浙江省绍兴县杨汛桥镇中学八年级数学下册：期末复习一 二次根式
浙教版八年级数学下册(二次根式)单元知识点总结
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浙教版八年级数学下册（二次根式）单元知识点总结浙教版八年级数学下册（二次根式）单元知识点总结
一、二次根式
1、定义：一般地,形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式.当a;0时,√a表示a的算数平方根,√0=0
2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式.√ā(a≥0)是一个非负数.
3.二次根式√ā的简单性质和几何意义
二、二次根式的性质
形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被放开数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，
√(x-1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。
三、二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.
(1)二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.
(2)二次根式的乘除：
注意：乘、除法的运算法则要灵敏运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
.。
浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册 第1章 二
二次根式知识一二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A D2______个【例2】有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，则x+y=201412()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
例题4已知a b 是12a b ++的值。
若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
初中数学 人教版八年级下学期期末知识点梳理(二次根式至一元二次方程)
八年级下期末复习知识点归纳二次根式知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。
两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个非负数 ； （2）()=2a a （a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质：ba b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a bab a1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的．5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式。
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．勾股定理知识点梳理：1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
（1）在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形. 变式：a cb cb ab ac 222222;;-=-=+=（2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．（3）利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点． 2、勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 即如果三角形三边a, b, c 长满足c b a 222=+那么这个三角形是直角三角形.（1）满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、； 6、8、10； 5、12、13 等.（2）应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较. （3） 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.3、定理：经过人们的证明是正确的命题叫做定理。
浙江省绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册第1章二次根式1.3二次根式的运算(第2课时)练习(新版)浙教版
1.3 二次根式的运算（第2课时）课堂笔记整式运算的法则和方法也适用于二次根式的加减运算.分层训练A 组 基础训练1. 下列计算中，正确的是（ ）A. 12-3=3B. 3-2=1C. 3+2=5D. 23=62. 下列二次根式中，化简后能与2合并的是（ ）A. 12B. 23C. 32D. 183. 下列各式计算正确的是（ ）A. 2234 =4+3=7B. （2+6）（2-6）=2-6=-4C. （3+5）2=（3）2+（5）2=3+5=8D. （-2+3）（-2-3）=（-2）2-（3）2=2-3=-14. 计算48-931的结果是（ ） A. -3 B. 3 C. -3113 D. 3113 5. 设7的小数部分是m ，则m （m +4）的值为（ ）A. 3B. 7C. 7-2D. 16. 化简：（3-2）2016·（3+2）2017结果为（ ）A. 3+2B. -3-2C. 3-2D. -3+27. （德州中考）计算：8-2= .8. 比较大小：3+5 2+6.9. 长方形的两边长分别为20cm 和125cm ，则这个长方形的周长为 cm ，面积为cm 2．10. 已知a=1+2，b=3，则a 2+b 2-2a+1的值为 . 11. 计算：（1）331-3127+6271；（2）（2-3）（3+2）；（3）（32-23）2-（32+23）2；（4）2)21(--（3+1）（3-1）+（2-1）-1；（5）6÷（2-1）.（6）6+128⨯+232+12. 已知，x=3+1，y=3-1. 求下列各式的值.（1）x 2-y 2；（2）x 2+xy+y 2.B 组 自主提高13. 如图，数轴上点A 表示2，点B 表示6，点B 关于点A 的对称点是点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ． 6-2B ． 2-6C ． 6-4D ． 4-614. 解方程组2x+y=6+3，3x-2y=2+53.15. 阅读下列解题过程：451+ =)45)(45()45(1-+-⨯ =)45)(45(45-+-=5-4=5-2.561+=)56)(56()56(1-+-⨯ =6-5.请回答下列问题：（1）观察上面解题过程，请直接写出11-+n n 的结果为 ；（2）利用上面所提供的解法，请化简：211++321++431++…+99981++100991+的值； （3）不计算近似值，试比较（13-11）与（15-13）的大小，并说明理由.参考答案1.3 二次根式的运算（第2课时） 【分层训练】1—5. ADDBA 6. A7. 2 8. ＞ 9. 145 50 10. 511. （1）323 （2）-1 （3）-246 （4）22-2 （5）23+6 （6）66-212. （1）43 （2）1013. D14. x=2+3，y=2-3.15. （1）n -1-n （2）9 （3）∵13-11=11132+，15-13=13152+，∴13-11＞15-13。
最新浙教版八年级下册《二次根式》周末复习
最新浙教版八年级下册《二次根式》周末复习一、本章知识内容归纳 1.概念：① 二次根式：像42+a 、3-b 、s 2这样表示 的代数式叫做二次根式；② 最简二次根式：在根号内不含 ，不含 因数或因式，这样的二次根式就是最简二次根式； ③ 同类二次根式：将几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的根式被称为同类二次根式。
④ 坡比：2.四个性质：① )0()(2≥=a a a ；② =2a |a|=⎩⎨⎧-aa（添加条件） （分类讨论思想：字母从根号中开出来时要带绝对值再根据具体情况判断是否需要讨论）③ ④3 两个运算法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a)0,0(>≥=b a b aba推广：)0,.....0,0(...............21321321≥⋅≥⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a4二次根式的运算有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式（如完全平方公式、平方差公式）等仍然适用； 运算的最终结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.二、本章常用方法归纳方法1.分母有理化：(稍微拓展一下) ①常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；②分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法2. 非0的二次根式的倒数 ①a 的倒数：aaa a==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b （a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ，所以)1(n n ++的倒数为 。
方法3. 利用“”外的因数化简“”111三、本章典型题型归纳 （一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）2+x －x 23-： （2）x -－11+x ： （3： （4）2||12--x x ： （5：2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则yx=3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1） x x -=2： ；（2）122+-x x ＝1－x ： ；（3）※22)3()2(-+-x x ＝1：4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0，则a= , b= , c= .5.已知039322=+-+-x x y x ，则11++y x =______________ 6．已知a,b,c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=_______7.已知x ＜-2，则化简后结果为_______8．已知a<0，化简二次根式b a 3- =_______ 9．4=，则a=10．实数a ，b ，ca －b │．11．将 ） A.； B. －；C. －；D.12．已知0<x<1=______． （二）同类根式与最简二次根式1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） ABC2.已知最简二次根式b a=______，b=_______3.在根式，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)4.已知a>b>0，的值为（ ）A B ．2 C ．12（三）二次根式的运算312=_______ 81=_______ 322=_______ 211311÷=_______ 326-=_______yx 5=_______ yx xy 3212÷=_______ b b 2142=_______52245454÷=_______ 2. 计算：（能简便运算的要简便运算）（1）0(π1)+ （2）2484554+-+ (3) 3)154276485(÷+- (4) x x x x 3)1246(÷- (5) 21418122-+- （6）673)32272(-⋅++（7) 2)32()122)(488(---+ (8) ((((22221111(9)62332)(62332(+--+） (10) ab －b a ―a b ＋2++abb a （a ＞0，b ＞0） （11）a bb a ab b 3)23(235÷-⋅3. 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3★★★.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .4___________5．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答：甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a ，乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a 。
浙教版初中数学八年级下册第一章《二次根式》复习2课件
④
⑤
⑥
⑦
⑧
2. 当 ≤__3___时，
有意义。
3.
有意义的条件是__a_=_4__
4.求下列二次根式中字母的取值范围
说明：二次根式被开方
解：
① 数大于等于0，所以求二
② 次根式中字母的取值范
解得
围常转化为不等式(组)
?
题型2:二次根式的非负性的应用
1.已知：
,求
解：由题意，得
解得
的值.
2.已知x,y为实数,且
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减： 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，
原来所学的乘法公式（如
,
）仍然适用。
题型1:二次根式有意义的条件 1.当x取何值时，下列二次根式有意义：
①
②
③
3
2010
）
通过这节课的学习， 谈谈你的收获。
祝你成功！
概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式
二 次 根 性质 式
运算
完成课本 目标与评定
A.3
B.-3
,则 C.1
的值为( D ) D.-1
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式
变式应用
1.式子
成立的条件是（ D ）
题型4:同类二次根式
1.下列与
是同类二次根式的有:(B )
A.
B.
C.
D.
2.下列与 （题中
不是同类二次根式的有:( D) ）
A.
B.
C.
D.
浙江省绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册 第1章 二次根式
1.3 二次根式的运算（第3课时）课堂笔记应用二次根式及其运算解决简单实际问题要注意两个方面：一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简.分层训练A组基础训练1. 已知两条线段的长分别为2cm，3cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A. 1cmB. 5cmC. 5cmD. 1cm或5cm2. 小明沿着坡比为1∶3的坡面向下走了2米，那么他下降了（）A. 1米B. 3米C. 23米D.332米3. 已知等腰三角形的两条边长分别为1和5，则这个三角形的周长为（）A．2+5 B．1+25 C．2+5或1+25D．1+54. 已知a=2-1，b=2+1，则a2+b2的值为（）A. 8B. 1C. 6D. 425. 如图，两棵树高分别为6m，2m，两树相距5m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞（）A. 4mB. 41mC. 3mD. 9m6.如图，将一个长为8，宽为4的长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是（）A．3 B. 23 C.5 D. 257. （河北中考）如图所示是由边长为1的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从ABC所走的路程为 m．8. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1∶3，则AB的长是．9. 如图，数轴上表示1，3的对应点分别为A，B，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为 .10. 如图，正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为8cm2和16c m2，线段CD，EH在同一直线上，则△AED与△BHC的面积之和为 cm2.11. 在等腰△ABC中，腰长为8m，底边长为4m，求△ABC的面积及一腰上的高.12. 如图，人民公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm，宽30cm，为了方便残疾人，拟将台阶改为斜坡．设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡BC的坡比定为1∶8．求AC和BC的长．13. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了一段路程到达B点，然后再沿北偏西30°方向行走到达目的地C点，一共走了600m. 已知C点在A点北偏东30°方向上，求A，C两地之间的距离.B组自主提高14．焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（单位：m）（）A．35＋7 B．53＋7 C．75＋3 D．37＋515. 如图，水库大坝截面的迎水坡坡比（D E与AE长度之比）为5∶3，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE=30m，坝顶宽CD=10m，求大坝的截面面积和周长.16. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以107km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会受到，说明理由；若会受到，求出A市受沙尘暴影响的时间.参考答案1.3 二次根式的运算（第3课时）【分层训练】 1—5. DABCB 6. D7. 25 8. 10米 9. 2-3 10. （42-4） 11. 面积：415m2 高：15m12. 设AC=x ，则60∶（x+60）=1∶8，则x=420，即AC=420cm ，BC=2260480+=6065cm.13. 由题意得∠ABC=90°，∠BAC=30°.设BC=x ，则AC=2x ，AB=22)2(x x -=3x ，∴3x+x=600，∴x=300（3-1），∴AC=2x=600（3-1）（m ）.答：A ，C 两地之间的距离为600（3-1）m.14. A 15. 面积1470m 2，周长（98+305+634）m.16. 会 10h。
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期末复习一 二次根式
复习目标
必备知识与防范点
一、必备知识：
1． 二次根式a 0，其中被开方数a 0 2． 二次根式的性质：
（a ）2= （a ≥0）；2
a = = .
ab = （a ≥0，b ≥0），
b
a
= （a ≥0，b ＞0）. 3． 在根号内部不含 ，不含 ，这样的二次根式称为 ．
4． 二次根式的乘除运算法则：a ×b = （a ≥0，b ≥0）；b
a
= . （a 0，b 0）. 二、防范点：
1． 求根式取值范围要注意能否取等号； 2． 化简2
a =a 时注意a 的正负； 3． 坡比强调铅垂距离与水平距离之比.
例题精析
考点一 二次根式字母的取值
例1 （1）求出下列x 的取值范围： ①1
31-x ；②2)1(2
+-x ；③x x --113.
（2）能使3-a a =3
-a a
成立的取值范围是（ ） A ．a>3
B ．a ≥0
C ．0≤a<3
D ．a<3或a>3
（3）已知x ，y 为实数，且y=
21+16-x +x 61-，则y
x
的值为 . 反思：二次根式的被开方数必须是非负的，同时还应考虑分式中分母不能为零.
考点二 二次根式双重非负性
例2 （1）已知2-+y x +4+-y x =0，求x ，y 的值；
（2）若x ，y 满足94-x +372+y =2014-+b a +b a --2014，求2x+y 的值.
反思：二次根式a ≥0（a ≥0），两非负数相加得0，则每一项均为0.
考点三 二次根式运算
例3 计算：
（1）12-
31+27
1； （2）2
)23(-－
2
31
--（221）2；
（3）（32-3）（2+23）； （4）（7+7）2-（7-7）2.
反思：二次根式化简2
a =a 时注意a 的正负；计算时注意能否用乘法公式.
考点四 二次根式的应用（坡比，与几何图形的结合）
例4 如图，大坝横截面的迎水坡AD 的坡比为4∶3，背水坡BC 坡比为1∶2，大坝高DE ＝20m ，坝顶宽CD ＝10m ，求大坝的截面面积和周长.
反思：坡比强调铅垂距离与水平距离之比，往往需构造直角三角形.
考点五 二次根式的拓展探究
例5 小明在解方程x -24-x -8=2时采用了下面的方法： （x -24-x -8）（x -24+x -8） ＝24－x －（8－x ）＝16，
又∵x -24-x -8=2①，∴x -24+x -8＝8②. 由①②相加得x -24=5，x -8=3，解得x ＝－1. 经检验x ＝－1是原方程的解. 请你学习小明的方法，解下列方程： （1）422
+x +102
+x =16； （2）5642
-+x x +5242
--x x =4x.
反思：例题的演示中，抓住核心：运用平方差公式，消未知数x ，列方程组求解.
校内练习
1．（自贡中考）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A ．10
B ．8
C ．6
D ．2
2. 若5=a ，50=b ，则5.2=（ ）
A. ab
B.
100
ab
C. 10ab
D.
10
1ab
3． 比较大小：3；8-8．
4． 计算化简：（1）
27
8
； （2）2
2
3913+； （3）（黄冈中考）27-6
3
1
； （4）
3
21
-.
5. 如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB ⊥DB ，坡面AC 的倾斜角∠CAB=45°. 为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度为i=3∶3. 若新坡角下（AD 的延长线上）需留3米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
6． 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边长，且a ，b 满足b 2=4b-3-a -4，求c 的取值范围.
7． 小明用下面的方法求出方程2x -3=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．
8． 如图，A ，B 为两个村庄，AB ，BC ，CD 为公路，BD 为田地，AD 为河流，且CD 与AD 互相垂直. 现在要从E 处开始铺设通往村庄A 、村庄B 的一条电缆，共有如下方案： 方案一：E →D →A →B ； 方案二：E →C →B →A.
经测量得：AB＝43km，BC＝10km，CE＝6km，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°.已知地下电缆的修建费为2万元/km，水下电缆的修建费为4万元/km.
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）问应选择哪个方案费用较低？请说明理由．
参考答案
期末复习一 二次根式
【必备知识与防范点】
1. ≥ ≥
2. a a a （a ≥0），-a （a ＜0）
a ·b
b
a
3.分母 开得尽方的因数或因式 最简二次根式
4. ab
b
a
≥ ＞ 【例题精析】 例1 （1）①x ≥
31； ②x 为任何实数； ③31≤x ＜1. （2）A （3）3
1 例
2 （1）x=-1，y=
3 （2）1 例3 （1）
9
3
16； （2）2； （3）56； （4）287 例4 ∵DE=20m ，DE ∶AE=4∶3，∴AE=15m ，∴AD=
22DE AE +=25m ，∵CF=DE=20m ，CF ∶BF=1∶
2，∴BF=40m ，∴BC=2
2
BF CF +=205m ，则周长C=AD+DC+BC+AB=（100+205）m ，面积S=2
1
（DC+AB ）·DE=
2
1
×75×20=750（m2）. 例5 （1）x=±39； （2）x ＝3
【校内练习】
1—2. BD 3. ＞ ＞ 4. （1）
9
6
2； （2）1310； （3）3； （4）-2-3. 5. ∵∠CAB=45°，∴AB=BC=10. ∵i=33=BD
BC ，∴BD=103，∴（10+AB ）-BD=20- 103≈2.68＜3，∴建筑物需要拆除. 6. 1＜c ＜5 7.
8. （1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，由题意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，BA＝43，∴AF＝23，BF＝6＝DF，∴AD＝6－23. 即河宽AD 为（6－23）km. （2）过B作BG⊥CD于点G，则CD＝CG＋GD＝8＋6＝14. 即公路CD长为14km. （3）方案一的铺设电缆费用低. 由（2）得DE=CD-CE=8千米. ∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+83）万元. ∵40＜32+83，∴方案一的铺设电缆费用低.。