广西玉林市陆川中学2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年广西玉林市陆川中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知P={﹣1，0， }，Q={y |y=sinθ，θ∈R }，则P ∩Q=（ ）A ．∅B ．{0}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，}2．已知两条直线y=ax ﹣2和y=（a +2）x +1互相垂直，则a 等于（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣13．已知向量与的夹角为60°，则=（ ）A ．B ．C ．5D ．4．中心在原点、焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A ．+=1 B ．+=1C ． +=1D ． +=15．“函数f （x ）=ax +3在（﹣1，2）上存在零点”是“3＜a ＜4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2， a 3，a 1成等差数列，则公比q 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．或7．如图给出的是计算和式+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A．i≤11 B．i≤10 C．i≥10 D．i≥118．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C．D．9．某同学为了解秋冬季节用电量（y度）与气温（x℃）的关系，由下表数据计算出回归直线方程为y=﹣2x+60，则表中a的值为（）A．40 B．39 C．38 D．3710．若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A． B．C． D．11．从抛物线y2=4x的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，A，B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的纵坐标为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．f（0）＞e2f（4）二、填空题13．二项式（﹣）6展开式中常数项为．14．函数在区间[]的最小值为．15．已知A（2，2）、B（﹣5，1）、C（3，﹣5），则△ABC的外心的坐标为．16．已知函数f（x）=x2﹣2tx﹣4t﹣4，g（x）=﹣（t+2）2，两个函数图象的公切线恰为3条，则实数t的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知数列{a n}满足是等差数列，且b1=a1，b4=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）已知向量=（﹣2sin（π﹣x），cosx），=（cosx，2sin（﹣x）），函数f（x）=1﹣•．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间．19．（12分）已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．20．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣x2+ax，（1）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f'（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1＜x2，求证（3）证明当n≥2时，．21．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点F2和上顶点B在直线3x+y﹣3=0上，M、N为椭圆C上不同两点，且满足k BM•k BN=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：直线MN恒过定点；（3）求△BMN的面积的最大值，并求此时MN直线的方程．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年广西玉林市陆川中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知P={﹣1，0， }，Q={y|y=s inθ，θ∈R}，则P∩Q=（）A．∅B．{0}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0， }【考点】交集及其运算；正弦函数的定义域和值域．【分析】由题意P={﹣1，0， }，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，利用三角函数的值域解出集合Q，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵Q={y|y=sin θ，θ∈R}，∴Q={y|﹣1≤y≤1}，∵P={﹣1，0， }，∴P∩Q={﹣1，0}故选C．【点评】本题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键是明确集合中元素代表的意义．2．已知两条直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直⇔am+bn=0解之即可．【解答】解：由y=ax﹣2，y=（a+2）x+1得ax﹣y﹣2=0，（a+2）x﹣y+1=0因为直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，所以a（a+2）+1=0，解得a=﹣1．故选D．【点评】本题考查两直线垂直的条件．3．已知向量与的夹角为60°，则=（）A．B．C．5 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件可求出，进而根据即可求出的值．【解答】解：根据条件：===．故选A．【点评】考查数量积的运算及计算公式，根据求的方法．4．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】先根据长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，即可确定椭圆的几何量，从而可求椭圆的方程．【解答】解：∵长轴长为18∴2a=18，∴a=9，由题意，两个焦点恰好将长轴三等分∴2c=×2a=×18=6，∴c=3，∴a2=81，∴b2=a2﹣c2=81﹣9=72，故椭圆方程为故选A．【点评】本题重点考查椭圆的标准方程，解题的关键是利用条件，确定椭圆的几何量，属于基础题．5．“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”是“3＜a＜4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数零点的判定方法得出f（﹣1）f（2）＜0，即（3﹣a）（2a+3）＜0，运用充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点，∴f（﹣1）f（2）＜0，即（3﹣a）（2a+3）＜0a＞3或a＜﹣，∴根据充分必要条件的定义可判断：“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”是“3＜a＜4”的”的必要不充分条件故选：B．【点评】本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．6．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则公比q的值为（）A．B．C．D．或【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据等差中项的定义建立方程关系，结合等比数列的通项公式求出公比即可．【解答】解：∵a2，a3，a1成等差数列，∴a2+a1=2×a3=a3，即a1q2﹣a1﹣a1q=0，即q2﹣q﹣1=0，解得q=或，∵各项均为正数，∴q＞0，则q=不成立，则q=，故选：B【点评】本题主要考查等比数列公比的求解，根据等差数列和等比数列的性质和通项公式是解决本题的关键．7．如图给出的是计算和式+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤11 B．i≤10 C．i≥10 D．i≥11【考点】循环结构．【分析】由题意可知，首先是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，满足S=+++…+，框图应执行10次循环，此时i的值为11，判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得到判断框中的条件．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值为0，n赋值2，给循环变量i赋值1．此时判断框中的条件满足，执行S=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；此时判断框中的条件满足，执行S=0+，n=4+2=6，i=2+1=3；此时判断框中的条件满足，执行S=0+++，n=6+2=8，i=3+1=4；…此时判断框中的条件满足，执行S=+++…+，n=20+2=22，i=10+1=11；此时判断框中的条件不满足，故判断框内应填入的一个条件为i≤10．故选：B．【点评】本题考查了循环结构，是当型循环，区别当型和直到型的关键在于是满足条件执行循环还是不满足条件执行循环，满足条件执行循环的是当型结构，不满足条件执行循环的是直到型结构，是基础题．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：，故选B．【点评】本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是中档题．9．某同学为了解秋冬季节用电量（y度）与气温（x℃）的关系，由下表数据计算出回归直线方程为y=﹣2x+60，则表中a的值为（）A．40 B．39 C．38 D．37【考点】线性回归方程．【分析】先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，结合已知的线性回归方程，把样本中心点代入求出a的值．【解答】解：=10，=，∴这组数据的样本中心点是（10，），∵回归直线方程为y=﹣2x+60，把样本中心点代入得a=38，故选：C【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．10．若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A． B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．【解答】解：∵|x﹣1|﹣ln=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．11．从抛物线y2=4x的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，A，B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的纵坐标为（）A．B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用直线AB的倾斜角为，可得y1+y2=．求出即切线PA的方程为y=x+y1，切线PB的方程为y=x+y2，y1、y2是方程t2﹣2yt+4x=0两个根，利用韦达定理，可得结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，y），则k AB==，∵直线AB的倾斜角为，∴=，∴y1+y2=．切线PA的方程为y﹣y1=（x﹣x1），切线PB的方程为y﹣y2=（x﹣x2），即切线PA的方程为y=x+y1，切线PB的方程为y=x+y2．∴y1、y2是方程t2﹣2yt+4x=0两个根，∴y1+y2=2y=．∴y=．故选：B．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．f（0）＞e2f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．【解答】解：∵f（x）+2f′（x）＞0，可设f（x）=，∴f（1）=，f（0）=e0=1，∴f（1）＞，故选：A．【点评】本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题．二、填空题13．二项式（﹣）6展开式中常数项为60．【考点】二项式定理的应用．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．=•（﹣2）r•，【解答】解：二项式（﹣）6的展开式的通项公式为T r+1令=0，求得r=2，故展开式中常数项为•22=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．函数在区间[]的最小值为1．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】遇到三角函数性质问题，首先要把所给的函数式变换为y=Asin（ωx+φ）的形式，本题变化时用到两角和的正弦公式，当自变量取值为【0，】时，做出括号内的变量的取值，得出结果．【解答】解：y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵，∴，∴，∴最小值为1，故答案为：1．【点评】给定自变量的取值，要我们计算三角函数值，这是对性质的考查，解题时注意把所给的函数式同三角函数对应起来．15．已知A（2，2）、B（﹣5，1）、C（3，﹣5），则△ABC的外心的坐标为（﹣1，﹣2）．【考点】圆的一般方程．【分析】设外心坐标为（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=（x+5）2+（y﹣1）2=（x﹣3）2+（y+5）2，求出x，y，可得结论．【解答】解：设外心坐标为（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=（x+5）2+（y﹣1）2=（x﹣3）2+（y+5）2，解得x=﹣1，y=﹣2，∴外心坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查圆的方程，考查方程思想，比较基础．16．已知函数f（x）=x2﹣2tx﹣4t﹣4，g（x）=﹣（t+2）2，两个函数图象的公切线恰为3条，则实数t的取值范围为（，+∞）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），分别求出f（x），g（x）导数，可得切线的方程，由同一直线可得即可化为﹣+=0，即8x23﹣4tx22+1=0有3个非零实根，令h（x）=8x3﹣4tx2+1，有3个非零零点，h（0）=1，求出h（x）导数，对t讨论，分t=0，t＞0，t＜0，求出单调区间和极值，即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），则f′（x1）=2x1﹣2t，g′（x2）=﹣，切线方程为y﹣f（x1）=f′（x1）（x﹣x1），即y=（2x1﹣2t）x﹣x12﹣4t﹣4；y﹣g（x2）=g′（x2）（x﹣x2），即y=﹣x+﹣t2﹣4t﹣4．即2x1﹣2t=﹣，且﹣x12﹣4t﹣4=﹣t2﹣4t﹣4．即有x1=t﹣，x12=t2﹣，即可化为﹣+=0，即8x23﹣4tx22+1=0有3个非零实根，令h（x）=8x3﹣4tx2+1，有3个非零零点，h（0）=1，h′（x）=24x2﹣8tx=24x（x﹣），当t=0时，h′（x）=24x2＞0，h（x）递增，不符合条件；当t＞0，当x＜0或x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增，0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）极大值为为h（0）=1＞0，h（x）极小值为h（）=1﹣t3，由1﹣t3＜0，解得t＞，若t＜0，则当x＞0或x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增，＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）极大值为为h（0）=1＞0，h（x）极小值为h（）=1﹣t3＞0，不符要求．故t＞，故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查分类讨论、转化思想和运算求解能力，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（2016秋•香坊区校级期末）已知数列{a n}满足是等差数列，且b1=a1，b4=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系、等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）S n=2a n﹣1，n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣1，∴a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n ，即a n=2a n﹣1．﹣1当n=1时，S1=a1=2a1﹣1，∴a1=1，∴a n是以1为首项，2为公比的等比数列，∴，b1=a1=1，b4=a3=4，∴公差==1．b n=1+（n﹣1）=n．（2），∴．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•陆川县校级期末）已知向量=（﹣2sin（π﹣x），cosx），=（cosx，2sin（﹣x）），函数f（x）=1﹣•．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量的数量积和两角和的正弦公式即可得出；（2）利用正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵（）=﹣2sinxcosx+2cos2x=﹣，∴f（x）=1﹣．（2）由（k∈Z）．解得，∵取k=0和1 且x∈[0，π]，得0和，∴f（x）的单调递增区间为[0，]和[]．【点评】本题考查了向量的数量积和两角和的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．19．（12分）（2015•湖南二模）已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∴f（x）的最大值为，∴=2，又m＞0，∴m=，∴f（x）=2sin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），则f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[，π]；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，由正弦定理得： +=2×，即a+b=ab①，由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得：ab=3或ab=﹣（舍去），=absinC=．则S△ABC【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（12分）（2016秋•陆川县校级期末）已知函数f（x）=lnx﹣x2+ax，（1）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f'（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1＜x2，求证（3）证明当n≥2时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即a≤2x﹣恒成立，求出a的范围即可；（2）求出a，得到f′（）=﹣，问题转化为证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，根据函数的单调性证明即可；（3）令a=1，得到lnx≤x2﹣x，得到x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，累加即可．【解答】（1）解：∵x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，∴f′（x）=﹣2x+a≤0在（1，+∞）恒成立，即a≤2x﹣恒成立，而y=2x﹣在（1，+∞）递增，故2x﹣＞1，故a≤1；（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则lnx1﹣+ax1=0，①，lnx2﹣+ax2=0，②，两式相减得a=（x1+x2）﹣，又f（x）=lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a，则f′（）=﹣（x1+x2）+a=﹣，要证﹣＜0，即证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，∵u′（t）=，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知﹣＜0，故f′（）＜0成立；（3）证明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）递减，∴f（x）=lnx﹣x2+x≤f（1）=0，故lnx≤x2﹣x，x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，故++…+＞++…+=1﹣，∴++…+＞1﹣，即左边＞1﹣＞1，得证．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查通过研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2016秋•陆川县校级期末）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点F2和上顶点B在直线3x+y﹣3=0上，M、N为椭圆C上不同两点，且满足k BM•k BN=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：直线MN恒过定点；（3）求△BMN的面积的最大值，并求此时MN直线的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点F2和上顶点B在直线3x+y﹣3=0上，可得椭圆的右焦点为F2（1，0），上顶点为B，可得c=1，b=，a2=b2+c2，即可得出．（2）由（1）知B，设M（x1，y1），N（x2，y2），•当直线MN斜率不存在，则x1=x2，y1=﹣y2，又=1，与k BM•k BN=，不符合．当斜率存在时，设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立：（4k2+3）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，又k BM•k BN=，代入化简即可得出．（3）由△＞0，m=2，可得4k2﹣9＞0，设点B到直线MN的距离为d，则S△=|MN|d，又|MN|=，d=，代BMN化简即可得出．入S△BMN【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点F2和上顶点B在直线3x+y﹣3=0上，∴椭圆的右焦点为F2（1，0），上顶点为B，故c=1，b=，a2=b2+c2=4，∴所求椭圆标准方程为=1．（2）由（1）知B，设M（x1，y1），N（x2，y2），•当直线MN斜率不存在，则x1=x2，y1=﹣y2，又=1，∴k BM•k BN==≠，不符合．当斜率存在时，设直线MN方程为y=kx+m，联立，消去y得：（4k2+3）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴x1+x2=，x1•x2=，又k BM•k BN=，∴=，即4y1y2﹣4（y1+y2）+12﹣x1x2=0，又y1=kx1+m，y2=kx2+m，y1+y2=k（x1+x2）+2m=．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=．代入（*）化简得m+6=0，解得m=，m=2，又x1x2≠0，∴m=2，即y=kx+2，∴直线恒过定点．（3）由△＞0，m=2，可得4k2﹣9＞0，=|MN|d，设点B到直线MN的距离为d，则S△BMN又|MN|=，d=，=×××=∴S△BMN=，当且仅当4k2﹣9=12，即k=时，△BMN面积有最大值为，此时直线的方程为+2y﹣4=0或x﹣2y+4=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（2016•广东模拟）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一：a=4时，求出f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），结合函数的单调性求出即可；法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为，然后加以证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴…（1分）∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…（2分）所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…（3分）（Ⅱ）解法一：当a=4时，所以在点P处的切线方程为…（4分）若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）=0，…（7分）要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，…（8分）∴，即．…（9分）②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…（10分）∴．…（11分）所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（12分）（Ⅱ）解法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（4分）下面加以证明：当时，…①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令…（7分）∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…（9分）②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…（10分）综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查新定义的理解，是一道综合题．。