高二数学相似三角形的判定1
高二数学相似三角形的判定及性质
形成结论
定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个三角形的斜边和一 条直角边对应成比例，那么这两个 直角三角形相似.
形成结论
相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比 和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长之比等于相似比.
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于 相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
布置作业
P19 1、2、5
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似.
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，那么 这两个三角形相似.
相似三角形的判定 及有关性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形.相似三角形 的对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）
复习巩固
2、相似三角形的判定
（1）两个角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似； （3ttps:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定和判定方法
相似三角形的判定和判定方法1.边长比较法：通过比较两个三角形的各个边长，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应边长成比例关系，即每对对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的边长是另一个三角形的边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
2.角度比较法：通过比较两个三角形的各个角度，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应角度相等（或互为对应角的补角），那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一对内角是另一个三角形的一对内角的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
3.角边比较法：通过比较两个三角形的一个角和对边的比值，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的一个角相等，并且对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一个角是60度，它的对边长是另一个三角形的一个角是30度，它的对边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
4.比例关系法：通过使用相似三角形的比例关系，可以判断两个三角形是否相似。
根据数学原理，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。
这个比例关系可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中AB、BC、AC分别是一个三角形的三条边长，DE、EF、DF分别是另一个三角形的对应边长。
如果这个比例关系满足，那么这两个三角形就是相似的。
需要注意的是，相似三角形的判定必须满足两个条件：对应角度相等（或互为对应角的补角），以及对应边长成比例关系。
如果只满足其中一个条件，那么这两个三角形不是相似的。
此外，还可以根据相似三角形的性质解决一些图像类问题，比如计算物体在投影变换下的大小、角度等。
在计算机图形学和计算机视觉领域，相似三角形的概念被广泛应用于图像识别、图像重建等算法中。
总之，判定两个三角形是否相似有多种方法，包括比较边长、角度和使用比例关系。
通过这些方法，可以解决一些几何和图像问题，应用广泛。
相似三角形的判定条件
相似三角形的判定条件在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在解决几何问题时经常出现，还与实际生活中的许多场景有着紧密的联系。
那什么是相似三角形呢？简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，它们就是相似三角形。
而要判断两个三角形是否相似，就需要依据一定的判定条件。
相似三角形的判定条件主要有以下几种：第一种判定条件是“两角分别相等的两个三角形相似”。
这是一个非常重要的判定方法，也比较容易理解。
比如说，有两个三角形，一个三角形的两个角分别是 30 度和 60 度，另一个三角形也有两个角分别是 30 度和 60 度。
因为三角形的内角和是 180 度，所以第三个角的度数也就确定了。
这样一来，这两个三角形的三个角都分别相等，它们的形状就相同，从而可以判定这两个三角形是相似的。
第二种判定条件是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设我们有两个三角形，其中一个三角形的两条边的长度分别是 4 和 6，夹角是 60 度；另一个三角形对应的两条边的长度分别是 8 和 12，夹角也是 60 度。
我们可以计算出这两组对应边的比例，4∶8 ＝ 1∶2，6∶12 ＝ 1∶2，比例相等，而且夹角也相等，所以这两个三角形就是相似的。
第三种判定条件是“三边成比例的两个三角形相似”。
比如一个三角形的三条边分别是3、4、5，另一个三角形的三条边分别是6、8、10。
我们来计算一下它们对应边的比例，3∶6 ＝ 1∶2，4∶8 ＝ 1∶2，5∶10 ＝ 1∶2，三边的比例都相等，那么这两个三角形就是相似的。
为了更好地理解和运用这些判定条件，我们来看一些实际的例子。
假设在一个建筑工地上，有一个工人需要测量一个大型三角形广告牌的高度，但他无法直接测量。
不过，他在地面上立了一根已知长度的杆子，然后分别测量出杆子的影子长度和广告牌的影子长度。
通过这种方法，就可以利用相似三角形的知识来计算出广告牌的高度。
在这个例子中，杆子和它的影子以及广告牌和它的影子分别构成了两个直角三角形。
完整版相似三角形的判定方法
（一）相似三角形1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0△ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：•/ DE // BC ,•••△ ABC ADE ;②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADEA（双A型）例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点，DE // AB,DF // AC , 求证：△ ABC DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是数学几何中的一个重要概念，它在解决实际问题和证明定理时起着关键作用。
相似三角形的判定是基于其边比和角相等的条件，而相似三角形的性质则涉及到各个角的对应关系和边的比例关系。
本文将详细介绍相似三角形的判定方法和性质。
一、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，常用的判定方法有以下几种：1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的一个角相等，且对应边的夹角也相等，那么它们是相似的。
2. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三边分别成比例，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们是相似的。
3. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角相等，且两个角的对边成比例，那么它们是相似三角形。
这些判定方法是相似三角形性质的基础，通过判定可以确定两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质1. 两个相似三角形的对应角相等，即相应的角相等。
这是相似三角形定义的直接性质，对应角相等是相似三角形的必要条件。
2. 两个相似三角形的对应边成比例。
如果两个三角形相似，则它们的对应边的长度之比等于任意两个对应边的长度之比。
具体来说，设两个相似三角形的对应边分别为AB和A'B'、AC和A'C'、BC和B'C'，则有AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'。
3. 两个相似三角形的高线成比例。
如果两个相似三角形的高线分别为h和h'，那么h/h'等于相应的边的长度之比。
4. 两个相似三角形的面积之比等于对应边长度之比的平方。
设两个相似三角形的面积分别为S和S'，对应边的长度之比为k，则有S/S' = k^2。
5. 两个相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
高二数学相似三角形的判定1
如图已知 AB BC AC ，试说明∠BAD=∠CAE.
AD DE AE
解 AB BC AC AD DE AE
A E
∴Δ ABC∽Δ ADE ∴∠BAC=∠DAE
D C
B
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
如图在正方形网格上有A1B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC B`
C`
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
A
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA. D
三边对应成比例的,两三角形相似.
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定不怕？”临走前,何玲颇担心她.“没关系,赶紧回去吧.”以为她担心自己一个女生晚上怕黑,陆羽笑着将她一家送出院门,看着周家人绕到自家屋后往村里走.屋子周围种着许多桉树,村里风大,吹得叶子沙沙响.院门前有一大片空地被屋主铺了一层水泥,不管下多大雨,地面永远是平坦干净 の,没有泥坑.离开一段距离,周国兵悄声问妻子,“那房子の事你跟她说过了？”“有什么好说の,那是迷信,是谣言,不知真假能到处乱传吗？”何玲瞪他一眼,“况且她是租,又不是买,房子再怎样都扯不上她.”“啊？不好吧？我看她人挺娇气の,万一...”男人前怕虎后怕狼の怂样,女人最 看不惯,何玲没好气道：“万一什么？你爸整天去打扫卫生也不见怎样.难得现在没人传了,定康家搞成那样赚得一分算一
相似三角形的判定(解析版) (1)
4.4相似三角形的判定相似三角形的判定定理1.（一）相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.3．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定定理3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.一、单选题1．如图，AD ，BC 相交于点O ，由下列条件仍不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（ ）A ．AB ∥CD B ．∠C ＝∠B C ．OA OBOD OC= D ．OA ABOD CD= 【解答】D【提示】本题中已知∠AOB ＝∠DOC 是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠C ＝∠B 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OBOD OC = 、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA ABOD CD = ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意． 故选：DAB CDED EACB【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（ ）A ．C BAD ∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠ C ．AC ADBC AB = D ．2AB BD BC =⋅【解答】C【提示】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC ADBC AB =，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BCBD AB =，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ） A ．有一个角是45的两个等腰三角形 B ．有一个角是60的两个等腰三角形 C ．有一个角是110的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形【解答】A【提示】本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关，注意的是一个角是一个角是45°，这个角可能是顶角或者底角，有一个角是60，这个三角形就是等边三角形，一个角是110，这个角一定是顶角，若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值. 【详解】A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；C ．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；D ．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意； 故选A ．【点睛】本题解题关键在于，找准一个角是45，60，110的等腰三角形有几种情况，再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.4．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（ ）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B B C AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C．11111110,8;AB BC AC A B BCAC =====D．1111111,3;AB BC AC A B BCAC ====【解答】B【提示】根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B A C B C =======，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确；C、1111AB BC A B B C ≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D、1111AB BC A C B C =≠=ABC ∆和△111A B C 相似，错误； 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．5．下列能判定ABC DEF ∽△△的条件是( ) A ．AB AC DE DF = B ．AB ACDE DF =，A F ∠=∠ C ．AB AC DE DF =，B E ∠=∠ D ．AB ACDE DF =，A D ∠=∠ 【解答】D【提示】利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案．【详解】解：A.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； B. AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； C.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； D.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键． 6．如图，要使ACD ABC △△∽，需要具备的条件是（ ）A ．AC ABAD BC = B ．CD BCAD AC = C ．2AC AD AB =⋅D ．2CD AD BD =⋅【解答】C【提示】题目中隐含条件∠A ＝∠A ，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是AC ADAB AC =，根据比例性质即可推出答案． 【详解】解：∵在△ACD 和△ABC 中，∠A ＝∠A ，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：AC ADAB AC =， ∴2AC AD AB ⋅＝ ． 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED=∠B B ．AD AEAC AB = C ．AD·BC= DE·AC D ．DE//BC【解答】C【提示】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可． 【详解】∵∠AED=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故A 不符合题意； ∵AD AEAC AB =，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故B 不符合题意；∵AD·BC= DE·AC ，无夹角相等， ∴不能判定△ADE ∽△ACB ， 故C 符合题意； ∵DE//BC ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故D 不符合题意； 故选C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键． 8．如图，等边ABC 中，点E 是AB 的中点，点D 在AC 上，且2DC DA =，则（ ）A ．AED BED ∽△△ B ．AED CBD ∽△△ C ．AED ABD ∽△△ D ．BAD BCD ∽△△ 【解答】B【提示】由等边三角形的性质，中点的定义得到2BC AB AE ==，60A C ∠=∠=︒，结合2DC DA =，得到12AE AD CB CD ==，即可得到AED CBD ∽△△． 【详解】解：∵ABC 是等边三角形， ∴BC AB =，60A C ∠=∠=︒， ∵点E 是AB 的中点， ∴2BC AB AE ==， ∵2DC DA =， ∴12AE AD CB CD ==，∵60A C ∠=∠=︒，∴AED CBD ∽△△． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定进行判断．9．如图，在ACB △中，90,ACB AF ∠=︒是BAC ∠的平分线，过点F 作FE AF ⊥，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．CDF EBF ∽B ．ADF ABF ∽C ．ADF CFD ∽D ．ACF AFE ∽【解答】D【提示】根据相似三角形的判定方法AA 解题． 【详解】解：EF AF ⊥90AFE ∴∠=︒90ACB AFE ∴∠=∠=︒AF 是BAC ∠的平分线，CAF FAE ∴∠=∠()ACFAFE AA ∴故选项D 符合题意，选项A 、B 、C 均不符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．10．如图，四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且将这个四边形分成四个三角形，若::OA OC OB OD =，则下列结论中正确的是（ ）A ．△AOB ∽△AOD B ．△AOD ∽△BOC C ．△AOB ∽△BOCD ．△AOB ∽△COD 【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB ∽△COD ． 【详解】解：∵四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ， ∴∠AOB=∠COD ， 在△AOB 和△COD 中， =OA OBOC OD AOB COD ⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴△AOB ∽△COD ． 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．【解答】∠ADE=∠B （答案不唯一）．【提示】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A ，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 证ADE ABC △△∽相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件AD AEAB AC =证ADE ABC △△∽相似． 故答案为∶∠ADE ＝∠B （答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 12．图，在ABC 中，AB AC >，点D 在AB 上（点D 与A ，B 不重合），若再增加一个条件就能使ACD ABC △∽△，则这个条件是________（写出一个条件即可）．【解答】ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【提示】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可． 【详解】解：添加ACD ABC ∠=∠，可以使两个三角形相似． ∵CAD BAC ∠=∠，ACD ABC ∠=∠， ∴ACD ABC △∽△．故答案为：ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．13．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【解答】∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE(答案不唯一）【提示】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定． 【详解】∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2 ∴∠BAC ＝∠DAE又∵∠C ＝∠E （或∠B ＝∠ADE ） ∴△ABC ∽△ADE ．故答案为：∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE （答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键． 14．如图，在ABC 中，点D 为边AC 上的一点，选择下列条件：①2A ∠=∠；②1CBA ∠=∠；③BC CDAC AB =；④BC CD DB AC BC AB ==中的一个，不能得出ABC 和BCD △相似的是：__________（填序号）．【解答】③【提示】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意； ②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意； ③BC CDAC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DBAC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意， 故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．15．如图，在ABC 中，DE BC ∥，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，DC 、BE 交于点O ，则相似三角形有______．【解答】ADE∽ABC，DOE∽COB△【提示】根据DE BC∥，找出相等的角，进而得到相似三角形.【详解】解：∵DE BC∥，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴ADE∽ABC，∵DE BC∥，∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，∴DOE∽COB△，故答案为ADE∽ABC，DOE∽COB△.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=83，则线段CE的长是______．【解答】4【提示】延长AC，作DG⊥AC，根据根据角平分线的性质得到FD=GD，再根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解：延长AC，作DG⊥AC，∵AD平方∠BAC，∴FD=DG，∴S△ABC= S△ABD+ S△ADC=12AB FD⨯⨯+12AC GD⨯⨯=12AB EC⨯⨯即111105883310222EC⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ 解得EC=4.【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等与三角形的面积公式. 17．如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【解答】0.8或2##2或0.8【提示】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=；当BP BQ BCBA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似， 则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽， 即824816t t -=， 解得：2t =；当BP BQ BC BA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t-=， 解得：0.8t =；综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.【解答】 = 8【提示】①先证明△ABP ≌△CBQ,再证明△QBD ≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD ∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD. 【详解】解:①当BD 平分∠PBQ 时， ∠PBQ=45°，∴∠QBD=∠PBD=22.5°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°, ∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°， 在△ABP 和△CBQ 中，A C AB BCABP CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABP ≌△CBQ （ASA ）, ∴BP=BQ ，在△QBD 和△PBD 中，BQ BP QBD PBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBD ≌△PBD （SAS ）, ∴PD=QD;②当BD 不平分∠PBQ 时， ∵AB ∥CQ ， ∴∠ABQ=∠CQB ，∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°， ∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB ，∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°, ∴∠BDQ=∠BDP, ∴△BQD ∽△PBD ，∴BD QDPD BD =,∴PD·QD=BD2=22+22=8， 故答案为:=，8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.三、解答题19．已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB ＝8，AD ＝3，AC ＝6，AE ＝4，求证：△ABC ∽△AED ．【解答】见解析【提示】根据已知线段长度求出AB ACAE AD =，再根据∠A=∠A 推出相似即可． 【详解】证明：在△ABC 和△AED 中， ∵824AB AE ==，623AC AD ==，∴AB ACAE AD =， 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．20．已知：在△ABC 和△A′B′C′中， AB BC ACA B B C A C '''='''=．求证：△ABC ∽△A′B′C′．【解答】证明见解析【提示】先在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC ∽△ADE ，再△ADE ≌△A′B′C′即可．【详解】在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE ． ∵AB ACA B A C =''''，AD=A′B′，AE=A′C′， ∴AB ACAD AE = 而∠BAC=∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴AB BCAD DE = 又AB BCA B B C =''''，AD= A′B′， ∴ AB BCAD B C ='' ∴BC BCDE B C =''∴DE=B′C′，∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 21．已知：如图，在ABC 和A B C '''中，,A A B B ∠=∠∠=∠''． 求证：ABC A B C '''∽△△．【解答】见解析【提示】在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，容易得到ADE ABC △△∽，然后证明ADE A B C '''≌，从而即可得到ABC A B C '''∽△△．【详解】证明：在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，AD AEAB AC =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，则AD CFAB CB =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． ∴AE CFAC CB =． ∵//,//DE BC DF AC ， ∴四边形DFCE 是平行四边形． ∴DE CF =．∴AEDEAC CB =． ∴ADAE DEAB AC BC ==．而,,ADE B DAE BAC AED C ∠=∠∠=∠∠=∠， ∴ADE ABC △△∽．∵,,A A ADE B B AD A B ∠=∠∠=∠=∠=''''， ∴ADE A B C '''≌． ∴ABC A B C '''∽△△．【点睛】本题是教材上相似三角形的判定定理的证明，熟读教材是解题的关键． 22．如图，Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△； （2）CBD ABC ∽△△． 【解答】（1）见解析；（2）见解析【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． （2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：（1）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ．（2）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠B ＝∠B ， ∴△CBD ∽△ABC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．23．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠ABC ＝∠DBE ，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABD ∽△CBE ； （2）△ABC ∽△DBE ．【解答】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；（2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得AB BDBC BE=, 根据比例的性质得到AB BCBD BE=, 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似．【详解】（1）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4．∴△ABD∽△CBE；（2）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE，∵△ABD∽△CBE，∴=，∴=，∴△ABC∽△DBE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．24．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【解答】（1）答案见解析；（2）答案见解析【提示】（1）根据两角相等，两个三角形相似即可得出结论；（2）根据（1）得到△BAF ∽△BCE ，再由相似三角形的对应边成比例，得到BF ：BE=BA ：BC ，由两边对应成比例，夹角相等两个三角形相似，即可得出结论． 【详解】（1）∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB=∠CEB=90°． ∵∠B=∠B ，∴△BAF ∽△BCE ；（2）∵△BAF ∽△BCE ，∴BF ：BE=BA ：BC ． ∵∠B=∠B ，∴△BEF ∽△BCA ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==，点B 、D 、E 在一条直线上，求证：△ABD ∽△ACE ．【解答】证明见解析；【提示】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE ，即可得∠BAD=∠CAE ，再由AB AC AD AE =可得AB ADAC AE =，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD ∽△ACE ．【详解】∵在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==, ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC=∠DAE ， ∴∠BAD=∠CAE ， ∵AB ACAD AE =， ∴AB ADAC AE =， ∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 26．如图，△ABC 与 △ADE 中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD 、CE ，∠EAC=∠DAB.（1）求证：△ABC ∽△ADE ； （2）求证：△BAD ∽△CAE ；（3）已知BC=4，AC=3，AE=32．将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，求 BD 的长．【解答】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD=53．【提示】（1）由已知可得∠CAB=∠EAD ，∠ACB=∠AED=90°，则结论得证； （2）由（1）知AC AEAB AD ＝，∠EAC=∠DAB ，则结论得证； （3）先证△ABC ∽△ADE ，求出AE 、AD 的长，则BD 可求． 【详解】证明：（1）∵∠EAC=∠DAB ， ∴∠CAB=∠EAD ， ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴△ABC ∽△ADE ；（2）由（1）知△ABC ∽△ADE ， ∴AC AEAB AD ＝， ∵∠EAC=∠BAD ， ∴△BAD ∽△CAE ；（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，∴2222=43BC AC ++，∵△ABC ∽△ADE ， ∴AC AB AE AD ＝， ∴AD=5=•2AB AE AC ， 如图，将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，∠AEC=∠ADB=90°，∴222255=()=3225AB AD--【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。
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