基于Pair_CoPula-CVaR模型的保险投资组合优化

(x,α) ∈ X × R
（8） 算法需要进行两层循环， 首先对最外层的连加 式循环， 对 j 进行遍历即依次计算藤中每一层树， 再 对内层进行循环， 分两个部分， 一个对上式中的 i 遍 历即依次计算每一棵树中的每一条边， 另一个计算 最外层循环下一循环所需要的条件分布函数。 对 D 藤来说， 对数似然函数为：
n-1n-j T
其中[f(x,y)]+=max(f(x,y),0) 均值-CVaR 的投资组合模型 首先用 CVaR 风险测度替换 Markowitz 提出的均 值-方差模型的方差测度， 得到资产组合 CVaR 值最 小的资产组合模型。 然后利用 Monte Carlo 模拟未来收益率情景求资 产组合模型的最优解。假如未来可能出现 m 种情 况， 每种情境下 y 的取值为 yj,j=1,2,...,m， 其服从密度 函数 p(y)， 此时， 函数 F β (x, α )可以如下计算
α )对 VaR 和 CVaR 的计算和优化进行简化： F β (x, α )= α +(1- β )-1
y∈R
∏ f(x k) ∏ ∏ ci,i + j|i + 1,...,i + j - 1 {F(x |x
i
n
n-1 n-j j=1 i=1
∫
(f(x,y) - α)+ p(y)d(y)
（11）
i+1
收稿日期： 2011-01 基金项目： 国家自然科学基金项目 （71071111） 。 作者简介： 邵梦倩 （1985-） ， 女， 天津市人， 天津科技大学经济与管理学院， 硕士研究生， 研究方向： 金融工程、 投资组合与风险控 制； 杜子平 （1964-） ， 男， 山西人， 教授， 天津大学管理科学与工程博士， 博士后， 天津科技大学硕士， 博士生导师， 天津科技大学经 管学院副院长， 研究方向： 金融工程与金融计量 企业规划与企业工程。
f(x,y) α
f(x,yj)=n ∑ -y ij x i
μ i =E(yi)表示第 i 种资产的预期收益， 其中， μ期收益。 c1b c iub 分别表 i ， 示第 i 种资产投资比例上下限。 基于 pair_Copula 模型的蒙特卡洛模拟的步骤 如下： （1） 选择较好描述资产收益的四个边际分布， 同 时选择合适的 pair_Copula 模型。 （2） 利用给出的四个资产的收益序列的历史数 据估计各参数， 用后续的蒙特卡洛模拟， 令 ui=Fi(xi)。 （3） 生成四个独立的服从[0， 1]分布的随机数 w1,
金融理论与实践
对于随机变量 X=(x1,...,xn)， 多元联合密度函数 f 有 f(x1,...,xn)=fn(xn) ∙ fn-1(xn-1|xn) ∙ fn-2(xn-2|xn-1,xn)...f1(x1|,x2,...,xn) （3） 根据 （2） （3） , 有 f(x| ν )= c xν j|ν -j {F(x| ν -j ),F( ν j | ν -j )} ∙ f(x| ν -j ) （4）
m Fβ (x, α )= α +(m(1- β ))-1 ∑ (f(x,y) - α)+ j=1
（12）
∑ ∑ ∑log [c
j=1 i=1 t=1
j,j+1|1,...,j-1
{F(xj,t|x1,t,...,xj-1,t),F(xj+i,t|x1,t,...,xj-1,t)}]
若 f(x,y)对 x 是线性函数， 那么上式就为凸函数， 且为分段函数。引入虚变量 Zj， j=1,2,...,m， 得到下列 线性规划问题。即 CVaR 的投资组合模型为：
金融理论与实践
∫
p(y)dy
（10）
对给定置信水平 β ， VaR 和 CvaR 的定义分别为
VaR β =min{ α ∈ R ∶ ψ (x, α ) β }
2011 年第 3 期(总第 380 期)
85
万方数据
【保险研究】
w2,w3,w4。令 u1=w1， w2=c12(u1,u2)=c12(w1,u2)。可求出 u2。 ∂c12 （4）利 用 公 式 F(x2|x1) = 计 算 F(x2|x1)， 令 ∂F1 (x1) w3=c23/1(F(x2|x1),F(x3|x1))，算 出 F(x3|x1)。 而 F(x3|x1) = ∂c13 ， 就可以求出 u3=F3(x3)。 ∂F1 (x1) ∂c32/1 （5）利 用 公 式 F(x3|x1,x2) = 计 算 F(x3|x1, ∂F(x 2|x1) x2)， 令 w4=c34/12(F(x3|x1,x2),F(x4|x1,x2))， 算出 F(x4|x1,x2)。 ∂c 42/1 （6）利 用 公 式 F(x4|x1,x2) = 和公式 F ∂F(x 2|x1) ∂c14 (x4|x1)= 算出 u4=F4(x4) ∂F1 (x1) （7） 利用边际分布函数， 算出 xi= F i-1 (ui) （8） 重复上述过程 10000 次， 得到资产的收益向 量(r1,t,...,rn,t)。 五、 实证研究 （一） 数据选取 本文采用 2006 年 10 月 9 日至 2010 年 10 月 13 日 共 977 个交易日的 SHIBOR、 上证国债指数、 上证基 金指数和上证 180 指数来分别反映银行存款、 债券、 基金和股票的市场表现。上证国债指数、 上证基金 指数和上证 180 指数数据来自新浪财经网， SHIBOR 数据来自 SHIBOR 网站。本文所有数据采用 matlab 软件进行处理。 （二） 数据处理 将价格 pt 定义为市场每日指数收盘价， 按公式 pt xt=ln 分别计算得到收益率序列。收益率的基 pt - 1 本统计特征如表 1。 表1 收益率的基本统计特征 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability sb gp gz jj -2.5546e-004 7.3960e-004 1.33e-04 0.0013 -6.4926e-004 0.0027 8.81e-05 0.0013 0.5172 0.0895 0.0075 0.0941 -1.0782 -0.0975 -0.0054 -0.0934 0.0806 0.0234 9.10e-04 0.0217 -1.9263 -0.4062 0.9493 -0.0069 46.0052 4.4814 15.5943 5.1686 7.5815e+004 116.0865 6.5835e+003 191.2606 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 （三） 数据的 GARCH 模型处理 大量实证表明， t 分布可以较好地描述金融时间 序列波动项的高峰厚尾的特点， 故选择 GARCH-t(1, 1)模型描述各序列的边缘分布。GARCH-t(1,1)模型 表达式为： xi,t=ci+ ε i,t
i,i+j|i+1,K,i+j-1
{F(xi,t|xi+1,t,K,xi+j-1,t), （9）
F(xi+j,t|xi+1,t,K,xi+j-1,t)}] 优。
算法同 C 藤一样， 似然函数都需要在数值上取 四、 CVaR 模型与投资组合优化 设 f(x,y)为损失函数， x 是决策向量， 代表金融资 产的权重， y 是随机变量， 代表收益率。它的密度函 数 p(y)。假定 p(y)是连续的， 当 y 的分布已知时， f(x,y) 就是依赖 x 的随机变量。它不超过临界值 α 的概率 为： ψ(x,α) =
CVaR β =E[f(x,y)|f(x,y) VaR β (x)]
=(1- β )-1
f(x,y) VaR β (x)
∫
f(x,y)p(y)d(y)
如果资产收益率的联合分布函数不是多元正态 等对称的椭圆形分布函数， 由定义计算和优化 VaR 和 CVaR 比较复杂， 就可以构造一个特殊函数 F β (x,
T1
1 12 2 13 14 23/1 12 24/1 34/12 13 14 3
（5）
4 T1
13/2 13/2
24/3 24/3
T2
T2 T3
14/23
T3
23/1
24/1
图 1 D 藤结构 图 2 C 藤结构 为了构建 pair_Copula 模型， Bedford 和 Cooke 引 入藤结构， 根据藤结构得到多元联合分布密度函数 的分解式。运用的是两类常规藤： C 藤和 D 藤. 图 1
n-1n-j T
min
α+
1 m(1 - β)
∑Zj
j=1
m
Zj f(x,yj)- α Zj 0
∑ x jμ i μ
i=1 n
n
-
i=1,2,...,n
j=1,2,...,m
（13）
∑ ∑ ∑log [c
j=1 i=1 t=1
∑ x j =1
i=1 ub c1b i xi c i
84
万方数据
2011 年第 3 期(总第 380 期)
【保险研究】
给出用 D 藤结构对四维密度函数的分解。圆圈中的 数字表示各结点， 各边上的数字代表结点间的关联 性。在 D 藤中， 树中任一结点最多连接 2 条边。图 2 给出用 C 藤的结构对四维密度函数的分解。对 C 藤 来说， 在每棵树中仅有唯一的点连接到 n-j 条边。 这样， 一个多元密度函数可表示为若干个不同 的条件概率分布的 pair-Copula 的乘积。 在 D 藤情况下， 密度函数可写作：
【保险研究】
基于 pair_Copula_CVaR 模型的保险投资组合优化
邵梦倩,杜子平 （天津科技大学 经济与管理学院,天津 300222） 摘要： 本文基于 pair_Copula_CVaR 模型对保险投资组合进行优化。选用 977 个交易日的上证指 数、 上证国债指数、 上证基金指数和 SHIBOR 为样本数据， 采用 GARCH 模型对单个资产建模， 运 用 pair_Copula 模型估计投资组合的联合分布， 并通过 Monte Carlo 方法得到投资组合未来收益的 多个可能情景， 求得组合 VaR 和 CVaR， 得到使 CVaR 最小时的投资比例。实证研究表明， 为了使 风险值最小， 保险资金可以将大部分的资金投资到风险较小的银行存款和国债中， 适当地投资 到风险较大的股票和基金中。通过理论最优比例结合实际情况可动态调整保险投资的结构， 有 利于保险资产的合理配置和保险资金的高效利用。 关键词： pair_Copula； CVaR； 蒙特卡洛； 保险； 投资组合 文章编号： 1003-4625 （2011） 03-0084-04 中图分类号： F842.4 文献标识码： A 一、 引言 随着金融市场的发展， 投资和承保成为保险公 司的两大支柱， 现在承保普遍出现亏损， 主要依靠投 资的收益来弥补亏损并获得利润， 这使得投资成为 保险经营的重要环节。我国保险资金投资渠道的逐 步拓宽， 有利于提高投资组合的收益率， 同时也面临 着更多的风险。保险公司怎样进行投资组合才能使 一定收益水平下风险最小， 就显得更为重要了。 对于保险公司的投资组合优化常用均值方差模 型来研究， 而本文选用 CVaR 风险度量方法作为优 化目标来建立投资组合模型。为了分析多维资产间 的相依结构， 建立 pair_copula 模型来估计保险投资 组合的联合分布。故建立 pair_copula_CVaR 模型对 保险投资组合优化。 二、 pair_Copula 模型的构建 根据 Sklar 定理， 多元分布函数可以通过 copula 函数和边缘分布函数 F1(x1),...,Fn(xn)表示为： F(x1,...,xn)=C{F1(x1),...,Fn(xn)} （1） 对联合密度函数 f 有 f(x1,...,xn)=c1,...,n{F1(x1),...,Fn(xn)} ∙ f1(x1)...,fn(xn) （2） 其中 c1,...,n(.)为 n 维的 copula 函数。