DS06-树

第
章
树和二叉树
先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-
2015-4-23
第
章
树和二叉树
二叉树结点的存储类型
typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;
中序线索二叉树
2015-4-23
第
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树和二叉树
中根遍历线索化(给二叉树穿线)的算法。 ThreadTtree pre=NULL; 建立一棵中序线 Void Inthread (ThreadTtree root) 索树的递归算法 {ThreadTtree p; //p是工作指针 if (root= = NULL) return; p=root; //树不空时 Inthread(p->Lchild); if (p->Lchild= =NULL) //左孩子空则穿线，修改左标志 { p->Ltag=1; p->Lchild=pre; } if (pre!=NULL&& pre->Rchild==NULL) //建右线索 {pre-> Rchild=p; pre->Rtag=1; } pre=p； // pre指向刚刚访问过的结点，这样下次再访问新结点时，pre为其前驱 Inthread(p->Rchild); } 2015-4-23
第
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树和二叉树
中序遍历二叉树的非递归算法
这在遍历的过程中要用栈来保存遍历中经过的路径。
void inorder(Btree root) {Btree q; //工作指针 int top，bb; //栈顶指针top Btnode s[max];//数组的每个元素是链表结点，s当做栈 top=0; //栈初始化 q=root; //工作指针赋初值 bb=0; //在操作过程中，当栈空或栈满时为1

先根遍历二叉树 （1）访问根结点； （2）先根遍历左子树； （3）先根遍历右子树。
2015-4-23
第
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树和二叉树

中根遍历二叉树 （1）中根遍历左子树； （2）访问根结点； （3）中根遍历右子树。 后根遍历二叉树 （1）后根遍历左子树； （2）后根遍历右子树； （3）访问根结点。
2015-4-23
2015-4-23
第
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ห้องสมุดไป่ตู้
树和二叉树
性质5 对于具有n个结点的完全二叉树，如果对 其结点按层次编号，则对任一结点i(1≤i≤n)， 有： (1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲； 如果i>1，则其双亲是 i/2 (2) 如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2i≤n， 则其左孩子是2i
(3) 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果 2i+1≤n，则其右孩子是2i+1
2015-4-23
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树和二叉树
满二叉树的特点：每一层上的结点数都具 有最大结点数。 完全二叉树的特点：叶子结点只可能在层 次最大的两层上出现，对任一结点，若其 右分支下子孙的最大层次为p，则其左分 支下子孙的最大层次必为p或p+1。下图所 示的二叉树即为完全二叉树。满二叉树必 为完全二叉树，而完全二叉树不一定是满 二叉树。
第
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树和二叉树
二叉树的存储结构
链式存储结构 :表示二叉树的链表中的结点应该包含3个域： 数据域和指向左、右子树的指针域，二叉树的这种存储结构被称 为二叉链表。
Lchild data rchild
在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域
2015-4-23
第
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树和二叉树
6.3
二叉树的遍历与线索化
二叉树的遍历：是按某条搜索路径访问树中的每 一个结点，使得每一个结点均被访问一次，而且 仅被访问一次。
2015-4-23
第
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树和二叉树

先根遍历算法
2015-4-23
void preorder(Btree root) { if(root!=NULL) { Visit(root->data);//访问根结点 preorder(root->Lchild);//递归访问左子树 preorder(root->Rchild);//递归访问右子树 } }
2015-4-23
第
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树和二叉树
有序树与无序树： 树中结点的各子树从左至右是有
次序的（不能互换）则称该树为
有序树，否则称该树为无序树。
2015-4-23
第
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树和二叉树
6.2
二叉树
二叉树的定义：二叉树是由n(n≥0)个结点 的有限集T构成，此集合或者为空集，或者 由一个根结点及两棵互不相交的左右子树组 成，并且左右子树都是二叉树。
2015-4-23
第
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树和二叉树
左标志的含义
0
Lchild指向结点的左孩子 Lchild指向该结点的前驱
Ltag=
1
右标志的含义
0
Rchild指向该结点的右孩子 Rchild指向该结点的后继
Rtag=
1
2015-4-23
第
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树和二叉树
线索二叉树的数据类型定义为：
typedef struct Node
{
datatype data;
struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; int Ltag, Rtag; } ThreadTnode,*ThreadTtree; Lchild
2015-4-23
Ltag
Data
Rtag
Rchild
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树和二叉树
中序线索二叉树示例
Lchild Ltag Data Rtag Rchild
2015-4-23
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树和二叉树
对二叉树以某种次序进行遍历并且 加上线索的过程叫做线索化 线索化是将二叉链表中的空链域填 上相应结点在一定遍历次序下的前驱或 后继结点的地址。因此线索化的过程就 是在遍历过程中修改空链域的过程。 对二叉树按照不同的遍历次序进行 线索化，可以得到不同的线索二叉树。
2015-4-23
第
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树和二叉树
树的度：树中最大的结点的度数即为树的度。 图6.1中的树的度为3。 结点的层次(level)：从根结点算起，根为第 一层，它的孩子为第二层……。若某结点在 第l层，则其孩子结点就在第l+1层。图6.1中， 结点A的层次为1，结点M的层次为4。 树的高度(depth)：树中结点的最大层次数。 图6.1中的树的高度为4。 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的树的集 合。
2015-4-23
第
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树和二叉树
后根遍历算法
void PostOrder(Btree root) { if(root!=NULL) { PostOrder(root->Lchild); PostOrder(root->Rchild); Visit(root ->data); } }
2015-4-23
注意：二叉树的子树有左右之分，因此二叉 树是一种有序树。
2015-4-23
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树和二叉树
二叉树的性质：
性质1 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。
用归纳法证明此性质： ①当i =1时，只有一个根结点，显然2i-1 = 21-1 = 20 =1； ②现在假定对所有的 j，1≤j<i，命题成立。即第 j层上至多有 2j-1个结点。 ③证明:当j=i时命题也成立。由归纳假定：第i-1层上至多有 2（i-1）-1个结点。又由于二叉树的每个结点的度至多是 2，故在 第i层上的最大结点数为第i-1层上的最大结点数的2倍，即为 2*2（i-1）-1= 2（i-1）
2015-4-23
第
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树和二叉树
性质2 深度为k的二叉树至多有2k－1个结点 （k>=1）。 证明：因为深度为 k 的二叉树 , 其结点总数的最 大值是将二叉树每层上结点数的最大值相加， 所以深度为k的二叉树的结点总数至多为：
k
∑第i层的最大结点数=∑ 2i－1 = 2k-1。
i=1 i=1
k
2015-4-23
第
章
树和二叉树
线索二叉树 利用二叉链表剩余的n+1个空指 针域来存放遍历过程中结点的前驱和 后继的指针，这种附加的指针称为 “线索”，加上了线索的二叉链表称 为线索链表，相应的二叉树称为线索 二叉树。
2015-4-23
第
章
树和二叉树
为了区分结点的指针域是指向其 孩子的指针，还是指向其前驱或后 继的线索，可在二叉链表的结点中, 再增设2个标志域。
第
章
树和二叉树
第六章

2015-4-23
树和二叉树
树的概念与定义 二 叉 树 二叉树的遍历与线索化 树和森林 哈夫曼树及其应用 树的计数
第
章
树和二叉树
6.1 树的概念与定义
树的定义：树(tree)是n(n≥0)个结点的有 限集T，当n=0时，称为空树；当n>0时，满 足以下条件： （1）有且仅有一个结点被称为树根（root） 结点； （2）当n>1时，除根结点以外的其余n-1个 结点可以划分成m(m>0)个互不相交的有限集 T1,T2,…，Tm，其中每一个集合本身又是一
第
章
树和二叉树
中根遍历算法
void inorder(Btree t) {