1.3-12三角函数的诱导公式(第二课时)
高二数学三角函数的诱导公式2
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
讲授新课
思考下列问题三： 对于任意角 ，sin与 sin(
2)的关系如何源自？讲授新课5. 诱导公式 (六)
sin(
2
) cos
cos( ) sin 2
讲授新课
6. 诱导公式(六)的结构特征
① 函数正变余，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 实现三角函数正弦与余弦间的转化.
1.3三角函数的 诱导公式
主讲老师：
复习回顾
诱导公式(一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
复习回顾
诱导公式(二)
sin( 180 ) sin cos(180 ) cos tan( 180 ) tan
1. 熟记诱导公式五、六； 2. 公式一至四记忆口诀：函数名不变，
正负看象限；
3. 运用诱导公式可以将任意角三角函数
转化为锐角三角函数．
课后作业
1. 阅读教材P.23-P.27；
2. 《习案》作业六、七.
；https:/// 配资公司 配资网 ； 2019.1 ；
现在是九月份,白俄罗斯的秋季已经到了.那里深处内陆,秋季来了更早,晴朗的晚上凉风习习.在篝火的照耀下全身暖和和
1.3三角函数诱导公式(第2课时)精品PPT课件
Sin(2kπ+α)=sin α
cos(2kπ+α)=cosα 2、负角诱导公式
Sin(-α)=- sin α
cos(-α)=cos α 3、四象限诱导公式
Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα
5、三象限诱导公式 Sin(π+α)=sin α cos(π+α)= - cosα
sin
.
y
P(x,y)
P(y,x)
α
2
O
x
y=x
2
2
由公式四和公式五得
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式五
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
的正弦 (余2弦)函数值,分别 等于α的余弦(正弦) 函数值,前面加上一 个把α看成锐角时 原函数值的符号.
三角函数
1.3 三角函数的诱导公式（2）
函数名不变，符号看象限
化简：
cos sin
180 180
sin cos
360 180
．
思考：终边与角α的终边关于直线y=x对称 的角与α有什么关系?它们的三角函数之间 有什么关系? 公式五
sin
2
cos ,
cos
2
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
1.3三角函数的诱导公式2课件人教新课标
11
2
sin
9
2
.
原式=
sin
cos
sin
cos
5
2
=
cos sin
sin2 cos
cos
sin
2
=
sin 4 sin
2
tan
cos
sin
sin
sin
2
cos
填表:
α
4
5
5
7
8
11
3
4
3
4
3
4
sinα
3
2
3
2
2
2
cosα
1 2
2 2
1 2
2 3 2
填在题中横线上
1 cos 13 __co_s_94__;
9
2sin 1 __s_i_n_1_;
3
sin
5
sin
_____5_;
4 cos 70 6 c_o_s_7_0_1_6.
利用公式一～四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面或一
α P(y,x)
2
O
x
y=x
2
2
由公式四同公式五得
公式六
sin
2
cos ,
cos
2
sin .
公式五 公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin.
sin
2
cos ,
cos
2
sin .
的正弦
2
(余弦)函数值,分 别等于α的余弦 (正弦)函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号.
1.3.2 三角函数的诱导公式(二)教案
湖 南 省 娄 底 市 双 峰 县 第 五 中 学 集 体 备 课 教 案高 一 年 级 数 学 组- 1 -教学环节设计 知识点解析、师生互动 教学后记课题：1.3.2 三角函数的诱导公式(二) 教学目标：1.进一步理解和掌握六组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2.通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力.教学重点：诱导公式及诱导公式的综合运用.教学难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 教学过程：（导入→自学→展示→探讨→展示→讲解点拨→评价小结→练习总结） 一、导入新课 角2π-α与角α终边之间有怎样的对称关系，能否从任意角三角函数的定义出发利用这一对称关系探求角2π-α与角α的三角函数值之间的关系呢？ 二、自主学习 自学任务：课本P26—P27，独立完成导学案。
三、展示评价 (学生展示导学案答案、教师评价解析) 四、小组探讨 （分组讨论、解答探究案） 五、展示评价 （分组展示探究案答案、教师评价解析） 六、课堂小结 七、检测反馈 （学生独立完成练习案、教师巡查点拨） 一、导学案答案解析二、探究案答案解析例1 13. 例2 略例3 5716. 三、检测案答案解析1．A 2．A 3．C 4．C 5．－13 6.892 7．2 8．解 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θ·cos θ＋cos θ ＝1cos θ＋1＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ. ∵sin θ＝33，∴原式＝6. 9．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
1.3-三角函数的诱导公式(第2课时)
1.3 三角函数的诱导公式第2课时学习目标：1.正确理解诱导公式的内容.2.能运用诱导公式进行化简、求值及证明.3通过诱导公式的具体运用，体会数学变形在数学中的作用；培养学生的逻辑推理能力，渗透转化及分类讨论的思想。
重点： 三角函数式的化简，求值和证明.难点：诱导公式的灵活运用.[预习案]1．若角α的终边与角β的终边关于直线y x =对称（如图）(1)角α与角β的正弦函数与余弦函数值之间有何关系?(2)角2πα-的终边与角α的终边是否关于直线y x =对称？(3)由(1),(2)你能发现什么结论？[探究案]1．诱导公式五：诱导公式六：2．六组诱导公式的记忆:奇变偶不变，符号看象限。
例1.求证: sin(23π+α)=－cos α ,变式训练: 求证cos(23π-α)=-sin α例2.已知cos(75°+α)=31, 且－180°<α<－90°, 求cos(15°－α)的值.变式训练:若sin (6π－α)=a , 则sin(π65+α)=_________________ . 已知1sin ,0,sin ______.4524x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-<<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则例3.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角, 求证:(1)cos(2A+B+C)=－cosA (2)tan 43tan 4C B A +-=+π变式训练: 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角, 求证: sin2cos 2A C B =+例4化简11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+[训练案]1.课本27页练习1,2,3,2.已知sin53.13°=0.8 , 则cos143.13°=______. cos216.87°=_______..。
学案4：1.3 三角函数的诱导公式（第二课时）
1.3 三角函数的诱导公式（第二课时）【课前准备】1．课时目标（1）正确理解诱导公式（五）～（六）的内容与推导，掌握诱导公式（五）～（六）；（2）会利用相应的诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，能运用其进行化简、求值及证明；（3）要特别注意区分诱导公式中的函数名称与符号．2．基础预探（1）诱导公式（五）：sin （π2－α）=________，cos （π2－α）=________； （2）诱导公式（六）：sin （π2+α）=________，cos （π2+α）=________； （3）我们可以用一段话来概括公式（五）～（六）：π2±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的________函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．【知识训练】1．cos 2（π4－α）+cos 2（π4+α）的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．21 D ．－21 2．若n ∈Z ，在①sin （n π+π3）；②sin （2n π±π3）；③sin[n π+（－1）n π3]；④cos[2n π+ （－1）n π6]中，与sin π3相等的是（ ） A ．①和② B ．③和④ C ．①和④ D ．②和③3．已知sin （π－α）=－2sin （π2+α），则sin αcos α=__________． 4．已知cos （π2+φ）=23，且|φ|<π2，则tan φ=________． 5．化简：sin 2(2π－α)＋cos 2(－α)＋sin(α－2π)sin(π－α)cos 2(3π2- α)＋cos 2(π＋α)－sin(π2＋α)cos(α－2π)．6．已知sin（α－π）=－2cos（2π－α），求πsin()cos(π)2πsin()sin(π)2αααα+---+-的值．【学习引领】1．诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．诱导公式是三角函数进行化简、求值、证明的基础，多与方程、不等式、函数极值等问题相联系，是考查三角函数的一个方向．2．对于公式（五）和公式（六），结合如下的单位圆图象，根据角α和角π2－α、π2+α的终边与单位圆的交点的横坐标与纵坐标之间相等或互为相反数的情况，可以归纳为：“纵轴变换变函数名，正弦x轴同侧不变异侧变，余弦y轴同侧不变异侧变”．根据以上归纳的规律，对于正弦函数中的诱导公式，如果角变换是关于纵轴进行的，即角α的终边与单位圆的交点的纵坐标和角π2－α、π2+α的终边与单位圆的交点的横坐标相同，此时相应的角的终边位于x轴同侧，对应的三角值的函数名称改变（函数名“正”变成“余”），且符号不变，相反则符号改变．同理，对于余弦函数中的诱导公式，如果角变换是关于纵轴进行的，即角α的终边与单位圆的交点的横坐标和角π2－α、π2+α的终边与单位圆的交点的纵坐标相同，此时相应的角的终边位于y轴同侧，对应的三角值的函数名称改变（函数名“余”变成“正”），且符号不变，相反则符号改变．【典例导析】题型一：诱导公式在求值问题中的应用例1．计算sin （414-n π－α）+cos （414+n π－α）（n ∈Z ）的值，其结果为__________． 点评：本例中方法一通过对n ∈Z 的奇数与偶数两种不同的情况加以分开讨论，在各自不同分类情况下，再结合诱导公式加以直接求解，也可以达到目的．但在方法二中，直接分析两个角之间的关系，直接通过诱导公式加以求解，显然更为方便快捷，方法更加巧妙． 变式练习1：设sin(π)cos(2π)5π3πcos()sin()22θθθθ-+--++＝2，则sin θ cos θ＝________． 题型二：诱导公式在化简（或证明）问题中的应用 例2．若f （n ）=sin （4n π+α），试化简f （n ）f （n +4）+f （n +2）f （n +6）．点评：对于比较复杂的代数式可以先利用诱导公式化简，然后再寻找它们之间的联系，得以化简．通过诱导公式加以化简再运算，显得方便快捷，方法更加巧妙．变式练习2：化简：π11πsin(2π)cos(π)cos()cos()229πcos(π)sin(5π)sin(π)sin()2αααααααα-++-----+．题型三：诱导公式在解决三角形问题中的应用例3．若方程（m +5）x 2－（2m +5）x +4=0的两根是直角△ABC 的两个锐角A 、B 的正弦值，试求实数m 的值．点评：在三角形的相应求值问题中，要注意结合三角形中各内角对应的三角函数值的限制条件，显然直角△ABC 的两个锐角A 、B 的正弦值均要在范围（0，1）内，由此对相应的值加以检验．变式练习3：已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，试证明：sin2B A +=cos 2C ．【随堂练习】1．已知cos16º=m ，则sin106º的值为（ ）A ．mB ．±mC ．±21m -D ．21m -2．已知cos （π－α）=－41，则sin （3π2+α）=（ ） A ．41 B ．－41 C ．415 D ．－415 3．若θθθθcos sin cos sin -+=2，则sin （θ－5π）sin （23π－θ）等于（ ） A ．43 B ．±103 C ．103 D ．－103 4．计算：sin 21º+sin 22º+sin 23º+…+sin 289º=_________．5．若f （cos x ）=cos2011x ，则f （sin x ）=________．6．设f （x ）=322π2cos sin (2π)sin()3222cos (π)cos()x x x x x +-++-+++-，求f （π3）的值．【课后作业】1．设f （x ）=sin 2（π2－x ）+cos 2（x －π2）+tan （19π－x ），则f （π3）=（ ） A ．1+3 B ．1－3 C ．1－33 D ．1+33 2．已知sin α=－53，则23π3πsin()cos()tan (2π)22ππcos()sin()22ααααα---+-+=（ ） A ．169 B ．－169 C ．173 D ．－173 3．已知sin （x +π6）=33，则sin （5π6－x ）+sin 2（π3－x ）=__________． 4．已知cos α=31，且－π2<α<0，则cos(π)sin(2π)tan(2π)3ππsin()cos()22ααααα--+--+=________． 5．已知tan α+αtan 1=25，求2sin 2（3π－α）－3cos （2π+α）sin （23π－α）+2的值．6．是否存在α、β，α∈（－2π，2π），β∈（0，π），使等式sin （3π－α）=2cos （2π－β），3cos （－α）=－2cos （π+β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．参考答案【课前准备】2．基础预探（1）cos α sin α （2）cos α －sin α （3）余弦（正弦）【知识训练】1． A【解析】原式= cos 2[π2－（π4+α）]+cos 2（π4+α）=sin 2（π4+α）+cos 2（π4+α）=1； 2． B 【解析】sin （n π+π3） =⎪⎩⎪⎨⎧-是奇数是偶数n n ,3sin ,3sin ππ；sin （2n π±π3） =± sin π3； sin[n π+（－1）n π3] = sin π3；cos[2n π+（－1）n π6]=sin π3； 3．－52 【解析】由sin （π－α）=－2sin （π2+α）得sin α=－2cos α，代入sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=51，那么sin αcos α=－2cos 2α=－52； 4.【解析】由cos （π2+φ）sin φ，即sin φ=|φ|<π2，∴cos φ=12，∴tan φ=ϕϕcos sin =－3； 5．【解】原式＝sin 2α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α－cos 2α＝cos 2αsin 2α=α2tan 1． 6．【解】由已知可得－sin α=－2cos α，即sin α=2cos α， 那么πsin()cos(π)2πsin()sin(π)2αααα+---+-=ααααsin cos cos cos ++=αααcos 2cos cos 2+=32． 【典例导析】例1.0【解析】方法一：当n 为奇数时，设n =2k +1（k ∈Z ），原式=sin[41)12(4-+k π－α]+cos[41)12(4++k π－α] =sin （438+k π－α）+cos （458+k π－α）=sin （43π－α）+cos （45π－α） =sin （43π－α）+cos[π2+（43π－α）]=sin （43π－α）－sin （43π－α）=0； 当n 为偶数时，设n =2k （k ∈Z ），原式=sin （418-k π－α）+cos （418+k π－α）=sin （－41π－α）+cos （41π－α） =－sin （41π+α）+cos[π2－（41π+α）]=－sin （41π+α）+sin （41π+α）=0； 综上分析可知，原式=0．方法二：由于414+n π－α=π2+（414-n π－α）， 那么sin （414-n π－α）+cos （414+n π－α） =sin （414-n π－α）+cos[π2+（414-n π－α）] = sin （414-n π－α）－sin （414-n π－α）=0，即其结果为0． 变式练习1：103 【解析】由于sin(π)cos(2π)5π3πcos()sin()22θθθθ-+--++=sin cos ππcos()sin()22θθθθ+--+=θθθθcos sin cos sin -+=2，可得tan θ=3，那么sin θcos θ＝θθθθ22cos sin cos sin +=1tan tan 2+θθ=103； 例2. 【解】由于f （n ）=sin （4n π+α）， 那么f （n +2）=sin （42+n π+α）= sin （π2+4n π+α）=cos （4n π+α）， f （n +4）=sin （44+n π+α）= sin （π+4n π+α）=－sin （4n π+α）， f （n +6）=sin （46+n π+α）= sin （3π2+4n π+α）=－cos （4n π+α）， 所以f （n ）f （n +4）+f （n +2）f （n +6）= sin （4n π+α）[－sin （4n π+α）]+ cos （4n π+α）[－cos （4n π+α）] =－sin 2（4n π+α）－cos 2（4n π+α）=－1． 变式练习2：【解】原式=sin (cos )(sin )(sin )cos sin [sin(π)]cos αααααααα------+=αααα223sin cos cos sin -=－ααcos sin =－tan α； 例3.【解】根据题意可得，sin A +sin B =552++m m 且sin A sin B =54+m ， 又A +B =π2，则B =π2－A ，那么有sin B =sin （π2－A ）=cos A ， ∴sin A +cos A =552++m m 且sin A cos A =54+m ， 那么（sin A +cos A ）2=sin 2A +cos 2A +2sin A cos A =1+58+m =（552++m m ）2， 整理可得3m 2+2m －40=0，解得m =－4或m =310， 而当m =－4时，sin A sin B =54+m =4，显然不满足题目条件，应舍去， 故实数m 的值为310． 变式练习3：【证明】∵A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，∴A +B +C =π，则A +B =π－C ，即2B A +=π2－2C ， ∴sin 2B A +=sin （π2－2C ）=cos 2C ，即原等式成立． 【随堂练习】1． A【解析】由于sin106º=sin （90º+16º）=cos16º=m ；2． B【解析】由于cos （π－α）=－cos α=－14，则cos α=14，而sin （3π2+α）=－ sin （π2+α）=－cos α=－14； 3． C 【解析】由sin cos sin cos θθθθ+-=2可得tan θ=3，而sin （θ－5π）sin （3π2－θ）=－sin θ（－cos θ）= sin θcos θ=22sin cos sin cos θθθθ+=2tan tan 1θθ+=310； 4．4421 【解析】由于sin 289º=sin 2（90 º－1 º）=cos 21 º，类似，可得sin 21 º +sin 22 º +sin 23 º +…+sin 289 º =（sin 21 º + sin 289 º）+（sin 22 º +sin 288 º）+…+（sin 244 º +sin 246 º） +sin 245 º =44+21=4421；5.－sin2011x【解析】若f （cos x ）=cos2011x ，有f （sin x ）=f [cos （90 º－x ）]= cos[2011（90 º－x ）] = cos （1005×180 º +90 º－2011x ）= cos （180 º +90 º－2011x ）=－cos （90 º－2011x ） =－sin2011x ；6．【解】f （x ）=322π2cos sin (2π)sin()3222cos (π)cos()x x x x x +-++-+++- =x x x x x cos cos 223cos sin cos 2223++-++=2cos cos 2)1(cos cos )1(cos 223++---x x x x x =2cos cos 2)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-x x x x x x x =2cos cos 2)2cos cos 2)(1(cos 22++++-x x x x x =cos x －1，所以f （π3）= cos π3－1=21－1=－21． 【课后作业】1.B【解析】由于f （x ）=sin 2（π2－x ）+cos 2（x －π2）+tan （19π－x ）=cos 2x +sin 2x －tan x =1－tan x ，则f （π3）=1－tan π3=1－3； 2.B 【解析】23π3πsin()cos()tan (2π)22ππcos()sin()22ααααα---+-+=23ππsin()[cos()]tan 22sin cos ααααα-+-- =2πsin()(sin )tan 2sin cos ααααα+-=2cos (sin )tan sin cos ααααα-=－tan 2α=－22sin cos αα=－22sin 1sin αα- =－22)53(1)53(---=－916； 3．332+ 【解析】sin （5π6－x ）+sin 2（π3－x ）= sin[π－（x +π6）]+sin 2[π2－（x +π6）]= sin （x +π6）+ cos 2（x +π6）=33+[1－（33）2]=332+； 4． －【解析】cos(π)sin(2π)tan(2π)3ππsin()cos()22ααααα--+--+=)sin (cos )tan (sin cos ααααα----=tan α，又cos α=13，且－π2<α<0，sin α=－α2cos 1-=－3，故tan α=sin cos αα=－22； 5．【解】由于tan α+αtan 1=25，即2tan 2α－5tan α+2=0，解得tan α=21或tan α=2， 而2sin 2（3π－α）－3cos （2π+α）sin （23π－α）+2 =2sin 2α－3（－sin α）[－sin （2π－α）]+2=2sin 2α－3（－sin α）（－cos α）+2 =2sin 2α－3sin αcos α+2=ααααα222cos sin cos sin 3sin 2+-+2=1tan tan 3tan 222+-ααα+2， 当tan α=21时，原式=1)21(213)21(222+⨯-⨯+2=－54+2=56； 当tan α=2时，原式=12232222+⨯-⨯+2=52+2=512． 6．【解】由条件得⎪⎩⎪⎨⎧.==②①，βαβαcos 2cos 3sin 2sin①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2，∴cos 2α=21，∵α∈（－2π，2π），∴α=4π或α=－4π， 将α=4π代入②得cos β=23，又β∈（0，π），∴β=6π，代入①可知，符合； 将α=－4π代入②得β=6π，代入①可知，不符合； 综上可知α=4π，β=6π．。
1.3 三角函数的诱导公式(二)学案
4、在 中， 且cosA>0,则角A＝＿＿
5、如果A为锐角， ，那么 _________
______
6、在△ABC中, 为内角，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
7、已 知 ，则 ＿＿＿
1.3三角函数的诱导公式（二）
学习目标：
1理解三角函数诱导公式；
2能灵活运用诱导公式解决问题；
重点难点：能灵活运用诱导公式解决三角函数相关问题
※学法指导※
学生小组一起讨论学习P26-27页
※学习过程※
一、知识链接
回忆上节课的公式二到公式四
（一）自主预习
公式五：
sin（－ ）＝_________，cos（－ ）＝_________
公式六：
sin（ ＋ ）＝__________，cos（＋ ）＝ _________
（二）合作探究
问题-：角 的终边与 有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
问题二:用单位圆与角的终边关系探究
Cos =sin =
Cos( )=
sin( )=
公式五：sin（－ ）＝_________，
cos（－ ）＝_________
公式六：sin（ ＋ ）＝__________，
cos（＋ ）＝ _________
总结：公式特点：________________ ___。
试一试：
证明：（1）Sin（ ）=-Cos
(2)Cos( )=Sin
化简：
（1）
(2已知 ，求
达标测试：1、填表：正弦余弦正切2、若角 是三角 形的一个内角，且 ，则角A＝＿＿＿。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
【多维探究】 (1)本例条件不变，如何求 cos56π－α的值？
(2)本例条件若变为“已知 sin23π＋α＝12”，其他不变，则 结果又如何？
(3)本例条件若不变，如何求 cos23π＋α的值？ (4)本例条件若不变，如何求 tanπ3－α的值？
解：(1)cos56π－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12. (2)cosπ6＋α＝cos23π＋α－π2＝cosπ2－23π＋α ＝sin23π＋α＝12.
提示：因为
tanπ2＋α
＝
csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－cs1oins
α α
＝
－
1 tan
α，所以
tanπ2＋α＝－tan1
α，即它们互为负倒数．
1．对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角． (2)公式五、六可以概括如下：π2±α 的正弦(余弦)函数值， 分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角 时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象 限”．
高中数学 第一章 三角函数 三角 的诱导公式（第 课时）教学课件
教 版必修
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休
睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对
哦~
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°
证明：∵左边＝－2sin321π－－2θsin－2 θsin θ－1
＝－2sinπ＋1－π2－2sθin2－θ sin θ－1＝2sinπ2－1－θ2s－ins2inθ θ－1
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2
) cos
cos( ) sin 2
思考2： 与 有什么内在联系？ 2 2 ( )
2 2
思考3：根据相关诱导公式推导， sin( ) ， cos( ) 分别等于什么？
2 2
31π 31π (3)f－ 3 ＝－cos－ 3 5π 5π ＝－cos －6×2π＋ 3 ＝－cos 3
π 1 ＝－cos ＝－ . 3 2
[例 3]
3π tan2π－αcos 2 －αcos6π－α 求证： ＝1. 3π 3π tanπ－αsinα＋ 2 cosα＋ 2
＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin(90°－31°)(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°) ＝sin 31°＝ 1－cos231°＝ 1－m 2.
[答案] B π π π －α π －α 1 ＋α －3 (2)cos 6 ＝cos 2 ＝sin 3 ＝ . 2
2
sin (
2
2
) cos
) sin
cos (
思考3：如果α 为锐角，你有什么办法证 明 ， sin( ) cos , cos( ) sin ？
2 2
a
c
α b
sin( ) cos b / c 2 cos( ) sin a / c 2
sin(
2
) cos
公式六：
cos( ) sin 2
思考4：根据相关诱导公式推导， 分别等于什么？
3 sin( ) 2
3 3 cos( ) sin( ) 2 2
3 cos( ) 2
思考5：正弦函数与余弦函数互称为余函 数，你能概括一下公式五、六的共同特 点和规律吗？ 公式五：
小结作业
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三 角函数之间的相互关系，并具有一定的规 律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法.
2.诱导公式是三角变换的基本公式，其 中角α可以是一个单角，也可以是一个 复角，应用时要注意整体把握、灵活变 通.
作业
思考4：若α 为一个任意给定的角，那么 的终边与角α 的终边有什么对称关 2 的终边 y 2 系？
α 的终边 O
x
思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何？
思考6：设角α 的终边与单位圆的交点 为P1（x，y），则 2 的终边与单 位圆的交点为P2（y，x），根据三角函 数的定义，你能获得哪些结论？
y
2 的终边
公式五：
sin(
P2(y，x)
α 的终边 O
ห้องสมุดไป่ตู้
2
) cos
P1(x，y) x
cos( ) sin 2
知识探究（二）： 的诱导公式 2
思考1：sin（90°＋60°）与cos60°， cos（90°＋60°）与sin60°的值分别 有什么关系？据此，你有什么猜想？
[例 2]
已知
3π sinπ－αcos2π－αcos－α＋ 2 f(α)＝ . π cos2－αsin－π－α
(1)化简 f(α)； (2)若 α 为第三象限角，且
3π 1 cosα－ 2 ＝ ，求 5
f(α)的值；
31π (3)若 α＝－ ，求 f(α)的值． 3
[例 1] ( )
(1)已知 cos 31° ＝m，则 sin 239° tan 149° 的值是
1－m2 A. m 1－m2 C．－ m (2)已知
π 1 sin3－α＝ ，求 2
B. 1－m2 D．－ 1－m2
π cos6＋α的值．
[解析]
(1)sin 239°tan 149°
2
2
的三角函数，是否也存在着某种关系， 需要我们作进一步的探究.
知识探究（一）：2 的诱导公式
思考1：sin（90°－60°）与sin60° 的值相等吗？相反吗？ 思考2：sin（90°－60°)与cos60°， cos（90°－60°）与sin60°的值分别 有什么关系？据此，你有什么猜想？
1.3
三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
cos x
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α （k∈Z）、π ＋α 、－α 、 π －α 与α 的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？
函数名不变，符号看象限定号.
2.对形如π －α 、π ＋α 的角的三角函 数可以转化为α 角的三角函数，对形 如 、 的角的三角函数与α 角
sin(
2
) cos ) sin
cos(
2
sin(
2
) cos
公式六：
cos( ) sin 2
k 思考6：诱导公式可统一为 2 (k Z)
的三角函数与α的三角函数之间的关系， 你有什么办法记住这些公式？ 奇变偶不变，符号看象限.
[解]
sin αcos α－sin α (1)f(α)＝ ＝－cos α. sin αsin α 1 1 α＝ ，∴sin α＝－ ， 5 5
2
3π (2)∵cosα－ 2 ＝－sin
2 6 又∵α 为第三象限角，∴cos α＝－ 1－sin α＝－ ， 5 2 6 ∴f(α)＝ . 5
[证明]
左边
π tan－α－cos2－αcos－α ＝ π π －tan α－sin2＋α－cos2 ＋α
－tan α－sin αcos α ＝ ＝1＝右边．∴原式成立． －tan α－cos αsin α