10椭圆基础(学)
高二椭圆基础知识点手写
高二椭圆基础知识点手写椭圆是平面上一个固定点F（焦点）和到该点的距离之和等于常数2a（长轴）的动点P的轨迹。
椭圆有许多基础知识点，下面将逐一介绍。
1. 椭圆的定义椭圆是由平面上的一系列点P构成的，其到两个焦点的距离之和等于一个常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
其中，焦距为c，椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距与长轴、短轴之间的关系为c^2 = a^2 - b^2。
2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆中心的坐标。
3. 椭圆的离心率椭圆的离心率e是一个反映椭圆形状的重要参数，其定义为离心率e=c/a，取值范围为0<e<1。
当e=0时，椭圆退化为圆形；当e=1时，椭圆退化为抛物线。
4. 椭圆的焦点椭圆有两个焦点F1和F2，焦点与中心之间的距离为c。
椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且焦点与中心的连线与椭圆的法线垂直。
5. 椭圆的准线椭圆的准线是与焦点所在直线垂直且经过椭圆中心的直线。
6. 椭圆的直径椭圆的直径是通过椭圆中心的两点，同时也是椭圆的两个顶点。
7. 椭圆的短轴椭圆的短轴是椭圆上两个与中心相对的顶点之间的距离。
8. 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是从焦点到椭圆上一点的线段，它与到该点的法线构成直角三角形。
9. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ为参数，0≤θ≤2π。
10. 椭圆的离心角椭圆上一点与焦点的连线与到该点的切线之间的夹角称为该点的离心角。
总结：椭圆是平面上一点到两个焦点的距离之和等于常数2a的轨迹。
椭圆有许多基础知识点，包括椭圆的定义、标准方程、离心率、焦点、准线、直径、短轴、焦半径、参数方程和离心角等。
掌握这些基础知识点对于高二学生来说是非常重要的，它们是解决椭圆相关问题的基础。
通过理解和掌握这些知识点，我们可以更好地应用于实际问题中，提高解题的准确性和效率。
椭圆 基础
选修1-1 2.1 椭圆一、基础知识：1、椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数( 大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的．☆思考：平面内动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当2a<|F1F2|时呢？|x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a曲线关于X轴、y轴对称曲线关于X轴、y轴对称长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b,0)(0，±c)x2 a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞（一）求椭圆的标准方程：1、一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．2、求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．注意：当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B ). 3、用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 例一、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．变式训练1 根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)和B (12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点．(二)利用圆的定义求椭圆的方程思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可例二、已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．（三）椭圆定义的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．例三、已知P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积S .（四）椭圆的简单几何性质求解1、已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a 与b ，求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，有－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．3．求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围．离心率e 与a 、b 的关系：e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2⇒b a＝1－e 2.例四、求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率（五）利用几何性质求标准方程思路关键：1、确定为x 还是y 型椭圆 2、求出a 、b 、c 3、得出标准方程 例五、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.（六）椭圆的离心率常见思路：一是先求a ，c ，再计算e ；二是依据条件中的关系，结合有关知识和a 、b 、c 的关系，构造关于e 的方程，再求解．注意e 的范围：0<e <1.例六、过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( )A.22B.33C.12D.13☆ 补充：1、椭圆的定义中若|F 1F 2|＝2a 时动点的轨迹是线段F 1F 2， |F 1F 2|>2a 时动点的轨迹是不存在的．2、椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2(如下图)，它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2＝a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2＝θ，则cos θ＝ca ＝e .3、椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0<e <1.离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆．★课后练习1.圆6x 2+ y 2=6的长轴的端点坐标是A.(-1,0)､(1,0)B.(-6,0)､(6,0)C.(-6,0)､(6,0)D.(0,-6)､(0,6)2.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是A.1422=+y xB.1422=+y x 或1422=+y x C.14122=+y x D.1422=+y x 或116422=+yx3.椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长､短轴4．(教材习题改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．125．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12， 离心率为13，则椭圆方程为 ( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝16.椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为A.5B.6C.4D.107．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该 椭圆的离心率是 ( )A.45B.35C.25D.158.已知F 1、F 2为椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ,则椭圆的方程是A.13422=+y xB.131622=+y xC.1121622=+y xD.141622=+y x9.已知F 1､F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点,AB 是过焦点F 1的弦,若︱AB ︳=8,则︱F 2A ︳+︱F 2B ︳的值是A.16B.12C.14D.810．(教材习题改编)已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为________．11．(教材习题改编)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两焦点，则△PF 1F 2的周长为________．12.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .13、到两定点F 1(0，－1)，F 2(0,1)的距离的和等于4 的动点M 的轨迹方程是_______________.14、已知P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．15、求椭圆4x 2＋y 2＝1的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．16、已知椭圆的两个焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝60°，求该椭圆的离心率．17、 已知动圆M 和定圆C 1：x 2＋(y －3)2＝64内切，而和定圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝4外切．求动圆圆心M 的轨迹方程．。
椭圆基础练习题
椭圆基础练习题一、选择题1. 椭圆的长轴和短轴长度分别为2a和2b，其中a和b的关系是（）。
A. a > bB. a < bC. a = bD. 无法确定2. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于（）。
A. 2aB. 2bC. a + bD. a - b3. 如果椭圆的方程是 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中a和b是常数，那么a和b的单位是什么？A. 米B. 秒C. 无单位D. 角度4. 椭圆的离心率e的取值范围是（）。
A. 0 ≤ e < 1B. 0 ≤ e ≤ 1C. 0 < e < 1D. 1 < e ≤ 25. 椭圆的面积公式是（）。
A. πabB. π(a + b)C. π(a - b)D. π(a^2 + b^2)二、填空题6. 椭圆的中心点坐标是（____,____）。
7. 椭圆的离心率e定义为____，其中c是焦点到中心的距离。
8. 如果一个椭圆的长轴是10，短轴是6，那么它的面积是____。
9. 椭圆的焦点坐标可以表示为（____,0）和（____,0）。
10. 椭圆的方程 \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \) 中，a 和b的值分别是____和____。
三、简答题11. 描述椭圆的基本性质，并给出一个实际生活中椭圆的应用例子。
12. 解释为什么椭圆的离心率总是小于1。
13. 如果一个椭圆的长轴是20，短轴是10，求出它的焦点坐标。
四、计算题14. 给定一个椭圆的方程 \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \)，求出它的离心率e。
15. 已知一个椭圆的长轴是26，短轴是15，求出它的面积和离心率。
五、证明题16. 证明椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数。
17. 证明椭圆的中心点到长轴和短轴的距离相等。
椭圆基本知识
(
PF1
PF2
)2
(2a)2
4c2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos.
SΔ
1 2
PF1
PF2
sin
知能迁移3
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的长、
短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M（在x轴
上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1， AB ∥ OM . （1）求椭圆的离心率e；
知能迁移2 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且
长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）,求椭圆
的方程；
（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称
轴，且经过两点P1( 6 ，1)、P2(- 3 ，- 2 )， 求椭圆的方程. 解 （1）若焦点在x轴上，设方程为 x2 y2 1
a2 b2 (a＞b＞0). ∵椭圆过P（3，0），∴ 32 02 1,即a 3
方程.
思维启迪 （1）可根据椭圆定义来求椭圆方程； （2）方法一：设斜率为k，表示出直线方程,然后 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解； 方法二：设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作 差变形,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差 法）.
解题示范
解 （1）因为点P在椭圆C上， 所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3.
a2 b2 又2a=3×2b,∴b=1,方程为x2 y2 1.
9
若焦点在y轴上，设方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
∵椭圆过点P（3，0），∴
圆锥曲线——椭圆(基础知识)
圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。
叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。
★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。
三、标准方程。
椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。
注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。
如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。
例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。
∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。
四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。
①、范围。
以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。
关于X 、Y 轴成轴对称。
关于原点成中心对称。
③、顶点。
坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。
长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。
构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。
椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。
⑤、扩展。
通径：过焦点且垂直于长轴。
焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。
焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。
椭圆基础知识图表
定义 2 平面内动点 M 与一个定点 F 的距离和它 到一条定直线 l（F 不在直线 l 上）的距 离的比是常数 e （0<e<1 ）时，动点 M 的轨迹是椭圆 P= ⎨ M /
备注
习题解答中要注意定义 1 与定义 2 的联合使用
{
}
⎧ ⎩
MF d
⎫ = e( 0 < e < 1) ⎬ ⎭
一般形式 Ax 2 + By 2 = 1 （
焦点三角形 1、周长为 2a+2c 2、面积为 b 2 tan
θ 2
3、正弦定理与余弦定理应用
c a2 − b2 b2 b e= = = 1 − 2 = 1 − ( ) 2 （0<e<1） a a a a
左焦半径 a + ex0 右焦半径 a − ex0 下焦半径 a + ey 0 上焦半径 a − ey0
x2 y2 + = 1 ( a > b > 0) a2 b 2
y
y 2 x2 + = 1 ( a > b > 0) a 2 b2
y
A > 0 ， B > 0 ，A≠B ）
解题要旨 1、画图 2、函数与方程思想 3、数形结合思想 4、待定系数法 5、三角换元 6、平移变换
x
x
(焦点在 x 轴上)
(焦点在 y 轴上)
-a≤x≤a，-b≤y≤b x 轴与 y 轴是椭圆的对称轴 坐标原点 O 是对称中心 椭圆与对称轴的交点为顶点 （-a，0） ， （a，0） ，长轴长为 2a （0，-b） ， （0，b） ，短轴长为 2b 焦点在长轴（x 轴）上
-a≤y≤a，-b≤x≤b x 轴与 y 轴是椭圆的对称轴 坐标原点 O 是对称中心 椭圆与对称轴的交点为顶点 （-b，0） ， （b，0） ，短轴长为 2b （0，-a） ， （0，a） ，长轴长为 2a 焦点在长轴（y 轴）上
椭圆基础知识点
椭圆基础知识点椭圆是几何学中的一个重要概念，它在数学和实际应用中都有广泛的应用。
椭圆具有一些独特的性质和特点，让我们一步步来了解椭圆的基础知识点。
1.椭圆的定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，它的形状类似于拉长的圆。
椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离之比为常数的点P（到焦点的距离之和等于常数）构成。
这个常数称为离心率，通常用字母e表示。
当离心率小于1时，椭圆是个封闭的曲线；当离心率等于1时，椭圆变成一个抛物线；当离心率大于1时，椭圆变成一条双曲线。
2.椭圆的主要特点椭圆具有一些独特的特点，让我们来逐个了解：•长半轴和短半轴：椭圆由两个相互垂直的轴构成，其中较长的轴称为长半轴（通常用字母a表示），较短的轴称为短半轴（通常用字母b表示）。
•焦点和准线：椭圆的两个焦点和一条过焦点的垂线称为准线。
准线是椭圆上所有点的几何平均线，即任意一点到两个焦点的距离之和等于准线的长度。
•主轴和次轴：椭圆的长半轴是主轴，短半轴是次轴。
主轴的长度是椭圆的最长直径，次轴的长度是椭圆的最短直径。
主轴和次轴互相垂直，且交于椭圆的中心点。
•离心率：椭圆的离心率e是一个常数，它表示焦点到准线的距离与准线长度的比值。
离心率越接近0，椭圆越接近圆形；离心率越大，椭圆越扁平。
•离心角：椭圆上任意一点P的离心角是焦点到P的线段与准线的夹角。
离心角的大小与离心率和点P的位置有关。
3.椭圆的方程椭圆的方程是用来描述椭圆的数学表达式。
一般来说，椭圆的标准方程有两种形式：•椭圆的中心在坐标原点的情况下，其方程为x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a 和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。
•椭圆的中心不在坐标原点的情况下，其方程为[(x-h)^2]/a^2 + [(y-k)^2]/b^2 = 1，其中(h,k)表示椭圆的中心坐标。
4.椭圆的应用椭圆在数学和实际应用中都有广泛的应用。
以下是一些椭圆的应用领域：•天文学：行星和卫星的轨道通常是椭圆形的，椭圆的研究对于天体运动的理解和预测非常重要。
椭圆基本知识点
《椭圆基础专题》一、椭圆的定义在平面内到两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆，即()212122F F a a PF PF >=+，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫椭圆的焦距（c 2）即c F F 221=.二、椭圆的标准方程（1）在x 轴上的方程：()012222>>=+b a by a x （2）在y 轴上的方程：()012222>>=+b a bx a y 三、椭圆的几何性质（1）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比（2）c b a ,,的关系：222c b a +=四、椭圆的离心率（1）离心率公式：ace =（2）离心率的范围：()1,0∈e （3）离心率对椭圆的影响：①e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，椭圆就越扁；②e 越接近0，c 就越接近0，从而b 就越大，椭圆就越圆（4）b a e ,与的关系：222221ab a b a ac e -=-==（5）求椭圆的离心率（或其取值范围）a.若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定22,b a 求出c a ,的值，利用公式ac e =直接求解.b.若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立e c b a ,,,满足的关系式，化为c a ,的齐次方程，得出c a ,的关系或化为e 的方程求解，此时要注意()1,0∈e .五、椭圆的通径及准线（1）通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为ab 22.（2）准线：当动点P 到定点F（焦点）和定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线，准线方程：ca x 2±=六、有关椭圆的几个重要结论（1）弦长公式：设直线与椭圆交于()()2211,,,y x B y x A 两点，则()()()()()2122122212212212221241111411y y y y k y y k x x x x k x x k AB -+⋅+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+⋅+=-+=（2）焦点三角形：焦点三角形的面积公式：()αα=∠=212PF F ,2tan21PF F b S △（3）椭圆的切线：椭圆()012222>>=+b a b y a x 上一点()00,y x P 处的切线方程为12020=+b y y a x x （4）焦半径焦半径：椭圆的左右焦点分别是21,F F ，椭圆上任意一点()00,y x P 到焦点距离为焦半径.公式：,,0201ex a PF a ex PF -=+=七、直线与椭圆位置关系的判定由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x m kx y 消去y ，得()022********=-+++b a m a kmx a x k a b ，当0>△时，直线与椭圆相交；当0=△时，直线与椭圆相切；当0<△，直线与椭圆相离.【习题练习】1.椭圆123222=+y x 的焦点坐标为.2.已知椭圆C 上任意一点()y x P ,都满足关系式()()4112222=++++-y x y x ，则椭圆C 的标准方程为.3.已知()()0,1,0,11F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于A,B 两点，且,3=AB 则椭圆C 的方程为.4.已知P 是椭圆13610022=+y x 上一点，点21F F ，分别是椭圆的左右焦点，直线1PF 交椭圆与另一点A，则△PAF 2的周长为.5.若椭圆192522=+y x 的焦点分别为21,F F ,点P 为椭圆上一点，且∠21PF F =90°，则△21F PF 的面积为.6.已知椭圆12922=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若41=PF ,则∠21PF F =.7.已知一动圆与圆()13221=++y x O ：外切，与圆()813:222=+-y x O 内切，则动圆圆心的轨迹方程为.8.若椭圆1422=+my x 上一点到两焦点的距离之和为3-m ，则此椭圆的离心率为.9.已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，A,B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且BF AB ⊥，则椭圆的离心率为.10.设21,F F 是椭圆E ：()012222>>=+b a by a x 的左右焦点，P 为直线23a x =上一点，△21PF F 是低角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为.11.椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ,以21F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为.12.已知椭圆E 的方程为()012222>>=+b a by a x ，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（a,0），点B 的坐标为()b ,0，若点M 在线段AB 上，且满足,2MA BM =其中直线OM 的斜率为105.求E 的离心率e .13.若椭圆()012222>>=+b a by a x 上存在一点M，使得︒=∠9021MF F （21,F F 为椭圆的两个焦点）求椭圆的离心率e 的取值范围.14.设椭圆上存在一点P ，它与椭圆中心O 的连线和它与长轴一个端点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围为.15.已知O 为坐标原点，F 是椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：的左焦点，A,B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且x PF ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为.16.直线l 经过椭圆的顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为.17.设21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于B A ,两点，且22,,BF AB AF 成等差数列.求E 的离心率.18.已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l .求：椭圆上的点到l 的距离的最小值及此时椭圆上点的坐标.19.已知：13422=+y x ，1F 是其左焦点，A 为右顶点，过1F 的直线l 与椭圆交于异于A 的Q P ,两点，求AQ AP ⋅的取值范围.20.已知：椭圆的方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=+21,1,1422A y x 过原点O 的直线交椭圆与B ，C ，求ABC △S 最大值.。
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10 椭圆基础
1．椭圆的概念
在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：
(1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆；
(2)若a ＝c ，则集合P 为线段；
(3)若a ＜c ，则集合P 为空集．
2．
(a >
b >0) (a >b >0)
1A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 2
25＝1 D ．以上都不对 2．设P 是椭圆x 225＋y 216
＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )． A ．4 B ．5 C ．8 D ．10
3．“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2
m ＋3
＝1表示椭圆”的 ( )． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
例1已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
例2已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23
＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )．
A ．23
B ．6
C ．4 3
D ．12
例3 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程． (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，求椭圆的方程．
例4 求到F 1（-1,0）F 2（1,0）距离之和为m 的轨迹方程。
例5122
22=+b
y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，F 1、F 2是左右焦点，P 在椭圆上，满足∠F 1P F 2为直角，求三角形F 1P F 2的面积。
例6 已知2c=4，且过（-2， 2），求椭圆。
例7设116
252
2=+y x ，直线l 过F 1，交椭圆与点A 、B （1）求∆ABF 2周长（2）若∠F 1AF 2=6
π,求S ∆AF 1F 2（3）求∠F 1AF 2最大值
9.点A (a ,1)在椭圆1242
2=+y x 的内部,则a 的取值范围是 A.-2<a <2B.a <-2或a >2 C.-2<a <2 D.-1<a <1
14.已知椭圆的两个焦点为F 1､F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ､B ,则三角形ABF 1的周长是
A.20
B.24
C.32
D.40
15.已知椭圆的长轴为8，短轴长为43，则它的两条准线间的距离为
A.32
B.16
C.18
D.64
16.已知（4，2）是直线L 被椭圆19362
2=+y x 所截得的线段的中点，则L 的方程是
A.x -2y =0
B.x +2y -4=0
C.2x +3y+4=0
D.x +2y -8=0
19.椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1－x 交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾角为30°，则b a
的值为 A.43 B.33 C.23
D.3
20.过椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的中心的弦为PQ ，焦点为F 1，F 2，则△PQF 1的最大面积是
A. ab
B. b c
C. c a
D. ab c
24.已知椭圆1222
=+y a x (a >1)的两个焦点为F 1,F 2,P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2=60o ,则|PF 1|·|PF 2|的值为 A.1 B.31 C.34 D.32
28.自椭圆122
22=+b y a x （a >b >0）上任意一点P ，作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程
是
14.A 2222=+b y a x 14.B 2222=+b y a x 14.C 2222=+b y a x 14.D 22
22=+b y a x
31.椭圆1
2132
2
=++m y m x 的准线平行于x 轴,则m 的取值范围是
A.m >0
B.0<m <1
C.m >1
D.m >0且m ≠1
32.椭圆x 2+9y 2=36的右焦点到左准线的距离是 A.2217 B.217 C.217 D.229
33.到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22
的动点的轨迹方程是 A.1121622=+y x B.116122
2=+y x C.0568222=-++x y x D.0688222=+-+x y x
34.直线x -y -m =0与椭圆1
922
=+y x 且只有一个公共点,则m 的值是
A.10
B.±10
C.±10
D.10
35.如果方程x 2+ky 2
=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是 A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
36.椭圆19252
2=+y x 上点P 到右准线等于4.5,则点P 到左准线的距离等于
A.8
B.12.5
C.4.5
D.2.25
38.中心在原点,长轴长是短轴长的2倍,一条准线方程是x =4,则此椭圆的方程是 A.131222=+y x B.1422=+y x C.1422=+y x D.11232
2=+y x
40.函数y ＝2sin(arccos x )的图象是
A.椭圆
B.半椭圆
C.圆
D.直线。