二次函数图象的平移和对称 变换专题(无答案)
二次函数图象的平移和对称变换执笔：欧国斌 审核: 初三数学组 课型：新授 授课时间：
【学习重难点】1、抛物线的平移、对称等变换。
【学习过程】
1、 抛物线的平移
1、抛物线y=3x2经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6 ?
2、抛物线y=-x2经过如何平移就可以得到抛物线y=-（x+4）2 ?
3、抛物线y=-x2经过如何平移就可以得到抛物线y=-（x+4）2+6?
4、抛物线y=3x2经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6x-2 ?
5、抛物线y=3x2+1经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6x-2 ?
6、归纳你的做法：
针对练习：
1、（2011山东滨州）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正
确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
2、（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）
A． B． C． D．
3、（ 2011重庆江津）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是___ ____.
4、在同一平面直角坐标系内，将函数
的图象沿
轴方向向右平移2个单位长度后再沿
轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( )
A.（
，1） B.（1，
）C.（2，
）D.（1，
）
5、抛物线经过（）可以得到抛物线。
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
2、 抛物线的对称
1、已知抛物线C1的解析式是，
求：（1）抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，求抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C3与抛物线C1关于原点对称，求抛物线C3的解析式。
针对练习：
1、抛物线关于x轴对称的图象的解析式是__________，关于y轴对称的图
象的解析式是_____________。
关于原点对称的图象的解析式是
_____________。
2、抛物线y=-2(x＋3)2+6关于x轴对称的图象的解析式是__________，关
于y轴对称的图象的解析式是_____________。
关于原点对称的图象的解析式是_____________。
三、思维拓展：
1、 将抛物线绕其定点旋转180度后所得到的抛物线解析式为
2、 抛物线y=-2(x＋3)2+6关于直线x=3对称的抛物线解析式为
3、 抛物线y=-2(x＋3)2+6关于直线y=3对称的抛物线解析式为
4、抛物线关于x轴对称的图象的解析式是__________，关于y轴对称的图象的解析式是_____________。
关于原点对称的图象的解析式
是_____________。
二次函数图像及图像变换
二次函数图像及图像变换专题1、抛物线y=3x 2+6的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
2、抛物线3-1x 2-y 2）（+=的开口________，对称轴是_________，顶点坐标是_______，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x =____时，函数有最_____值为________。
3、二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x 2向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 .4、将二次函数y=2x 2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；5、抛物线9x 7y 2－= 与抛物线2x 7y =的__________相同，__________不同；抛物线9x 7y 2－=可由抛物线2x 7y =向_______平移______个单位得到。
6、抛物线42x 31y 2++=）（可以通过将抛物线2x 31y =向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。
7、把抛物线y ＝12212-+x x 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位的抛物线的解析式为5212--=x x y 。
8、（1）将函数42x 31y 2++=）（的图象沿y 轴翻折后得到的函数解析式是 ； （2）将函数42x 31y 2++=）（的图象沿x 轴翻折后得到的函数解析式是 。
9、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______。
10、若二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝______。
11、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）12、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）13、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）14、在同一坐标系中，直线 y=ax+b(a ≠0) 与抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象可能是 （ ）A B C D15、函数y=(x-1)2+k 与y=xk -(k ≠0)在同一坐标系中的大致图象是 （ ）A B C D16、二次函数c bx ax y 2++=的图象如图所示，则一次函数ac 4-b bx y 2+=与反比例函数xc b a y ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）17、二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像如图，则点M （b ，a c ）在第_______象限。
专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版
专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2） 抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1） 抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ） 抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2） 抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--， 新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +， 顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3） 抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1） 抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图， 点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。
二次函数图象变换题库-二次函数,专题,中考,提高
二次函数图象变换综合习题一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【习题分类】一、二次函数图象的平移变换【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【例2】 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位【例3】 二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】 将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】 把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．【例6】 对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ）A ． 20092008B ．20082009C ．20102009D ．20092010【例7】 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+D ．()213y x =-++【例8】 将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-【例9】 将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）A. 232y x =-B. 23y x =C. 23(2)y x =+D. 232y x =+【例10】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．【例11】 如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c=++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标． ⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D 【例12】 抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，．⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的 顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换【例13】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例14】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例15】 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++【例16】 已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【例17】 已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式；⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【例18】 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．【例19】 对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．① 若已知()0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．② 若已知()M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例20】 已知：抛物线2:(2)5f y x =--+． 试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图， 并求：⑴ x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；⑵ x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；⑶ 求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．。
专题二次函数与几何变换
2、在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+x-2
关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y
轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛
物线的解析式为（ ）
A．y=-x2-x+2
B．y=-x2+x-2
(三)、抛物线的旋转
情况一：关于原点成中心对称（即绕原点旋转1800）
例题：若抛物线C：y=ax2+bx+c与抛物线 y=2x2-4x+3关于原点成中心对称，则抛物 线C的解析式为___________。
情况二：关于顶点成中心对称（即绕顶点旋转00）
若抛物线C：y=ax2+bx+c绕顶点旋转180后得 到抛物线y=2x2-4x+3，则抛物线C的解析式 为___________。
C．y=-x2+x+2 D．y=x2+x+2
3、将抛物线l：y=2x2-4x+3沿直线y=-1翻折 得到抛物线l′，则抛物线l′的解析式为 __________
4、已知二次函数y=x2+4x+3的顶点为A，与y 轴交于点B，作它关于以P（1，0）为中心的中 心对称的图象顶点为C，交y轴于点D，则四边 形ABCD面积为
（二）、抛物线的轴对称
情况一：关于x轴对称：
例题：若抛物线C：y=ax2+bx+c与抛物线y=2x24x+3关于x轴对称，则抛物线C的解析式为 ___________。
情况二：关于y轴对称：
例题：若抛物线C：y=ax2+bx+c与抛物线 y1=x2-4x+1关于y轴对称，则抛物线C的解析式 为___________。
专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册提优专题及
专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换（原卷版）类型一抛物线与平移1．（2023•牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．2．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC ＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．4．（2023•常州）如图，二次函数y=12x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．4．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？5．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．类型二抛物线与翻折6．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A 的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023•德阳）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；8．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．类型三二次函数与旋转9．（2023•平昌县校级模拟）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（）A．y＝﹣x2+38x﹣360B．y＝﹣x2+34x﹣288C．y＝x2﹣36x+288D．y＝﹣x2+38x+36010．（2023•青秀区校级模拟）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕原点旋转180°，旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+3B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣311．（2023•岳阳县二模）在平面直角坐标系中，将抛物线∁l：y＝2x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C2，在抛物线C2上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m≤5C．m≥﹣5D．m≤﹣512．（2023•高青县二模）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．13．（2023•高新区模拟）如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为（点C'不与点A重合）．14．（2023•静安区校级一模）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+32bx﹣2与y＝﹣x2−14cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．15．（2022秋•连云港期末）已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），(−2，52 )．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．16．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线y1＝ax2+bx+c分别交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点（4，0）旋转180°．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的面积．17．（2023•鞍山二模）如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c与y轴交于点D（0，﹣3），与x轴交于A（﹣3，0），B两点，顶点为H．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线C1：y＝x2+bx+c平移后得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点P（m，n）始终在抛物线C1上，①当点P在第一象限时，抛物线C2与y轴交于点E，若△PED的面积为6m时，直接写出P点坐标；②将平移后的抛物线C2绕点P旋转180°得到抛物线C3，抛物线C3与直线BH交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接MN，NH，若∠MNH＝15°，求直线NH的解析式．18．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥y轴，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．。
专题5.4 求二次函数解析式常考类型(六大题型)(原卷版)
专题5.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型）【题型1 开放型】【题型2 一般式】【题型3 顶点式】【题型4两根式】【题型5平移变换型】【题型6 对称变换型】【题型1 开放型】【典例1】（2023秋•海淀区期中）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式．【变式1-1】（2023秋•昌平区期中）请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式．【变式1-2】（2022秋•伊川县期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．【变式1-3】（2023•苏州二模）已知抛物线顶点坐标为（2，3），则抛物线的解析式可能为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣3B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣（x+2）2+3D．y＝﹣（x﹣2）2+3【题型2 一般式】【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2=++（a，y ax bx ca≠），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；b，c为常数，0【典例2】（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．【变式2-1】（2022秋•新罗区校级月考）求经过A（﹣1，﹣5）、B（0，﹣4）、C（1，1）三点的抛物线的表达式？【变式2-2】（2023春•海淀区校级期末）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），求该抛物线的解析式．【变式2-3】（2023秋•崆峒区校级月考）已知二次函数过点A（﹣1，2），B（1，﹣4），C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．【变式2-4】（2023秋•博乐市月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABP的面积．【方法点拨】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式()k-=2．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x = h，最值为当x = h y+axh时，y最值=k来求出相应的系数.【典例3】（2023秋•龙马潭区月考）若抛物线的顶点坐标是A（﹣1，﹣3），并且抛物线经过点B坐标为（1，﹣1）．（1）求出该抛物线的关系式；（2）当x满足什么条件时，y随x的增大而增大．【变式3-1】（2023秋•临潼区月考）已知二次函数的图象顶点为P（﹣2，2），且过点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）试判断点B（1，﹣6）是否在此函数图象上．【变式3-2】（2023秋•越秀区校级月考）已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，﹣3），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（3，﹣4）、D（1，0）是否在该函数图象上，并说明理由．【方法点拨】已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．【典例4】（2023•荔湾区校级一模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），B （5，0），C （0，﹣5），点D 是抛物线的顶点，过D 作x 轴垂线交直线BC 于E ．（1）求此二次函数解析式及点D 坐标．（2）连接CD ，求三角形CDE 的面积．（3）ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围是 ．【变式4-1】（2023秋•广西月考）若二次函数的图象经过（﹣1，0），（3，0），（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．【变式4-2】（2023秋•长沙月考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （0，﹣3）、（1，0）和C （﹣3，0）．求此二次函数的解析式．【变式4-3】（2023•南山区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．【题型5平移变换型】【方法点拨】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【典例5】将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．【变式5-1】（2022秋•洪山区期中）将二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象沿直线y＝1翻折，所得图象的函数表达式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝（x+1）2﹣4C．y＝﹣（x+1）2﹣6D．y＝﹣（x﹣1）2+6【变式5-2】（秋•普陀区校级期中）将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【变式5-3】已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．【变式5-4】抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移√2个单位，求平移后的解析式．【题型6 对称变换型】【方法点拨】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【典例6-1】（2022秋•上城区月考）已知y＝﹣3（x﹣2）2﹣7将它的图象沿着x轴对折后的函数表达式是．【典例6-2】（2022秋•汉阳区校级月考）抛物线y＝x2﹣6x+7绕其顶点旋转180°后得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a＝，b＝，c＝．【变式6-1】（2022秋•萧山区月考）抛物线y＝（x+3）2﹣4关于y轴对称的抛物线解析式为．【变式6-2】（2022秋•汉川市月考）若抛物线y＝ax2+c与y＝﹣4x2+3关于x轴对称，则a+c＝．【变式6-3】（2021秋•镇海区期末）把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象关于y 轴对称后得到的图象的函数关系式为．【变式6-4】（2021秋•闽侯县期中）二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象绕原点旋转180°得新图象的解析式为．【变式6-5】（2023•雁塔区校级三模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（4，﹣6）．抛物线L′与L关于x轴对称，点B在L'上的对应点为B′．（1）求抛物线L的表达式；（2）抛物线L'的对称轴上是否存在点P，使得△AB′P是以AB′为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-6】（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．。
专题14二次函数的图象与性质(讲练)-2023年中考一轮复习(原卷版)
2023年中考数学总复习一轮讲练测（）专题14二次函数的图象与性质（讲练）1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式；2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质1．二次函数的定义：一般地，形如(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数的三种表达式：(1)一般式：(a，b，c是常数，a≠0)．(2)顶点式：(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是．(3)交点式：(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线．3．二次函数的图象与性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．当a＜0时，抛物线开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是4．二次函数的图象的平移：平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．二次函数与x轴交点情况5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.考点一、二次函数的定义例1（2022秋•义乌市月考）若函数y＝是二次函数，即m的值是（）A．﹣1B．﹣1或3C．2D．3【变式训练】1．（2022•苏州模拟）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2B．y＝ax2+1C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝2．（2021秋•林口县期末）是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣13．（2022秋•禹州市期中）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是关于x的二次函数，则m＝（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2考点二、二次函数的图象例2（2022秋•舟山月考）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2022秋•巧家县期中）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2022秋•洪山区校级月考）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（b＞0）与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．（2022秋•凉州区校级月考）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）A．B．C．D．考点三、二次函数的性质例3（2022秋•淳安县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的图象经过点（﹣2，0）和（2，3），该函数图象的对称轴为直线x＝m，则下列说法正确的是（）A．0＜m≤2B．m＜0C．m＞0D．﹣2≤m＜0【变式训练】1．（2021秋•新会区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论错误的是（）x…﹣10123…y…03430…A．函数图象开口向下B．当x＝1时，y取最大值4C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y的值随x的增大而增大2．（2021秋•孝义市期末）对于二次函数y＝﹣x2﹣2x+m（m为常数），当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x＞﹣2C．x＞1D．x＞03．（2021秋•榆阳区期末）如表中所列的x，y的5对值是二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：x…﹣2﹣1034…y…1163611…若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下说法正确的是（）A．该函数的最小值为3B．这个函数图象的开口向上C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当y1＞y2时，x1＜x24．（2022春•沙坪坝区校级月考）一列自然数0，1，2，3，⋯，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）①当原数取50时，原数与对应新数的差最大②原数与对应新数的差不可能等于零③原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大④当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30和70A．①②B．①③C．①④D．②③考点四、二次函数的图象与系数关系例4（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【变式训练】1．（2021秋•昌吉市校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＝0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．a+b+c＞02．（2022春•成都月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（）A．abc＜0B．2a﹣b＝0C．3a+c＝0D．若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，y1＞y23．（2022•东港区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4a﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点五、二次函数的点的坐标特征例5（2022秋•宁波月考）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在二次函数y＝﹣2x2﹣8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【变式训练】1．（2022春•九龙坡区校级月考）已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x ﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y22．（2022秋•范县期中）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y23．（2022秋•林州市校级月考）在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y34．（2022秋•闽清县校级月考）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论中，不正确的是（）A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45°C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形考点六、二次函数与几何变换例6（2022秋•拱墅区校级期中）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【变式训练】1．（2022•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）2．（2022秋•庐阳区校级期中）将抛物线y＝x2先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣3B．y＝（x﹣4）2+3C．y＝（x+4）2+3D．y＝（x+4）2﹣33．（2022秋•林州市月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经过变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移8个单位长度D．向右平移8个单位长度4．（2022秋•林州市校级月考）将抛物线y＝（x+1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象只有四个交点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．考点七、二次函数的最值例7（2022秋•萧山区月考）已知非负数a，b，c，满足a﹣b＝2且c+3a＝9，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（）A．1B．2C．3D．4【变式训练】1．（2022秋•宁明县月考）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5的最大值是（）A．5B．﹣5C．2D．﹣22．（2022秋•思明区校级期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．函数有最小值1，有最大值3B．函数有最小值﹣1，有最大值0C．函数有最小值﹣1，有最大值3D．函数有最小值﹣1，无最大值3．（2022秋•番禺区校级期中）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（）A．3或﹣1B．﹣1C．﹣3或1D．3考点八、二次函数与坐标轴交点例8（2022秋•舟山期中）在研究函数图象的性质时，若将自变量x变为|x|，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图象变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象，则对于y＝﹣x2+2|x|+3，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x＜1C．﹣3＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3【变式训练】1．（2022秋•庐阳区校级期中）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．﹣B．﹣4C．D．42．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c＝m．其中正确的是（）A．①B．②C．都对D．都不对3．（2022秋•庐阳区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），且抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），则下列关于y1，y2的大小关系判断正确的是（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1与y2的大小无法比较考点九、二次函数与方程不等式例9（2022秋•桐庐县期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c ＜0的解集为（）A．x＜1或x＞3B．x＞3C．x＜﹣1D．x＜3或x＞5【变式训练】1．（2022秋•朝阳区校级期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．42．（2022•罗庄区二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；④当x＞2时，x2+bx+c＞．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．（2021秋•微山县期末）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y＝x+b的图象相交于点A，B．若点A的坐标是．那么不等式x2﹣2x﹣3＜x+b的解集是（）A．B．或C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞34．（2021秋•梁山县期末）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②④⑤D．①③⑤考点十、待定系数法求二次函数解析式例10（2022秋•温州校级月考）如图，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若在y轴正半轴上取一点P（0，m），过点P作x轴的平行线，分别交抛物线于A，B两点（A在B 点左侧），若P A：PB＝1：2，求m的值．【变式训练】1．（2022秋•林州市月考）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式．2．（2022秋•朝阳区校级月考）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（6，0）两点．（1）请求出抛物线的解析式；（2）当0＜x＜4时，请直接写出y的取值范围．3．（2022秋•宁明县月考）已知抛物线经过点（3，﹣1），顶点坐标为（2，﹣2）．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）若点P（t，y1），（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标．4．（2022秋•西城区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣101 2.53…y＝ax2+bx+c…m1﹣2n﹣2…根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，求当﹣1≤x≤3.8时，函数值y的取值范围．考点十一、二次函数的推理计算与证明例11（2022秋•西湖区月考）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．【变式训练】1．（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y＝2x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n）．（1）用含n的代数式表示c．（2）若二次函数y＝2x2﹣bx+c的最小值为，求n的值．2．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．3．（2021•河西区一模）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（Ⅲ）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．。
二次函数图像对称变换前后系数的关系(专题)
二次函数图像对称变换前后系数的关系课时学习目标:1.能熟练根据二次函数的解析式的系数确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性区域。
2.会根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上描述出函数的一些性质。
3.能说出抛物线y=ax 2+bx+c ，关于x 轴、y 轴对称变换后的解析式、关于坐标原点对称变换前后的解析式系数变化规律，能根据系数变化规律，熟练写出函数图像对称变换后解析式。
学习重点：利用函数的图像，观察认识函数的性质，结合解析式，认识a 、b 、c 、ac b 42-的取值，对图像特征的影响。
学习难点：利用图像认识总结函数性质变化规律。
一、复习预备1.抛物线5)4(22-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____时, y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是 。
2.抛物线y=x 2-2x-3的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____时, y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____ 。
3.已知函数y= x 2 -2x -3 ,(1)把它写成k m x a y ++=2)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； (3)求出图象与坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象的草图；(5)设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积；(6)根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.4.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图—2所示，则：a 0; b 0;c 0;ac b 42- 0。
例3：已知二次函数的图像如图—3所示，下列结论： (1)a+b+c ﹤0， (2)a-b+c ﹥0， (3)abc ﹥0， (4)b=2a其中正确的结论的个数是（ ）A.1个，B.2个，C.3个，D.4个.二、归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像2-的关系与系数a、b、c、acb4三、二次函数图像对称变换前后系数的关系探究例1. 某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于y轴成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。
二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。
y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±my=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。
（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。
2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。
（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。
（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。
练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。
2024年九年级数学中考专题：二次函数平移对称旋转 课件
(x,y +b)
(x,y -b)
口诀：上加下减，左减右加
坐
标
旋
转
变
换
一、坐标平移旋转对称
点(x,y) 绕着（m,n）旋转180° ，求旋转后的
点的坐标？
中点坐标公式：
A(1 , 1 ), B(2 , 2 ),
1 +2 1 +2
AB中点 (
,
)
2
2
旋转后的点的坐标( − ,2n-y)
中考专题：
二次函数平移旋转对称
目录
一
二
三
坐标平移旋
转对称
二次函数
表达式
例题讲解
四
方法归纳
五
学以致用
一、坐标平移
旋转对称
坐
标
平
移
变
换
一、坐标平移旋转对称
x轴 向左平移a个单位(x,y)
向右平移a个单位(x,y)
(x-a,y)
(x+a,y)
y轴 向上平移b个单位(x,y)
向下平移b个单位(x,y)
坐
标
对
称
变
换
一、坐标平移旋转对称
关于x轴对称 (x,y)
关于y轴对称 (x,y)
(x, -y)
(- x, y)
口诀:关于谁对称，谁不变，另一个互为相反数
关于原点O对称 (x,y部互为相反数
二 、二次函数
表达式
二、二次函数表达式
一般式：y = 2 + + ( ≠ 0, , 均为常数)
变式2
(3)抛物线2 与抛物线1 关于原点O对称，求抛物线 2 的表达
式
三、例题讲解