2006-2007学年第一学期随机数学(B)期末考试试卷_A_

北 京 交 通 大 学
2006-2007学年第一学期《随机数学（B ）》期末考试试卷（A ）
学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设A 、B 、C 是三个随机事件，且()(
)51=
=C P A P ，()31=B P ，()61=AB P ，()8
1=BC P ，()0=AC P ．则A 、B 、C 这三个随机事件中至少有一个发生的概率为________．
2．设随机变量X 的概率密度为
()2121120x f x x ⎧⎛⎫
-<<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩
其它 则X 的分布函数为： ________．
3．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，并且{}{}21===X P X P ， 则{}4=X P =________．
4．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为
()(1)0,0
,
x y kxe x y f x y -+⎧>>=⎨
⎩其它
则=k ________．
5．设总体X 1 2 3
其中10<<θ是未知参数，()n X X X ,,,
21 是从中抽取的一个样本，则参数θ的矩估计量
=θˆ__________________．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是
()A .()()B P A P -=1； ()B .()0=B A P ； ()C .()
1=B A P ； ()D .()
0=AB P ．
【 】
2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为
2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E
()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ．
【 】
3．设()
2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y ()A .(
)222,b a b a N +-σμ； ()B .()
222,b a b a N -+σμ； ()C .()22,
σμa b a N +； ()D .()
22,σμa b a N -．
【 】
4．设某地区成年男子的身高()100,173~N X ，现从该地区随机选出20名男子，则这20名男子身高平均值的方差为
()A . 10； ()B . 100； ()C . 5； ()D . 5.0．
【 】
5．设随机变量X 服从参数2λ=的泊松（Poisson ）分布，又设随机变量3X
Y =，则()Y E 为
()A . 2
e ； ()B . 4
e ； ()C 6
e .； ()D .8
e ．
【 】
一房间有3扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令X表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求⑴X的分布律．⑵这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率．⑶若有一只鸟飞出该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？
设随机变量X 的密度函数为: (),x
f x Ae
x -=-∞<<+∞
求: ⑴ 系数A;
⑵ X 落在区间(0,1)内的概率; (3) X 的分布函数
一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律．
⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律．
⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义．
某单位的一部电话总机有150台分机，每台分机有4%的时间要使用外线．假设每台分机是否使用外线是相互独立的．试用中心极限定理计算，当该单位有10条外线时，至少有一台分机使用外线时要等待的概率．
Φ的表
附表：标准正态分布的分布函数()x
某射手每次射击击中目标的概率都是80%,现连续向一目标射击,直到第一次击中为止,求射击次数的期望和方差.
设总体X 的密度函数为
()()
1
10
1
x x f x x θθ-+⎧>⎪=⎨
≤⎪⎩．
其中1>θ是未知参数．()m X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估
计量．
设总体X 的数学期望为μ，方差为02
>σ
，现从中分别抽取容量为1n 与2n 的两个独立样本，这两
个样本的样本均值分别为1X 与2X ．证明：对于满足1=+b a 的任何常数a 及b ，21X b X a Y +=是μ的无偏估计，并确定常数a 及b ，使得21X b X a Y +=的方差达到最小．。