2721相似三角形的判定(1)
27.2.1相似三角形的判定(1)预习稿
- 1 - l4l5BDCAl3l2l1FEC'B'A'CBA27.2.1 相似三角形的判定预习稿(1)
一、教学目标：1. 理解平行线分线段成比例定理及推论．2. 掌握相似三角形的判定定理(1)．
二、教学重点：掌握相似三角形的判定定理(1)．
三、教学难点：理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．
四、预习过程
一、温故知新
1．相似多边形的性质：对应边 ；对应角 ．
2．全等三角形的判定方法有
、
、 、 等方法．
二、探索新知
(一) 相似三角形
如图，在ABC与'''ABC中，
如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′,且kACCACBBCBAAB．
则ABC与'''ABC相似，记作ABC '''ABC，则相似比为 ．
也可记为'''ABC ABC，则相似比为 ．
问题 如果k=1，ABC '''ABC．
(二)平行线分线段成比例
探究1 如图,任意画两条直线1l，2l，再画三条与1l,2l相交的平行线3l , 4l，5l分别度量3l , 4l，5l在1l上截得的两条线段AB, BC和在2l上截得的两条线段DE, EF的长度, 思考：
(1)ABBC DEEF(填“＝”、“≠”) ．
(2)任意平移5l ,ABBC DEEF(填“＝”、“≠”) ．
(3)当3l// 4l// 5l时，还有：()ABDEBC ，()ABDEAC，()BCACDF等．
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
- 2 - 拓展 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现两种情况：
(1)把4l看成平行于△ABC的边BC的直线，得到图(1) ．
(2)把3l看成平行于△ABC的边BC的直线，得到图(2) ．
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段的比相等．
27.2.1相似三角形的判定(1)
人教版九年级数学（下） 第二十七章 相似
27.2.1 相似三角形的判定（1）一、温故互查
1. 什么叫做相似多边形？
2.相似多边形的性质和判定各是什么？
3.成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比 ，即：ab （或:ab ），
我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．或者说四条线段a，b，c，d成比例.
二、情境导入
问题：判定两个三角形全等时，除了可以验证它们三组对应角，三组对应边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（_____，_____，_____，_____）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
为了证明相似三角形的判定定理，我们先来学习平行线分线段成比例的基本事实.
三、自主探究
1．在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且kACCACBBCBAAB．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=_____,
∠B=_____, ∠C=____, 且ACCACBBCBAAB．
☆ 问题：如果k=1，这两个三角形
☆ 当△ABC与△A′B′C′的相似比为k时，△A′B′C′与△ABC的相似比为 ．
2. 探究1： 如图,任意画两条直线l1 , l2,,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4, l5..分别量度l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB,
BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度,
AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?
2721相似三角形的判定(1)doc初中数学
27.2.1相似三角形的判定（1）
1、已知D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，请你添加一个条件，
使ΔABC与ΔAED相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).
2、如图，已知DE∥BC，EF∥AB，那么以下比例式中错误的选项是（ ）
A ACAEABAD B FBEACFCE C BDADBCDE D CBCFABEF
3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，
连结AE交CD于F，那么图中共有相似三角形 （ ）
A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
① ② ③ ④
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
.5、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）
(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥
6、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使ΔA1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).
7、如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.
8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？
答案
九年级数学下册 2721 相似三角形的判定教案 新人教版 教案
27．2．1相似三角形的判定（一）
教学目标
1． 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
教学重点与难点
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
教学设计 教学过程 设计意图说明
新课引入：
1． 复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
↓
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
2． 回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
↓
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。 从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
如图27·2-1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，
DE交AC于点E ，∆ADE与∆ABC有什么关系？
分析：观察27·2-1易知AD=12AB，AE=12AC，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=12BC即可，学生不难想到过E作EF∥AB。
↓
通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关∆ADE∽∆ABC，相似比为12。
延伸问题：
改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。
27.2.1相似三角形的判定(1) 2
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【自学指导】性质
1、两个三角形已知相似，可推出：
⑴、相似三角形对应边、对应中线，对应高线、对应角平分线的比等于相似比
⑵、相似三角形周长的比等于相似比
⑶、相似三角形面积的比等于相似比的平方
【尝试练习】
1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积. 解：在和中，
，
又
∽，相似比为21.
的周长为122421，的面积是1248)21(2.
建议：记住上面的解题格式，规范你的步骤。
2、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.
当的面积与四边形的面积相等时，求的长. （1）当的周长与四边形的周长相等时，求的长. （2）（3）在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.
归纳：相似三角形的常见图形及其变换：
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【巩固练习】
1．如图 ：AD⊥BC，∠BAC=90°，那么△ABC∽ ∽
2．下列条件中,判断△ABC与△A´B´C´是否相似？并说明理由.
⑴∠C=∠C´=90°,∠B=∠B´=50°.( )理由 .
⑵AB=AC,A´B´=A´C´,∠B=∠B´. ( )理由 .
⑶∠B=∠B´,''''CBBCBAAB. ( )理由 .
⑷∠A=∠A´,''''CBBCBAAB. ( )理由 .
相似三角形的五种判定方法
相似三角形的五种判定方法
1.两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相似；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应相等的三角形相似，俗话来讲先找到这两个三角形的对应
边，间接找出三角形三组对应角有俩组相等则相似；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。夹角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；方法四:三边对应成比例，俗话来讲:如上均先找到对应边对应角,将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
判定五:只适用于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相
似，俗话来讲俗话来讲:某种意义上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另外一个直角边也对应成比例。
九年级数学下册 2721相似三角形的判定(1) 精品教案 人教新课标版 教案
板
书
设
计
年 级 九年级 课题 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1． 了解相似三角形及相似比的概念；
2． 掌握平行线分线段成比例定理和推论；
3． 掌握相似三角形两种判定方法：平行线法，三边法.
过程
方法 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法.
情感
态度 发展学生的探究能力,渗透类比思想,体会特殊与一般的关系.
教学重点 掌握相似三角形的概念,能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似.
教学难点 能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、复习引入
1.什么是相似多边形?
2.怎样判断两个多边形相似?
3.三角形也属于多边形吗？相似三角形属于相似多边形吗？
4.给相似三角形下定义.
5.怎么样判断两个三角形相似？
二、自主探究
（一）平行线分线段成比例定理及其推论
教材40页探究1
平行线分线段成比例定理
分析:
1.线段AB,BC,DE,EF的长度随着直线5,43,lll的位置的变化而变化吗？
2.猜测BCAB与EFDE相等吗？
3.通过画图，测量，计算验证你的猜想.
4.用数学语言描述你的发现.
得到：平行线分线段成比例定理
教师点拨：其它成比例的线段还有哪些？实际上，线段左上、左下、左全，右上、右下、右全只要写在对应位置， 所得比就是相等的.
平行线分线段成比例定理的推论
1.定理图形中的直线21,ll交点在直线43,ll上时，对应线段还成比例吗？
教师提出问题，学生回忆，思考，并回答
教师组织学生按照探究要求进行活动，并回答教师设计的问题，逐步完善探究到的结论.
教师进行必要点拨，让学生认识到所有的成比例线段以及他们的内在联系.
复习相关知识，引出课题。建立新旧知识之间的联系，感知事物之间由一般到特殊，由特殊到一般的关系.
2721相似三角形的判定角角
27.2.1 相似三角形的判定——角角
教学目标：
知识与技能目标：掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，并会用其解决简单的问题；
过程与方法：经历探究“两角对应相等两三角形相似”的过程，培养学生类比的思想方法；
情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力、主动学习能力。
教学重点、难点：
重点：掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，并会用其解决简单的问题；
难点：探究“两角对应相等两三角形相似”的过程；掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，并会用其解决简单的问题。
教学过程：
一、学前准备
1.我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
2.如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
A
E
F B C D 3.如图，△ABC中，点D在AB上，如果ABADAC2,请判断△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
教师提问：上面两个题目是由平行或两组对应边的比相等及夹角相等来判定，那如果把条件换一下，变成∠ACD=∠B，这两个三角形还相似吗？
二、新知探究
证明上述结论
如图所示，在△ABC与△A′B′C′中，若∠A=∠A′，∠B=∠B′，证明：△ABC∽△A′B′C′
引导学生写出已知、求证。结论的证明以教师讲授为主，并引导学生思考。为此，需要构造出符合定理条件的图形：在△ABC中，作BC的平行线，且在△ABC中截得的三角形与△A′B′C′又有着非常紧密的联系（全等），这样师生共同分析，完成证明。教师把证明过程在课件中展示。
证明：在△ABC 的边AB上截取AD= A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，
则有△ADE∽△ABC.
∵∠ADE=∠B， ∠B=∠B′，
∴ ∠ADE=∠B′.
又∵∠A=∠A′，AD= A′B′， ABCA'B'C'图（4）ABCA'B'C'DE∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC ∽△A′B′C′.
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
1.AA（角-角）相似判定法：
如果两个三角形的两个角分别相等，则可以判断它们是相似三角形。具体来说，如果两个三角形的两个角分别相等，则其他角也必然相等。根据三角形内角和定理，一个三角形的三个角之和等于180度。因此，两个角相等的三角形的第三个角也必然相等，这样就可以判断两个三角形是相似的。
2.SSS（边-边-边）相似判定法：
如果两个三角形的三条边的比值相等，则它们是相似三角形。具体来说，如果两个三角形的对应边的长度比值相等，则可以判断它们是相似三角形。
3.SAS（边-角-边）相似判定法：
如果两个三角形的一个边与对应顶角的比值相等，而且另一对边的比值也相等，则可以判断它们是相似三角形。
4.AAA（角-角-角）相似判定法：
如果两个三角形的三个角对应相等，则可以判断它们是相似三角形。根据角度对应定理，如果两个三角形的三个角对应相等，则它们是相似的。
除了以上的几种判定方法，还有一些相似三角形的性质和定理可以用于判定。例如：
1.周角的比值定理： 如果两个相似三角形的三个内角对应相等，那么它们的周角的比值也相等。
2.面积的比值定理：
如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的面积比值为a²:b²。
3.高的比值定理：
如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的高的比值也为a:b。
4.相似三角形的中位线定理：
如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的中位线的比值也为a:b。
需要注意的是，这些判定方法和定理都是基于相似三角形的基本定义和性质推导出来的。在应用时，需要根据所给条件具体判断是否可以使用相应的判定方法和定理。
以上是一些常见的相似三角形的判定方法和定理。相似三角形是几何学中重要的概念之一，对于解决与三角形相关的问题有很大的帮助。同时也为后续学习更高级的几何概念和定理打下了基础。
2721相似三角形的判定1相似三角形的判定和性质重难点突破同步测试精选资料新版新人教版
1 重难点突破-相似三角形的判定和性质
一、单项选择题(共6题,共19分)
1.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（ ）
A.B.C.D.
2.如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为（ ）
A. 3：4
B. 1：2
C. 2：3
D. 1：3
3.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A.B. 2C. 3D. 4 2 4.如图，已知△ABC的面积是12，BC=6，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为（ ）
A.B.C.D.
5.如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=2，则CF的长为（ ）
A. 4
B. 4.5
C. 5
D. 6
6.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A.
B. 3 C.
D. 不确定