高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.4 直角三角形的射影定理课件 新人教A版选修41
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理a41a高二41数学
12/13/2021
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3.在 Rt△ACB 中,∠C=90°,CD⊥AB 于点 D,若 BD∶AD=1∶4,则 tan
∠BCD 的值是(
)
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A.
B.
1
2
C.
D.2
解析
如图所示,由射影定理得CD2=AD·BD.∵BD∶AD=1∶4,令BD=x,则
AD=4x(x>0).∴CD2=AD·BD=4x2,
解由AD⊥BC,EF⊥BC可知,点A在直线BC上的射影是点D;点B在
直线BC上的射影是点B,点C在直线BC上的射影是点C,点D在直线
BC上的射影是点D,点E,F,G在直线BC上的射影都是点E;线段AB在
直线BC上的射影是DB,线段AC在直线BC上的射影是DC,线段AF在
直线BC上的射影是DE,线段FG在直线BC上的射影是点E.
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于点D.若
AC∶CB=1∶5,则AD∶DB=
.
解析由射影定理可得AC2=AD·AB,CB2=BD·AB,
所以AC2∶CB2=(AD·AB)∶(BD·AB)=AD∶BD=1∶25.
答案1∶25
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1.一条线段在某条直线上的射影不可能是(
5 6
边上中线的长是斜边的一半,即为 2
5 6
答案 2 cm
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cm.
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5.
如图所示,已知CD是Rt△ACB斜边AB上的高,若AC∶BC=3∶4.
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1
证明 ∵AB∶BC＝5∶6， ∴设 AB＝5k，BC＝6k(k>0). ∴在矩形 ABCD 中，有 CD＝AB＝5k，BC＝ AD＝6k，∠B＝∠C＝∠D＝90°. ∵EC＝16BC，∴EC＝16×6k＝k.∴BE＝5k. ∵FC＝35CD，∴FC＝35×5k＝3k. ∴DF＝CD－FC＝2k.
在 Rt△ADF 中，由勾股定理得 AF2＝AD2＋DF2＝36k2＋ 4k2＝40k2，同理可得 AE2＝50k2，EF2＝10k2. ∴AF2＋EF2＝40k2＋10k2＝50k2＝AE2. ∴△AEF 是直角三角形. ∵FG⊥AE，由直角三角形的射影定理， 得 EF2＝GE·AE.∴AE＝5 2k，∴GE＝EAFE2＝510k22k＝ 2k. ∴4GE＝4 2k.又∵AG＝AE－GE＝5 2k－ 2k＝4 2k， ∴AG＝4GE.
例中项；两条直角边分别是它们在斜边上射影与_斜_边___的 语言
比例中项 符号 在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则CD2＝BD·_A_D_； 语言 AC2＝AD·_A_B__；BC2＝BD·B_A__
图形 语言
作用 确定成比例的线段
要点一 射影的概念 例 1 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC
∵四边形 ABD1D 为矩形，∴BD1＝AD＝1， ∴线段 AD 在直线 BC 上的射影长为 1.
(2)由(1)的作图知，D1C 即为线段 DC 在直线 BC 上的射 影.∵DD1＝AB＝2，∠DCB＝60°，∴D1C＝tanD61D0°＝
2 ＝2 3
3 3.∴线段
DC
在直线
BC
上的射影长为2 3
3.
要点二 与射影定理有关的计算问题 例 2 如图，D 为△ABC 中 BC 边上的一点，
第一讲相似三角形的判定及有关性质
SADE 1 , 解：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 SABD 2
1 3 所以SADE SABC , SDECB SABC , 4 4 SADE 1 所以 . S DECB 3
2
4.如图，Rt△ABC中,∠C＝90°,CD是斜边上的高,AC＝5, BC＝8,则S△CDA∶S△CDB等于(
点评
比例求值，求面积，求线段长，它们是一个有机的统一
体，它们可以互为条件，以相似三角形为核心，有时借助平行线分 线段成比例定理，演绎出众多题型和方法.
【变式迁移】 2.如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若△AEF的面 积等于6cm2,则△ADF的面积等于 18 cm2．
解：由题意得△AEF与△CDF为相似三角形,又AE∶CD=1∶3, 由△AEF的面积为6cm2得△CDF的面积为54cm2, 又S△ADF∶S△CDF＝1∶3,所以S△ADF=18cm2．
解：因为AD⊥BC，所以△ADB是直角三角形， 又DE⊥AB，由射影定理，AD2＝AE·AB， 同理可得，AD2＝AF·AC，
AE AC 3 . 所以AE·AB＝AF·AC，所以 AF AB 4
拓展练习1：如图，在RtABC中，AF 是斜边BC上的 高线，且BD DC FC 1，则AC
图5
B
图4
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
直线，必平分另一腰。
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理教材梳理素材1
四 直角三角形的射影定理庖丁巧解牛知识·巧学一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1—4—2，AB 在AC 上的射影是线段AC ；BC 在AC 上的射影是点C ；AC 、BC 在AB 上的射影分别是AD 、BD ，这样，Rt △ABC 中的六条线段就都有了名称,它们分别是:两条直角边(AC 、BC)，斜边（AB ），斜边上的高（CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD 、BD)。
图1—4-2二、直角三角形的射影定理由于角之间的关系,图1-4-2中三个直角三角形具有相似关系，于是Rt △ABC 的六条线段之间存在着比例关系.△ACD ∽△CBD ，有BD CD CD AD =，转化为等积式，即CD 2=AD·BD ； △ACD ∽△ABC,有ACAD AB AC =，转化为等积式,即AC 2=AB·AD; △BCD ∽△BAC ，有BCBD BA BC =，转化为等积式，即BC 2=BA·BD. 用语言来表述，就是在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.联想发散这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1—4-3，在Rt△ABC中,∠C＝90°,CD是AB上的高.已知AD＝4，BD＝9，就可以求CD、AC。
由射影定理，得CD2=AD·BD=4×9＝36.因为边长为正值，所以CD＝6，AC2=AD·AB=4×(4＋9）＝52。
所以AC＝132。
我们还可以求出BC、AB,以及△ABC的面积等。
问题·探究问题1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1—4-3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么AC2＋BC2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？图1—4—3思路:将射影定理产生的式子AC2=AB·AD和BC2=BA·BD左右两边分别相加。
讲相似三角形的判定及有关性质第直角三角形的射影定理ppt
02
直角三角形射影定理
射影定理定义
射影定理定义
射影定理是指在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的 比例中项。
定理的数学表达
如果直角三角形ABC中，角A是直角，BC是斜边，AB和AC是两条直角边，那 么AB和AC在斜边BC上的射影的比等于BC与AB和AC的比。
射影定理证明方法
01 方法一
利用相似三角形证明
02 证明过程
03 方法二
利用面积法证明
可以利用三角形ABC和三角形 AB'C'（其中A'B'是AB在斜边BC上 的射影）相似。得到 AB'/A'B=AC/AC'。再根据射影的 定义。得到AB'/A'B=BC/AB
04 证明过程
可以利用三角形面积公式。得到 S(ABC)=1/2*AB*AC*sinA。 S(A'B'C')=1/2*A'B'*A'C'*sinA。 根据射影的定义
而得到射影等于(6×8)/10=4.8。 • 应用二：解决物理问题 • 应用场景：当需要求解或证明光学、力学等物理问题时，可以利用射影定理来求解或证明。 • 应用实例：在一根直杆上挂有一根绳子，绳子的一端固定在地面上，另一端通过一个定滑轮与重物相连，
求绳子在地面上的投影长度。 • 应用方法：根据射影定理，可以得到绳子在地面上的投影与地面上绳子投影的比例中项等于绳子与重物的
讲相似三角形的判定及有关 性质第直角三角形的射影定
理ppt 2023-10-29
contents
目录
• 相似三角形判定及性质 • 直角三角形射影定理 • 案例分析 • 总结与展望
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理预习导学案 新人教A版选修41
四 直角三角形的射影定理预习导航1．射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正射影．点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理确定成比例的线段 ＝AB 2，AD 2＋CD 2＝AC 2，BD (2)面积关系：AC ·BC ＝AB ·CD ＝2S △ABC ，S △ACD S △CBD ＝AD BD ＝AC 2BC 2. 思考1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，那么AC 2＋BC 2＝AB 2，这一结论被称为勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 上的高，应用射影定理，可以得到AC 2＋BC2＝AD ·AB ＋BD ·AB ＝(AD ＋BD )·AB ＝AB 2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多．将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度．思考2 射影定理的证明．提示：①利用三角函数证明直角三角形的射影定理在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，cos A ＝AD AC ＝AC AB ，∴AC 2＝AD ·AB .在Rt △CBD 和Rt △ABC 中，cos B ＝BD BC ＝BC AB ，∴BC 2＝BD ·AB .在Rt △ACD 和Rt △CBD 中，∠A ＝∠BCD ，∴tan A ＝tan ∠BCD ，即CD AD ＝BD CD ，∴CD 2＝AD ·BD .②利用勾股定理证明直角三角形的射影定理在Rt △ABC 中，∵AB 2＝AC 2＋BC 2，AB ＝AD ＋BD ，∴(AD ＋BD )2＝AC 2＋BC 2，∴AD 2＋2AD ·BD ＋BD 2＝AC 2＋BC 2，即2AD ·BD ＝(AC 2－AD 2)＋(BC 2－BD 2)．∵AC 2－AD 2＝CD 2，BC 2－BD 2＝CD 2，∴2AD ·BD ＝2CD 2，∴CD 2＝AD ·BD .在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝AD 2＋AD ·BD ＝AD ·(AD ＋BD )＝AD ·AB ，∴AC 2＝AD ·AB . 同理可证BC 2＝BD ·AB .。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
12
1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的
正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫
做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
������△������������������ ������△������������������
=
������������ ������������
=
������������������������22.
12
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
又∵AC=3,AD=2,
∴AB=
������������2 ������������
=
92.
答案:
9 2
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理 可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做2-1】 如图,已知在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D, 且CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理学案含解析
四角三角形的射影定理1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.如图，在Rt，求CD，AC，BC的长．在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD，AC，BC的长分别为2 3 cm,4 cm，4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3， 得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x . 因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， 所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°. 因为AB ＝m ， 所以BC ＝12m .又因为CD ⊥AB ， 所以BC 2＝BD ·AB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m .所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316 m 2，得CD ＝34m . 因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m .2．已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果两直角边AC ，BC 的长度比为AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值； (2)若AB ＝25 cm ，求CD 的长． 解：(1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2. ∴AD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916. (2)∵AB ＝25 cm ，AD ∶BD ＝9∶16， ∴AD ＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A作AH⊥BC于H.则DE∥AH∥GF.∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FCCH .∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC .而DE ＝GF ＝EF ，∴EF 2＝BE ·FC .4.如图，已知∠CAB ＝90°，AD ⊥CB ，△ACE ，△ABF 是正三角形，求证：DE ⊥DF . 证明：在Rt △ABC 中，AC 2＝CD ·CB ，AB 2＝BD ·BC ，AD 2＝CD ·BD . 所以AC AB＝CD BD＝ CD 2CD ·BD＝CD 2AD 2＝CD AD ＝AD BD. 因为AC ＝AE ，AB ＝BF ， 所以AE BF ＝ADBD.又∠FBD ＝60°＋∠ABD ，∠EAD ＝60°＋∠CAD ，∠ABD ＝∠CAD ， 所以∠FBD ＝∠EAD ， 所以△EAD ∽△FBD . 所以∠BDF ＝∠ADE .所以∠FDE ＝∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BDF ＝90°. 所以DE ⊥DF .课时跟踪检测(五)一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图，∵∠A ＝∠A ，∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ，∴AD AB ＝DEBC， ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)． 2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45.3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)， 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的长是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：选B ∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t .又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长． 答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形， 所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠AEB ＋∠DEF ＝90°. 因为∠DEF ＋∠DFE ＝90°，所以∠AEB ＝∠DFE .所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝6，AD ＝3.6，则BC ＝________.解析：由射影定理得，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2BC 2＝AD BD ，即BC 2＝AC 2·BD AD. 又∵CD 2＝AD ·BD ，∴BD ＝CD 2AD .∴BC 2＝AC 2·CD 2AD 2＝622－3.623.62＝64.∴BC ＝8. 答案：8 三、解答题8．如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．解：在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8， 满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°. ∴∠C ＋∠B ＝90°，即∠BAC ＝90°. 故在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，由射影定理知AD 2＝BD ·CD ，即62＝8·CD ， ∴CD ＝92.9.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD交BE 于点G ，交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF . 证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°， 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图， 设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ， 过D 作DE ⊥AB ， 由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F ， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理，BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.。