互协方差函数
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
互协方差函数
互协方差函数
答案：
互协方差函数(cross-covariance functions )，是反映两个随机向量X与Y相似关系的重要数量特征，也称为“互相关”，通常用于通过与已知信号做比较从来寻找未知信号的特点。
在统计学中，互协方差函数表示两个随机向量X 与Y之间的协方差cov(X,Y)，以区别于随机向量X的“协方差”即X的各个标量元素之间的协方差矩阵。
在信号处理领域，互协方差函数是两个信号(信息论)之间相似性的度量，它也称为“互相关”。
互协方差函数通常用于通过与已知信号做比较从来寻找未知信号的特点。
它是信号之间相对于时间的函数，有时也称为滑动点积，在模式识别与密码分析学中都有应用。
Excel高级函数使用CORREL和COVAR计算相关系数和协方差
Excel高级函数使用CORREL和COVAR计算相关系数和协方差Excel是一款功能强大的电子表格软件，可以帮助我们进行复杂的数据分析和计算。
在Excel中，CORREL函数和COVAR函数是两个用于计算相关系数和协方差的高级函数。
本文将详细介绍这两个函数的使用方法和计算原理。
一、相关系数的计算相关系数用于衡量两个变量之间的相关程度，取值范围在-1到+1之间。
相关系数为+1表示完全正相关，相关系数为-1表示完全负相关，相关系数为0表示无相关关系。
在Excel中，可以使用CORREL函数来计算相关系数。
CORREL函数的语法如下：CORREL(array1, array2)其中，array1和array2是需要进行相关系数计算的两个数据数组。
可以是单个一维数组，也可以是由多个一维数组组成的二维数组。
下面我们通过一个例子来演示CORREL函数的使用：假设我们有两个一维数组，分别表示两个变量x和y的取值。
x的取值为{1, 2, 3, 4, 5}，y的取值为{2, 4, 6, 8, 10}。
我们要计算x和y之间的相关系数。
首先，在Excel中输入数据，如下图所示：```A B1 x y2 1 23 2 44 3 65 4 86 5 10```然后，在单元格C2中输入以下公式：=CORREL(A2:A6, B2:B6)按下回车键，即可得到相关系数的计算结果。
在本例中，计算结果为1，表示x和y之间存在完全正相关关系。
计算结果如下图所示：```A B C1 x y 相关系数2 1 2 13 2 44 3 65 4 8```二、协方差的计算协方差用于衡量两个变量之间的总体变化趋势，可以判断两个变量的运动方向是否一致。
协方差的取值范围没有限制，可以是任意实数。
在Excel中，可以使用COVAR函数来计算协方差。
COVAR函数的语法如下：COVAR(array1, array2)其中，array1和array2是需要进行协方差计算的两个数据数组。
协方差
1. 协方差与相关系数的定义 量 E{[ X E( X )][Y E(Y )]} 称为随机变量
X与Y的协方差, 记为 cov( X ,Y ),
covX ,Y EX EX Y EY
称ρXY
cov( X ,Y ) 为随机变量X与Y的 D( X ) D(Y )
相关系数.
2. 相关系数的意义 当 ρXY 接近1时,表明X ,Y的线性关系联系较紧密. 当 ρXY 接近0时, X ,Y线性相关的程度较差. ρXY 0, 则称X和Y不相关.
σ1n σ2n σnn
为n 维随机变量 ( X1, X2, , Xn ) 的协方差阵.
2. 二维随机变量的协方差矩阵
设X1, X2 为二维随机变量 , 其协方差矩阵为
σ11 σ12 , σ21 σ22 其中
σ11 E[ X1 E( X1)]2 DX1 ,
σ21 E{[ X2 E( X2 )][ X1 E( X1)]} σ12,
1
2πσ1σ 2 1 ρ2
( x μ1)( y μ2 )
e
x μ1 2σ12
2
e
2
1 1 ρ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
2
dydx
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 , u x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
σ1
cov(X ,Y )
1
2π (σ1σ 2
σ12 E{[ X1 E( X1)][ X2 E( X2 )]},
σ22 E[ X2 E( X2 )]2 DX2 .
注10 由于cij = cji i, j 1,2, n,所以
协方差矩阵为对称的非负定矩阵. 注20 协方差矩阵的应用.
方差,自相关,互相关,协方差等代表的物理意义
方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义2010-05-31 09：201.均值：信号幅度的平均值，物理含义是不是信号的直流电平?2.方差：信号幅度偏离均值的程度，是不是在某种意义上代表了信号振荡的趋势?比如波峰和波谷 3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗?那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢?4.还有协方差?1.在matlab里，协方差的计算是在计算相关之前减去了均值，是不是就是指减去了信号的直流分量，如果信号的均值为0的话，协方差的结果和相关的结果应该是一样的吧。
正弦波交流信号的直流分量为零，但不能说其均值为零，因为均值是衡量随机信号的一个统计参量，而正弦波是确定性信号。
其它概念同样如此。
这些统计参量的精确定义书上都有，建议好好领会。
对随机变量来说，"平均"包含"无限"的含义，任意长的有限样本都不能替代随机信号的整体特点，这是和确定性信号特征描述的主要区别。
3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗?那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢?互相关指2个信号之间的相似程度，时间轴表示"挪"了多少的"距离"，比如一个信号不动，另一个以起点开始"错动"，"挪"到某点时，两个信号的相似程度在函数值上体现，而"挪动"的"距离"在时间轴上体现。
自相关表示信号的周期性--自相关极值点间的距离就是周期；对于随机信号，自相关表示该信号的变化快慢--如果自相关函数平滑，说明变化慢；我知道：对于随机信号，因为不能确知它在每个时刻的值，所以我们从统计平均的观点来认识它。
如果已知其概率分布(包括一维和多维概率分布)，我们就可以认为这个随机信号在统计意义上已充分理解或描述了。
在实际过程中，要得知一个随机过程各点上的随机变量的分布函数并不是很方便，但随机过程的各种统计特征量从各个侧面间接的反映了概率分布特性，所以通过某些特征量就足够描绘这些过程了。
自相关函数与协方差函数的关系
自相关函数与协方差函数的关系
自相关函数和协方差函数都是用于描述随机变量之间的相关性的
工具。
它们都是常用的统计学概念，在很多领域，如金融、经济学、
物理学等都有重要的应用。
自相关函数是用来衡量随机变量自身的相关性，也叫做自相关系数。
它是一个时间序列与其自身的滞后版本之间的相关系数。
如果一
个时间序列的自相关函数显示出明显的周期性，则它被称为具有周期性。
另一方面，协方差函数用于衡量两个不同随机变量之间的相关性。
协方差函数度量两个变量之间的线性关系。
如果两个变量的协方差为正，则它们可能呈现正相关，而如果协方差为负，则它们可能呈负相关。
在这种情况下，变量之间的关系更可能是非线性的。
尽管自相关与协方差之间存在差异，但它们之间确实存在某种程
度的联系。
如果两个随机变量具有线性相关性，则它们的自相关函数
和协方差函数将会具有相同的形状。
然而，如果其相关性是非线性的，则两种函数之间的联系就会劣化。
这就表明了两种函数的差异之处。
自相关函数中忽略其他变量的影响，只考虑变量自身的相关性，而协
方差函数则反映了两个变量的整体相关性。
综上所述，自相关系数主要用于度量并描述时间序列数据自身的
相关性，而协方差系数则主要用于描述两个变量（或多个变量之间）
之间的相关性。
两种函数的具体用途会有所不同，但它们都是经常被
用于分析随机变量之间的相关性的重要工具。
cov函数
cov函数对于任何两个随机变量 X 和 Y，我们可以用协方差来描述它们之间的线性关系。
协方差函数是一种度量两个随机变量之间线性关系的函数，通常用 symbol Cov(X,Y) 表示。
当 Cov(X,Y) > 0 时，表示 X 和 Y 之间存在正线性关系；当 Cov(X,Y) < 0 时，表示 X 和 Y 之间存在负线性关系；而当 Cov(X,Y) = 0 时，表示 X 和 Y 之间不存在线性关系。
协方差函数在统计学、金融学、工程学、地理学等领域广泛应用。
例如，在统计学中，协方差函数是许多统计学模型的关键要素，如自回归模型、移动平均模型、随机游走模型等。
在金融学中，协方差函数用于计算资产的风险，例如在投资组合中选择资产，我们需要考虑不同资产的协方差，以平衡风险和收益。
在工程学中，协方差函数也常用于描述随机噪声的特性。
在地理学中，协方差函数可以用于在地理数据中找到空间相关性模式，例如对气象数据进行插值。
协方差函数的计算方法为：Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]其中，E[] 表示数学期望。
如果我们有一个样本，可以用样本协方差来估计总体协方差：其中，Xi 和 Yi 分别是样本的第 i 个观测值，Xmean 和 Ymean 分别是样本平均值，n 是样本大小。
协方差函数的值受到量纲的影响，因此，人们通常使用相关系数来衡量两个随机变量之间的相关性。
相关系数是协方差函数的标准化形式，用直观的方式表示两个随机变量之间的线性关系。
相关系数的计算方法为：其中，sigmaX 和 sigmaY 分别是 X 和 Y 的标准差。
相关系数具有以下优点：一是无量纲；二是取值范围在 -1 到 +1 之间，方便进行比较；三是可以消除量纲造成的影响，使得不同变量之间的比较更加公平、准确。
协方差函数和相关系数的计算中，需要注意的是：一是随机变量的独立性，如果 X和 Y 是相互独立的，则协方差函数和相关系数均为零；二是样本量的大小，如果样本量太小，估计出的协方差函数和相关系数会较不可靠。
随机信号分析
随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
换言之，随机信号是指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。
其统计特性：概率分布函数、概率密度函数。
统计平均：均值、方差、相关。
随机信号分为平稳和非平稳两大类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
1） 各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。
2） 平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。
注：各态历经信号一定是随机信号，反之不然。
工程上的随机信号通常都按各态历经平稳随机信号来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
平稳随机信号在时间上的无限的，故其能量是无限的，只能用功率谱密度来描述随机信号的频域特性。
1. 随机信号的数字特征 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)的均值可表示为：⎰→∞==TT x dt t x Tt x E 0)(1lim)]([μ均值描述了随机信号的静态分量（直流）。
随机信号x(t)的均方值表达式为：dt t x TTT x)(1lim22⎰→∞=ψ2xψ表示信号的强度或功率。
随机信号x(t)的均方根值表示为：⎰→∞=T T x dt t x T 02)(1limψ x ψ也是信号能量的一种描述。
随机信号x(t)的方差表达式为：⎰-==-→∞Tx T x x dx t x Tx E 0222])([1lim])[(μσμ2xσ是信号的幅值相对于均值分散程度的一种表示，也是信号纯波动分量（交流）大小的反映。
随机信号x(t)的均方差（标准差）可表示为⎰-=→∞T x T x dx t x T 02])([1limμσ 它和2x σ意义相同。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(t)无限长，而实际上只能用一个样本即有限长序列来计算。
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x1x2
p
x1,
x2
;
m
dx1dx2
16
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
rxx m mx 2
17
对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
自相关函数或自协方差函数是时域内表 征一个随机过程最重要的统计量。
1．什么是随机信号？
收音机接收的信号 电阻上的热噪声电压 飞机轰炸目标的着地点 抛硬币的观测结果
1
随机信号的描述方法
概率分布函数，概率密度函数
{ 随机信号
统计平均量：mx
,
2 x
,
rxx
等
信号模型
2
随机信号的概念
随机信号是状态、时间的二元函数 （1）t定，一个随机变量 （2）s定，一个时间函数 （3）t, s定，确定值 （4）t, s不定，随机信号
性质1 : Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
23
性质2：
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
E
xn
2
mx
2
2 x
24
性质3：
rx*x m rxx m
Cx*x m Cxx m
11
中心距
离散信号
E
xn
E
xn
l
i
xi
E
xi
l
p
xi
连续信号
E (xn E[x])l
(x E[x])l p(x)dx
12
特征函数
C p xe jxdx
13
常用的数字特征量
均值 ： mxn Exn xi pxi
i
均方值： E xn2 xi2 p xi
i
方差：
rx*y m mxm*y
Cyx m E ( y n my )*(xn m mx ) ryx m m*ymx m*ymx m*ymx rx*y m mxm*y
28
性质5：
rxx m rxx 0 Cxx m Cxx 0
29
性质5证明:
E
x
n
x
n
m
2
0
E xn x* n xn m x* n m xn x* n m x* n xn m
A rxx xt xt Ext xt rxx (2)
(1)式表示均值具有遍历性
2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
E
xn
E xn
2
E xn2 mx2n
直流分量 平均功率 交流功率
14
自相关函数的定义
rxx m E xn x* n m rx'x m E xn x* n m rx''x m E x* n xn m
15
实平稳信号
rxx m rx'x m rx''x m
rxx m E xn1 , xn1m
3
S
t
4
2．随机信号的特点
（1）随机序列中的任何一个点上的取值都 是不能事先精确确定的随机变量；
（2）随机序列可以用它的统计平均来表征； （3）平稳随机序列是无限持续期，无限能
量的时间序列。
5
§1.2 随机信号的时频 域（统计）表达
6
一、平稳过程与 严平稳过程
7
严平稳随机序列
, FX (x1, x2,L , xn;t1,t2,L ,tn ) FX (x1, x2,L , xn;t1 ,t2 ,L ,tn )
25
性质4
rx*y m ryx m Cx*y m Cyx m
26
性质4证明:
rx*y m E x* n y n m *
E xn y* n m ryx m
27
Cx*y m E (xn mx )*(yn m my *
rxy m m*xmy m*xmy m*xmy *
其统计特性与所选取的时间起点无关。
8
（宽）平稳随机序列
E x(t) 常数
rxx (t1, t2 ) E x (t1)x(t2 ) rxx (t2 t1) E x2 (t)
9
二．统计平均量
10
原点距
离散信号 连续信号
E xnl xil p xi i
E xnl
xl p(x)dx
18
互相关函数
rxy m E xn* ynm
x* y p x, y;mdxdy
19
互协方差函数
Cxy m E xn mx *
ynm my
rxy m m*xmy
20
一般信号的处理
信号 预处理 均值为零的处理 后续处理
21
三.自相关函数与自协 方差函数的性质
22
NN
kik j rxx ti t j 0
i 1 j 1
当 xt 是复函数, 相对应的自相关函数也是复数
NN
ki
k
r*
j xx
ti t j
0
i1 j1
34
四、遍历性、时间平均
35
随机过程具备遍历性，可以理解为随机 过程各样本函数都同样地经历了随机过程 的各个状态。
36
1.时间平均
则 ryy m rxx m Cyy m Cxx m
31
性质7:
lim
m
Cxx
m
lim
m
rxx
m
mx
2
0
lim
m
rxy
m
m*xmy
lim
m
Cxy
m
0
lim
m
rxx
m
E xn*xnm E xn* E
xnm
mx 2
32
如果随机过程为一向量 X= x1,x2 ,L , xN T
时间均值
A
xt
x t lim
1
T
x t dt
T 2T T
时间自相关函数
A
rxx t,t
x t x t
lim
T
1 2T
T
T
x
t
x t
dt
37
2.严遍历过程的意义
x t 的各种时间平均(T足够长)依概率
1收敛于相应的集合平均。
38
3．宽遍历过程
A
xt
xt Ext mx
(1)
其均值向量 EX Ex1,Ex2,L ,ExN T
自协方差矩阵CovX E X E X T X E X 互协方差矩阵 CovX,Y E X EX T Y EY
33
性质8. 非负性
当 x t 是实函数,取一组离散时刻 t1 , t2 ,L , tN
和一组对应任意实数 k1 , k2 ,L , kN ，则必有
2rxx 0 rxx m rxx m
2rxx 0 rxx m rx*x m 0
rxx m rxx m e j rx*x m rxx m e j
rxx 0 rxx m cos
rxx 0 rxx m
30
性质6： 若 y n xn k