵BC 是⊙O 的切线，∴OC⊥BC．∴∠BCO=90°．∵∠ACB=120°，∴∠ACO=30°∵OA=OC∴∠A=∠ACO=30°∴∠B=30°在Rt△OCB 中，∵OC=OA= ，∠B=30°，∴OB=2OC=2∴AB=OA+OB=3 ．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及含30 度角的直角三角形．求得直角△BCO 的内角∠B 的度数是解题的关键．18．（5 分）已知一次函数与反比例函数y=﹣的图象交于点P（﹣3，m），Q（2，﹣3）．求一次函数的解析式．【分析】求出P 的坐标，设一次函数的关系式为y=kx+b，把Q 和P 的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：∵把P（﹣3，m）代入反比例函数y=﹣得：m=2，∴点P 的坐标为（﹣3，2），设一次函数的关系式为y=kx+b，∴把Q 和P 的坐标代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1．故所求一次函数的关系式为y=﹣x﹣1．【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，关键是能得出关于k b 的方程组．四、解答题（本题共10 分，每小题5 分）19．（5 分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，F 是AD 上一点，CF ⊥EF 于点F 交AB 于点E，．求AE 的长．【分析】由在矩形ABCD 中，CF⊥EF，易证得△AEF∽△DFC；又由．根据相似三角形的对应边成比例，易得∠DFC=30°，由三角函数的性质，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，DC=AB=4，∵CF⊥AE，∴∠EFC=90°．∴∠AFE+∠DFC=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC．∴，∵=，DC=4，∴∠DFC=30°，∴FD= ==4 ，∴AF=10﹣4 ，∴AE= =10 ﹣12．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．20．（5 分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B 分别分成4 等份、3 等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．【解答】解：方法一画树状图（5 分）由上图可知，所有等可能的结果共有12 种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6 种．∴P（和为奇数）=0.5（7 分）方法二列表如下：1 2 3 45 1+5=6 2+5=7 3+5=8 4+5=96 1+6=7 2+6=8 3+6=9 4+6=107 1+7=8 2+7=9 3+7=10 4+7=11由上表可知，所有等可能的结果共有12 种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6 种．∴P（和为奇数）=0.5（7 分）；（2）∵P（和为奇数）=0.5，∴P（和为偶数）=0.5（9 分），∴这个游戏规则对双方是公平的．（10 分）【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五、解答题（本题共17 分，其中第21 题5 分，22 题5 分，23 题7 分）21．（5 分）已知：如图，点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x 对称，且都在反比例函数y=的图象上．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且S△AOP=6，直接写出点P 的坐标．【分析】（1）直接根据关于直线y=x 对称的点的坐标特点求出mn 的值，再把A 点坐标代入反比例函数y=求出k 的值即可；（2）设P（x，0），再根据三角形的面积公式求出x 的值即可．【解答】解：（1）∵点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x 对称，∴m=2，n=3，∴A（2，3），B（3，2），∴3= ，解得k=6．∴反比例函数的解析式为y=，（2）设P（x，0），∵A（2，3），∴|x|•3=6，解得x=4 或﹣4．∴点P 的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．22．（5 分）如图1，数学课上，老师要求小明同学作△A′B′C′∽△ABC，且小明的作法是：（1）作B′C′=；（2）过点B′作B′D∥AB，过点C′作C′E∥AC，它们相交于点A′；图2△A′B′C′就是满足条件的三角形（如图1）．解答下列问题：①若△ABC 的周长为10，根据小明的作法，△A′B′C′的周长为 5 ；②已知四边形ABCD，请你在图2 的右侧作一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，且满足（不写画法，保留作图痕迹）．﹣【分析】（1）根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可得解；（2）①作B′C′=BC，再过点B′作B′E∥AB 截取A′B′=AB，过点C′作C′F∥CD，截取C′D′=CD，然后连接A′D′即可．【解答】解：（1）∵B′C′=BC，∴△A′B′C′和△ABC 的相似比为，∵△ABC 的周长为10，∴△A′B′C′的周长=10×=5；（2）四边形A′B′C′D′如图所示．【点评】本题考查了利用相似变换作图，相似三角形的周长的比等于相似比的性质，读懂题目信息，理解相似图形的画法是解题的关键．23．（7 分）如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA= ，求△ACF 的面积．【分析】（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断△DOB 是直角三角形，则∠OBD=90°，BD 是⊙O 的切线；（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】（1）证明：连接BO，方法一：∵AB=AD∴∠D=∠ABD∵AB=AO∴∠ABO=∠AOB又在△OBD 中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∴BD 是⊙O 的切线；方法二：∵AB=AO，BO=AO∴AB=AO=BO∴△ABO 为等边三角形∴∠BAO=∠ABO=60°∵AB=AD∴∠D=∠ABD又∠D+∠ABD=∠BAO=60°∴∠ABD=30°∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO∴BD 是⊙O 的切线；方法三：∵AB=AD=AO∴点O、B、D 在以OD 为直径的⊙A 上∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF∴△ACF∽△BEF∵AC 是⊙O 的直径∴∠ABC=90°在Rt△BFA 中，cos∠BFA=∴ 又∵S△BEF=8∴S△ACF=18．【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．六、解答题（本题7 分）24．（7 分）已知关于x 的方程x2﹣（m﹣3）+m﹣4=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 是整数，方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，求反比例函数y= 的解析式．【分析】（1）先计算△得到△=（m﹣3）2﹣4（m﹣4）=m2﹣10m+25，配方得到（m﹣5）2，根据负非数的性质有（m﹣5）2，≥0，即△≥0，根据根的判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用求根公式可解得x1=1，x2=m﹣4，由方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，得到﹣7＜m﹣4＜﹣3，解得﹣3＜m＜1，而m≠0，则满足条件的整数为m=﹣2，即可确定反比例函数的解析式．【解答】（1）证明：△=（m﹣3）2﹣4（m﹣4）=m2﹣10m+25=（m﹣5）2，∵（m﹣5）2≥0，∴△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：x= ，∴x1=1，x2=m﹣4，∵方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，∴﹣7＜m﹣4＜﹣3，解得﹣3＜m＜1∵m 是整数，∴m 的值为0，﹣2，﹣1，∵m≠0，∴m=﹣2 或﹣1，∴反比例函数的解析式为：y=﹣或y=﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．七、解答题（本题8 分）25．（8 分）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C 在x 轴的正半轴上，关于y 轴对称的抛物线y=ax2+bx+c 经过点A，D（3，﹣2）．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式并判断点C 是否在抛物线上；（3）设点P 在（2）中的抛物线上，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，求点P 的坐标．【分析】（1）先根据A、B 两点的坐标求出AB 的长，再根据勾股定理得出OC 的长，故可得出C 点坐标，利用待定系数法求出直线BC 的解析式即可；（2）由于抛物线y=ax2+bx+c 关于y 轴对称，所以b=0．再由抛物线y=ax2+bx+c 经过A（0，1），D（3，﹣2），两点可得出抛物线的解析式，把C 点横坐标代入即可检验出C 点是否在抛物线上；（3）先根据锐角三角函数的定义求出∠ACO 及∠BCO 的度数，故可得出CA 是∠BCO 的角平分线，即直线BC 与x 轴关于直线AC 对称．因为点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线y=﹣x2+1 的交点，设出点P 的坐标代入抛物线的解析式即可得出结论．【解答】解：（1）∵A（0，1），B（0，3），∴AB=2，∵△ABC 是等腰三角形，且点C 在x 轴的正半轴上，∴AC=AB=2，∴OC= =．∴C（，0），设直线BC 的解析式为y=kx+3，∴k+3=0，∴k=﹣．∴直线BC 的解析式为y=﹣x+3；（2）∵抛物线y=ax2+bx+c 关于y 轴对称，∴b=0．又∵抛物线y=ax2+bx+c 经过A（0，1），D（3，﹣2），两点．∴解得∴抛物线的解析式是y=﹣x2+1．∵C（，0），∴当x=时，y=0，∴点C 在抛物线上；（3）在Rt△AOC 中，∵OA=1，AC=2，∴∠ACO=30°．在Rt△BOC 中，∵OB=3，OC= ，∴∠BCO=60°．∴CA 是∠BCO 的角平分线．∴直线BC 与x 轴关于直线AC 对称．点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线y=﹣x2+1 的交点．Q 点P 在直线BC：y=﹣x+3 上，故设点P 的坐标是（x，﹣x+3）．又∵点P（x，﹣x+3）在抛物线y=﹣x2+1 上，∴﹣+3=﹣x2+1．解得x1= ，x2=2 ．故所求的点P 的坐标是P1（，0），P2（2，﹣3）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．。
北京市石景山2013-2014学年九年级上学期期末考试数学试卷(纯word解析版)(新人教版)
2014届北京市石景山九年级上学期期末考试数学试卷（带解析）1、已知⊙O 的半径为6，点A在⊙O内部，则（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】试题分析：点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．所以OA＜6,故选A.考点: 点与圆的位置关系．2、已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC=5，则cosA的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】试题分析：首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．则cosA=．故选C．考点: 1.锐角三角函数的定义；2.勾股定理．3、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连结AD、BC．若∠BCD=70°，则∠BAD的度数为（）A．40° B．50° C．60°D．70°【答案】D.【解析】试题分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD 的度数．∵∠BAD与∠BCD是对的圆周角，∴∠BCD=∠BAD=70°．故选D．考点: 圆周角定理．4、若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＜0【答案】A.【解析】试题分析：先根据函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解答：解：∵函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴1-m＜0，解得m＞1．故选A．考点: 反比例函数的性质．5、从1～12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4的倍数的概率是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】试题分析：∵从1～12这十二个自然数中任取一个，共有12种等可能的结果，取到的数恰好是4的倍数的有3种情况，∴取到的数恰好是4的倍数的概率是：．故选B.考点：概率公式.6、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB=60°，PC=6，则AC的长为（）A．4 B．C．D．【答案】D.【解析】试题分析：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=60°，∴OA⊥AP，∠APO=∠APB=30°．∴OP=2OA，∠AOP=60°，∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，易证△AOD是等边三角形，则AD=OA=2，又∵CD是直径，∴∠CAD=90°，∴∠ACD=30°，∴AC=AD?cot30°=2故选C．考点: 切线的性质.7、如图，抛物线和直线. 当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0<x<2 B．x<0或x＞2 C．x<0或x＞4 D．0<x<4【答案】A.【解析】试题分析：联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．联立，解得，，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＞y2时x的取值范围是0＜x＜2．故选A．考点: 二次函数与方程组.8、如图，在等边△中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点E.设，，那么与之间的函数图象大致是（）【答案】B.【解析】试题分析：根据等边三角形的性质得BD=2，PC=4-x，∠B=∠C=60°，由于∠MPN=60°，易得∠DPB=∠PEC，根据三角形相似的判定方法得到△BPD∽△CEP，利用相似比即可得到y=x（4-x），配方得到y=-（x-2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．∵等边△ABC中，AB=4，BP=x，∴BD=2，PC=4-x，∠B=∠C=60°，∵∠MPN=60°，∴∠DPB+∠EPC=120°，∵∠EPC+∠PEC=120°，∴∠DPB=∠PEC，∴△BPD∽△CEP，∴，即，∴y=x（4-x）=-（x-2）2+2，（0≤x≤4）．故选B．考点: 动点问题的函数图象．9、已知线段、满足，则.【答案】．【解析】试题分析：根据比例的性质进行答题．试题解析：∵线段a、b满足2a=3b，则．故答案是：．考点: 比例的性质．10、若,,则.【答案】.【解析】试题分析：在Rt△AB C中，设∠C=90°，∠A=，则，设BC=k，则AC=2k，由勾股定理知：，因此考点: 解直角三角形.11、抛物线向上平移5个单位后的解析式为.【答案】y=-2x2+3x+5．【解析】试题分析：只要求得新抛物线的顶点坐标，就可以求得新抛物线的解析式了．试题解析：将y=-2x2+3x配方为y=-2（x-）2+，故原抛物线的顶点为（，），向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（，），可设新抛物线的解析式为：y=2（x-h）2+k，代入得：y=-2x2+3x+5．考点: 二次函数解析式．12、长方体底面周长为50cm，高为10cm．则长方体体积y关于底面的一条边长x的函数解析式是 .其中x 的取值范围是 . 【答案】y=-10x 2+250x ，0＜x ＜25. 【解析】试题分析：根据长方体的面积等于底面积乘以高这一计算方法列出函数关系式即可．试题解析：∵长方体底面周长为50cm ，底面的一条边长x （cm ）， ∴底面的另一条边长为：（25-x ）cm ，根据题意得出： y=x （25-x ）×10=-10x 2+250x （0＜x ＜25）． 故答案为：y=-10x 2+250x ，0＜x ＜25． 考点:根据实际问题列二次函数关系式．13、如图，在Rt△ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=1，BC=3，将△ABC 绕着点A 按逆时针方向旋转30°，使得点B 与点B′重合，点C 与点C′重合，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】 【解析】试题分析：先根据勾股定理得到AB=，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABB′，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S 阴影部分=S △AC′B′+S 扇形ABB′﹣S △ABC =S 扇形ABB′，求出即可．解：如图，∵∠ACB=90°，AC=1，BC=3， ∴AB==，∴S 扇形ABB′==，又∴Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S 阴影部分=S △AC′B′+S 扇形ABB′﹣S △ABC =S 扇形ABB′=考点：旋转的性质；扇形面积的计算14、如图所示：下列正多边形都满足，在正三角形中，我们可推得：；在正方形中，可推得：；在正五边形中，可推得：，依此类推在正八边形中，，在正边形中，.【答案】135°．【解析】试题分析：根据图中所提示的内容，结合图形，找出规律，找到每种图形中∠EPA与其内角的关系．试题解析：在已知几个图中，都有△BEC≌△AFC，都有∠BPF=∠C，所以∠BPF都是等于这个多边形内角的度数；已知八边形内角为135°，所以在正八边形中，∠EPA=135°．考点: 正多边形和圆.15、计算：．【答案】.【解析】试题分析：根据二次根式、特殊角的三角函数值、非零数的零次幂的意义进行计算即可得出答案.试题解析：考点:实数的混合运算．16、已知：二次函数的图象开口向上，并且经过原点. （1）求的值；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标.【答案】（1）1；（2）（，-）．【解析】试题分析：（1）根据二次函数图象开口向上判断出a＞0，再把原点坐标代入函数解析式求解即可；（2）根据配方法的操作整理成顶点式解析式，然后写出顶点坐标即可．试题解析:（1）∵图象开口向上，∴a＞0，∵函数图象经过原点O（0，0），∴a2-1=0，解得a1=1，a2=-1（舍去），∴a=1；（2）y=x2-3x=x2-3x+=（x-）2-，故抛物线顶点坐标为（，-）．考点: 1.二次函数的性质；2.二次函数的三种形式．17、如图,在△ABC中，BD⊥AC于点D，,,并且.求的长.【答案】.【解析】试题分析：在Rt△ABD中，tan∠ABD=,即可求出∠ABD=30°，从而判断△ABC为直角三角形，且∠C=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC的长.试题解析：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=，BD=∴tan∠ABD=,∴∠ABD=30°，∠A=60°∵∠ABD=∠CBD∴∠CBD=60°，∠ABC=90°在Rt△ABD中，考点: 解直角三角形．18、已知：一次函数y=2x+1与y轴交于点C,点A(1,n)是该函数与反比例函数在第一象限内的交点．（1）求点的坐标及的值；（2）试在轴上确定一点，使，求出点的坐标．【答案】（1）（1，3），3；（2）（2，0）或（-2，0）.【解析】试题分析：（1）将A点坐标代入一次函数解析式求出n的值，再把A点坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式．（2）过A点作AD⊥y轴，根据已知条件即可判断出△COB≌△ADC,因此OB=DC=2，从而确定点B的坐标.试题解析：（1）点A（1，n）在y=2x+1的图象上，∴n=3，A(1，3)点A（1，3）在的图象上，∴k=3（2）如图，作AD⊥y轴，垂足为D∵OC=AD=1，BC=AC且∠COB=∠ADC=90°∴△COB≌△ADC∴OB=DC=2∴B点坐标为（2，0）或（-2，0）考点: 反比例函数．19、已知：如图，⊙的直径与弦(不是直径)交于点，若=2，，求的长．【答案】.【解析】试题分析：连结OD，设⊙O的半径为R，根据AB是⊙O的直径，且CF=DF，在Rt△OFD中，根据勾股定理可得出AF的长，在Rt△ACF中，根据勾股定理可求出AC的长．试题解析：如图，连结OD，设⊙O的半径为R，∵AB是⊙O的直径，且CF=DF，∴AB⊥CD，∵OB=R BF=2，则OF=R-2，在Rt△OFD中，由勾股定理得：R2=（R-2）2+42，解得：R=5∴AF=8．在Rt△ACF中由勾股定理得：AC=．考点:1.垂径定理；2.勾股定理．20、如图，某机器人在点A待命，得到指令后从A点出发，沿着北偏东30°的方向，行了4个单位到达B点，此时观察到原点O在它的西北方向上，求A点的坐标（结果保留根号）．【答案】（0，-2-2）．【解析】试题分析：首先过点B做BD⊥y轴于点D，得出BD，AD的长，进而得出OA的长，即可得出A点坐标．试题解析：过点B做BD⊥y轴于点D．在Rt△ADB中，∠BAD=30°，AB=4，∴BD=ABsin∠BAO=2，AD=ABcos∠BAO=2，又∵∠BDO=90°，∴∠DBO=45°，∴OD=BD=2，∴OA=OD+AD=2+2∴A（0，-2-2）．考点: 解直角三角形的应用-方向角问题．21、已知：在中，，于，,若，，求的值及CD的长.【答案】3，．【解析】试题分析：根据“同角的余角相等”得到，∠ABC=∠ACD，然求同角的余弦三角函数得到．令BC=4k，AB=5k，则AC=3k．由BE：AB=3：5，知BE=3k．所以在中，tan∠AEC＝，则易求CD＝．试题解析：在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠ABC+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴cos∠ABC=cos∠ACD=在Rt△ABC中，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k由BE：AB=3：5，知BE=3k则CE=k，且CE=，则k=，AC=3．∴Rt△ACE中，tan∠AEC=，∵Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=．考点: 解直角三角形.22、如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精确到，）.【答案】（1）点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）；(2).【解析】试题分析：以抛物线的顶点O为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y=ax2（a≠0），利用已知数据求出a的值，再利用等边三角形的性质计算即可．试题解析：以抛物线的顶点O为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直角坐标系．则D（3，-6）设抛物线解析式为y=ax2（a≠0），∵D（3，-6）在抛物线上代入得：a=?，∴y=?x2，∵△ABO是等边三角形，∴OH=BH，设B(x，?x)，∴?x=?x2，∴x1=0（舍），x2=，∴BH=，AB=3≈5.2(dm)，答：等边三角形的边长为5.2dm考点: 二次函数的应用.23、已知：如图，是⊙的直径，是⊙外一点，过点作的垂线，交的延长线于点,的延长线与⊙交于点，．（1）求证：是⊙的切线；（2）若，⊙的半径为，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）连接OC，若要证明DC是⊙O的切线，则可转化为证明∠DCO=90°即可；（2）设AD=k，则AE=，ED=2k，利用勾股定理计算即可．试题解析：（1）证明：连结OC，∵DE=DC，∴∠4=∠E，∵OA=OC，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠4+∠1=∠E+∠3=90°，∴DC是⊙O的切线；（2）∵∠4=∠E，∴，设AD=k，则AE=k，ED=2k，∴DC=2k，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2=DC2+OC2，∴(+k)2=(2k)2+2，∴k=0(舍)，k=，∴AE=k=考点: 1.切线的判定；2.解直角三角形；3.勾股定理．24、如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点. C为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数的解析式；（2）定义函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，若y1≠y2，函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;若y1=y2，函数f的函数值等于y1（或y2）.” 当直线（k >0）与函数f的图象只有两个交点时，求的值.【答案】（1）y=x2-2x+1；（2）k=1，，．【解析】试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a(x-1)2，把A（0，1）代入求出a的值即可.（2）根据题意可知直线（k >0）与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：①直线与直线AB：y=x+1平行，②直线过点B（3，4），③直线与二次函数y=x2-2x+1的图象只有一个交点，分别求出k的值即可.试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)2，，由抛物线过点A(0,1)，可得y=x2-2x+1（2）可得B（3，4）直线（k >0）与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：①直线与直线AB：y=x+1平行，此时k=1；②直线过点B（3，4），此时；③直线与二次函数y=x2-2x+1的图象只有一个交点，此时有得,由△=0可得，.综上：k=1，，．考点:二次函数综合题.25、将绕点按逆时针方向旋转,旋转角为，旋转后使各边长变为原来的倍，得到,我们将这种变换记为[]．（1）如图①,对作变换[]得，则：=___；直线与直线所夹的锐角为__ °；图①（2）如图②，中，，对作变换[]得，使得四边形为梯形，其中∥,且梯形的面积为，求和的值．图②【答案】（1）3，60；（2）60°，4.【解析】试题分析：根据题意知△ABC∽△AB′C′，因此；直线BC与B′C′所夹的锐角的度数为：360°-90°-90°-60°-120°=60°.(2)因为AB∥B′C′，∠C′=90°，∠BAC=30°，所以∠CAC′=60°；由△ABC∽△AB′C′及梯形面积可求出n的值.试题解析：（1） 3 ， 60（2）由题意可知：△ABC∽△AB′C′，∴∠C′=∠C=90°，∵AB∥B′C′，∴∠BAC′=90°∴在Rt△ABC中,，∴，∴在直角梯形K中，∴n=4，n=-6（舍去）∴，n=4考点:1.旋转；2相似三角形．26、已知点和点在抛物线上.（1）求的值及点的坐标；（2）点在轴上，且满足△是以为直角边的直角三角形，求点的坐标;（3）平移抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为. 点M（2,0）在x轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，最短，求此时抛物线的函数解析式.【答案】（1），B(-4，-8)；（2）(0,0)或（0，-12）；（3）右平移个单位时，抛物线的解析式为.【解析】试题分析：（1）把点A（2，-2）代入求出a=的值；把点B（-4，n）代入求得n=-8；（2）先求出直线AB的解析式，然后进行分类讨论求出点P的坐标；（3）利用对称性求解即可.试题解析：（1）a=抛物线解析式为：B(-4，-8)；(2) 记直线AB与x、y轴分别交于C、D两点，则直线AB：y=x-4C（4，0）、D（0，-4）在Rt△COD中，∵OC=DO∴∠ODA=45°以A为直角顶点，则在中，则∴又∵D（0，-4）∴（0，0）以B为直角顶点，则在中，∴∴(0,-12)∴P(0,0)或（0，-12）（3）记点A关于x轴的对称点为E(2，2)则BE:令y=0,得即BE与x轴的交点为Q（，0）故抛物线向右平移个单位时最短此时，抛物线的解析式为考点:二次函数综合题．。
2013-2014学年北京市丰台区九年级(上)期末数学练习试卷
2013-2014学年北京市丰台区九年级（上）期末数学练习试卷一、选择题（本题共36分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（4分）已知3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）A．=B．=C．=D．=2．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，如果DE：BC=3：5，那么AE：AC的值为（ ）A．3：2B．2：3C．2：5D．3：53．（4分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（ ）A．B．C．D．5．（4分）在小正方形组成的网格图中，直角三角形的位置如图所示，则sinα的值为（ ）A．B．C．D．6．（4分）当x＞0时，函数y=﹣的图象在（ ）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限7．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（ ）A．4B．6C．8D．108．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y= x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）A．2B．4C．8D．169．（4分）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A．AE=6cmB．sin∠EBC=C．当0＜t≤10时，y=t2D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形二．填空题（本题共20分，每小题4分）10．（4分）两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是 ．11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么∠A= °．12．（4分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为 cm2．13．（4分）一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是 ．14．（4分）如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= ，A n B n= ．（n为正整数）三、解答题（本题共19分，第15题4分，第16题5分，第17题5分，第18题5分）15．（4分）计算：3tan30°﹣2cos45°+2sin60°．16．（5分）已知二次函数y=x2+2x﹣1．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；（3）求出图象与x轴的交点坐标．17．（5分）如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2．求：（1）的长；（2）∠D的度数．18．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长．四、解答题（本题共17分，第19题5分，第20题6分，第21题6分）19．（5分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°．求∠P的度数．20．（6分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．21．（6分）已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G，求证：AB2=BG•BC．五．解答题（本题共28分，第22题6分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）22．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B 处．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．23．（7分）如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．24．（7分）已知直线y=kx﹣3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．25．（8分）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD；（2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．2013-2014学年北京市丰台区九年级（上）期末数学练习试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共36分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（4分）已知3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）A．=B．=C．=D．=【分析】根据两內项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解．【解答】解：A、由=得，xy=12，故本选项错误；B、由=得，3x=4y，故本选项正确；C、由=得，4x=3y，故本选项错误；D、由=得，4x=3y，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键．2．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，如果DE：BC=3：5，那么AE：AC的值为（ ）A．3：2B．2：3C．2：5D．3：5【分析】由DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应边的比相等得到AE：AC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=AE：AC，∵DE：BC=3：5，∴AE：AC的值为3：5，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．3．（4分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）A．相交B．相切C．相离D．不确定【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，∴3.5＜4，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．4．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，即共有6种等可能的结果，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，即共有6种等可能的结果，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的有4种情况，∴向上一面的数字不小于3的概率是：=．故选：C．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（4分）在小正方形组成的网格图中，直角三角形的位置如图所示，则sinα的值为（ ）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求得三角形的斜边长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：斜边长是：=，则sinα==．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键．6．（4分）当x＞0时，函数y=﹣的图象在（ ）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【分析】先根据反比例函数的性质判断出反比例函数的图象所在的象限，再求出x＞0时，函数的图象所在的象限即可．【解答】解：∵反比例函数中，k=﹣5＜0，∴此函数的图象位于二、四象限，∵x＞0，∴当x＞0时函数的图象位于第四象限．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．7．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（ ）A．4B．6C．8D．10【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．【解答】解：如右图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE=BE=AB，∵OC=5，CE=2，∴OE=3，在Rt△AOE中，AE==4，∴AB=2AE=8，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE．8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y= x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）A．2B．4C．8D．16【分析】根据抛物线解析式计算出y=的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．【解答】解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y==（x2﹣4x）=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，∴顶点坐标为C（2，﹣2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．9．（4分）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A．AE=6cmB．sin∠EBC=C．当0＜t≤10时，y=t2D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形【分析】由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．【解答】解：（1）结论A正确．理由如下：分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm；（2）结论B正确．理由如下：如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC===；（3）结论C正确．理由如下：如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，∵BQ=BP=t，∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．（4）结论D错误．理由如下：当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=，∵BC=10，∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．【点评】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．二．填空题（本题共20分，每小题4分）10．（4分）两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是 ：3 ．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是5：9，∴它们的相似比是：3，∴它们的周长比是：3．故答案为：：3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质并求出两三角形的相似比是解题的关键．11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么∠A= 60 °．【分析】根据∠C=90°，tanA=，可求得∠A的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∵tanA=，∴∠A=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．12．（4分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为 3π cm2．【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：扇形的面积==3πcm2．故答案是：3π．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．13．（4分）一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是 ．【分析】根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：白白红白（白，白）（白，白）（红，白）白（白，白）（白，白）（红，白）红（白，红）（白，红）（红，红）所有等可能的情况有9种，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有5种，则P（颜色不同）=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= 6 ，A n B n= n（n+1） ．（n为正整数）【分析】根据OA1=1，求出A1A2、A2A3、A3A4的值，推出A n A n﹣1的值，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），推出A n B n=n（n+1）即可．【解答】解：∵OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4，…A n﹣2A n﹣1=n﹣1，A n﹣1A n=n，∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…，∴=，∴=，∴A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），…，∴A n B n=n（n+1），故答案为：6，n（n+1）．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是根据求出的结果得出规律，题型较好，但是有一定的难度．三、解答题（本题共19分，第15题4分，第16题5分，第17题5分，第18题5分）15．（4分）计算：3tan30°﹣2cos45°+2sin60°．【分析】本题可根据特殊的三角函数值解出tan30°、cos45°、sin60°的值，再代入原式中即可．【解答】解：原式=，=，=．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．16．（5分）已知二次函数y=x2+2x﹣1．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；（3）求出图象与x轴的交点坐标．【分析】（1）配方后直接写出顶点坐标即可；（2）确定对称轴后根据其开口方向确定其增减性即可；（3）令y=0后求得x的值后即可确定与x轴的交点坐标；【解答】解：（1）y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，∴顶点坐标为：（﹣1，﹣2）；（2）∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2的对称轴为：x=﹣1，开口向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）令y=x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+，∴图象与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的有关性质．17．（5分）如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2．求：（1）的长；（2）∠D的度数．【分析】（1）直接利用弧长公式求出即可；（2）利用邻补角的定义以及圆周角定理得出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=130°，AB=2，∴===；（2）由∠AOC=130°，得∠BOC=50°，又∵∠D=∠BOC，∴∠D=×50°=25°．【点评】此题主要考查了弧长公式以及圆周角定理，熟练记忆弧长公式是解题关键．18．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长．【分析】由已知得△BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A 的正弦值，即可求出AB的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠BDC=45°∴BC=CD=6又∵sinA=∴AB=6÷=15．【点评】直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用．四、解答题（本题共17分，第19题5分，第20题6分，第21题6分）19．（5分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°．求∠P的度数．【分析】根据PA，PB分别是⊙O的切线得到PA⊥OA，PB⊥OB，在四边形AOBP中根据内角和定理，就可以求出∠P的度数．【解答】解：连接OB，∴∠AOB=2∠ACB，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=140°；∵PA，PB分别是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，即∠PAO=∠PBO=90°，∵四边形AOBP的内角和为360°，∴∠P=360°﹣（90°+90°+140°）=40°．【点评】本题主要考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径．20．（6分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．【分析】（1）将A点代入一次函数解析式求出m的值，然后将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可得出反比例函数的表达式；（2）结合函数图象即可判断y1和y2的大小．【解答】解：（1）将A的坐标代入y1=x+1，得：m+1=2，解得：m=1，故点A坐标为（1，2），将点A的坐标代入：，得：2=，解得：k=2，则反比例函数的表达式y2=；（2）结合函数图象可得：当0＜x＜1时，y1＜y2；当x=1时，y1=y2；当x＞1时，y1＞y2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握．21．（6分）已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G，求证：AB2=BG•BC．【分析】因为直径所对的圆周角是直角，所以作辅助线：连接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠D，证得∠C=∠BAG，又因为∠ABG是公共角，即可证得△ABG∽△CBA；由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=BG•BC．【解答】解：连接AD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAF=90°，∵AF⊥BD，∴∠D+∠DAF=90°，∴∠BAG=∠D，∵∠C=∠D，∴∠C=∠BAG，∵∠ABG=∠ABC，∴△ABG∽△CBA，∴AB：CB=BG：AB，∴AB2=BG•BC．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与圆的性质．解此题的关键是掌握辅助线的作法，在圆中，构造直径所对的角是直角是常见辅助线，同学们应注意掌握．五．解答题（本题共28分，第22题6分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）22．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B 处．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA=90°﹣45°=45°，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案；（2）首先求出OB的长，进而得出OB＞50，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△PAC中，∠PCA=90°，∠CPA=90°﹣60°=30°，∴PC=PA•cos30=100×=50，在Rt△PCB中，∠PCB=90°，∠PBC=90°﹣45°=45°，∴PB=PC=50≈122.5，∴B处距离P有122.5海里．（2）没有危险．理由如下：OB=OP﹣PB=190﹣50，（190﹣50）﹣50=140﹣50＞0即OB＞50，∴无危险【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长是解题关键．23．（7分）如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是他们的距离．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）（2分）设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5（3分）把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5得a=﹣（5分）∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（6分）（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4（7分）∴4=﹣（x﹣5）2+5∴（x﹣5）2=1∴x1=，x2=（9分）∴两景观灯间的距离为﹣=5米．（10分）【点评】此题考查对抛物线等二次函数的应用，从图中可以看出的坐标是解题的关键．24．（7分）已知直线y=kx﹣3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛物线的解析式．（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到AQ、AP的长，然后分三种情况讨论：①∠APQ=90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值；②∠AQP=90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值；③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的．（3）过D作y轴的平行线，交直线AC于F，设出点D的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标，进而可求得DF的长，以DF 为底，A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式（或由△ADF、△CDF的面积和求得），由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标．【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣3过点A（4，0），∴0=4k﹣3，解得k=．∴直线的解析式为y=x﹣3．（1分）由直线y=x﹣3与y轴交于点C，可知C（0，﹣3）．∵抛物线经过点A（4，0）和点C，∴，解得m=．∴抛物线解析式为．（2分）（2）对于抛物线，令y=0，则，解得x1=1，x2=4．∴B（1，0）．∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3﹣t，AQ=5﹣2t．①若∠Q1P1A=90°，则P1Q1∥OC（如图1），∴△AP1Q1∽△AOC．∴，∴，解得t=；（3分）②若∠P2Q2A=90°，∵∠P2AQ2=∠OAC，∴△AP2Q2∽△ACO．∴，∴解得t=；（4分）③若∠QAP=90°，此种情况不存在．（5分）综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形．（3）答：存在．过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）．∴S△ADF=DF•AE，S△CDF=DF•OE．∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=DF•AE+DF•OE=DF×（AE+OE）=×（DE+EF）×4=×（）×4=．（6分）∴S△ACD=（0＜x＜4）．又∵0＜2＜4且二次项系数，∴当x=2时，S△ACD的面积最大．而当x=2时，y=．∴满足条件的D点坐标为D（2，）．（7分）【点评】此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（3）题中，将图形面积的最大（小）值问题转化为二次函数的最值问题是此类题常用的解法．25．（8分）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD；（2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF=∠2，FA=FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE=FA，∠1=∠BAF，则∠5=∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，则∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；（2）FM=FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF=∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG=∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：==．即==．设GF=2a（a＞0），AG=3a，则GD=a，FD=a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得=，则==．设EG=2k（k＞0），所以BG=MG=3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===，又由FQ∥ED，易证得==，所以FM=FN．【解答】（1）证明：如图1，连接FE、FC．∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE=FC，∴∠1=∠2．∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），∴AB=CB，∠4=∠3，∵在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF=∠2，FA=FC，∴FE=FA，∠1=∠BAF，∴∠5=∠6．∵∠1+∠BEF=180°，∴∠BAF+∠BEF=180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°，∴∠AFE+∠ABE=180°．又∵∠AFE+∠5+∠6=180°，∴∠5+∠6=∠3+∠4，∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；（2）FM=FN．理由如下：如图2，由（1）知，∠EAF=∠ABD．又∵∠AFB=∠GFA，∴△AFG∽△BFA，∴∠AGF=∠BAF．又∵∠MBF=∠BAF，∴∠MBF=∠AGF．∵∠AGF=∠MBG+∠BMG，∴∠MBG=∠BMG，∴BG=MG．∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=∠EAF．又∵∠FGA=∠AGD，∴△AGF∽△DGA，∴==．∵AF=AD，∴==．设GF=2a（a＞0），AG=3a，∴GD=a，∴FD=a∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB，∴BE∥AD，∴=，∴==．设EG=2k（k＞0），∴BG=MG=3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===，∴GQ=QE，∴GQ=EG=k，MQ=3k+k=k．∵FQ∥ED，∴==，∴FM=FN．第31页（共31页）【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和是360度等知识点．难度较大，综合性较强．。
北京市西城区学年九年级第一学期数学期末试卷及答案
北京市西城区2013-2014学年度第一学期期末试卷九年级数学 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是 A ．(21)，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)--，2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若o 100AOB ∠=，则∠ACB 的度数是 A ．40° B ．50° C ．60° D ．80°3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是 A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为 A B C ．12D ．26．如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为直线1x =-．下列结论中，正确的是A ．a ＜0B ．当12x <-时，y 随x 的增大而增大C ．0a b c ++>D ．当12x =-时，y 的最小值是44c b-7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，则旋转中心的坐标是 A ．(00)， B ．(10)， C ．(11)-， D ．(2.50.5)，8．若抛物线()2231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是 A ．2m < B ．2m > C ．94m <D ．94m >二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，△A BC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若2AD =，3DB =，1DE =，则BC 的长是 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点(65)A ，作AB ⊥x 轴于点B ．半径为(05)r r <<的⊙A与AB 交于点C ，过B 点作⊙A 的切线BD ，切点为D ，连接DC 并延长交x 轴于点E .（1）当52r =时，EB 的长等于 ；（2）点E 的坐标为 （用含r 的代数式表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．14．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，． （1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式．15．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，点P 在AD 边上，且PC PB ⊥．若AB ＝6，DC ＝4，PD ＝2，求PB 的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，20XX年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到20XX年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从20XX年底至20XX年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD＝30米，求河宽AB（结果精确到11.73，1.41）．18．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，AB＝12，cos A=（1）求OC的长；（2）点E，F在⊙O上，EF∥AB．若EF＝16，直接写出EF与AB之间的距离．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．设二次函数2143y x x=-+的图象为C1．二次函数22(0)y ax bx c a=++≠的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c=++的解析式；（2）当3x-<≤0时，直接写出2y的取值范围；（3）设二次函数22(0)y ax bx c a=++≠图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数3y kx m=+( k，m为常数，k≠0)的图象经过A，B两点，当23y y<时，直接写出x的取值范围．20．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点（不与点C，D重合），作AF⊥AE 交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE∽△ABF；A BCO（2）连接EF ，M 为EF 的中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ， ①求点M 到FC 的距离（用含x 的代数式表示）；②连接BM ，设2BM y ，求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．22．阅读下面材料：定义：与圆的所有切线和割线．．．．．．．都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形． 问题：⊙O 的半径为1，画一个⊙O 的关联图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点建立平面直角坐标系xOy 进行探究，他发现能画出很多⊙O 的关联图形，例如：⊙O 本身和图1中的△ABC （它们都是封闭的图形），以及图2中以O 为圆心的 （它是非封闭的图形），它们都是⊙O 的关联图形．而图2中以P ，Q 为端点的一条曲线就不是⊙O 的关联图形．参考小明的发现，解决问题：（1）在下列几何图形中，⊙O 的关联图形是 （填序号）；① ⊙O 的外切正多边形 ② ⊙O 的内接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于1的同心圆（2）若图形G 是⊙O 的关联图形，并且它是封闭的，则图形G 的周长的最小值是____； （3）在图2中，当⊙O 的关联图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为y =__；（4）请你在备用图中画出一个⊙O 的关联图形，所画图形的长度l 小于（2）中图形G 的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．（DmE （DmE21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC并延长交AB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若23CE DE =，求cos ABC ∠的值．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上． ①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．24．已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE .（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH ⊥BC 于点H ．设BH＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．25．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．（1）①填空：二次函数图象的对称轴为 ；②求二次函数的解析式；（2） 点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan 2ADP∠=，求点P 的横坐标；（3）点E 在x 轴的正半轴上，o 45OCE ∠>，点O 与点O '关于EC 所在直线对称．作ON ⊥EO '于点N ，交EC 于点M ．若EM ·EC ＝32，求点E 的坐标．图2备用图图1北京市西城区2013-2014学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准 2014.1阅卷说明：第三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．2322=+ ................................................................................... 4分= ............................................................................................................... 5分14．解：（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象经过点A (2，5)，∴ 4235b +-=． ......................................................................................... 1分 ∴ 2b =．∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． .................................................. 2分（2）令0y =，则有2230x x +-=．解得13x =-，21x =．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)． ......................... 4分 （3）223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-． ............................................................................................. 5分15．解：∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，∴ ∠D =90°．∴ 90DCP DPC ∠+∠=︒． ∵PC PB ⊥， ∴∠BPC =90°，90DPC APB ∠+∠=︒．∴∠DCP =∠APB ． ............................................... 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠．在Rt △PCD 中， CD =2，PD =4， ∴1tan 2PD DCP CD ∠==．在Rt △PBA 中，AB =6， ∴tan AB APB PA∠=．∴162PA=． ∴12PA =． .............................................................................................................. 4分分16x ． ..... 1分依题意，得75(1)108x +=． ................................................................................. 2分整理，得236(1)25x +=． .......................................................................................... 3分615x +=±．解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2（舍去）． ................................................................... 4分 答：从20XX 年底至20XX 年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． .... 5分 17．解：设河宽AB 为x 米． ............................................................................................... 1分∵ AB ⊥BC ，（2）2或14． ....................................................................................................... 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--，········································································· 1分∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-，································ 2分即2243y x x =++．（2）1-≤2y ≤3． ················································································· 4分 （3）20x -<<． ··················································································· 5分20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°．∴ 90ABF D ∠=∠=︒． ∵ AF ⊥AE ，∴ ∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒． ∴ 90BAE BAF ∠+∠=︒． ∴ ∠DAE =∠BAF ． ∴ △ADE ∽△ABF ．···························································· 2分（2）解：①如图，取FC 的中点H ，连接MH ．∵ M 为EF 的中点，∴ MH ∥DC ，12MH EC =．∵ 在矩形ABCD 中，∠C =90°，∴ MH ⊥FC ，即MH 是点M 到FC 的距离． ∵ DE =x ，DC =AB =4． ∴ EC =4x -，∴ 12MH EC =122x =-． 即点M 到FC 的距离为MH 122x =-． .................................................. 3分②∵△ADE ∽△ABF ，∴ DE BF AD AB=． H MDFA E C B∴24x BF=． ∴ 2BF x =，FC =22x +，FH = CH =1x +． ∴ 1HB BF HF x =-=-． ∵ 122MH x =-， ∴ 在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+-25454x x =-+． ∴ 25454y x x =-+（04x <<）， ........................................................... 4分当85x =时，BM 长的最小值是35． ....................................................... 5分21．（1）证明：如图，连接OC ．∵ AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴ AD ⊥AB ， ∴ ∠DAB =90°． ∵ OD ∥BC ，∴ ∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC ． ∵ OC =OB ，∴ ∠OCB =∠ABC ． ∴ ∠DOC =∠AOD ．在△COD 和△AOD 中， OC = OA ，∠DOC =∠AOD ， OD =OD ，∴ △COD ≌△AOD ． .............................................................................................. 1分 ∴ ∠OCD=∠DAB = 90°． ∴ OC ⊥DE 于点C ． ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ DE 是⊙O 的切线． ............................................................................................ 2分（2）解：由23CE DE =，可设2(0)CE k k =>，则3DE k =．.. ........................................ 3分∴ AD DC k ==． ∴ 在Rt △DAE 中，2222AE DE AD k =-=．∴ tan E =22AD AE =． ∵ 在Rt △OCE 中，tan 2OC OCE CE k==． ∴ 222OC k=， ∴ 2OC OA ==．∴ 在Rt △AOD 中，2232OD AO AD k =+=．.. ............................................. 4分 ∴ 3cos cos OA ABC AOD OD ∠=∠==．.. .............................................................. 5分 22．解：（1）①③； .......... 2分（2）2π； ............ 3分（3）2x --； ... 4分（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l 满足2π+≤ l ＜2π．图1 图2例如：在图1中l 2=π+，在图2中l =6． .......... 5分阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正确且图形长度都正确得1分，否则得0分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ，∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=． ................................................................... 1分整理，得2340m m --=． 解得，14m =，21m =-． 又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >．∴ m =4． ........................................................................................................... 2分 ②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上，∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． ..................................... 3分设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--． ................................... 4分（２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况：(ⅰ)当02m <，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++；(ⅲ)当22m >，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+．综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++；当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+． ............... 7分24．（1）ADBEAD BE ⊥． ........................................................................................ 2分（2）证明：连接DM ，AM ．在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点，∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM ∴ 90BME EMA ∠+∠=︒．同理，DMEM =，90AMD EMA ∠+∠=︒．∴ AM DM BM EM=，AMD BME ∠=∠． ······ 3分 ∴ △ADM ∽△BEM ．∴AD DMBE EM== ............................................................................... 4分延长BE交AM于点G，交AD于点K．∴MAD MBE∠=∠，BGM AGK∠=∠．∴90GKA AMB∠=∠=︒．∴AD BE⊥．........................................................................................... 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF绕点M顺时针旋转α(o0≤α≤o∵△ADM ∽△BEM，∴2()3ADMBEMS ADS BE∆∆==．∴13BEM ADMS S∆∆=∴ABM ADM BEM DEMS S S S S∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEMS S S∆∆∆=+-121133)12322x=⨯⨯⨯⨯--⨯=∴S=（3≤x≤3+）．........................................................ 6分(ⅱ) 当△DEF绕点M逆时针旋转α(o0≤α≤o90)角时，可证△ADM∽△BEM，∴21()3BEMADMS BMS AM∆∆==．∴13BEM ADMS S∆∆=．∴ABM BEM ADM DEMS S S S S∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEMS S S∆∆∆=--21)32x⨯⨯-+∴S=3x≤3)．综上，S=+(3x≤3．....................................................... 7分25．解：（1分.................................... 2分（2）如图，作(ⅰ)在Rt△ADF中，o90AFD∠=，得tan2ADFDF∠==．延长DF与抛物线交于点P1，则P1点为所求．∴ 点P 1的坐标为(24)--，． ...................................................................... 3分 (ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH ⊥x 轴于点H ，如图所示．可证 △GHA ≌△1PFA ． ∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ．又∵ (40)A -，，1(2P --，∴ 点G 的坐标是(64)-，在△ADP 1中，DA DP 1＝５，1AP =∴ 22211DA AP DP +=．∴ 1o 90DAP ∠=．∴ DA ⊥1GP ．∴ 1DG DP =．∴ 1ADG ADP ∠=∠．∴ 1tan tan ADG ADP ∠=∠，则P 2点为所求．作DK 2S ∥GK 交DK 于点S ．设P 4)x -， 则22241522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--． 由2P S DS=，3GK =，4DK =，得215224x x x +---=． 分 （3o 90COE ∠=．分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ET OEC OE∠=， 在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OE OEC EC∠=， ∴ OE ET EC OE=． ∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=． ∴ 2321648OE =+=． ∵ 0OE >，∴ OE =．∵，∴ .............................................................................. 8分。
2013-2014年北京市房山区九年级(上)数学期末试卷
2013—2014学年度第一学期终结性检测试题九年级数学题号 一 二 三 四 五 总分 得分一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1. 抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是A. (1，-2)B. (1，2)C. (-1，2)D. (-1，-2) 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝40°，则∠AOC 等于 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80°3． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，则tan A 等于 A ． 34 B ．43C ．35D ．454. 如图，P 是反比例函数图象上第二象限内的一 点，若矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是A.x y 3=B.xy 3-= C. 3x y = D.3x y -=5. 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为A ．31B ．21C ．61D ． 326. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ，垂足为点E ，连接OC ，若OC =5，AE =2，则CD 等于A ．3B ．4C ．6D ．87.如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数 2y x=的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数 y = kx的图象上，且OA ⊥OB ，tan A =3，则k 的值为 A ．-3 B. 3- C. -6 D. 23-8. 如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. 设AP=x, △PBE的面积为y. 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是yyy yxx x xC.121121D.B.121121A.OOO O二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 若把代数式242x x-+化为2()x m k-+的形式，其中m、k为常数，则k m+=.10. 若扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长为________________.11. 如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值是．12.如图，已知△ABC的面积S△ABC=1.在图（1）中，若21111===CACCBCBBABAA, 则41S111CBA△=;在图（2）中，若31222===CACCBCBBABAA, 则31S222CBA△=;在图（3）中，若41333===CACCBCBBABAA, 则167S333CBA△=;按此规律，若44415AA BB CCAB BC CA===, 则444A B CS=若91888===CACCBCBBABAA, 则=888CBA△S.三、解答题(本题共30分，每小题5分)13.计算：()201273tan3033π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭解：（11题图）PEDCBA14.已知：如图，在⊙O 中，弦AB CD 、交于点E ，AD CB =． 求证：AE CE =． 证明：15. 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝10，,31sin ,54sin ==B C 求AB 的长． 解：16 .如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ABD ＝75°，∠DBC ＝30°，AB＝22．求BC 的长．解：ABCDBCD17．如图，一次函数y=3x的图象与反比例函数k yx=的图象的一个交点为A(1 , m)．（1）求反比例函数kyx=的解析式；（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接写出点P的坐标(不写求解过程)．解：18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，OCB∆的外接圆与y轴交于点(0,2)A，60,45OCB COB∠=︒∠=︒，求OC的长．解：yxAOBC四、解答题(本题共20分，每小题5分)19. 已知关于x 的一元二次方程2(31)30kx k x +++= (0)k ≠．（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 的值．解：20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD ．（1）△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是 个单位长度； （2）△AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是 ；（3）△AOC 绕原点O 顺时针旋转可以得到△DOB ，则旋转角度是 度，在此旋转过程中，△AOC 扫过的图形的面积是 ．21. 如图 , 已知二次函数y = x2－4x + 3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C.（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标.解：22.如图，在ABC△中，以AC为直径的O交AB于点D，点E为AD的中点，连结CE交AB于点F，且BF BC=.（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若O的半径为2,3cos5B=,求CE的长.解：F DEO BA五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23. 已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点（-1，0）和点（2，-9）．(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；(2) 已知点P（2, -2），连结OP , 在x轴上找一点M，使△OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标(不写求解过程).解：24. 抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1) 求此抛物线的解析式；(2) 抛物线上是否存在点P,使12ABP ABCS S∆∆=,若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 解：25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，以AB 为直径的半⊙O ’与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC ．CD 是半⊙O ’的切线，AD ⊥CD 于点D ． （1）求证：∠CAD =∠CAB ；（2）已知抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点，AB =10 ，tan ∠CAD =12． ① 求抛物线的解析式；② 判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；③ 在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．解：yxDO'CBA O房山区2013—2014学年度第一学期终结性检测试题九年级数学参考答案和评分参考题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDABADCD二、填空题（每题4分）9. 0 10. 6π 11.212.13,251927 三、解答题 7. 解：原式2310=+ ………………5分8. 证明：连结AC ………………1分∵AD =BC ……………………2分 ∴AD BC = ……………………3分 ∴∠ACD =∠CAB ………………4分 ∴AE =CE ………………………5分15. 证明：作AD ⊥BC 于D ……………………1分∵ACADC sin ,AC =54=10=∴8=AD ……………………3分又∵ABADB sin =31=∴24=AB ……………………5分16. 解：作BE ⊥AD 于E …………………………1分 则∠AEB =∠BED =∠C =90° ∵∠A =45°，∠ABD =75°∴∠ABE =∠A =45°，∠DBE =∠CBD =30° ∴AE =BE ∵AB =22∴2==BE AE ……………………………………3分33331943=-⨯++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分ECD B∵∠DBE =∠CBD =30， ∠BED =∠C =90°， BD =BD ，∴△BDE ≌△BDC∴BC =BE =2…………………………………………5分 17. 解：(1) 将A (1，m ）代入y =3x 中，m =3×1=3∴A （1 , 3）………………………………1分 将A (1，3)代入xky =中，得 k =xy =3 ……………………………………2分 ∴反比例函数解析式为xy 3=………………3分 （2）()()933121,P ,P 、-- …………………5分18.解：连接AB 、AC ∵∠AOB =90°∴AB 为直径 ………………………………1分O BO BO,OCB 60=∠=O OAB OCB 60∴∠=∠=∴∠ABO =∠ACO =30° ∵∠COB =45°， ∴∠CAB =45° ∵AB 为直径，∴∠ACB =90° ∴∠ABC =45° ∴ ∠AOC =45°作AD ⊥OC 于D ……………………………………………………2分∵2=OA∴AD=OD=1， ……………………………………………………3分 ∴ 3=CD ……………………………………………………4分 ∴31+=OC ……………………………………………………5分19.解：（1）∵2(31)12k k =+-yxDAOBC22961(31)k k k =-+=-………………………………………………1分∴0≥ ∴无论k 取何值，方程总有两个实数根.……………………2分(2) 依题意得2(31)30kx k x +++= (31)(31)2k k k k-+±-= …………………………………………3分 121,3k k k=-=-…………………………………………………4分 ∴1k =± ……………………………………………………5分20. （1）2； (2) y 轴；（3）120,2π （最后一空2分，其余每空1分）21. 解：（1）A (1，0) 、B (3，0) 、C (0，3）∴直线BC 的解析式为：y = -x +3 ………………………………2分（2）设过点D 与BC 平行的直线解析式为y x b =-+∴224333094(3)0y x b y x x x x b b =-+⎧⎨=-+⎩-+-==--=34b ∴= …………………………………………………………………3分 21233302x x b x x ∴-+-===方程的解为 ………………………4分 23434x x ∴-+=- 33(,)24D ∴- ………………………………………………………………5分 22. ⑴ BC 与⊙O 相切证明：连接AE ，∵AC 是O 的直径∴90E ∠=∴90EAD AFE ∠+∠=︒∵BF BC =∴BCE BFC ∠=∠y x CB O A D F O E DC B又 ∵E 为AD 的中点∴EAD ACE ∠=∠ ……………………………………………………1分∴ 90BCE ACE ∠+∠=︒即AC BC ⊥又∵AC 是直径∴BC 是O 的切线 …………………………………………………2分（2）∵O 的半为2∴4AC =, ∵3cos 5B = 由（1）知，90ACB ∠=，∴5AB = ,3BC =∴3BF = ,2AF = ……………………………………………………3分∵EAD ACE ∠=∠, E E ∠=∠∴AEF ∆∽CEA ∆，∴12EA AF EC CA == ∴2EC EA =， ……………………………………………………4分 设 ,2EA x EC x ==由勾股定理 22416x x += ，x = （舍负）∴ 5CE =…………………………………………………5分23.解：（1）542--=x x y …………………………………………2分对称轴是x =2 ……………………………………………3分（2）()()()()12342,04,0M M M M -、、、 ……7分 24. 解：（1）223y x x =-++ …………………………………………2分（2）(0,3)B直线AB 的解析式为：3y x =-+ ………………………3分设过点C 与AB 平行的直线的解析式为y x b =-+ ，由C (1,4)得5b =∴设过点C 与AB 平行的直线的解析式为：5y x =-+∴该直线与y 轴的交点为：F (0，5)∴线段BF 的中点E 的坐标为（0，4）∴过点E 与AB 平行的直线的解析式为4y x =-+∴解24,23y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩ 得3535,,22555522x x y y ⎧⎧+-==⎪⎪⎪⎪⎨⎨-+⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ ∴1235553555(,)(,)P P +--+ …………………5分 点E 关于点B 的对称点为H （0，2），过点H 与AB 平行的直线的解析式为2y x =-+∴解22,23y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩ 得313313,,113113x x y y ⎧⎧+-==⎪⎪⎪⎪⎨⎨-+⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ ∴34313113313113(,)(,)2222P P +--+ ………………7分25. (1)证明：连接O'C ,∵ CD 是⊙O ’的切线 ∴ O'C ⊥CD .....................................1分∵ AD ⊥CD ,∴ O'C ‖AD ,∴ ∠O ’CA =∠CAD∵ O ’A =O'C , ∴∠O ’CA =∠CAB ∴∠CAD =∠CAB ............................................2分(2)∵AB 是⊙O ’的直径，∴∠ACB =90°.∵OC ⊥AB ,∴∠CAB =∠OCB ,∴∆CAO ∽∆BCO ∴'OC OB OA OC =即OC ²=OA ∙ OB ∵tan ∠CAO =tan ∠CAD =12, ∴AO =2CO 又 ∵AB =10,∴OC ²=2CO (10-2CO ), ∵CO >0 ∴CO=4,AO=8,BO=2∴A (-8,0),B (2,0),C (0,4) ..................................................................................................3分∵ 抛物线y=ax ²+bx+c 过A 、B 、C 三点，∴c=4∴424064840a b a b ++=⎧⎨-+=⎩由题意得 解得213442y x x =--+ .............................4分 设直线DC 交x 轴于点F ，易得∆AOC ∽∆ADC∴ AD=AO =8, ∵O'C ‖AD ∴∆FO ’C ∽∆FAD ∴''O F O C AF AD = ∴8(BF +5)=5(BF +10), ∴ BF =103, F (163,0) 设直线DC 的解析式为y=kx+m ,则41603m k m =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 即344k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴344y x =-+ ..................................................................................5分由2213125254(3)-342444y x x x E =--+=-++得顶点的坐标（，） 将E （-3，254）代入直线DC 的解析式344y x =-+中 右边=325--3+4==44⨯（）左边 ∴ 抛物线顶点E 在直线CD 上 ..................................................................................6分存在,12(10,6),(10,36)P P --- .................................................................................8分希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
2013-2014学年度第一学期期末考试初三数学试题卷
2013－2014学年度第一学期期末考试初三数学试题卷（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线的2(0)y ax bx c a =++≠顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴公式为2b x a=-。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑（或将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内）. 1．在3，－1，0这四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. －1 C. 02．下列图形是轴对称图形的是（ ）3．计算23(2)x 的结果是（ ）A ．66x B. 58x C. 56x D. 68x4．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，50ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.25° 5110,60E ︒∠=︒，则∠A. 30°B. 40°C. 50°D. 60° 6．下列调查适合全面调查（即：普查）的是（ ） A.了解全国每天丢弃的塑料袋的数量 B.了解某种品牌的彩电的使用寿命 C.调查“神州9号”飞船各零部件的质量 D.了解浙江卫视“中国好声音”栏目的收视率7．若x = 2是关于x 的一元二次方程280x ax -+=的一个解，则a 的值是（ ） A ．2 B. 5 C. －6 D. 68．地铁1号线是贯穿渝中区和沙坪坝区的重要交通通道，1号线的开通极大的方便了市民的出行，小王下班后从渝中区较场口乘坐地铁回沙坪坝，他从公司出发，先匀速步行至较场口地铁站，等了一会儿，小王搭乘地铁1号线到达沙坪坝站，下面能反映在此过程中小王到沙坪坝的距离y 与时间x 的函数关系的大致图象是（ ）9．如图，以下各图都是由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有1个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，……，则第⑦个图形中完整菱形的个数为（ ）A.83B.84C.85D.8610．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列结论中，正确的是（ ） A.0abc >B.24ac b > C.20a b -=D.420a b c ++>二、填空题：（本大题６个小题，每小题４分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡（卷）中对应的横线上.11．据统计，重庆市2011年全市地方财政收入超过29000000万元，将数29000000用科学记数法表示为 . 12．已知ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆的周长为2，DEF ∆的周长为4，则ABC ∆与DEF ∆的面积之比为 . 13．在体育中招考试的跳绳项目考试中，我校两个小组共8位同学的成绩分别如下：（单位：个/分钟）154、187、173、205、197、177、185、188，则这组数据的中位数是 . 14．已知扇形的圆心角为120°，半径为9cm ，则扇形的面积为 cm 2.（结果保留π） 15．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字－2，－1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同. 现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a 的值，将该数字加3作为b 的值，则（a ，b ）使得关于x 的不等式组3(2)0,0x a x x b --≥⎧⎨-+>⎩恰好有3个整数解的概率是 .16．甲、乙两车在一个环形跑道内进行耐力测试，两车从同一地点同时起步后，乙车速超过甲车速，在第8分钟时甲车提速，在第12分钟时甲车追上乙车并且开始超过乙，在第17分钟时，甲车再次追上乙车. 已知在测试中甲、乙两车均是匀速行驶，那么如果甲车不提速，乙车首次超过甲车是在第 分钟.三、解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上． 17．计算：120131(5)()(1)|4|2π--++---18．如图，AD = BC ，,12A B ∠=∠∠=∠，求证：PA = PB.19．解方程：42233x x x-+=--.20．如图，在ABC ∆中，60,C AD BC ∠=︒⊥，垂足为D，若2AD BD CD ==，求ABC ∆的周长（结果保留根号）.四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．21．先化简22144(1)11x x x x -+-÷--，再从不等式组203(1)21x x x +>⎧⎨-≤-⎩的解集中选取一个合适的整数解作为x 的值代入求值.22．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky=交于A ，B 两点，与y 交于C ，与x 轴交于点D ，已知OA =（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB ∆的面积. 23．重庆市物价局发出通知，从2011年2月18日起降低部分抗生素药品和神经系统类药品最高零售价格，共涉及162个品种，某药房对售出的抗生素药品A 、B 、C 、D 、E 的销量进行统计，绘制成如下统计图：（1）补全折线统计图；（2）计算2月份售出各类抗生素销量的极差为 ；（3）2月份王老师到药房买了抗生素类药D 、E 各一盒，若D 中有两盒是降价药，E 中有一盒是降价药，请用画树状图或列表法求出他买到两盒都是降价药的概率。
西城区2013-2014学年度第一学期期末数学九年级答案
北京市西城区2013-2014学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准2014.1三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．232=................................................................................... 4分=............................................................................................................... 5分14．解：（1）∵二次函数23y x bx=+-的图象经过点A(2，5)，∴4235b+-=．.......................................................................................... 1分∴2b=．∴二次函数的解析式为223y x x=+-． ................................................... 2分（2）令0y=，则有2230x x+-=．解得13x=-，21x=．∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)．.......................... 4分（3）223y x x=+-2(21)4x x=++-2(1)4x=+-．............................................................................................. 5分15．解：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∴∠D=90°．∴90DCP DPC∠+∠=︒．∵PC PB⊥，∴∠BPC=90°，90DPC APB∠+∠=︒．∴∠DCP =∠APB ． ................................................. 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠． 在Rt △PCD 中， CD =2，PD =4， ∴1tan 2PD DCP CD ∠==．在Rt △PBA 中，AB =6， ∴tan AB APB PA∠=．∴162PA=． ∴12PA =． ............................................................................................................... 4分∴PB == .................................................................................. 5分16．解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x ． ......... 1分依题意，得275(1)108x +=． ................................................................................. 2分整理，得236(1)25x +=． .......................................................................................... 3分615x +=±．解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2（舍去）． ................................................................... 4分 答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． ........ 5分 17．解：设河宽AB 为x 米． ............................................................................................... 1分∵ 在Rt △AOC 中，∠ACO =90°，3cos 5A =， ∴ 10OA =． ....................................................... 2分 ∴8OC =． ............................... 3分（2）2或14． ....................................................................................................... 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--，···························································································· 1分∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-， ········································ 2分 即2243y x x =++．（2）1-≤2y ≤3． ········································································································ 4分 （3）20x -<<． ········································································································· 5分20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°．∴ 90ABF D ∠=∠=︒． ∵ AF ⊥AE ，∴ ∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒． ∴ 90BAE BAF ∠+∠=︒． ∴ ∠DAE =∠BAF ．∴ △ADE ∽△ABF ． ··············································································· 2分（2）解：①如图，取FC 的中点H ，连接MH ．∵ M 为EF 的中点，∴ MH ∥DC ，12MH EC =．∵ 在矩形ABCD 中，∠C =90°，∴ MH ⊥FC ，即MH 是点M 到FC 的距离．HMDFAECB∵ DE =x ，DC =AB =4． ∴ EC =4x -， ∴ 12MH EC =122x =-． 即点M 到FC 的距离为MH 122x =-． .................................................. 3分 ②∵△ADE ∽△ABF ， ∴ DE BFAD AB =． ∴24x BF=． ∴ 2BF x =，FC =22x +，FH = CH =1x +． ∴ 1HB BF HF x =-=-． ∵ 122MH x =-， ∴ 在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+-25454x x =-+． ∴ 25454y x x =-+（04x <<）， ............................................................ 4分当85x =时，BM 长的最小值是 ................................................... 5分21．（1）证明：如图，连接OC ．∵ AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴ AD ⊥AB ， ∴ ∠DAB =90°． ∵ OD ∥BC ，∴ ∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC ．∵ OC =OB ， ∴ ∠OCB =∠ABC ． ∴ ∠DOC =∠AOD ．在△COD和△AOD中，OC = OA，∠DOC=∠AOD，OD=OD，∴△COD≌△AOD． .................................................................................................. 1分∴∠OCD=∠DAB = 90°．∴OC⊥DE于点C．∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线． ............................................................................................. 2分（2）解：由23CEDE=，可设2(0)CE k k=>，则3DE k=．.. ........................................ 3分∴AD DC k==．∴在Rt△DAE中，AE=．∴tan E=ADAE=．∵在Rt△OCE中，tan2OC OCECE k==．∴2OCk=，∴OC OA==∴在Rt△AOD中，OD．.. ................................................ 4分∴cos cos OAABC AODOD∠=∠==．.. ............................................................... 5分22．解：（1）①③；.......... 2分（2）2π；............ 3分（3）x- ... 4分（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l满足2π+≤l＜2π．例如：在图1中l2=π+，在图2中l=6．.......... 5分阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正图1 图2确且图形长度都正确得1分，否则得0分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ，∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=． .................................................................... 1分整理，得2340m m --=． 解得，14m =，21m =-． 又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >．∴ m =4． ............................................................................................................ 2分 ②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上，∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． ...................................... 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--．..................................... 4分（２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况： (ⅰ)当02m<，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++；(ⅲ)当22m>，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+．综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++；当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+． ............... 7分24．（1）ADBE=，AD BE ⊥． ........................................................................................ 2分（2）证明：连接DM ，AM ．在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点，∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM∴ 90BME EMA ∠+∠=︒． 同理，DMEM90AMD EMA ∠+∠=︒． ∴AM DMBM EM=，AMD BME ∠=∠． ········· 3分 ∴ △ADM ∽△BEM ．∴AD DMBE EM== ................................................................................ 4分 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ．∴ MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠． ∴ 90GKA AMB ∠=∠=︒．∴ AD BE ⊥． ............................................................................................ 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90∵ △ADM ∽△BEM ， ∴2()3ADM BEM S AD S BE∆∆==． ∴ 13BEM ADM S S ∆∆=∴ ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-121133)12322x =⨯⨯⨯⨯--⨯ ．∴ S =+ （3≤x ≤3+． ........................................................... 6分(ⅱ) 当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ，∴ 21()3BEM ADM S BM S AM ∆∆==．∴ 13BEM ADM S S ∆∆=．∴ ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--21)32x =⨯⨯-=．∴S =+(3x ≤3)．综上，S +(3≤x≤3+)． ......................................................... 7分25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-； ................................................ 1分②∵ 当x =0时，y =－4， ∴ 点C 的坐标为(04)-，． ∵ ABC S∆ ∴ AB =6．又∵点A ，B 关于直线1x =-对称，∴ A 点和B 点的坐标分别为(40)-，，(20)，． ∴∴ ..................................... 2分（2）如图，作DF ⊥x 轴于点F ．分两种情况：(ⅰ)当点P 在直线AD 的下方时，如图所示．由（1）得点A (40)-，，点D (21)-，， ∴ DF =1，AF =2．在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2AFADF DF∠==． 延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求． ∴ 点P 1的坐标为(24)--，． ....................................................................... 3分(ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH ⊥x 轴于点H ，如图所示． 可证 △GHA ≌△1P FA ．∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ． 又∵ (40)A -，，1(2P --，∴ 点G 的坐标是(64)-，在△ADP 1中，DA =DP 1＝５，1AP =，∴ 22211DA AP DP +=．∴ 1o 90DAP ∠=．∴ DA ⊥1GP ． ∴ 1DG DP =． ∴ 1ADG ADP ∠=∠．∴ 1tan tan 2ADG ADP ∠=∠=．设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求． 作DK ⊥GH 于点K ，作P 2S ∥GK 交DK 于点S ． 设P 2点的坐标为21(4)2x x x +-，，则2221141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--． 由2P S DS GK DK=，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=． 整理，得 227140x x +-=．解得x ∵ P 2点在第二象限，分 （3）如图，连接O O '，交CE 于T ．连接O 'C ．∵ 点O 与点O '关于EC 所在直线对称，∴ O O '⊥CE ，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=． ∴ O 'C ⊥O 'E ． ∵ ON ⊥O 'E ， ∴ O 'C ∥O N ．∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠．∴ OC OM =． ......................................................................................................... 6分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ETOEC OE ∠=， 在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OEOEC EC∠=，∴ OE ET EC OE =． ∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=． ∴ 2321648OE =+=． ∵ 0OE >， ∴ OE =∵点E在x轴的正半轴上，∴............................................................................... 8分11。
2013-2014学年度第一学期期末测试(含答案)初三数学
2013-2014学年度第一学期阶段性测试九年级数学（北师大版）本试题分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第1卷共2页，满分为36分；第II卷共6页，满分为84分．本试题共8页，满分为120分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，本考试不允许使用计算器．第1卷（选择题共36分）注意事项：第1卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效，一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）I．点A(-3，4)所在象限为A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．-个正比例函数的图象经过点（2，-1），那么这个正比例函数的表达式为3．若直线则直线不经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D.第四象限4．某反比例函数的图象经过点（一l，6），下列各点也在该函数图象上的是A.(一3,2)B.(3,2)C.(2,3)D.f6,1)5．如图，已知AB为圆O的直径，点C在圆O上,∠C=15o,则∠BOC的度数为A. 150B. 300C. 450D. 6006．下列二次函数的图象中，开口向上的有：A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是A. a>0 B．b<0C. c<0D. b2-4ac>08．如图，4为反比例函数图象上一点，ABIx轴于点召，若则后的值为A.6 B． 3 D．无法确定9．如图，在4x4的正方形网格中，cosa的值为10.油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间“分钟）的函数关系是A.Q=0.2tB.Q=20-0.2tC.卢0.2QD. t=20-0.2Q11．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有A．4个 B．3个 C. 2个 D. 1个12．如图，的半径为2，点A的坐标为直线AB为的切线，曰为切点．则曰点的坐标为第1I卷（非选择题共84分）注意事项：1．第1I卷为非选择题，请考生用蓝、黑色钢笔（签字笔）或圆珠笔直接在试卷上作答． 2．答卷前，请考生先将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共1 8分j巴答案填在题中横线上．）13. cos600=14．如图，AB为的直径，点C在上，∠A=300，则∠B的度数为15.一次函数y=(k-2)x+b的图象如图所示，则K的取值范围是____．16.已知：线段AB=3cm，半径分别是lcm和4cm，则的位置关系是17.抛物线y= kx2 -3x -3的图象和x轴有交点，则K的取值范围是18.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是三、解答题（本大题共9个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19.（本小题满分6分）20．（本小题满分6分）若反比例函数与一次函数，y=2x-4的图象都经过点A(a，2)．(1)求a的值．(2)求反比例函数的解析式；21.（本小题满分6分）如图，已知AB是求AB的长．22．（本小题满分7分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为300，看这栋大楼底部C的俯角为600.热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．23．（本小题满分7分）某商店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明；单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．(l)请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）的函数关系式：(2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？24.（本小题满分8分）已知的直径AB的长为4cm，C是上一点，过点C作的切线交AB的延长线于点P，求BP的长．25.（本小题满分8分）如图，已知在(l)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径^第25题圈26．（本小题满分9分）如图，直线y= - 2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点D逆时针方向旋转900后得到△OCD.(1)填空：点C的坐标是(__ __，_ _)，点D的坐标是(_ __，_ )；(2)设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；27.（本小题满分9分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为抛物线的对称轴l与冉线BD交于点C、与x轴交于点E.(1)求A、B、C三个点的坐标．(2)点P为线段AB上的一个动点（与点A 、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN.①求证：AN=BM．②在点P九年级数学试题参考答案与评分标准运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值．。
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九年级第一学期期末数学模拟练习
一、选择（8*4=32）
1、下列各图中，是中心对称图形的是()
2、若代数式12-x 有意义，则x 的取值范围是（
）A 、21
x ≠B 、21
x ≥C 、21
x ≤D 、2
1
-x ≠
3、将抛物线y=(x+1)2向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）
A 、y=(x+1)2-2
B 、y=(x+1)2+2
C 、y=(x+3)2
D 、y=(x-1)2
4、如图，等边三角形ABC 内接于圆O ，连接OB 、OC ，那么BOC ∠的度数是（
）度A 、150B 、120C 、90D 、60
5、把方程x 2+6x+3=0化成（x+n ）2=m 的形式，正确的结果为（
）A 、（x+3）2=6B 、（x-3）2=6C 、（x+3）2=12D 、（x-3）2=33
6、如图，AC 与BC 相交于点E ，AD//BC ，若AE:EC=1：2，则CEB AED S ∆∆:S 为（
）
A 、21：
B 、1：2
C 、1：3
D 、1：4
7、如图，小明从二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中观察得出了下面五条信息：
①C<0②abc<0③a-b+c>0④2a-3b=0⑤c-4b>0
你认为正确的信息是
A 、①②③⑤
B 、①②③④
C 、①③④⑤
D 、①②③
8、如图，已知圆O 是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，。
45=∠AOB ，
点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与圆O 有公共点，设OP=x ，则x 的取值范围是
二、填空（4*4）
9、若x=1是方程x 2+2kx-5=0的一个解，则k=___________。
10、在半径为6cm 的圆中，若扇形面积为9πcm 2,则它的弧长为__________
11、若二次函数y=2x 2-3的图象上有两个点A （-3，m ）、B （2，n ）则m_____n(填<=或>)
12、如图①，两个正方形的边长均为3，则三角形DBF 的面积为__________，如图②，正方形ABCD 的边长为3，正方形CEFG 的边长为1，则三角DBF 的面积为__________,如图③，正方形ABCD 的边长为a ，正方形ABCD 的边长为b ，则三角形DBF 的面积为____________
三、解答题：（5*6=30）13.1-031-4--455-20）（）（π+14、解方程（x-5）(2x+1)=2x-10
备用图：。