2014年北京市房山区初三一模数学试题

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房山区初三数学期末试题及答案

2014—2015学年度第一学期终结性检测试题九年级数学题号一二三四五总分得分一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1. 抛物线()225=--+y x 的顶点坐标是 A ．()2，5-B ．()2，5C ．()25，--D ．()52，- 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若AB=OA=OB ，则∠C 等于A ．30°B ．40°C ．60°D ．80° 3．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值等于A ． 34B ．43C ．35D ．454. 已知点P (-3,2)是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为A.xy 3=B.5y x =- C. 6y x = D.6y x =-5. 已知△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′ 的面积的比为 A ．1：2 B ． 2：1 C ． 1：4 D ． 4：16. 如图，弦AB ⊥ OC ，垂足为点C ，连接OA ，若OC =2，AB =4，则OA 等于A ．22B ．23C ．32D ．257. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为A ． 10mB ． 12mC ． 15mD ．40m8. 如图，⊙O 的半径为2，点P 是半径OA 上的一个动点，过点P 作直线MN 且∠APN =60°，过点AOB CCOABA 的切线AB 交MN 于点B . 设OP =x ，△P AB 的面积为 y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且 DE ∥BC ，若AD =5，DB =3，DE =4，则BC 等于．10．如图，⊙O 的半径为2，4=OA ，AB 切⊙O 于B ，弦BC OA ∥连结AC ，则图中阴影部分的面积为．11. 如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E ，∠BCD =15°，⊙O 的半径为10，则AB = ．12. 抛物线()()2211-11n y x x n n n n +=+++（其中n 是正整数）与x 轴交于A n 、B n 两点，若以A n B n 表示这两点间的距离，则A B _________=11; A B A B __________+=1122； n n A B A B A B A B ____________.+++⋅⋅⋅+=112233(用含n 的代数式表示) 二、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算： 011(31)2cos30()128--︒-+解：14.如图，C 为线段BD 上一点，AC CE ⊥，AB BD ⊥，ED BD ⊥．求证：AB BC CDDE=．A E D CBCO BEDBAyxyxyxy xDC B A23232323OOOONMBOAP E AO DCB解:15.已知二次函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．解:16. 如图，在ABC ∆中，90C ︒∠=，52sin =A ，D 为AC 上一点，45BDC ︒∠=，6=DC ，求AD 的长. 解:17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD 的高度. 她先在A 处测得楼顶C 的仰角=α30°，再向楼的方向直行10米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角=β60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米）参考数据：41.12≈，73.13≈，24.25≈解:18. 如图，直线y =3x 与双曲线ky x=的两个交点分别为A (1 , m )和B ．（1）直接写出点B 坐标，并求出双曲线ky x=的表达式； D CBAβαG F E CBA（2）若点P 为双曲线ky x=上的点（点P 不与A 、B 重合），且满足PO=OB ，直接写出点P 坐标．解:四、解答题(本题共20分，每小题5分)19. 抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴的交点C 坐标为(0,－3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 为抛物线对称轴上的一个动点，若DA +DC 的值最小，求点D 的坐标. 解:20.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A 、B ，并使AB 与车轮内圆相切于点D ，做CD ⊥AB 交外圆于点C ．测得CD =10cm ，AB =60cm ，求这个车轮的外圆半径长．解:21.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CE ⊥ AB 于E , CD 平分∠ECB , 交过点B 的射线于D , 交AB 于F , 且BC=BD .y xBAO 1mAB（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE =9, CE =12, 求BF 的长. 解:22. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：()()()0210.ab ba ab bb ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值.小明是这样解决问题的：由新定义可知a =1，b =-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 12 .请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1) 计算：2※3= ；(2) 若5※m =56，则m = .(3) 函数y =2※x （x ≠0）的图象大致是（）五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）23. 直线y =﹣3x +3与x 轴交于点A , 与y 轴交于点B ，抛物线y =a （x ﹣2）2+k 经过点A 、B ，与x 轴的另一交点为C ．（1）求a ，k 的值；（2）若点M 、N 分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF ．y x Oyx Oy xOyxOA B C DF DE POC（1）若∠POC =60°，AC =12，求劣弧PC 的长；（结果保留π）（2）求证：OD =OE ；（3）求证：PF 是⊙O 的切线．解:25. 已知抛物线2154(3)22my x m x -=--+．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式和n 的值；（3）若反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足2<0x <3，求k 的取值范围.解:AD BC房山区2014—2015学年度第一学期终结性检测试题九年级数学参考答案和评分参考一、选择题（每题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADDCACD二、填空题（每题4分）9. 325 10. 23π 11. 10 12. 12231n ;;n +(前两空每1分，最后一空2分) 三、解答题 13. 解：原式=1-2×32-8+2 3 …………………………4分 = 3 -7 ………………………………………5分 14. 证明：∵90B ∠=o ，∴90A ACB ∠+∠=o ．∵C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=o ． ∴A ECD ∠=∠ ． …………………………………………………………………2分∵B D ∠=∠=90o ， …………………………………………………………………3分 ∴△ABC ∽△CDE ．………………………………………………………………4分∴AB BC CDDE=．………………………………………………………………………5分15. 由题意可知：30k -≠⎧⎨∆⎩≥ ……………………2分即()232430k k ≠⎧⎪⎨--⎪⎩≥…………………………3分解得34k k ≠⎧⎨⎩≤……………………………………4分∴ k 的取值范围是：k ≤4且k≠3……………5分16. 解：在BDC ∆中，090=∠C ， 045=∠BDC ，6=DC∴tan 451BCDC︒== ∴6BC = …………………………………1分EDB A在ABC ∆中，52sin =A ，∴25BC AB =，……2分 ∴15AB =……………………………………3分 ∴22156321AC =-=…………………4分 ∴3216AD =-……………………………5分17. ∵=α30°，=β60°，∴∠ECF ＝αβ-＝30°. ∴10==EF CF .在Rt △CFG 中，.35cos =⋅=βCF CG ……………………………………………3分 ∴3.106.135≈+=+=GD CG CD . ………………………………………………5分答：这座教学楼的高度约为10.3米.18.（1）点B 坐标为（-1，-3）……………………………………1分∵直线y=3x 过点A(1，m ) ∴m=3×1=3∴A(1,3) ……………………………………………………2分将A(1,3)代入y=kx中，得 k =xy =1×3=3∴y=3x …………………………………………………………3分(2) P 1(-3,-1), P 2(3,1)………………………………………………5分四、解答题19. 解：(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线2y x bx c =++ 中得： 103b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩ …………1分∴抛物线的解析式为223y x x =-- …………………2分 (2)由223y x x =--=()()()21413x x x --=+-知抛物线的对称轴为直线x =1，点B (3,0)……………3分连接BC ，交对称轴x =1于点D 可求得直线BC :y =x -3 当x =1时，y =-2∴点D (1,-2)……………………………………………5分 20. 如图，设点O 为外圆的圆心，连接OA 和OC ，……1分∵CD=10cm ，AB=60cm ，∴设半径为r ，则OD=r ﹣10，…………………………2分yx–4–3–2–11234–2–11234D CBAO根据题意得：r 2=（r ﹣10）2+302，…………………3分解得：r=50，…………………………………………5分 ∴这个车轮的外圆半径长为50．21. （1）证明：∵CE AB ⊥,∴ 90CEB ∠=o .∵ CD 平分ECB ∠, BC =BD , ∴ 12∠=∠, 2D ∠=∠.∴ 1D ∠=∠. …………………………1分 ∴ CE ∥BD .∴ 90DBA CEB ∠=∠=o .∵ AB 是⊙O 的直径,∴ BD 是⊙O 的切线. ………………………………………………………2分（2）连接AC ，∵ AB 是⊙O 直径，∴ 90ACB ∠=o . ∵CE AB ⊥, 可得 2CE AE EB =⋅.∴ .162==AECE EB ………………………………………………………3分在Rt △CEB 中，∠CEB =90︒, 由勾股定理得 2220.BC CE EB =+= ……………4分 ∴ 20BD BC ==.∵ 1D ∠=∠, ∠EFC =∠BFD ,∴ △EFC ∽△B FD. ………………………………………………………5分 ∴ BFEFBD EC =. ∴121620BFBF-=. ∴ BF =10. ………………………………………………………………………6分22. 解：（1）23…………………1分 (2) ±6 ……………………3分（3）D ………………………5分五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）23. (1)∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴(1,0)A ，(0,3)B . ……………………………………2分又抛物线2(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B ∴0,43;a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩即a ，k 的值分别为1，1-. ……………………………4分21E FOC（2）()()()1230,3,4,3,2,1M M M - …………………………………7分 24. （1）解：∵AC =12，∴CO =6， ∴==2π；（2）证明：∵PE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∠PEA =90°，∠ADO =90° 在△ADO 和△PEO 中，，∴△POE ≌△AOD （AAS ）， ∴OD =EO ；（3）证明：如图，连接AP ，PC ，∵OA =OP ， ∴∠OAP =∠OP A ，由（1）得OD =EO ， ∴∠ODE =∠OED ，又∵∠AOP =∠EOD ， ∴∠OP A =∠ODE ， ∴AP ∥DF ， ∵AC 是直径， ∴∠APC =90°， ∴∠PQE =90° ∴PC ⊥EF ，又∵DP ∥BF ， ∴∠ODE =∠EFC ， ∵∠OED =∠CEF ， ∴∠CEF =∠EFC ， ∴CE =CF ，∴PC 为EF 的中垂线，∴∠EPQ =∠QPF ，∵△CEP ∽△CAP∴∠EPQ =∠E AP ，∴∠QPF =∠EAP ，∴∠QPF =∠OP A ，∵∠OP A +∠OPC =90°，∴∠QPF +∠OPC =90°， ∴OP ⊥PF ，∴PF 是⊙O 的切线．25．（1）证明：令2154(3)022m x m x ---+=. 得[]2154(3)422m m -∆=---⨯⨯224m m =-+2(1)3m =-+. Q 不论m 为任何实数，都有(m －1)2＋3＞0，即△＞0. ……………1分∴不论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点. ……………… 2分（2）解：抛物线2154(3)22m y x m x -=--+的对称轴为 ∵抛物线上两个不同点A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++的纵坐标相同，∴点A和点B 关于抛物线的对称轴对称，则(3)(1)312n n m -+-+-==-． ∴2m =. ……………………………………………………… 3分∴抛物线的解析式为21322y x x =+-． ………………… 4分 ∵A 2(3,2)n n -+在抛物线21322y x x =+-上， ∴2213(3)(3)222n n n -+--=+. 化简，得2440n n ++=.∴ 2n =-． ……………………………………………… 5分（3）当2<x <3时，对于21322y x x =+-，y 随着x 的增大而增大，对于(0,0)k y k x x=>>，y 随着x 的增大而减小. 所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，(3) 3.122m x m --=-=-⨯得2k ＞2132222⨯+-，解得k ＞5. …………………………………6分当03x =时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得2133322⨯+-＞3k ，解得k ＜18. ……………………………………7分所以k 的取值范围为5＜k ＜18. ……………………………8分。

【2014房山一模】北京市房山区2014届高三一模考试数学理 Word版含答案

北京市房山区2014届高三4月模拟（一模）数学（理）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．（1）已知集合{|(2)0}A x x x =-≤，{2,1,0,1,2}B =--，则AB =（A ）{2,1}-- （B ）{1,2} （C ）{1,0,1,2}-（D ）{0,1,2}（2）已知等比数列{}n a 中，121a a +=，458a a +=-，则公比q =（A ）2- （B ）2 （C ）12-（D ）12（3）参数方程32cos12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)化为普通方程是（A ）22(1)(3)1x y -++= （B ）22(3)(1)4x y ++-= （C ）22(2)(2)4x y -++=（D ）20x y +-=（4）当0a b >≥时，双曲线22221x y a b-=的离心率e 的取值范围是（A ）(02，（B ）[2（C ）（D ）)∞（5）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为（A ）2 （B ）3（C ）5（D（6）在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志学优网愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种（7）已知不等式组202020x y x ax y +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为﹙A ﹚ 1- （B ）52 ﹙C ﹚2（D ）12（8）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1AD 上一动点，点Q 为底面ABCD 内（含边界）一动点，M 为PQ 的中点，点M 构成的点集是一个空间几何体则该几何体为（A ）棱柱（B ）棱锥（C ）棱台（D ）球第二部分（非选择题共110分）（9（10 .（11AD BC ⊥，3=BD ，1=CD ，则=AD ；圆的直径为．（12）如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅的最大值为（13）已知函数121,1,()log , 1.x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k （14）对于非空实数集合A ，记{}*|,A y x A y x =∀∈≤，设非空实数集合P 满足条件“若1x <，则x P ∉” 且M P ⊆，给出下列命题：①若全集为实数集R ，对于任意非空实数集合A ，必有*A A =R ð；②对于任意给定符合题设条件的集合,M P ，必有*P M *⊆； ③存在符合题设条件的集合,M P ，使得MP *=∅； ④存在符合题设条件的集合,M P ，使得MP *≠∅．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）已知函数2()(sin cos )cos(π2)f x x x x =++-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求)(x f 在区间3[,]ππ上的取值范围．（Ⅰ）求x ，y ，z ，M 的值；（Ⅱ）若从这M 辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；（Ⅲ）若以频率作为概率，设X 为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X 的分布列和数学期望EX ．（17）（本小题共14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=，1AC BC ==，12AA =．以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1DA 和1DC ．（Ⅰ）求证：1A D ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）求直线1CC 与平面11DAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点F ，使平面11DAC 与平面11AC F 垂直？若存在，求出BF 的长；若不存在，说明理由．（18）（本小题共14分）已知函数2()()e xaf x x a =-，其导函数()y f x '=的图象经过点(3,0)-，(3,0)，如图所示．（Ⅰ）求()f x 的极大值点；（Ⅱ）求a 的值；（Ⅲ）若0m ≥，求()f x 在区间[],1m m +上的最小值．（19）（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（20）（本小题满分13分）在数列{}n a 中，若221n n a a k --=（2n ≥，*N n ∈，k 为常数），则称{}n a 为X 数列．（Ⅰ）若数列{}n b 是X 数列，11b =，23b =，写出所有满足条件的数列{}n b 的前4项；（Ⅱ）证明：一个等比数列为X 数列的充要条件是公比为1或1-；（Ⅲ）若X 数列{}n c 满足12c =，2c =，0n c >，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p q ，使不等式1n T >对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出,p q 的值；若不存在，说明理由．数学（理）参考答案（9）(1,2)--（10）7（11）3；6（12）8（13）(1,0)-（14）②③④ （15）解：（Ⅰ）2()(sin cos )cos(2)f x x x x π=++-，()1sin 2cos 2f x x x ∴=+- ------------------3分1)42sin(2+-=πx ------------------5分∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. ------------------6分由 222242k x k πππππ-+≤-≤+，()k Z ∈ -----------------7分得 388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈∴()f x 的单调增区间是3[,]88k k ππππ-++，()k Z ∈ -----------------8分（Ⅱ）434ππ≤≤x 45424πππ≤-≤∴x1)42s i n (22≤-≤-∴πx ------------------3分0)114x π∴≤-+≤∴函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ上的取值范围为[0,1]. ------------------5分（16）解：（Ⅰ）由表格可知20.2M=，所以10M=，50.510x==，10253y=--=，30.310z==. ------------------4分（Ⅱ）设“从这10辆纯电动车中任选2辆，选到的2辆车的续驶里程都不低于150公里”为事件A，则()282102845 CP AC==. ------------------4分（Ⅲ）X的可能取值为3.5，5，6------------------1分()3.50.2P X==()50.5P X==()60.3P X==所以X的分布列为------------------3分3.50.250.560.35EX=⨯+⨯+⨯=. ------------------5分（17）解（Ⅰ）连结1BC，三棱柱111ABC A B C-中11//A B AB∴且11A B AB=，由平行四边形ABCD得//CD AB且CD AB=∴11//A B CD且11A B CD=------------------1分∴四边形11A B CD为平行四边形，11//A DB C------------------2分1B C⊂平11BCC B面，1A D⊄平面11BCC B------------------3分∴1//A D平面11BCC B------------------4分x1（Ⅱ）由90ACB∠=，四边形ABCD为平行四边形得AC AD⊥，1AA⊥底面ABC 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A xyz-，则(0,1,0)C，(1,0,0)D，1(0,0,2)A，1(0,1,2)C，------------------1分1(0,0,2)CC ∴=，1(1,0,2)A D =-，11(0,1,0)AC = 设平面11DAC 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0.A D AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即200x z y -=⎧⎨=⎩，令1z =，则0y =，2x = (2,0,1)∴=n------------------3分11||sin 5||||CC CC θ⋅∴===⋅n n ∴直线1CC 与平面1DAC 成角的正弦------------------5分（Ⅲ）设(,1,0)F λ，10λ-≤≤，则1(,0,2)C F λ=- ------------------1分设平面11AC F 的法向量为()111,,x y z =m ，则111 =00A C C F ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即111020y x z λ=⎧⎨-=⎩令11x =，则10y =，12z λ=，所以(1,0,)2λ=m ------------------3分由（Ⅱ）知：平面11DAC 的法向量为(2,0,1)=n 假设平面11DAC 与平面11AC F 垂直，则0⋅=n m ，解得，41λ=-<- ∴线段BC 上不存在点F ，使平面11DAC 与平面11AC F 垂直.------------------5分（18）解：（Ⅰ）由导函数图象可知：)(x f 在区间()3,-∞-单调递增，在区间()3,3-单调递减，所以，)(x f 的极大值点为3- --------3分（Ⅱ）22211()()()x xa a f x x a e x a e a a'=-=- ------------------2分由(3)0f '-=得3a =±------------------3分当3a =-时，(4)0f '-<与已知矛盾，3a ∴= ------------------5分（Ⅲ）231()(9)3xf x x '=-①当31≤+m ，即20≤≤m 时，)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递减123min ()(1)(2)m f x f m m e+∴=+=- ------------------2分②当13+<<m m ，即32<<m 时，)(x f 在区间[]3,m 上单调递减，在区间[]1,3+m 上单调递增，min ()(3)0f x f ∴== ------------------4分③当3m ≥时，)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，23min ()()(3)mf x f m m e ∴==- ------------------6分（19）解：（Ⅰ）由已知得1c =，22a c == ------------3分2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y += ------------------4分（Ⅱ）2BFMBFNS S ∆∆=等价于2FM FN = ------------------2分当直线l 斜率不存在时，1FMFN=，不符合题意，舍去； ------------------3分当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由221,43(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消x 并整理得222(34)690k y ky y ++-= ------------------5分设11(,)M x y ，22(,)M x y ，则12263+4k y y k +=- ①，21229=34k y y k -+② ---7分由2FMFN=得122y y =-③由①②③解得k =，因此存在直线l：1)y x =-使得BFM ∆与BFN ∆的面积比值为2 --------9分（20）解：（Ⅰ）由{}n b 是X 数列，11b =，23b =，有22318d =-=，于是21(31)817b =+-⨯=,241(41)825b=+-⨯= }n b 的前4项为：；1,3,；1,3,5-． ------------------4分（Ⅱ）（必要性）设数列{}n a 是等比数列，11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠），则22221n n a a q -=，若{}n a 为X 数列，则有2222222422421111(1)n n n n n a a a q a q a q q k -----=-=-=（k 为与n 无关的常数）所以21q =，1q =或1q =-． ------------------2分（充分性）若一个等比数列{}n a 的公比1q =，则1n a a =， 2210n n a a --=，所以{}n a 为X 数列；若一个等比数列{}n a 的公比1q =-，则11(1)n n a a -=-，22222224111(1)(1)0n n n n a a a a ----=---=，所以{}n a 为X 数列． -----4分（Ⅲ）因X 数列{}n a 中122,,0n a a a ==>，则221(1)44(1)4,n a a n d n n =+-=+-=n a ∴=，所以数列1{}n a 的前n 项和1...2n T =++ ------------------1分假设存在正整数,p q 使不等式1 (1)2+>对一切*n N ∈...1)+>当1n =时，911),4p q >∴+<，又,p q 为正整数，1p q ∴==．-3分...1)>对一切*n N ∈都成立．*)n N =>=∈...1)...1)+>+++= ------------------5分。

北京市房山区2014届九年级上期末考试数学试题

房山区2013—2014学年度第一学期终结性检测试题九年级数学题号一二三四五总分得分一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1. 抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是A. (1，-2)B. (1，2)C. (-1，2)D. (-1，-2) 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝40°，则∠AOC 等于A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°3．在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，则tan A 等于A ． 34B ．43C ．35D ．454. 如图，P 是反比例函数图象上第二象限内的一点，若矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是A.xy 3=B.x y 3-= C. 3x y = D.3x y -=5. 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为A ．31B ．21C ．61D ． 326. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连接OC ，若OC =5，AE =2，则CD 等于A ．3B ．4C ．6D ．87.如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数 2y x=的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数 y = kx的图象上，且OA ⊥OB ，tan A =3，则k 的值为 A ．-3 B. 3- C. -6 D. 23-8. 如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PDAPE =PB . 设AP =x , △PBE 的面积为y . 则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是y y y y xx x xC.121121 D.B.121121A.O O O O二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 若把代数式242x x -+化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m += . 10. 若扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长为________________. 11. 如图，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是的中点，点P 是直径MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值是． 12. 如图，已知△ABC 的面积S △ABC =1.在图（1）中，若21111===CACC BCBB ABAA , 则41S 111C B A △=;在图（2）中，若31222===CA CC BC BB AB AA , 则31S 222C B A △=; 在图（3）中，若41333===CA CC BC BB AB AA , 则167S 333C B A △=; 按此规律，若44415AA BB CC AB BC CA ===, 则444A B C S =若91888===CA CC BC BB AB AA , 则=888C B A △S .三、解答题(本题共30分，每小题5分)13.计算：()21273tan 3033π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭解：（11题图）14.已知：如图，在⊙O 中，弦AB CD 、交于点E ，AD CB =．求证：AE CE =．证明：15. 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝10，,31sin ,54sin ==B C 求AB 的长．解：16 .如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ABD ＝75°，∠DBC ＝30°，AB ＝22．求BC 的长．解：AB CDBA CD17．如图，一次函数y=3x 的图象与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A(1 , m)．（1）求反比例函数ky x=的解析式；（2）若点P 在直线OA 上，且满足PA=2OA ，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)．解：18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OCB ∆的外接圆与y 轴交于点(0,2)A ，60,45OCB COB ∠=︒∠=︒，求OC 的长．解：yxAOBC四、解答题(本题共20分，每小题5分)19. 已知关于x 的一元二次方程2(31)30kx k x +++= (0)k ≠．（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 的值．解：20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD ．（1）△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是个单位长度；（2）△AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是；（3）△AOC 绕原点O 顺时针旋转可以得到△DOB ，则旋转角度是度，在此旋转过程中，△AOC 扫过的图形的面积是．21. 如图, 已知二次函数y = x2－4x + 3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C.（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标. 解：22.如图，在ABC△中，以AC为直径的O交AB于点D，点E为AD的中点，连结CE交AB 于点F，且BF BC=.（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若O的半径为2,3cos5B=,求CE的长.解：F DEO BA五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23. 已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点（-1，0）和点（2，-9）．(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；(2) 已知点P（2, -2），连结OP , 在x轴上找一点M，使△OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标(不写求解过程).解：24. 抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1) 求此抛物线的解析式；(2) 抛物线上是否存在点P,使12ABP ABCS S∆∆=,若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.解：25.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC ，AC ．CD 是半⊙O ’的切线，AD ⊥CD 于点D ．（1）求证：∠CAD =∠CAB ；（2）已知抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点，AB =10 ，tan ∠CAD =12． ① 求抛物线的解析式；② 判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；③ 在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．解：。

2014-2015房山区九年级第一学期期末数学试题及答案

房山区2014—2015学年度第一学期终结性检测试题九年级数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应1. 抛物线()225=--+y x 的顶点坐标是 A ．()2，5-B ．()2，5C ．()25，--D ．()52，- 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若AB=OA=OB ，则∠C 等于A ．30°B ．40°C ．60°D ．80° 3．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值等于A ． 34B ．43C ．35D ．454. 已知点P (-3,2)是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为A.xy 3=B.5yx =- C. 6y x =D.6y x =-5.已知△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′ 的面积的比为 A ．1：2 B ． 2：1 C ． 1：4 D ．4：16. 如图，弦AB ⊥ OC ，垂足为点C ，连接OA ，若OC =2，AB =4，则OA 等于 A ．．．．7. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为A ． 10mB ． 12mC ． 15mD ．40m8. 如图，⊙O 的半径为2，点P 是半径OA 上的一个动点，过点P 作直线MN 且∠APN =60°，过点A 的切线AB 交MN 于点B . 设OP =x ，△P AB 的面积为 y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且 DE ∥BC ，若AD =5，DB =3，DE =4，则BC 等于．10．如图，⊙O 的半径为2，4=OA ，AB 切⊙O 于B ，弦BC OA ∥连结AC ，则图中阴影部分的面积为．11. 如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E ，∠BCD =15°，⊙O 的半径为10，则AB = ．12. 抛物线()()2211-11n y x x n n n n +=+++（其中n 是正整数）与x 轴交于A n 、B n 两点，若以A n B n 表示这两点间的距离，则A B _________=11; A B A B __________+=1122； n n A B A B A B A B ____________.+++⋅⋅⋅+=112233(用含n 的代数式表示) 二、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算： 0111)2cos30()8--︒-+解：A E D xDC B ADC14.如图，C 为线段BD 上一点，AC CE ⊥，AB BD ⊥，ED BD ⊥．求证：AB BC CDDE=．解:15.已知二次函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．解:16. 如图，在ABC ∆中，90C ︒∠=，52sin =A ，D 为AC 上一点，45BDC ︒∠=，6=DC ，求AD 的长. 解:17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD 的高度. 她先在A 处测得楼顶C 的仰角=α30°，再向楼的方向直行10米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角=β60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米）参考数据：41.12≈，73.13≈，24.25≈解:EDCB ABAβαG F E CB18. 如图，直线y =3x 与双曲线ky x=的两个交点分别为A (1 , m )和B ．（1）直接写出点B 坐标，并求出双曲线ky x=的表达式；（2）若点P 为双曲线ky x=上的点（点P 不与A 、B 重合），且满足PO=OB ，直接写出点P 坐标．解:四、解答题(本题共20分，每小题5分)19. 抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴的交点C 坐标为(0,－3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 为抛物线对称轴上的一个动点，若DA +DC 的值最小，求点D 的坐标. 解:20. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A 、B ，并使AB 与车轮内圆相切于点D ，做CD ⊥AB 交外圆于点C ．测得CD =10cm ，AB =60cm ，求这个车轮的外圆半径长．解:21.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CE ⊥ AB 于E , CD 平分∠ECB , 交过点B 的射线于D , 交AB 于F , 且BC=BD . （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE =9, CE =12, 求BF 的长. 解:22. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：()()()0210.ab ba ab bb ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值.小明是这样解决问题的：由新定义可知a =1，b =-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 12.请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1) 计算：2※3= ；(2) 若5※m =56，则m = .(3) 函数y =2※x （x ≠0）的图象大致是（）五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）23. 直线y =﹣3x +3与x 轴交于点A , 与y 轴交于点B ，抛物线y =a （x ﹣2）2+k 经过点A 、B ，与x 轴的另一交点为C ．（1）求a ，k 的值；（2）若点M 、N 分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．y x OyxOA B C DDAB24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF ．（1）若∠POC =60°，AC =12，求劣弧PC 的长；（结果保留π）（2）求证：OD =OE ；（3）求证：PF 是⊙O 的切线．解:25. 已知抛物线2154(3)22my x m x -=--+．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式和n 的值；（3）若反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足2<0x <3，求k 的取值范围.解:F房山区2014—2015学年度第一学期终结性检测试题九年级数学参考答案和评分参考二、填空题（每题4分）9. 325 10. 23π 11. 10 12. 12231n ;;n +(前两空每1分，最后一空2分) 三、解答题 13. 解：原式=1-2×32-8+2 3 …………………………4分 = 3 -7 ………………………………………5分14. 证明：∵90B ∠=，∴90A ACB ∠+∠=．∵C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=．∴A ECD ∠=∠ ． …………………………………………………………………2分 ∵B D ∠=∠=90， …………………………………………………………………3分 ∴△ABC ∽△CDE ．………………………………………………………………4分 ∴AB BC CDDE=．………………………………………………………………………5分15. 由题意可知：30k -≠⎧⎨∆⎩≥ ……………………2分即()232430k k ≠⎧⎪⎨--⎪⎩≥…………………………3分解得34k k ≠⎧⎨⎩≤……………………………………4分∴ k 的取值范围是：k ≤4且k≠3……………5分16. 解：在BDC ∆中，090=∠C ， 045=∠BDC ，6=DC∴tan 451BCDC︒== EDBA∴6BC = …………………………………1分在ABC ∆中，52sin =A ，∴25BC AB =，……2分 ∴15AB =……………………………………3分∴AC ==…………………4分∴6AD =……………………………5分17. ∵=α30°，=β60°，∴∠ECF ＝αβ-＝30°. ∴10==EF CF .在Rt △CFG 中，.35cos =⋅=βCF CG ……………………………………………3分 ∴3.106.135≈+=+=GD CG CD . ………………………………………………5分答：这座教学楼的高度约为10.3米.18.（1）点B 坐标为（-1，-3）……………………………………1分∵直线y=3x 过点A(1，m ) ∴m=3×1=3∴A(1,3) ……………………………………………………2分将A(1,3)代入y=kx中，得 k =xy =1×3=3∴y=3x …………………………………………………………3分(2) P 1(-3,-1), P 2(3,1)………………………………………………5分四、解答题19. 解：(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线2y x bx c =++ 中得： 103b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩ (1)∴抛物线的解析式为223y x x =-- (2)由223y x x =--=()()()21413x x x --=+-知抛物线的对称轴为直线x =1，点B (3,0) 连接BC ，交对称轴x =1于点D 可求得直线BC :y =x -3 当x =1时，y =-2∴点D (1,-2)……………………………………………5分20. 如图，设点O 为外圆的圆心，连接OA 和OC ，……1分∵CD=10cm ，AB=60cm ，∴设半径为r ，则OD=r ﹣10，…………………………2分根据题意得：r 2=（r ﹣10）2+302，…………………3分解得：r=50，…………………………………………5分 ∴这个车轮的外圆半径长为50．21. （1）证明：∵CE AB ⊥,∴ 90CEB ∠=.∵ CD 平分ECB ∠, BC =BD , ∴ 12∠=∠, 2D ∠=∠.∴ 1D ∠=∠. …………………………1分 ∴ CE ∥BD .∴ 90DBA CEB ∠=∠=.∵ AB 是⊙O 的直径,∴ BD 是⊙O 的切线. ………………………………………………………2分（2）连接AC ，∵ AB 是⊙O 直径，∴ 90ACB ∠=. ∵CE AB ⊥, 可得 2CE AE EB =⋅.∴ .162==AECE EB ………………………………………………………3分在Rt △CEB 中，∠CEB =90︒, 由勾股定理得20.BC = ……………4分 ∴ 20BD BC ==.∵ 1D ∠=∠, ∠EFC =∠BFD ,∴ △EFC ∽△BFD. ………………………………………………………5分 ∴ BFEFBD EC =. ∴121620BFBF-=. ∴ BF =10. ………………………………………………………………………6分22. 解：（1）23…………………1分 (2) ±6 ……………………3分（3）D ………………………5分五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）23. (1)∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴(1,0)A ，(0,3)B . ……………………………………2分又抛物线2(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B∴0,43;a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩即a ，k 的值分别为1，1-. ……………………………4分（2）()()()1230,3,4,3,2,1M M M - …………………………………7分 24. （1）解：∵AC =12，∴CO =6， ∴==2π；（2）证明：∵PE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∠PEA =90°，∠ADO =90° 在△ADO 和△PEO 中，，∴△POE ≌△AOD （AAS ）， ∴OD =EO ；（3）证明：如图，连接AP ，PC ，∵OA =OP ， ∴∠OAP =∠OP A ，由（1）得OD =EO ， ∴∠ODE =∠OED ，又∵∠AOP =∠EOD ， ∴∠OP A =∠ODE ， ∴AP ∥DF ， ∵AC 是直径， ∴∠APC =90°， ∴∠PQE =90° ∴PC ⊥EF ，又∵DP ∥BF ， ∴∠ODE =∠EFC ， ∵∠OED =∠CEF ， ∴∠CEF =∠EFC ，∴CE =CF ，∴PC 为EF 的中垂线，∴∠EPQ =∠QPF ，∵△CEP ∽△CAP∴∠EPQ =∠EAP ，∴∠QPF =∠EAP ，∴∠QPF =∠OP A ，∵∠OP A +∠OPC =90°，∴∠QPF +∠OPC =90°，∴OP ⊥PF ，∴PF 是⊙O 的切线．25．（1）证明：令2154(3)022m x m x ---+=. 得[]2154(3)422m m -∆=---⨯⨯224m m =-+2(1)3m =-+. 不论m 为任何实数，都有(m －1)2＋3＞0，即△＞0. ……………1分∴不论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点. ……………… 2分（2）解：抛物线2154(3)22m y x m x -=--+的对称轴为 ∵抛物线上两个不同点A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++的纵坐标相同，∴点A和点B 关于抛物线的对称轴对称，则(3)(1)312n n m -+-+-==-． ∴2m =. ……………………………………………………… 3分 ∴抛物线的解析式为21322y x x =+-． ………………… 4分 ∵A 2(3,2)n n -+在抛物线21322y x x =+-上， ∴2213(3)(3)222n n n -+--=+. 化简，得2440n n ++=.∴ 2n =-． ……………………………………………… 5分（3）当2<x <3时，对于21322y x x =+-，y 随着x 的增大而增大，对于(0,0)k y k x x=>>，y 随着x 的增大而减小. (3) 3.122m x m --=-=-⨯所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，得2k ＞2132222⨯+-，解得k ＞5. …………………………………6分当03x =时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得2133322⨯+-＞3k，解得k ＜18.……………………………………7分所以k 的取值范围为5＜k ＜18.……………………………8分。

北京市房山区初中毕业考试中考一模数学试题含答案解析

北京市房山区初中毕业考试（中考一模）数学试题初中数学第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共30分，每小题3分）：1.为了减少燃煤对大气的污染，北京实施煤改电工程.每年冬季采暖季期间可压减燃煤约608000吨，将608000用科学记数法表示应为A.460.810⨯ B.46.0810⨯ C. 60.60810⨯ D. 56.0810⨯【考点】科学记数法和近似数、有效数字【试题解析】608000= 所以选D【答案】D2.如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示2的相反数的点是A．点AB．点BC．点CD．点D【考点】实数的相关概念【试题解析】解析：表示2的相反数的点是-2，所以选A【答案】A3．有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆.C B A 12345-1-2-3-46将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是A. 51B. 52 C. 53 D. 54【考点】轴对称与轴对称图形【试题解析】解析：里面是轴对称图形，不是中心对称图形的有等腰三角形，所以概念为所以选A【答案】A4．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上，DE ∥AB ，如果∠ADE =46°，那么∠B 等于A ．34°B ．54°C ．46°D ．44°【考点】轴对称与轴对称图形【试题解析】解析：∵DE//AB∴∠ADE=∠A=46°∴∠B=∠C-∠A=44°【答案】D5.象棋在中国有着三千多年的历史，属A BED C4题图于二人对抗性游戏的一种。

由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动。

如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0,1），“卒”的坐标是（2,2），那么“马”的坐标是A．（-2，1） B．（2，-2） C．（-2，2） D．（2，2）【考点】平面直角坐标系及点的坐标【试题解析】解析：马的坐标纵坐标和卒的相等，所以排除A,B横坐标，在帅的左边2个单位，所以是-2所以选C【答案】C6.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，•如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是A．75米 B．25米 C．100米 D．120米【考点】相似三角形的应用【试题解析】解析：根据题意可得：△ABD∽△CDE∴AB:CE=BD:CD∴AB=100米所以选C【答案】C7. 在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的A. 中位数B. 众数C.平均数D. 方差【考点】平均数、众数、中位数【试题解析】中位数是表示在中间的那一个数或者中间两个数的平均数，有5名同学，那么中位数就是第3名同学的成绩，所以只要知道中位数，就可以知道是否进入前三名了.【答案】A8. 下列几何体中，主视图相同的是A．①② B．①④ C．①③ D．②④【考点】几何体的三视图【试题解析】解析：主视图就是指从正面观察到的图形是什么，①从正面观察到的是一个长方形，③也是一个长方形，所以选C【答案】C9.如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C,已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过的图形的面积为A. 23π B.83π C.6π D.103π【考点】图形的旋转【试题解析】解析：阴影面积=故选D．【答案】D10．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自点A出发沿AB方向以每秒1厘米的速度运动，同时动点N自点A出发沿折线AD—DC—CB以每秒3厘米的速度运动，到达点B时运动同时停止.设△AMN的面积为y（厘米2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是NMD CB A【考点】函数的表示方法及其图像【试题解析】解析：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN=当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN=×x×3x=x2，点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN=×x×3=x，y随x的增大而增大，所以排除A、D；当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN=×x×（9-3x）=-x2+x，开口方向向下．选B．【答案】B二、填空题（本大题共18分，每小题3分）：=________________.11. 分解因式：3a a【考点】因式分解【试题解析】原式=a（a²-1）=a（a+1）（a-1）【答案】a（a+1）（a-1）12.已知反比例函数的图象经过A(2,-3),那么此反比例函数的关系式为______. 【考点】反比例函数表达式的确定【试题解析】解析：设反比例函数解析式为把x=-2，y=-3代入得：k=-6【答案】13.3月12日“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，求这两种树苗的进价分别是多少元.如果设每棵柏树苗的进价是x元，那么可列方程为______________.【考点】一次方程（组）的应用【试题解析】根据题意，这道题的等量关系式是柏树苗的费用=枣树苗的费用200x=120（2x-5）【答案】14.关于x的一元二次方程mx2＋4x＋1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 . 【考点】一元二次方程的根与系数的关系【试题解析】解析：m≠0△=16-4m≥0解得：m ≤4且m ≠0【答案】m ≤4且m ≠015. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)图象经过A(-1,m)，B(2,m).写出一组满足条件的a 、b 的值：a=_____，b=______.【考点】二次函数表达式的确定【试题解析】解析：a-b+c=m 4a+2b+c=m -3a-3b=0 a=-b所以a=1，b=-1【答案】a=1,b=-116．如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：① 以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ． ② 分别以D ，E 为圆心，大于12DE C ．③ 画射线OC ．所以射线OC 为所求∠AOB 的平分线.BACED根据上述作图步骤，回答下列问题:（1）写出一个正确的结论：________________________. （2）如果在OC 上任取一点M，那么点M到OA、OB的距离相等.依据是：_______________________________________________________.【考点】尺规作图【试题解析】(1)以同样长画弧，OD,OE 都是这个固定的长度，所以OD=OE(2)角平分线上的带你到角两边距离相等.【答案】（1） OD=OE （2）角平分线上的点到角两边距离相等.三、解答题（本大题共72分，其中第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）：17. 计算：10)21(31)-(2016+3tan30 -+-+︒π. 【考点】实数运算【试题解析】解析：== 【答案】18.已知07432=--a a ，求代数式22))(()12(b b a b a a --+--的值.【考点】代数式及其求值【试题解析】== = ∵，∴，当时原式==8【答案】819. 解分式方程：2212+=--x xx . 【考点】分式方程的解法【试题解析】解得：经检验是原方程的解.∴原方程的解是【答案】x=-120.已知：如图，在△ABC 中,∠ABC = 90°,BD 为AC 边的中线，过点C 作 CE ∥AB 与BD 延长线交于点E . 求证：∠A =∠E .【考点】平行线的判定及性质【试题解析】∵在△ABC 中, ∠ABC = 90°,BD 为AC 边的中线.∴BD = AD = AC.∴∠A= ∠ABD,∵CE ∥AB ,∴∠ABD =∠E.∴∠A=∠E.【答案】见解析21.列方程（组）解应用题：为提高饮用水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A 、B 两种型号家用净水器共160台，A 型号家用净水器进价为每台150元，B 型号家用净水器进价为每台350元，购进两种型号的家用净水器共用去36000元.求A 、B 两种型号家用净水器各购进了多少台.EDB【考点】一次方程（组）的应用【试题解析】设购进A 型号净水器每台元，B 型号净水器每台元，根据题意，得：解得：答：A 种型号家用净水器购进了100台，B 种型号家用净水器购进了60台.【答案】A 种型号家用净水器购进了100台，B 种型号家用净水器购进了60台.22. 如图，在ABCD 中，E 为BC 中点，过点E 作AB EG ⊥于G ，连结DG ，延长DC ，交GE 的延长线于点H.已知10BC =,45GDH ∠=︒，DG 82=.求 CD 的长.【考点】平行四边形的性质【试题解析】∵四边形是平行四边形∴∥,∵EG ⊥于点，∴在△中，，，，∴．∵为中点，，∴．∵∴△≌△．∴．在△中，，，，∴．∴【答案】523 .如图，在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0，3)，C(0，2)，点D在第二象限，且△AOB≌△OCD．(1) 请在图中画出△OCD ，并直接写出点D的坐标；(2) 点P在直线AC上，且△PCD是等腰直角三角形.x yBCA11o求点P的坐标．【考点】平面直角坐标系及点的坐标【试题解析】(1)图1，正确画出△COD点D的坐标为：D(－3，2)．(2) 由OC＝OA＝2，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝45°．∵A（2,0），C（0,2）∴过A、C两点的一次函数的关系式为：①当CD为直角边时，如图2，此时，点P的横坐标为-3. ∴P(－3，5)．②当CD为斜边时，如图，此时3，点P 的横坐标为.∴P()．∴在直线AC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P坐标为：(－3，5)或(，)．【答案】见解析24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，点D为弧AB的中点，AC=43.求CD的长.【考点】与圆有关的计算【试题解析】连结BC∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB =90°∵∠CAB =30°，∴∠D =60°.∵点D为弧AB的中点，∴∠ACD =45°.CB AO过点A作AE⊥CD，∵AC=，∴AE=CE =.∴DE =.∴CD =.【答案】25.“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物.公众对于大气环境质量越来越关注，某市为了了解市民对于“PM 2.5浓度升高时，对于户外活动的影响”的态度，随机抽取了部分市民进行调查.根据调查的相关数据，绘制的统计图表如下：PM2.5浓度升高时，对于户外活动是百分比否有影响，您的态度是A．没有影响2%B．影响不大，还可以进行户外活动30%C．有影响，减少户外活动42%D．影响很大，尽可能不去户外活动mE ．不关心这个问题6%根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出统计表中m的值；（2）根据以上信息，请补全条形统计图；（3）如果该市约有市民400万人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响很大，尽可能不去户外活动”这种态度的约有多少万人．【考点】统计图的分析【试题解析】（1）1-2%-6%-30%-42%=20%；（2）如图2% 42% C6% E30% BDA PM2.5浓度升高时对于户外活动公众的态度的扇形统计图12084040PM2.5浓度升高时对于户外活动公众的态度的条形统计图C D E B A 公众的态度80160240320400480560640720800880o（3）400×20%=80（万人）.【答案】见解析26.如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线12y x=（1）当x 时，1y ＞0；（2）直线2y x b =-+，当22b =时，直线与双曲线有唯一公共点，问：b 时，直线与双曲线有两个公共点；（3）如果直线2y x b =-+与双曲线12y x=交于A 、B 两点，且点A 的坐标为（1,2）,点B 的纵坐标为1.设E 为线段AB 的中点，过点E 作x 轴的垂线EF ，交双曲线于点F .求线段EF 的长.【考点】反比例函数的图像及其性质【试题解析】（1）＞0（2）当＜或＞，（3）∵点B 的纵坐标为1，∴点B 的横坐标为2，∵点E 为AB 中点，xyy 1=2x12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5o∴点E 坐标为（∴点F 的坐标为（，）∴EF=【答案】见解析27. 如图，二次函数c bx x ++-=2y 的图象（抛物线）与x 轴交于A(1,0), 且当0x =和2x -=时所对应的函数值相等.（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x 轴的另一交点为点B ,与y 轴交于点C ，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D ，使得△DAC 的周长最小？如果存在，求出D 点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）设点M 在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC 的面积最大，求此时点M 的坐标及△MBC 的面积.【考点】二次函数表达式的确定xy12345–1–2–3–4–512–1–2–3–4–5o【试题解析】（1）∵二次函数，当和时所对应的函数值相等，∴二次函数的图象的对称轴是直线．∵二次函数的图象经过点A（，），∴解得∴二次函数的表达式为：．（2）存在由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称∴连接BC，与x=﹣1的交于点D，此时△DAC周长最小∵∴C的坐标为：（0，3）直线BC解析式为：y=x+3∴D（﹣1，2）；（3）设M点（x，）（﹣3＜x＜0）作过点M作ME⊥x轴于点E，则E(x,0)∵S△MBC=S四边形BMCO﹣S△BOC=S四边形BMCO﹣，S四边形BMCO=S△BME+S四边形MEOC=（x+3）（）+（﹣x）（+3）=∵要使△MBC的面积最大，就要使四边形BMCO面积最大当x=时，四边形BMCO在最大面积=∴△BMC最大面积=当x=时，=∴点M坐标为（，）【答案】见解析28.如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD.（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.①依题意补全图1；②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明.（图1）（图2）【考点】四边形综合题【试题解析】解析：如图3,连接AC∵BA=BC，且∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°，且CA=CB将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF、EA ∴CE=CF，且∠FCE=60°，∴△CEF是等边三角形∴∠CFE=60°，且FE=FC∴∠BCF=∠ACE∴△BCF≌△ACE（SAS）∴AE=BF∵∠AFC=150°, ∠CFE=60°∴∠AFE=90°在Rt△AEF中，有：∴.【答案】见解析29.在平面直角坐标系xoy 中，对于任意三点A ，B ，C 给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A ，B ，C 的外延正方形，在点A ，B ，C 所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A ，B ，C 的最佳外延正方形.例如，图1中的正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2 ，A 3B 3CD 3都是点A ，B ，C 的外延正方形，正方形A 3B 3CD 3是点A ，B ，C 的最佳外延正方形.xy12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5B 1C 1B 2C 2C B 3oA 2D 3A 1A 3D 1D 2A B（图1）（图2）（1）如图1，点A （-1，0），B （2，4），C （0，t ）（t 为整数）.① 如果t =3，则点A ，B ，C 的最佳外延正方形的面积是；② 如果点A ，B ，C 的最佳外延正方形的面积是25，且使点C 在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t 值；xy12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5Do（图3 ）（图4）（2）如图3，已知点M （3，0），N （0，4），P （x ，y ）是抛物线y=x 2-2x -3上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延正方形的面积以及点P 的横坐标x 的取值范围；（3）如图4，已知点E （m ，n ）在函数x 6y（x >0）的图象上，且点D 的坐标为（1，1），设点O ，D ，E 的最佳外延正方形的边长为a ，请直接写出a 的取值范围.【考点】二次函数与几何综合【试题解析】（1）① 16 ；② 5或-1 ；（2）以ON 为一边在第一象限作正方形OKIN ，如图3①点M 在正方形OKIN 的边界上，抛物线一部分在正方形OKIN 内，P 是抛物线上一点，∴正方形OKIN 是点M ，N ，P 的一个面积最小的最佳外延正方形∴点M ，N ，P 的最佳外延正方形的面积的最小值是16；∴点M，N，P的最佳外延正方形的面积S的取值范围是：S 16满足条件的点P的横坐标的取值范围是 3（3）【答案】见解析。

2014-2015学年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷

2014-2015 学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上．1．（4 分）二次函数y=﹣（x﹣2）2+5 图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）2．（4 分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（）A．30°B．40°C．60°D．80°3．（4 分）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则sinB的值是（）A．B．C．D．4．（4分）已知点P（﹣3，2）是反比例函数的图象上一点，则此反比例函数的解析式是（）A．B．C．D．5．（4 分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：16．（4分）如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA 等于（）A．2 B．2 C．3 D．27．（4分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m8．（4 分）如图，⊙O 的半径为2，点P 是半径OA 上的一个动点，过点P 作直线MN 且∠APN=60°，过点A 的切线AB 交MN 于点B．设OP=x，△PAB 的面积为y，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）B．C．D．二、填空题（本题共16 分，每小题4 分）9．（4分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 边上的点，且DE∥BC，若AD=5，DB=3，DE=4，则BC等于．10．（4 分）如图，⊙O 的半径为2，OA=4，AB 切⊙O 于B，弦BC∥OA，连结AC，图中阴影部分的面积为．11．（4 分）如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，∠BCD=15°，⊙O的半径为10，则AB=．A．：12．（4 分）抛物线 y=x 2﹣x + （其中 n 是正整数）与 x 轴交于 A n 、B n 两点，若以 A n B n 表示这两点间的距离，则 A 1B 1= ；A 1B 1+A 2B 2=；A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+…+A n B n =．（用含 n 的代数式表示）二、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．（5 分）计算：（ ﹣1）0﹣2cos 30°﹣（）﹣1+．14．（5 分）如图，C 为线段 BD 上一点，AC ⊥CE ，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ．求证=．15．（5 分）已知函数 y=（k ﹣3）x 2+2x +1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 16．（5 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，D 为 AC 上一点，∠BDC=45°， DC=6，求 AB 的长．17．（5 分）小红想要测量校园内一座教学楼 CD 的高度．她先在 A 处测得楼顶 C 的仰角α=30°，再向楼的方向直行 10 米到达 B 处，又测得楼顶 C 的仰角β=60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为 1.60 米，请你帮助她计算出这座教学楼 CD 的高度（结果精确到 0.1 米）参考数据：≈1.41， ≈1.73， ≈2.24．18．（5 分）如图，直线y=3x与双曲线y= 的两个交点分别为A（1，m）和B．（1）直接写出点B 坐标，并求出双曲线y=的表达式；（2）若点P 为双曲线y=上的点（点P 不与A、B 重合），且满足PO=OB，直接写出点P 坐标．四、解答题（本题共20 分，每小题5 分）19．（5 分）抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴的交点C坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 为抛物线对称轴上的一个动点，若DA+DC 的值最小，求点D 的坐标．20．（5 分）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB 与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB 交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，求这个车轮的外圆半径长．21．（5分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CE⊥AB 于E，CD 平分∠ECB，交过点B 的射线于D，交AB 于F，且BC=BD．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE=9，CE=12，求BF 的长．22．（5分）阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“※”为：a※b= ．求1※（﹣2）的值．小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=﹣2，又b＜0，所以1※（﹣2）=．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3=；（2）若5※m=，则m=．（3）函数y=2※x（x≠0）的图象大致是．五、解答题（本题共22 分，其中23 题7 分，24 题7 分，25 题8 分）23．（7 分）直线y=﹣3x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a（x﹣2）2+k 经过点A、B，与x 轴的另一交点为C．（1）求a，k 的值；（2）若点M、N 分别为抛物线及其对称轴上的点，且以A，C，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．24．（7 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD⊥AB 于点D，延长DO 交⊙O 于点P，过点P 作PE⊥AC 于点E，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF 是⊙O 的切线．25．（8 分）已知抛物线．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n 的值；（3）若反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0，且满足2＜x0＜3，求k 的取值范围．2014-2015 学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下列各题均有四个选项，其中有且只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上．1．（4 分）二次函数y=﹣（x﹣2）2+5 图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y=﹣（x﹣2）2+5 图象的顶点坐标是（2，5）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．2．（4 分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（）A．30°B．40°C．60°D．80°【分析】先根据AB=OA=OB 得出△OAB 是等边三角形，故∠AOB=60°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵AB=OA=OB，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=30°．故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．（4 分）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则sinB的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB 的长，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB= =10，∴sinB= ==．故选：A．【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．4．（4分）已知点P（﹣3，2）是反比例函数的图象上一点，则此反比例函数的解析式是（）A．B．C．D．【分析】首先把P（﹣3，2）代入反比例函数中，即可算出k 的值，进而得到反比例函数解析式．【解答】解：把P（﹣3，2）代入反比例函数中，k=﹣3×2=﹣6，则反比例函数解析式为：y=﹣，故选：D．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是就是把P（﹣3，2）代入反比例函数中算出k 值．5．（4 分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比为1：4．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6．（4分）如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA 等于（）A．2 B．2 C．3 D．2【分析】先根据垂径定理得出AC 的长，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵弦AB⊥OC，AB=4，OC=2，∴AC= AB=2，∴OA= ==2 ．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．7．（4分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x 米，由题意得，= ，解得：x=15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．8．（4 分）如图，⊙O的半径为2，点P是半径OA上的一个动点，过点P作直线MN 且∠APN=60°，过点A 的切线AB 交MN 于点B．设OP=x，△PAB 的面积为y，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）B．A．C．D．【分析】根据已知得出S 与x 之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，即可得出图象．【解答】解：∵A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线m，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，∴tan60°= = ，解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，= ×PA×AB= （2﹣x）••（﹣x+2）= x2﹣2 x+2 ，∴S△ABP故此函数为二次函数，∵a= ＞0，∴当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，根据图象得出只有D 符合要求．故选：D．【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S 与x 之间的函数解析式是解题关键．二、填空题（本题共16 分，每小题4 分）9．（4分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 边上的点，且DE∥BC，若AD=5，DB=3，DE=4，则BC 等于．【分析】由平行线分线段成比例可得=，把线段代入可求得BC．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵AD=5，BD=3，∴B=8，且DE=4，∴=，解得BC=，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10．（4 分）如图，⊙O 的半径为2，OA=4，AB 切⊙O 于B，弦BC∥OA，连结AC，图中阴影部分的面积为．∴S 阴影=S 扇形 BOC =故答案为：．【分析】首先连接 OB ，OC ，由⊙O 的半径为 2，OA=4，AB 切⊙O 于 B ，易求得 ∠AOB=60°，又由弦 BC ∥OA ，可得△BOC 是等边三角形，且 S △ABC =S △OBC ，则可得 S 阴影=S 扇形 BOC ==．【解答】解：连接 OB ，OC ， ∵弦 BC ∥OA ， ∴S △ABC =S △OBC ， ∵AB 切⊙O 于 B ， ∴OB ⊥AB ，∵⊙O 的半径为 2，OA=4， ∴sin ∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=90°﹣∠OAB=60°， ∵弦 BC ∥OA ， ∴∠OBC=∠AOB=60°， ∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠BOC=60°， =．【点评】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 11．（4 分）如图，⊙O 的直径 CD 过弦 AB 的中点 E ，∠BCD=15°，⊙O 的半径为 10，则 AB= 10 ．【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOD 的度数，再根据垂径定理得出∠AOD 的度数，由等边三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵∠BCD 与∠BOD 是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠BOD=2∠BCD=2×15°=30°，∵点E 是弦AB 的中点，∴AB⊥CD，=，∴AB=2AE，∠AOD=∠BOD=30°，∴∠AOB=60°，∵AO=BO，∴△AOB 是等边三角形，∵⊙O 的半径为10，∴OA=AB=BO=10．故答案为：10．【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理、等边三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．12．（4 分）抛物线y=x2﹣x+ （其中n 是正整数）与x 轴交于A n、B n 两点，若以A n B n 表示这两点间的距离，则A1B1=；A1B1+A2B2=；： A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+…+A n B n =．（用含 n 的代数式表示）【分析】先化简抛物线 y=x 2﹣x +，然后求出一元二次方程的根，根据两点间的坐标差求出距离，找出规律解答即可．【解答】解：y=x 2﹣x +=（x ﹣ ）（x ﹣）故抛物线与 x 轴交点坐标为（，0）和（，0）由题意，AnBn= ﹣．所以 A 1B 1=1﹣=，A 1B 1+A 2B 2=（1﹣ ）+（ ﹣ ）= +=A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+…+A n B n ═（1﹣ ）+（﹣）+…+（ ﹣）=1﹣=．故答案是：；；．【点评】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；求两点间的距离时，要利用两点间的坐标差来解答．二、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．（5 分）计算：（ ﹣1）0﹣2cos 30°﹣（）﹣1+．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可．【解答】解：原式=1﹣2× ﹣8+2=﹣7．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（5 分）如图，C 为线段 BD 上一点，AC ⊥CE ，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ．求证 =．【分析】由条件可证得∠A=∠ECD，可证明△ABC∽△CDE，根据相似三角形的性质可证得结论．【解答】证明：∵C 为线段BD 上一点，AC⊥CE，∴∠ACB+∠ECD=90°，∵AB⊥BD，ED⊥CD，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠A=∠ECD，且∠B=∠D，∴△ABC∽△CDE，∴=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．15．（5 分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x轴有交点，求k的取值范围．【分析】由于k 的取值范围不能确定，故应分k﹣3=0 和k﹣3≠0 两种情况进行讨论，（1）当k﹣3=0 即k=3 时，此函数是一次函数；（2）当k﹣3≠0，即k≠3 时，此函数是二次函数，根据函数图象与x 轴有交点可知b2﹣4ac≥0，求出k 的取值范围即可．【解答】解：（1）当k=3 时，函数y=2x+1 是一次函数．∵一次函数y=2x+1 与x 轴有一个交点，∴k=3．…（1 分）（2）当k≠3 时，y=（k﹣3）x2+2x+1 是二次函数．∵二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，∴b2﹣4ac≥0．…（2 分）∵b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）=﹣4k+16，∴﹣4k+16≥0．…（3 分）∴k≤4 且k≠3．…（4 分）综合（1）（2）可知，k的取值范围是k≤4．…（5 分）【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点及根的判别式，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．16．（5 分）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB 的长．【分析】由已知得△BDC 为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A 的正弦值，即可求出AB 的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠BDC=45°∴BC=CD=6又∵sinA=∴AB=6÷=15．【点评】直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用．17．（5 分）小红想要测量校园内一座教学楼CD 的高度．她先在A 处测得楼顶C 的仰角α=30°，再向楼的方向直行10 米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角β=60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60 米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1 米）参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．【分析】由α=30°，β=60°，可求得∠ECF=α=30°，然后由等角对等边，可得CF=EF=10 米，则可求得CG 的长，继而求得这座教学楼CD 的高度．【解答】解：∵α=30°，β=60°，∴∠ECF=β﹣α=30°．∴CF=EF=10 米，在Rt△CFG中，CG=CF•co sβ=5（米），∴CD=CG+GD=5+1.60≈10.3（米）．答：这座教学楼的高度约为10.3 米．【点评】本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．18．（5 分）如图，直线y=3x与双曲线y=的两个交点分别为A（1，m）和B．（1）直接写出点B 坐标，并求出双曲线y=的表达式；（2）若点P 为双曲线y=上的点（点P 不与A、B 重合），且满足PO=OB，直接写出点P 坐标．【分析】（1）把A 点坐标代入y=3x，可求得m 的值，可求得A 点坐标，根据对称性质可直接得到B 点坐标，把A 点坐标代入双曲线可求得k 的值，可求得双曲线的表达式；（2）根据条件可求得OB，设出P 点坐标，根据条件可得到P 点坐标的方程，可求得答案．【解答】解：（1）∵A、B 关于原点对称，∴点B坐标为（﹣1，﹣3），∵直线y=3x过点A（1，m），∴m=3×1=3，∴A（1，3），将A（1，3）代入y=中，得k=xy=1×3=3，∴y= ；（2）设P点坐标为（x，），则OP=x2+由（1）可求得OB2=10，∵OB=OP，∴x2+ =10，解得x=1（舍去）或x=﹣1（舍去）或x=3 或x=﹣3，∴P1（﹣3，﹣1），P2（3，1）．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数交点问题，掌握函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键．四、解答题（本题共20 分，每小题5 分）19．（5 分）抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴的交点C坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 为抛物线对称轴上的一个动点，若DA+DC 的值最小，求点D 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数解析式，可得对称轴，及B 点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得对称轴上的点到线段两端点的距离相等，可得DA=DB，再根据自变量的值，可得相应的函数值．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线y=x2+bx+c 中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），得知抛物线的对称轴为直线x=1，点B（3，0），连接BC，交对称轴x=1 于点D可求得直线BC：y=x﹣3当x=1 时，y=﹣2∴点D（1，﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用了待定系数法求函数解析式，利用轴对称的性质：对称轴上的点到对应点的距离相等．20．（5 分）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB 与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB 交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，求这个车轮的外圆半径长．【分析】根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径．【解答】解：如图，设点O 为外圆的圆心，连接OA 和OC，∵CD=10cm，AB=60cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD= AB=30cm，∴设半径为r，则OD=r﹣10，根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，解得：r=50．∴这个车轮的外圆半径长为50．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．21．（5分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CE⊥AB 于E，CD 平分∠ECB，交过点B 的射线于D，交AB 于F，且BC=BD．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AE=9，CE=12，求BF 的长．【分析】（1）要证明BD是⊙O的切线，由已知条件转化为证明∠DBA=90°即可；（2）连接AC，利用三角形相似求出BE 的值，由勾股定理求出BC 的值，由已知条件再证明△EFC∽△BFD，相似三角形的性质利用：对应边的比值相等即可求出BF 的长．【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°．∵CD 平分∠ECB，BC=BD，∴∠1=∠2，∠2=∠D．∴∠1=∠D，∴CE∥BD，∴∠DBA=∠CEB=90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：连接AC，∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°．∵CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵∠A+∠ABC=90°，∠A+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，∴=，即CE2=AE•EB，∵AE=9，CE=12，∴EB=16，在Rt△CEB 中，∠CEB=90，由勾股定理得BC=20，∴BD=BC=20，∵∠1=∠D，∠EFC=∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴=，即∴BF=10．【点评】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形判定和相似三角形的性质以及勾股定理的运用，题目综合性很强，难度不大．22．（5 分）阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“※”为：a※b= ．求1※（﹣2）的值．小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=﹣2，又b＜0，所以1※（﹣2）=．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3=；（2）若5※m=，则m= ±6 ．（3）函数y=2※x（x≠0）的图象大致是 D ．【分析】（1）由a※b= ，可求得2※3=；（2）分别从m＞0 与m＜0 去分析求解即可求得答案；（3）分别从x＞0 与x＜0 去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）2※3=；（2）∵当m＞0 时，5※m== ，解得：m=6，当m＜0 时，5※m=﹣=，解得：m=﹣6，∴m=±6；（3）∵当x＞0 时，y=2※x=，∴此时是双曲线的第一象限部分；∵当x＜0 时，y=2※x=﹣，∴此时是双曲线的第二象限部分；故函数y=2※x（x≠0）的图象大致是D．故答案为：（1），（2）±6，（3）D．【点评】此题属于反比例函数综合题，也是新定义题．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．五、解答题（本题共22 分，其中23 题7 分，24 题7 分，25 题8 分）23．（7 分）直线y=﹣3x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a（x﹣2）2+k 经过点A、B，与x 轴的另一交点为C．（1）求a，k 的值；（2）若点M、N 分别为抛物线及其对称轴上的点，且以A，C，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）根据直线y=﹣3x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，可以求得点A 和B 的坐标，由抛物线y=a（x﹣2）2+k 经过点A、B，可以求得a，k 的值．（2）根据第一问中求得的a、k 的值可以得到抛物线的解析式，从而可以求得点C 的坐标，再根据题目中提供的信息，可以得到点M 存在三种情况，画出相应的图形，从而可以得到点M 的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=﹣3x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴令y=0 时，x=1；x=0 时，y=3．∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，3）．又∵抛物线y=a（x﹣2）2+k 经过点A、B，∴．解得，a=1，k=﹣1．即a 的值为1，k 的值为﹣1．（2）点M的坐标为：（0，3）或（4，3）或（2，﹣1）．∵a=1，k=﹣1，∴y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．令y=0，得x1=1，x2=3．∵A的坐标（1，0），∴C的坐标（3，0）．∵y=x2﹣4x+3 的对称轴为：x=，又∵点M、N 分别为抛物线及其对称轴上的点，且以A，C，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，∴存在三种情况，第一种情况如下图一所示：∵四边形ACNM 为平行四边形，AC=2，点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为：2﹣2=0．将x=0 代入y=x2﹣4x+3 得，y=3．∴点M 的坐标为：（0，3）．第二种情况如下图二所示：∵四边形ACMN 为平行四边形，AC=2，点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为：2+2=4．将x=4 代入y=x2﹣4x+3 得，y=3．∴点M 的坐标为：（4，3）．第三种情况如下图三所示：∵四边形AMCN 为平行四边形，AC=2，点N 的横坐标等于2，∴点M 的横坐标为2．将x=2 代入y=x2﹣4x+3 得，y=﹣1．∴点M的坐标为：（2，﹣1）．由上可得，点M的坐标为：（0，3）或（4，3）或（2，﹣1）．【点评】本题考查一次函数与x 轴，y 轴的交点、二次函数与一次函数的交点、二次函数与x 轴的交点、平行四边形的性质，解题的关键正确分析题意，找出所求问题所需要的条件，灵活变化，利用分类讨论的数学思想解答．24．（7 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD⊥AB 于点D，延长DO 交⊙O 于点P，过点P 作PE⊥AC 于点E，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO 可得DO=EO；（3）方法1、连接AP，PC，证出PC 为EF 的中垂线，再利用△CEP∽△CAP 找出角的关系求解．方法2、先计算判断出PD=BF，进而判断出四边形PDBF 是矩形即可得出结论；方法3、利用三个内角是90 度的四边形是矩形判断出四边形PDBF 是矩形即可得出结论．【解答】（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；答：劣弧PC 的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO 和△PEO 中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（2）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC 是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC 为EF 的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF 是⊙O 的切线．法二：设⊙O 的半径为r．∵OD⊥AB，∠ABC=90°，∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE又∵OD=OE，∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣BC ∴BF=BC+FC=r+ BC∵PD=r+OD=r+ BC∴PD=BF又∵PD∥BF，且∠DBF=90°，∴四边形DBFP 是矩形∴∠OPF=90°∴OP⊥PF，∴PF 是⊙O 的切线．方法3、∵AC 为直径，∴∠ABC=90°又∵∠ADO=90°，∴PD∥BF∴∠PCF=∠OPC∵OP=OC，∴∠OCP=∠OPC∴∠OCP=∠PCF，即∠ECP=∠FCP ∵PD∥BF，∴∠ODE=∠EFC∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED又∵∠OED=∠FEC，∴∠FEC=∠EFC∴EC=FC在△PEC 与△PFC 中∴△PEC≌△PFC（SAS）∴∠PFC=∠PEC=90°∴四边形PDBF 为矩形∠DPF=90°，即PF 为圆的切线．【点评】本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．25．（8 分）已知抛物线．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n 的值；（3）若反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0，且满足2＜x0＜3，求k 的取值范围．【分析】（1）根据原式等于0，利用根的判别式△＞0 即可得出答案；（2）首先利用抛物线上两个不同点A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）的纵坐标相同，得出点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则，进而求出m 的值，即可得出二次函数解析式，即可得出n 的值；（3）根据当2＜x＜3 时，对于，y 随着x 的增大而增大，再利用x=2 和3 时y 的值得出k 的取值范围．【解答】（1）证明：令．得=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3．∵不论m 为任何实数，都有（m﹣1）2+3＞0，即△＞0．∴不论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点．．（2）解：抛物线的对称轴为：x=m﹣3，∵抛物线上两个不同点A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）的纵坐标相同，∴点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，则．∴m=2．∴抛物线的解析式为．∵A（n﹣3，n2+2）在抛物线上，∴．化简，得n2+4n+4=0．∴n=﹣2．（3）解：当2＜x＜3 时，对于，y 随着x 的增大而增大，对于，y 随着x 的增大而减小．所以当x0=2 时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，得＞，解得：k＞5．当x0=3 时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得＞，解得k＜18．所以k 的取值范围为：5＜k＜18．【点评】此题主要考查了抛物线与x 轴交点问题以及二次函数与不等式等知识，根据二次函数图象上点的特征得出n 的值是解题关键．第31页（共31页）。

2014年北京房山区初三数学一模试卷及答案

2014年房山区初三毕业会考试卷数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．23-的绝对值是A ．23-B ．23C ．32-D ．322．转基因作物是利用基因工程将原有作物基因加入其它生物的遗传物质，并将不良基因移除，从而造成品质更好的作物．我国现有转基因作物种植面积约为4 200 000公顷，将4 200 000用科学记数法表示为A ． 64.210⨯B ．54.210⨯C ．54210⨯D ．70.4210⨯3．某班共有学生31名，其中男生11名．老师随机请一名同学回答问题，则男生被选中的概率是 A ． 1 B ．1131C ．2031 D ．04．如图，直线m ∥n ，将含有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线n 上，则∠1+∠2等于 A ．30° B ． 40° C ．45° D ．60°5．将二次函数243y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，下列结果正确的是A ． 2(2)1y x =++B ．2(2)1y x =+-C ． 2(2)1y x =-+D ．2(2)1y x =--6．国家统计局公布了2014年1月的居民消费价格指数（CPI ），16个省市CPI 同比涨幅超过全国平均水平，其中7个省市的涨幅如下表：地区北京广东上海浙江福建云南湖北同比涨幅（﹪）3.33.33.02.82.82.82.3则这组数据的众数和中位数分别是A ． 2.8，2.8B ．2.8，2.9C ．3.3，2.8D ．2.8，3.0 7．如图,在边长为9的正方形ABCD 中, F 为AB 上一点,连接CF.过点F 作FE ⊥CF,交AD 于点E ，若AF ＝3,则AE 等于 A ．1 B ．1. 5 C ．2 D ．2. 5ABD 12BA C321A. 2 B ．． 4 D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 10．分解因式：322x x x -+= ．11．如图，在小山的东侧A 点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则12．如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，点P n （x n ，y n ）都在函数ky x=（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），已知点A 1的坐标为（2，0），则点P 1的坐标为；点P 2的坐标为；点P n 的坐标为（用含n 的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算： 20(1)3tan 302)︒----+14．已知：如图，在△DBC 中，BC=DC,过点C 作CE ⊥DC 交DB的延长线于点E ，过点C 作AC BC ⊥且AC=EC ，连结AB. 求证：AB=ED.图1 图2215．求不等式组()x x 111,212ìïï-ïíïï-ïî≤＜的解集，并求它的整数解.16. 已知2310x x +-=，求代数式()()()23113x x x +---的值．17．如图，点A 在反比例函数)0(≠=k xky 的图象上.（1) 求反比例函数)0(≠=k xky 的解析式；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得△AOP 是直角三角形？若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.18．列方程或方程组解应用题：为保证“燕房线”轻轨建设，我区对一条长2 500米的道路进行改造.在改造了1 000米后，为了减少施工对交通造成的影响，采用了新的施工工艺，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务．求原来每天改造道路多少米？四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知：如图，在△ABC 中，点D 是BC 中点，点E 是AC 中点，且AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， BE,AD 相交于点G ，过点B 作BF ∥AC 交AD 的延长线于点F ， DF=6. (1) 求AE 的长； (2) 求AEGFBGS S V V 的值. 20.某校开展“我运动、我健康、我阳光、我快乐”的寒假体育锻炼活动，要求学生每天体育锻炼一小时.开学后小明对本年级学生是否参加体育锻炼的情况进行了调查，并对参加锻炼的学生进行了身体健康测试，绘制成如下统计图.学生是否参加体育锻炼情况统计图参加体育锻炼的学生身体健康测试情况统计图体育锻炼体育锻炼060身体健康指数提升占97.5%身体健康指数未提升占2.5%根据以上信息，解答下列问题：（1）小明本次共调查了多少名学生？（2）参加体育锻炼的学生中，有多少人身体健康指数提升？（3）若该校有1 000名学生，请你估计有多少人假期参加体育锻炼？要使两年后参加体育锻炼的人数增加到968人，假设平均每年的增长率相同，求这个增长率．21．如图， AE是⊙O直径，D是⊙O上一点，连结AD并延长使AD=DC，连结CE交⊙O于点B，连结AB.过点E的直线与AC的延长线交于点F，且∠F=∠CED.（1）求证:EF是⊙O切线；（2）若CD=CF=2，求BE的长.22.阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB,BC,AC，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积. 他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：(1)图1中△ABC的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：(2)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1) ．①利用构图法在答题卡的图2DEF；②计算△DEF的面积为．(3)如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ PR QR=== ,则六边形AQRDEF的面积为__________．y xCBAOFAQD EPR五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 如图，抛物线c bx x y ++-=2经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴的另一交点是B ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 的对称点'D 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点D 作BC DE ⊥于点E,反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点E ，点()3,-n m F 在此反比例函数图象上，求mn 154-的值．24. 将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P .（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是；（2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；（3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长.图1图2图3图1图2DB EDB ABA备用图25. 我们规定：形如()ax ky a b k k ab x b+=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax ky x b +=+就是反比例函数()0k y k x=≠.(1) 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”； (2) 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）. 点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax ky x +=-的图象经过B ，E 两点. ① 求这个“奇特函数”的解析式； ② 把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P 的坐标.2014年房山区初中毕业会考数学参考答案和评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．B2．A3．B4．C 5．D 6．A 7．C 8．D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．1x ≠ 10．2(1)x x - 11． 12．1(1,1)P，211)P，n P三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解：原式=1313-⨯-+ ..................................4分= ..................................5分 14.证明：∵AC BC ⊥,EC DC ⊥∴∠DCE=∠BCA=90°在 △ABC 与△EDC 中BC DC ACB DCE AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩..................................3分 ∴ △ABC ≌△EDC （SAS ） ..................................4分 ∴ AB= ED ..................................5分15.解：由（1）得：x ≤3 ..................................1分由（2）得：x >-1 ..................................2分 ∴ -1<x ≤3 ..................................4分∴不等式组的整数解是0,1,2,3 ..................................5分 16．解：原式=()()223169x xx ---+ ..................................2分= 2233+69x x x ---=22+612x x - ..................................3分∵2310x x +-=231x x ∴+= ..................................4分∴原式= ()22+312x x -=-10 ..................................5分17.解：（1）由题意得A （2，-4） .................................1分∵点A 在反比例()0ky k x=≠ 图象上 ∴8k =-∴8y x=-.................................3分 (2)存在;P(0,-4)，(0,-5) ..................................5分18.解：设原来每天改造道路x 米，则采用了新的施工工艺每天改造道路1.5x 米，由题意，列方程得 ..................................1分25001000150051.5x x x --= .................................. 2分解得：100x = .................................. 3分经检验：100x =是原方程的解，且符合题意． ...................................4分答：原来每天改造道路100米. .................................. 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 证明：（1）∵点D 是BC 中点，点E 是AC 中点，AD ⊥BC ， BE ⊥AC ，AC AB CB ∴==∴△ABC 是等边三角形 ..................................2分60C ∴∠=o 30F ∴∠=o∵6DF=12BD BC ∴==又∵BD DC EC AE ===AE ∴= (3)分（2）由（1）DF =6，∠ F =30°，∠ BDF =90° ∴BF= ∴12AE BF = ..................................4分 ∵AE ∥BF ∴△AEG ∽△FBG∴221124AEG FBG S AE S BF ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ..................................5分20. （1）240＋60＝300（人） ..................................1分（2）240×97.5％＝234（人） .................................. 2分（3）因为假期进行体育锻炼的百分率为300240100%⨯＝80％，所以估计该校假期进行体育锻炼的学生有1000×80％＝800（人）..................................3分设这个增长率为x ，由题意知800×2)1(x +＝968解得1.01=x ，1.22-=x （舍去），∴年增长率为10％ . (5)答:估计该校有800人假期参加体育锻炼，增长率为10％.21.证明：（1）∵AE 为⊙O 直径∴∠ADE =∠ABE =90°∵D 为AC 中点，ED ⊥AC ∴AE =EC∴∠AED=∠DEC ， ..................................1分 ∵∠F =∠CED ∴∠AED=∠F ∵∠F +∠FED =90°∴∠AED +∠FED =90°=∠AEF∴EF 是⊙O 切线 ..................................2分（2）在△ADE 和△AEF 中，∵∠ADE =∠AEF =90°，∠DAE =∠EAF ， ∴△ADE ∽△AEF ．∴AEADAF AE =， ∵AD =DC =CF=2，∴AF=6． AC =4 ∴AEAE 26=．∴AE =23 ..................................3分又∵D 是AC 的中点 ∴EC =AE =E∵AD =2, ∠ADE =90° ∴DE=利用△AEC 的面积得：EC AB AC DE =g g∵EC=AC =4 , DE=∴3AB = ∵AC =4,∠ABC =90°∴BC ==.................................4分∴BE EC BC =-=.................................. 5分 22. （1）图1中△ABC 的面积为 3.5 . ..................................1分（2）① 如图2所示：（答案不唯一）分② △DEF 的面积为 8 ． .................................. 3分（3）六边形ABCDEF 的面积是 31 ． ................................5分五、解答题（本题22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. （1）∵抛物线c bx x y ++-=2经过(10)A -，、(04)C ，两点，∴3b =，4c =.∴此抛物线的解析式为234y x x =-++..............................2分（2）∵234y x x =-++∴点()0,4B ,4OB =∵点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上 ∴2134a a a +=-++∴13a =，21a =-图2∵点()1,+a a D 在第一象限 ∴21a =-不合题意故舍去 ∴3a =∴点()3,4D ..................................3分 ∵()0,4C∴CD ∥x 轴，3CD = ∵4,4OC OB == ∴o 45OCB BCD ∠==∠∴点'D 在y 轴上，且'3CD CD == ∴点()'0,1D ..................................4分(3)可求得点35,22E ⎛⎫⎪⎝⎭..................................5分∴4n m-=..................................7分24.解：（1）BD =CE , BD ⊥CE ..................................2分（2）如图3所示，∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形 ∴AB =AC,AD =AE ∵∠BAC =∠DAE =90°∴∠BAD =∠CAE∴△ABD ≌△ACE .................................3分图3∴ ∠ABD =∠ACE ∵∠1=∠2，∴∠CPB =∠CAB =90° ∴BP ⊥CE∵AD ⊥BP ，∠DAE =90°，AD =AE∴四边形ADPE 为正方形 ∴AD =PE =2，∵∠ADB =90°，AD =2，AB =4 ∴∠ABD =30°BD =CE= ..................................4分 ∴CP =CE -PE=2 ..................................5分（3）如图4，取BC 中点O ，连结OP 、OA . ∵∠BPC ＝∠BAC ＝90°∴OP ＝OA =12BC ＝2 2 ..................................6分在此旋转过程中（0°≤α≤180°），由（2）知，当α＝60°时， ∠PBA 最大，且∠PBA=30°此时∠AOP ＝60°∴点P 运动的路线是以O 为圆心，OA 长为半径的»AP +»PA ∴点P 运动的路线长为：»»»l AP PA AP ⋅π⋅=+===60221803 ...............................7分25. 解：（1）由题意得，（2+x ）（3+y ）=8∵x +2≠0y x ∴+=+832 ∴x y x x -+=-=++832322...............................1分根据定义，322x y x -+=+是“奇特函数” ...............................2分图4（2） ①由题意得，B (9,3）、D (92,0) 易得直线OB 解析式为：y x =13，直线CD 解析式为：+y x =233－由 y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩13233，得x y =⎧⎨=⎩31 ∴点E (3,1)将点B (9,3)、E (3,1)代入函数6ax k y x +=-中，得=a ka k+⎧⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩93963136，整理得，=9=a k a k +⎧⎨+-⎩933 ，解得=2=9a k ⎧⎨⎩－∴“奇特函数”的解析式为296x y x -=- ............................3分② 2 ...............................4分P 1(7，5),P 2(15，73 ),P 3(-3，53),P 4(5，1-) ..............................8分（注：每个坐标1分）。

2014-2015学年北京市房山区初三上学期期末数学试题(含答案)

CD DE
15.
由题意可知：
k 3 ≥0
0
……………………2 分
即
k 3 22 4
k

3
≥ 0
…………………………3 分
解得
k 3 k≤4
……………………………………4
分
∴ k 的取值范围是：k≤4 且 k≠3……………5 分
16. 解：在 BDC 中， C 900 ， BDC 450 ， DC 6
求1※2的值.
D
小明是这样解决问题的：由新定义可知 a=1，b=-2，又
b＜0，所以
1※（-2）=
1 2
.
请你参考小明的解题思路，回答下列问题：
(1) 计算：2※3=
；
5
(2) 若 5※m=6 ，则 m=
.
(3) 函数 y=2※x（x≠0）的图象大致是（）
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
五、解答题（本题共 22 分，其中 23 题 7 分，24 题 7 分，25 题 8 分） 23. 直线 y=﹣3x+3 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 B，抛物线 y=a（x﹣2）2+k 经过点 A、B，与 x 轴的另一交点为 C． 1 求 a，k 的值； 2若点 M、N 分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以 A，C，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点 M 的坐标．
–1
B 1 2 3 4x
(2)由 y x2 2x 3= x 12 4 x 1x 3
–2
D
–3 C

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2014年房山区初三一模试卷数学
一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．23-
的绝对值是 A ．23- B ．23 C ．32- D ．32
2．转基因作物是利用基因工程将原有作物基因加入其它生物的遗传物质，并将不良基因移除，从而造成品质更好的作物．我国现有转基因作物种植面积约为4 200 000公顷，将4 200 000用科学记数法表示为 A ． 64.210⨯ B ．54.210⨯ C ．54210⨯ D ．70.4210⨯ 3．某班共有学生31名，其中男生11名．老师随机请一名同学回答问题，则男生被选中的概率是
A ． 1
B ．11
31
C ．2031
D ．0
4．如图，直线m ∥n ，将含有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线n 上，则∠1+∠2等于
A ．30°
B ． 40°
C ．45°
D ．60°
5．将二次函数243y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，下列结果正确的是
A ． 2(2)1y x =++
B ．2(2)1y x =+-
C ． 2(2)1y x =-+
D ．2(2)1y x =--
6．国家统计局公布了2014年1月的居民消费价格指数（CPI ），16个省市CPI 同比涨幅超过全国平均水平，其中7个省市的涨幅如下表：
则这组数据的众数和中位数分别是
A. 2 B ．． 4 D ．图1
图2
2
y
3
2
1
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
10．分解因式：322x x x -+= ．
11．如图，在小山的东侧A 点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与
地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则A ，B 两点间的距离为米．
12．如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，
点P n （x n ，y n ）都在函数k
y x
=
（x ＞0）的图象上， △P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…， A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），已知点A 1的坐标为（2，0），
则点P 1的坐标为；点P 2的坐标为；
点P n 的坐标为
（用含n 的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算： 20(1)3tan302)︒---
14．已知：如图，在△DBC 中，BC=DC ,过点C 作CE ⊥DC 交DB 的延长线于点E ，过点C 作AC BC ⊥且AC =EC ，连结AB . 求证：AB=ED .
15．求不等式组()x x 111,212
ìïï-ï
í
ïï-ïî≤＜的解集，并求它的整数解.
16. 已知2310x x +-=，求代数式()()()2
3113x x x +---的值．
17．如图，点A 在反比例函数)0(≠=k x
k
y 的图象上. （1) 求反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的解析式；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得△AOP 是直角三角形？
若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
18．列方程或方程组解应用题：
为保证“燕房线”轻轨建设，我区对一条长2 500米的道路进行改造.在改造了1 000米后，为了减少施工对交通造成的影响，采用了新的施工工艺，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务．求原来每天改造道路多少米？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知：如图，在△ABC 中，点D 是BC 中点，点E 是AC 中点，且AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， BE ,AD 相交
于点G ，过点B 作BF ∥AC 交AD 的延长线于点F ， DF=6. (1) 求AE 的长；
(2) 求
AEG
FBG
S S ∆∆ 的值.
20.某校开展“我运动、我健康、我阳光、我快乐”的寒假体育锻炼活动，要求学生每天体育锻炼一小时.开学后小明对本年级学生是否参加体育锻炼的情况进行了调查，并对参加锻炼的学生进行了身体健康测试，绘制成如下统计图.
学生是否参加体育锻炼情况统计图参加体育锻炼的学生身体健康测试情况统计图
根据以上信息，解答下列问题：（1）小明本次共调查了多少名学生？
（2）参加体育锻炼的学生中，有多少人身体健康指数提升？
（3）若该校有1 000名学生，请你估计有多少人假期参加体育锻炼？要使两年后参加体育锻炼的人数增
加到968人，假设平均每年的增长率相同，求这个增长率．
21．如图， AE 是⊙O 直径，D 是⊙O 上一点，连结AD 并延长使AD=DC ，连结CE 交⊙O 于点B ，连结AB .过点E 的直线与AC 的延长线交于点F ，且∠F=∠CED . （1）求证:EF 是⊙O 切线；（2）若CD=CF=2，求BE 的长.
体育锻炼
体育锻炼0
60身体健康指数提升占97.5%
身体健康指数未提升占2.5%
22.
阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC 中，AB
,BC ,AC
，求△ABC 的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC 的面积. 他把这种解决问题的方法称为构图法．
请回答：
(1)图1中△ABC 的面积为；
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
(2)图2
是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1) ．
①利用构图法在答题卡的图2
、DEF ； ②计算△DEF 的面积为．
(3)如图3，已知△PQR ，以
PQ ，PR 为边向外作正方形PQAF
，PRDE ，连接EF
．若
PQ PR QR = ,则六边形AQRDEF 的面积为__________．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 如图，抛物线c bx x y ++-=2经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴的另一交点是B ．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上，
求点D 关于直线BC 的对称点'D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点D 作BC DE ⊥于点E ,反比例函数)0(≠=
k x k
y 的图象经过点E ，点()
3,-n m F 在此反比例函数图象上，求m
n 15
4-的值．
图1 图2
图3
24. 将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A =90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P . （1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是；（2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；（3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长.
25. 我们规定：形如()ax k
y a b k k ab x b
+=
≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k
y x b +=+就是反比例函数()0k y k x
=≠.
(1) 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与
x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）.
点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6
ax k
y x +=-的图象经过B ，E 两点. ① 求这个“奇特函数”的解析式； ② 把反比例函数3
y x
=
的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P 的坐标.
图1
图2
备用图。