2015年浙江省丽水市高考数学一模试卷(文科)

2015年浙江省丽水市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•丽水一模）下列函数既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2 B．y=x3 C．y=log2x D．y=3﹣x【考点】：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可．【解析】：解：A．函数y=x2为偶函数，不满足条件．B．函数y=x3为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，满足条件．C．y=log2x的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．D．函数y=3﹣x为奇函数，为减函数，不满足条件．故选：B【点评】：本题主要考查函数奇偶数和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质．2．（5分）（2015•丽水一模）等差数列{a n}满足a2=4，a1+a4+a7=24，则a10=（）A．16 B．18 C．20 D．22【考点】：等差数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由等差数列的性质易得a4=8，进而可得公差，再由通项公式可得．【解析】：解：∵等差数列{a n}满足a2=4，a1+a4+a7=24，∴3a4=24，a4=8，∴等差数列{a n}的公差d==2，∴a10=a4+6d=8+12=20故选：C【点评】：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．3．（5分）（2015•丽水一模）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：y=sin（2x+）=sin2（x+），根据平移规律：左加右减可得答案．【解析】：解：y=sin（2x+）=sin2（x+），故要得到y=2sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，故选：C．【点评】：本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象，属于基本知识的考查．4．（5分）（2015•丽水一模）“m=4”是“直线mx+（1﹣m）y+1=0和直线3x+my﹣1=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：直线与圆；简易逻辑．【分析】：根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若直线mx+（1﹣m）y+1=0和直线3x+my﹣1=0垂直，则3m+m（1﹣m）=0，即m（4﹣m）=0，解得m=0或m=4，则“m=4”是“直线mx+（1﹣m）y+1=0和直线3x+my﹣1=0垂直”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．5．（5分）（2015•丽水一模）若实数x，y满足则2x+y的最大值是（）A．3 B． 4 C． 6 D．7【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故选：D【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6．（5分）（2015•丽水一模）已知圆x2+y2=4，过点P（0，）的直线l交该圆于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值是（）A．B．2 C．D．4【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：讨论l斜率不存在和存在的情况，当斜率存在时，设出方程求出圆心到直线的距离d，利用基本不等式求出S△OAB==，即可得出结论．【解析】：解：当直线l不存在斜率时，S△OAB=0，当直线存在斜率时，设斜率为k，则直线l的方程为y=kx+，即kx﹣y+=0，∴圆心到直线的距离d=，|AB|=2=2，∵S△OAB===，∴△OAB面积的最大值是2．故选B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，以及基本不等式的应用，属于中档题．7．（5分）（2015•丽水一模）在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是（）A．AB⊥BC且AB⊥BD B．AD⊥BC且AC⊥BD C．AC=AD且BC=BD D．AC⊥BC且AD⊥BD【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：在几何体中选取边长的中点，运用等腰三角形的性质，直线平面的垂直，平面与平面的垂直问题判断即可得出答案．【解析】：解：①∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC=B，∴AB⊥面BCD，∵CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，②设A在面BCD射影为O，AO⊥面BCD，∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心连接BO，则BO⊥CD，AO⊥CD∴CD⊥面ABO．∵AB⊂面ABO．∴AB⊥CD，③取CD中点G，连接BG，AG，∵AC=AD且BC=BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，∵BG∩AG=G，∴CD⊥面ABG，∵AB⊂面ABG∴AB⊥CD，综上选项A，B，C能够得出AB⊥CD，故选：D【点评】：本题综合考查了空间几何体中点直线，平面的垂直问题，关键是利用平面几何知识，空间直线平面的性质定理，判定定理转化直线的位置关系判断即可．8．（5分）（2015•丽水一模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则该双曲线的离心率e是（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．【解析】：解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF1，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，由|NF2|=2|OM|=2a，则|NP|==2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=c+a，4b2=（c+a）2，即4（c2﹣a2）=（c+a）2，4（c﹣a）=c+a，即3c=5a，则e==．故选A．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共7小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）9．（6分）（2015•丽水一模）设全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（2，3），A∪B=（1，+∞），∁U B=（﹣∞，1]∪[3，+∞）．【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集，并集，求出B的补集即可．【解析】：解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即B=（1，3），∵A=（2，+∞），∴A∩B=（2，3），A∪B=（1，+∞），∁U B=（﹣∞，1]∪[3，+∞）．故答案为：（2，3）；（1，+∞）；（﹣∞，1]∪[3，+∞）【点评】：此题考查了交集及其运算，并集及其运算，以及补集的运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（6分）（2015•丽水一模）已知函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω=2，f（）=，在（0，π）内满足f（x0）=0的x0=．【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据三角函数的周期公式求出ω，即可得到结论．【解析】：解：∵三角函数的周期是π，则=π，则ω=2，则f（x）=2sin2x，则f（）=2sin=2×=，由f（x）=0得sin2x=0，∵x∈（0，π），∴2x∈（0，2π），则2x=π，故x=，故x0=，故答案为：2，，【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的周期公式求出ω是解决本题的关键．11．（6分）（2015•丽水一模）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案．【解析】：解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．12．（6分）（2015•丽水一模）已知函数f（x）=（x＞1），当且仅当x=2时，f（x）取到最小值为2．【考点】：基本不等式；函数的最值及其几何意义．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：变形利用基本不等式的性质即可得出．【解析】：解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴函数f（x）==x﹣1+=2，当且仅当x=2时取等号．故答案分别为：2；2．【点评】：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．13．（4分）（2015•丽水一模）已知A，B是单位圆C上的两个定点，对任意实数λ，|﹣λ|有最小值，则||=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：由A，B是单位圆C上的两个定点，则||=||=1，令||=t，运用向量的平方即为模的平方，化简整理，结合余弦定理，可得关于λ的二次函数λ2t2﹣λt2+1，运用二次函数的最值，即可得到最小值，解方程进而得到t．【解析】：解：由A，B是单位圆C上的两个定点，则||=||=1，令||=t，y=|﹣λ|2=（﹣λ）2=﹣2λ+λ2||2=1﹣2λ||•||cosA+λ2||2=1﹣λ（t2+1﹣1）+λ2t2=λ2t2﹣λt2+1，当λ=﹣=时，y取得最小值，且为t2﹣t2+1=1﹣t2，由于对任意实数λ，|﹣λ|有最小值，则1﹣t2=，解得t=．故答案为：．【点评】：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，运用二次函数的最值是解题的关键，属于中档题和易错题．14．（4分）（2015•丽水一模）已知f（x）=，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是[log32，1]．【考点】：分段函数的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解析】：解：当t∈（0，1]，所以f（t）=3t∈（1，3]，又函数f（x）=，则f（f（t）=log2（3t﹣1），因为f（f（t））∈[0，1]，所以0≤log2（3t﹣1）≤1，即1≤3t﹣1≤2，解得：log32≤t≤1，则实数t的取值范围[log32，1]；当1＜t≤3时，f（t）=log2（t﹣1）∈（﹣∞，1]，由于f（f（t））∈[0，1]，即有0≤≤1，解得1＜t≤2．此时f（t）=log2（t﹣1）≤0，f（f（t））不存在．综上可得t的取值范围为[log32，1]．故答案为：[log32，1]．【点评】：本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，考查计算能力，属于中档题和易错题．15．（4分）（2015•丽水一模）已知正项等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，若对一切n∈N*都有a n+1≥2S n，则q的取值范围是[3，+∞）．【考点】：等比数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：由a n+1≥2S n，可得S n+1≥3S n，即q n（q﹣3）+2≥0，利用q＞0，即可确定q的取值范围．【解析】：解：∵a n+1≥2S n，∴S n+1≥3S n，∴1﹣q n+1≥3（1﹣q n），∴q n（q﹣3）+2≥0，∵q＞0，∴q≥3故答案为：[3，+∞）．【点评】：本题考查q的取值范围，考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）（2015•丽水一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB ﹣bsinB=c，且cosA=﹣．（Ⅰ）求sinB；（Ⅱ）若c=7，求△ABC的面积．【考点】：正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）利用已知条件结合正弦定理以及三角形的内角和化简表达式，然后求sinB 的值；（Ⅱ）通过sinC=sin（A+B），结合两角和的增函数，求出sinC的值，利用正弦定理求出b，即可求△ABC的面积．【解析】：解：（Ⅰ）由题意得∵cosA=﹣．由asinB﹣bsinB=c∴sinAsinB﹣sinBsinB=sin（A+B）∴﹣sinBsinB=cosAsinB⇒sinB=﹣cosA∵∴（Ⅱ）∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=又由正弦定理得：⇒b=3【点评】：本题考查正弦定理的应用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．17．（15分）（2015•丽水一模）已知等差数列{a n}，首项a1和公差d均为整数，其前n项和为S n．（Ⅰ）若a1=1，且a2，a4，a9成等比数列，求公差d；（Ⅱ）若n≠5时，恒有S n＜S5，求a1的最小值．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）利用等比数列的性质，求公差d；（Ⅱ）n≠5时，恒有S n＜S5，可得S5最大且有d＜0，结合a1，d∈Z求a1的最小值．【解析】：解：（Ⅰ）由题意得将a1=1代入得（1+3d）2=（1+d）•（1+8d）…（4分）解得d=0或d=3…（6分）（Ⅱ）∵n≠5时，恒有S n＜S5，∴S5最大且有d＜0，又由⇒，∴…（10分）又∵a1，d∈Z，d＜0故当d=﹣1时4＜a1＜5此时a1不存在，…（12分）当d=﹣2时8＜a1＜10则a1=9，当d=﹣3时12＜a1＜15，…易知d≤﹣3时a1＞9…（14分）综上：a1=9．…（15分）【点评】：本题考查等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．18．（15分）（2015•丽水一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；（Ⅱ）求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）取A'D的中点M，连接FM，EM，由已知得四边形BFME为平行四边形，由此能证明BF∥平面A'DE．（Ⅱ）在平面BCDE内作BN⊥DE，交DE的延长线于点N，则BN⊥平面A'DE，连接A'N，∠BA'N为A'B与平面A'DE所成的角，由此能求出直线A'B与平面A'DE所成角的正切值．【解析】：（Ⅰ）证明：取A'D的中点M，连接FM，EM．∵F为A'C中点，∴FM∥CD且…（2分）∴BE∥FM且BE=FM，∴四边形BFME为平行四边形．…（4分）∴BF∥EM，又EM⊆平面A'DE，BF⊄平面A'DE，∴BF∥平面A'DE…（6分）（Ⅱ）解：在平面BCDE内作BN⊥DE，交DE的延长线于点N，∵平面A'DE⊥平面BCDE，平面A'DE∩平面BCDE=DE，∴BN⊥平面A'DE，连接A'N，则∠BA'N为A'B与平面A'DE所成的角，…（8分）∵△BNE∽△DAEBE=1，，∴，…（10分）在△A'DE中作A'P⊥DE垂足为P，∵A'E=1，A'D=2，∴，∵，∴在直角△A'PN中，，又，∴…（14分）∴在直角△A'BN中，，∴直线A'B与平面A'DE所成角的正切值为．…（15分）【点评】：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．19．（15分）（2015•丽水一模）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为，M是y轴正半轴上的一点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若A，B在x轴上方，且|OA|=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）求出A的坐标，代入，即可求抛物线C的方程；（Ⅱ）求得直线MA的方程，可得N的坐标，即可证明直线BN的斜率为定值，并求出该定值．【解析】：（Ⅰ）解：由题意得当a=1时，点A坐标为，由题有，∴p=1∴抛物线C的方程为：y2=2x（Ⅱ）证明：由题，，∵|OA|=|OM|，∴，∴∴直线MA的方程为：y=，∴∴===，∴直线BN的斜率为定值，该定值为﹣1．【点评】：本题考查抛物线方程，考查直线斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（15分）（2015•丽水一模）已知函数f（x）=|x2﹣1|+x．（Ⅰ）若函数y=f（x）﹣c恰有两个零点，求实数c的取值范围；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=f（ax）（a＜0）的最大值M（a）．【考点】：绝对值不等式的解法；函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：（Ⅰ）化简函数y=f（x）的解析式，求出它的单调区间以及极值、最值，结合f （x）的图象和直线y=c有2个交点，求出实数c的取值范围．（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，分类讨论，利用函数的单调性求出函数y=f（ax）的最大值．【解析】：解：由题意知（Ⅰ），易知f（x）在（﹣∞，﹣1]，上单调递减，在，[1，+∞）上单调递增．又，y=f（x）﹣c恰有两个零点，即方程f（x）=c恰有两个不等实根，∴．（Ⅱ）设g（x）=f（ax）（a＜0），∴g（x）=，∴g（x）在，上单调递减，在，上单调递增，（1）当，即g（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴此时M（a）=g（﹣1）=﹣a2﹣a+1．（2）当，即，g（x）在上单调递增，g（x）在上单调递减，∴此时．（3）当，即a＜﹣1时g（x）在，上单调递减，g（x）在，上单调递增，∴此时，===．综上所述：M（a）=．【点评】：本题主要考查利用单调性求函数的极值和最值，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。