小专题(八) 轴对称变换的应用
课时四 轴对称的综合应用
课时四 轴对称的综合应用
轴对称的综合应用：
1. 轴对称在工程建设中的应用：
桥梁、大型水库及水利结构、导线桥架、护坡墙、山坡防护、立交桥、悬索桥等工程建设中，都有广泛的应用轴对称的结构，大大提高工程施工的效率。
2. 轴对称在加工制造中的应用：
在汽车车门、汽车大灯、机床、飞机、家具等制造行业，都需要轴对称结构，使其表面形状更富有艺术美感。
3. 轴对称在构件制造中的应用：
轴对称构件可以使材料的流动更加有效，相比于传统的构件，其机械强度更高、机动性更好。
4. 轴对称在建筑构件上的应用：
轴对称构件可以有效地增加结构刚度，如螺旋楼梯、钢结构、悬臂梁等结构，都需要轴对称结构。
5. 轴对称在能源行业的应用：
在能源行业，轴对称的结构作为机械装置的成分，可以在机械驱动、电气机械设备等方面起到重大的作用。
6. 轴对称在精密仪器设备中的应用：
精密仪器设备中有大量采用轴对称结构，可以减少振动幅度，提高精度、操作便捷性，确保精密仪器设备的运行稳定性。
7. 轴对称在装饰艺术品中的应用：
轴对称能够体现设计师的艺术感知和自由发挥，使艺术品更加具有欣赏性，同时使整体结构更加独立、区别，使得艺术品更加完整美观。
《轴对称变换》课件
07
总结与展望
本课程的主要内容回顾
轴对称变换的基本概念
详细介绍了轴对称变换的定义 、性质和分类，以及其在几何 、代数和解析几何等领域的应 用。
轴对称变换的几何意义
通过具体的图形变换，阐述了 轴对称变换在几何图形中的表 现形式，以及其在解决几何问 题中的应用。
轴对称变换的代数表示
介绍了如何用矩阵和线性变换 来表示轴对称变换，以及其在 矩阵论和线性代数中的重要地 位。
03
轴对称变换的扩展研究
展望了轴对称变换未来的研究方向，如非线性对称性、高维空间的对称
性等，以及其在数学、物理学和工程学等领域的重要意义。
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轴对称变换课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 轴对称变换的基本概念 • 轴对称变换的分类 • 轴对称变换的数学表达 • 轴对称变换的几何意义 • 轴对称变换的实际应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
轴对称变换：是指一个平面图形沿着一条直线折叠 后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 关于这条直线对称，这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
详细描述
当一个图形关于y轴进行对称变换时，其形状和大小同样保持不变，但方向可能 发生变化。例如，一个竖直线段会变成一条水平线段，一个长方形会变成一个 水平放置的正方形。
关于原点的对称变换
总结词
关于原点的对称变换是指图形在原点两侧保持对称的性质。
详细描述
当一个图形关于原点进行对称变换时，其形状和大小保持不变，但方向会发生180度的变化。例如，一个点会变 成其相对原点的对称点，一个正方形会变成一个旋转了180度的正方形。
考虑点P(1, 2)和对称轴y=1，经过轴对称变换后得到点P'(1, 0)。这个变换可以用向量方程来表示：向量 OP' = 向量OP - 2*(向量OP · 单位向量j)*单位向量j = (1, 2) - 2*(1/√2)*(1, 0) = (1, -2)。
轴对称性质应用
如图所示， 例 如图所示，要在街道旁修建一个牛奶 向居民区A、 提供牛奶 牛奶站M 提供牛奶， 站，向居民区 、B提供牛奶，牛奶站 应建在什么地方，才能使A、 到它的距 应建在什么地方，才能使 、B到它的距 离之和最短？ 离之和最短？
居民区A 居民区 · 居民区B 居民区 · 街道
已知:如图 直线MN和MN同侧两 如图， 练习 已知 如图，直线 和 同侧两 点A、B. 、 求作： 求作：点P，使点 在MN上，且 ，使点P在 上 ∠APM=∠BPN. ∠
用轴对称的观点证明有关几何命题
试说明在直角三角形中， 例1 试说明在直角三角形中，如果一个 锐角等于30°，那么它所对的直角边等 锐角等于 ° 于斜边的一半. 于斜边的一半
已知：如图， 练习 已知：如图，∠ACB=90°，CD ° 是高， 是高， ∠A=30°. °
1 求证： 求证：BD= AB. 4
M
线段的垂直平分线 如图所示， 例 如图所示，AB=AC=12，BC=7，AB ， ， 的垂直平分线交AB于 ， 的垂直平分线交 于D，交AC于E， 于 ， 的周长. 求△BCE的周长 的周长
问题：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、 问题：如图， 中 是 边的中点， 、 边的中点 F分别在 、AB上，且DE⊥DF，试说明 与 分别在AC、 上 分别在 ⊥ ，试说明FE与 BF+CE的大小关系 的大小关系. 的大小关系
A.长方形 长方形 C.梯形 梯形
B.三角形 三角形 D.菱形 菱形
பைடு நூலகம்
3.小强拿了张正方形纸片如图（1），沿虚线 小强拿了张正方形纸片如图（ ）， ），沿虚线 小强拿了张正方形纸片如图 对折一次如图（ ），再对折一次得图（ ）， ），再对折一次得图 对折一次如图（2），再对折一次得图（3）， 然后用剪刀沿图（ ）中虚线（ 然后用剪刀沿图（3）中虚线（虚线与底边平 剪去一个角，再打开后的形状应是（ 行）剪去一个角，再打开后的形状应是（ D）.
轴对称平移与旋转轴对称轴对称的再认识
2023-10-30•轴对称平移•旋转轴对称•轴对称的再认识目录•总结与展望01轴对称平移轴对称平移是指将图形以某条直线为轴，将图形上所有点沿该直线方向作对应平移。
定义轴对称平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。
性质定义与性质轴对称平移的应用图像处理在图像处理中，轴对称平移可用于对图像进行平移、旋转等操作，实现图像的几何变换。
晶体学在晶体学中，轴对称平移是描述晶体结构的重要工具之一，可以帮助科学家更好地理解晶体的性质和结构。
图形设计在图形设计中，轴对称平移是一种常见的变换方式，可以用来创建新的图形或图案。
实例展示矩形平移将一个矩形以某条直线为轴，将矩形上所有点沿该直线方向作对应平移，得到一个新的矩形。
螺旋图案通过连续的轴对称平移和旋转操作，可以创建一个美丽的螺旋图案。
雪花图案通过多个轴对称平移和旋转操作，可以创建一个雪花图案。
02旋转轴对称定义旋转轴对称是指图形绕某一直线旋转一定的角度后，自身重合的现象。
性质旋转轴对称具有旋转不变性和对称性。
定义与性质旋转对称在建筑、雕塑、绘画等艺术领域中有着广泛的应用。
艺术领域自然界中许多现象，如雪花、螺旋壳等，都呈现出旋转对称性。
自然界中在计算机图形学中，旋转对称被广泛应用于图像处理和动画制作。
计算机科学旋转轴对称的应用螺旋图案是典型的旋转对称图形，其结构具有旋转不变性。
螺旋图案六角形雪花是一种典型的具有旋转对称性的自然结构。
雪花圆形花坛是常见的旋转对称建筑，其设计具有旋转不变性。
圆形花坛实例展示03轴对称的再认识轴对称是指一个物体关于某一直线（对称轴）对称，即物体在该直线的两侧或一侧，沿直线折叠后，物体两部分能够互相重合。
轴对称的定义轴对称的深入理解轴对称具有唯一性、反身性和对称性。
轴对称的性质可以通过观察物体的形状、位置、方向等是否关于对称轴对称来进行判断。
轴对称的判断如雪花、树叶等自然物的形状呈现出轴对称的特点。
自然界中的轴对称许多艺术品和建筑在设计时也会利用轴对称，如教堂、寺庙等。
轴对称变换要点全析
教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。
轴对称变换·要点全析1．变换在《现代汉语词典》中，变换的意思是：事物的一种形式或内容换成另一种，如变换位置、变换手法．在前面学习全等三角形时，学习和介绍了全等变换．所谓全等变换，即把一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到另一个图形的过程．在这个过程中，原来图形的形状、大小都没有改变，只是位置、方向发生了改变．如图 14-2-1 中，（1）图是△ ABC平移后得到△ DEF，（ 2）图是△ ABC翻折后得到△ DBC，（3）图是△ ABC 旋转一个角（即∠ BAD）后，得到△ ADE，（4）图是△ABC先平移（ BE），后翻折，得到△ DEF，以上这几种图形变化的过程都是全等变换．变换前后，两图形全等．2 ．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．例如：图 14-2-2 中，△ DEF与△ ABC成轴对称，同样得到△ ABC的一系列对称图形△GHK、△ PQR、△ LMN等，并且△ ABC≌△ DEF≌△ GHK≌△ PRQ≌△LMN．以上这些图形的变化过程就是轴对称变换．3．轴对称变换的性质（1）变换前后的两个图形的形状、大小完全一样．（2）新图形的每一个点，都是原图形上每一个点关于某直线的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．【说明】如图 14-2-2 中，以△ ABC与△ DEF关于直线 l 对称为例说明如下：①△ ABC与△ DEF全等，只是图形的位置与方向发生变化，而形状、大小没变．②点 A、B、 C 分别与点 D、E、F 关于直线 l 对称．③线段 AD、 CF被直线 l 垂直平分．（4）①当对称轴平行时，变换一次，方向改变；变换两次，与原图形方向相同．依此类推，当变换奇数次时，方向改变，当变换偶数次时，方向不变．如图 14-2-3 ．②当对称不平行时，方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化．如图14-2-4 ．4．轴对称变换的应用利用轴对称变换可以设计出精美的图案，在许多美术作品和工艺制品中，经常看到轴对称变换的例子．如图 14-2-5 中的设计图：再如图 14-2-6 中的剪纸图：5．如何作一个图形关于某直线的对称图形由轴对称图形的性质可知，对称点的连线被对称轴垂直平分．因此，先把一个几何图形看成由一些点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．例如：如图 14-2-7 中，已知△ ABC和直线 l ．作出△ ABC关于直线 l 的对称图形．分析：在（ 1）图中，△ ABC的三个顶点已确定，只要作出三个顶点关于直线 l 的对称点，连接这三个对称点，就得△ ABC关于直线 l 对称图形．作法：（ 1）图中，（1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 G，在垂直线上截取 GA′＝ GA．则点A′，就是点 A 关于直线 l 的对称点（因 AA′被直线 l 垂直平分）．（2）同样道理和方法，分别作出点B、 C 关于直线 l 的对称点 B′、 C′．（3）连接 A′B′、 B′C′、 C′ A′，得到△ A′ B′ C′即为所求．在（ 2）图中，作法同（ 1）图的作法，图形如（ 2）图所示．再如一些几何图形的对称图形的画法，如图 14-2-8 所示．6．应用轴对称，寻找最佳方案问题例如：如图 14-2-9 ，在金水河的同一侧有两个村庄A、 B．要从河边同一点修两条水渠到 A、B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处使两条水渠最短？分析：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN，在直线 MN的同一侧有 A、B 两点．在直线 MN上找一点 P，使 P 点到 A、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图 14-2-9 所示，作 B 点关于直线 MN的对称点 B′，连接 AB′与 MN 相交于点 P，则 P 点即为所求．事实上，如果不是 P 点而是 P′点时，则连接 AP′、P′B和 P′B′．由轴对称性可知， P′B＝P′B′， PB＝PB′，所以 P′到 A、B 的距离之和AP′＋P′B＝AP′＋ P′B′．而 P 到 A、B 的距离之和 AP＋ PB＝AP＋PB′＝ AB′，在△ AB′P′中，三角形两边之和大于第三边，即 AP′＋ P′B′＞AB′．所以 P 点即为所求的点．【说明】（1）此题为典型的最佳方案选择问题，问题的核心是如何节省材料，反映在数学上就是寻找最小值问题．（2）与此类型相似，前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题，也是按此方法处理的．（3）解决这类问题时，先把具体问题抽象成数学模型，再用数学中学过的有关法则、定理等去解决．（4）在本例中，充分利用了轴对称的性质．7．轴对称的坐标表示方法点（ x， y）关于 x 轴对称点的坐标为（ x，－ y）；点（ x， y）关于 y 轴对称点的坐标为（－ x，y）．如图 14-2-10 中，点 P（2，3）关于 x 轴的对称点为P2（2，－ 3），关于 y轴的对称点为 P 1 ，（－ 2， 3）；点 P 2 关于 y 轴的对称点为 P 3（－ 2，－ 3）；而点 P 3 （－ 2，－ 3）与点 P 1（－ 2， 3）关于 x 轴对称．因此，我们得到规律：关于 x 轴对称的两个点的坐标， 横坐标不变， 纵坐标变成它的相反数； 关于y 轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标变成它的相反数．反过来，也成立．例如：判断下列各点的位置关系： C （－ ，－ ） D （－，）A （，－）B （，）2 5 2 5 2 5 2 5解：由坐标特点知， A 与 B 关于 x 轴对称， A 与 C 关于 y 轴对称， B 与 D 关于 y 轴对称．8 ．点 P （ x ， y ）关于直线 x ＝a 的对称点坐标如图 14-2-11中，点 P （ ， ）关于直线 x ＝ 2 的对称点为 P 1（ ， ）；关于1 43 4 直线 x ＝－ 1的对称点为 P 2（－ ， ）．3 4，而 P 1 、P 2 的横坐标发 由此可以看出，点 P 、P 1、P 2 的纵坐标都没变，都是 4生了变化，变化的规律是： P 1 点的横坐标比 A 点横坐标 2 多了一个 AP 1（即 AP ） 的长，而 AP 的长为 － ＝ ，∴ P 1 横坐标为 ＋（ － ）＝ ．2 1 1 2 2 1 3同样道理， P 2 点的横坐标是比 B 点横坐标－ 1 多了一个 BP 2（即 BP ）的长，而 BP 的长为｜－ － ｜＝ ，∴ P 2 横坐标为－ ＋（－ － ）＝－ ．1 12 1 1 1 3因此，得出规律：点 P （x ，y ）关于直线 x ＝ m 的对称点 P 1 的横坐标为 m ＋（ m － x ）＝ m － x ，纵坐标不变，即点 P 1、坐标为（m －x ，y ）．2 2P x ， y ）关于直线 y ＝ m 的对称点 P 2 的纵坐标为 m m y ）＝同样，点 （＋（ －m －y ，横坐标不变，即点 P 2 坐标为（x ， m － y ）．2 2 的对称点坐标为 P 1（ × － ，由此可以直接写出点 P （ ， ）关于直线 x ＝5 3 2 P 2（，） 2 5 3 2），即 P 1 （ ， ），关于 y ＝ 3的对称点 P 2 的坐标为7 2 3 4 例如：写出下列点关于直线 x ＝4 和直线 y ＝5 的对称点的坐标． A （2，3） B （4，5）C （－ 3， 1）D （－ 2，－ 1） 解：由上面的式子可知， 点关于直线 x ＝ 4 的对称点和关于直线 y ＝ 5 的对称 点坐标列表如下：A （2，3）B （4，5）C （－ 3，1）D （－ 2，－ 1） 关于直线 x ＝ 4 A 1（，）B 1（ ，５）C 1（，１）D 1（ ，－ ）的对称点6 341110 1关于直线 y ＝ 5A 2（ ，７）B 2（ ，５）C 2（－ ， ）D 2（－ ， ）的对称点243 9 2 11同样，关于 x 轴（y ＝0）对称的点的坐标中 x 坐标不变， y 坐标为其相反数；关于 y 轴（ x＝0）对称的点的坐标中， y 坐标不变， x 坐标为其相反数．9．轴对称在生产实际中的应用应用点的对称性质能解决生产实践中遇到的寻求最佳点的问题，看下面两个例子．例 1 ：如图 14-2-12 ，EFGH是一个长方形的台球桌面，有黑、白两球分别位于 A、B 位置上．试问：怎样撞击黑球 A，使黑球先撞击台边 EF，反弹后再击中白球 B？试画出黑球 A 的运动路线．画法：（ 1）作点 A 关于 EF 的对称点 A′．（2）连接 A′B 交 EF于点 M．点 M就是黑球 A 撞击边框 EF的位置，黑球 A 的运动路线为 AMB．根据物理知识，黑球 A 的入射角∠ AMC只有与黑球 A 撞击边框 EF反弹后的反射角∠ BMC相等，黑球 A 才能击中白球 B．证明：过点 M作垂线 CD．∵EF是线段 A′A 的中垂线，∴MA＝MA′，∴ ∠AMF＝∠ A′ MF．又∵∠FMC＝∠ FMD＝90°（已知），∴∠AMC＋∠ AMF＝ 90°，∠ A′MD＋∠ A′MF＝90°．∴∠AMC＝∠ A′MD（等角的余角相等）．又∵∠A′MD＝∠ BMC（对顶角相等）．∴∠AMC＝∠ BMC（等量代换）．例 2 ：如图 14-2-13 ，甲、乙、丙三人做接力游戏．开始时，甲站在∠ AOB 内的 P 点，乙站在 OA上，丙站在 OB上．游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑到终点 P 处．如果甲、乙、丙三个人速度相同，试找出乙、丙站在何处，他们比赛所用的时间最短．画法：（ 1）作点 P 关于 OA的对称点 P1．（2）作点 P 关于 OB的对称点 P2．（3）连接 P1P2交 OA于点 M，交 OB于点 N．则点 M是乙所站的位置，点N 是丙所站的位置．证明：若在 OA上取一点 M′，连接 M′P1，M′P．∵P 和 P1关于 OA对称，∴M′ P1＝ M′ P，同理在 OB上取一点 N′，则 N′P＝N′P2．若乙站在 M′位置，丙站在 N′位置，接力棒传递路线为： PM′＋ M′N′＋ N′P．∵P1M′＝ PM′， N′ P2＝N′P，∴PM′＋ M′N′＋ N′ P＝ P1′＋ M′N′＋ N′P2．∵两点间直线段最短，∴P1M′＋ M′N′＋ N′P2＞P1P2＝P1M＋MN＋NP2＝PM＋MN＋NP．因此，乙站在 M点，丙站在 N 点，甲、乙、丙三人传递接力棒的距离最短．。
轴对称变换在解题中作用
轴对称变换在解题中的作用大家知道,如果将平面图形f1绕这平面内一直线l翻转180°后与图形f2重合,就说f1与f2两图形关于l成轴对称,简称f1与f2关于l对称。
直线l称为对称轴。
若图形f关于直线l与f成轴对称,就说f是一个轴对称图形。
将图形f1变换到与它关于直线l成轴对称的图形f2,这样的几何变换就叫关于直线l的轴对称变换。
可归纳成下列方法:方法一:若问题的整个图形或其一部分是一个轴对称图形,可以尝试找出对称轴,从对称轴上想办法。
具体说,涉及一点与一直线,尝试过点作直线的垂线;涉及一点及一圆,尝试将点与圆心用直线连接起来;涉及两条相交直线,尝试作它们交角的平分线;有两条平行直线,尝试作一条与它们垂直的直线或者作与它们等距的一条平行线;若涉及一圆及一直线,尝试过圆心作直线的垂线;若涉及不同心的两个圆,可尝试作它们的连心线。
[例1]以o为圆心的两个同心圆,与已知直线顺次交于a、b、c、d四点。
求证:∠aob=∠cod分析:证几何题时,最难的步骤是添加辅助线,如果较多的解题经验,是会想到由圆心作已知直线的垂线的,但若运用了几何变换的观点,只要注意到问题的图形是一个轴对称图形,就需要太多的机制和经验,也能迅速想到试作图形的对称轴。
证明:作om⊥ad,垂足为m(如图),则∠aom=∠dom,∠bom=∠com两式相减,可得∠aom=∠cod方法二:问题中的图形或其中一部分是一个轴对称图形,尝试添加一些对称的线,使图形结构更加完整,从而显示出解题途径。
[例2]已知正方形abcd的边ab的延长线上有一点e,ad的延长线上有一点f,满足ae=ac=af,若直线ef交bc于g,交cd于h。
求证:eg=gc=ch=hf分析:本题图形关于正方形的对角线ac对称,所以关键在于证明eg=gc。
但已知ae=ac,故可试连ec,通过证明∠ceg=∠ecg得出eg=gc。
证明:连ac,由对称性得gc=hc,ke=kf,kg=kh,相减得eg=fh。
轴对称的相关应用
轴对称对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中．数学和人类文明同步发展，“对称”只是是纷繁数学文化中的标志之一．让我们来认识下轴对称在生活中的应用吧一、从轴对称图形中发现对称原理的运用根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。
在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。
如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。
想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。
类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。
其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。
对称变换应用三例
对称变换应用三例湖北省安陆洑水初中王官清秦加强轴对称变换是研究一些几何证明和作图的重要方法。
在实际生活中应用比较广泛，往往结合转化的思想、化归的思想把实际问题转化为几何问题，构建几何作图的模型，使问题得到解决，生动有趣。
下面通过三个例题谈谈轴对称及轴对称变换的应用。
一、猫捉老鼠，不是冤家不聚头例1在墙角O有一个老鼠洞，小猫咪咪在A处发现自己的冤家老鼠在B处正往洞口方向逃窜，咪咪想，这次再不让你跑掉。
若小猫咪咪与老鼠的速度相同，你能确定小猫咪咪抓住老鼠的位置吗？分析：老鼠从B处沿墙边向洞口O逃窜，猫在老鼠逃窜的途中准确截击，截击点P应该在线段OB上。
因为老鼠和小猫的速度相同，在时间相同的情况下，小猫和老鼠跑的路程相等，即PA=PB.所以截击老鼠的点P在AB的对称轴（垂直平分线）上，从而可以确定小猫咪咪抓住老鼠的位置。
如图1-1，作点A、B的对称轴（就是线段AB的垂直平分线），交OB于P，点P就是小猫咪咪抓住老鼠的位置。
二、台球桌上，该出手时就出手例2.如图2，在矩形ABCD的台球桌上有三个彩球E、F、P，且E、F、P在同一条直线上，现在要求主球P在不撞击其他彩球的情况下击中F（不能够跳过E击F），问能否击中F？若不能，请说明理由；若能击中F，请画出主球P的运动路线.分析：主球P撞击台球桌边反弹，和光线在平面镜上反射的规律相同。
如图2-1，假设主球P射到边AD上的M，再反弹到球F，则点F关于AD的对称点和M、P在一条直线上。
作法：作点F关于AD的对称点，连接P，交AD于M，连接MF。
主球P的运动路线是P——M——F。
当然，也可以作出点P关于AD的对称点，连接交AD于M。
类似地，我们如果分别以BC、AB、DC为对称轴来作对称点，还可以在BC、AB、DC 边上找到瞄准的点M来击球P，如图3-2，2-3，2-4.三、饮马牧马，敢问路在何方？例3A处为马厩，B处为帐蓬，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐蓬.请你帮他确定这一天的最短路线。
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小专题(八)轴对称变换的应用
类型1轴对称图形的展开与折叠
1．(绥化中考)把一张正方形纸片如图①，图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是(C)
类型2翻折式的轴对称变换
2．(娄底中考)将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为13．
3．(潜江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，求∠CDE的度数．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，
∴∠B＝64°.
∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，且∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠CED＝∠B＝64°.
∴∠CDE＝180°－∠ECD－∠CED＝71°.
4．(枣庄中考改编)如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，求线段BP的最短长度．
解：过点B 作BM ⊥AD 于点M ，由题意可知△ABC ≌△ABC′，
∴S △ABC ＝S △ABC′＝6.
∵S △ABC ′＝12
AC′·BM ＝6，AC ′＝AC ＝3，∴BM ＝4. 根据垂线段最短可知BM ≤BP ，∴BP ≥4.
∴BP 的最短长度为4.
类型3 轴对称变换与坐标
5．已知点M(2a －b ，5＋a)，N(2b －1，－a ＋b)．
(1)若点M ，N 关于x 轴对称，求a 、b 的值；
(2)若点M ，N 关于y 轴对称，求(4a ＋b)2 017的值．
解：(1)∵M ，N 关于x 轴对称，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2b －1，5＋a －a ＋b ＝0.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－5. (2)∵M ，N 关于y 轴对称，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2a －b ＋2b －1＝0，5＋a ＝－a ＋b. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. ∴(4a ＋b)2 017＝－1.
6．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，直线m 为横坐标都为2的点组成的一条直线．
(1)作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1；
(2)直接写出A1，B1，C1的坐标；
(3)求出△A1B1C1的面积．
解：(1)如图所示．
(2)A1(5，5)，B1(5，0)，C1(8，3)．
(3)△A1B1C1的面积为7.5.。