2012高考数学一轮复习：2.2《用样本估计总体》课件(新人教A版必修3)
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人教版高中数学必修三第二章第2节用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件 (2)
1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：S 0。 当 S 0 时，意味着所有的样本数据都等于样本 平均数。
课后作业：
课本 P81 习题2.2 A组 6、7.
P79练习答案
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
x甲7
x乙7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3
0.2
0.1 频率
4
频率
5 67 8 (甲)
9 10
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
于，是 样本 x1,x2 数 , xn到 据 x 的 “平均 ”是 ：距离
x1xx2xxnx
S
.
n
1.标准差定义：是样本数据到平均数的一种平 均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在 实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1,x2,xn, 平均数是 x
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s1 n[x (1x)2(x2x)2 (xnx)2]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：S 0。 当 S 0 时，意味着所有的样本数据都等于样本 平均数。
课后作业：
课本 P81 习题2.2 A组 6、7.
P79练习答案
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
x甲7
x乙7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3
0.2
0.1 频率
4
频率
5 67 8 (甲)
9 10
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
于，是 样本 x1,x2 数 , xn到 据 x 的 “平均 ”是 ：距离
x1xx2xxnx
S
.
n
1.标准差定义：是样本数据到平均数的一种平 均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在 实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1,x2,xn, 平均数是 x
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s1 n[x (1x)2(x2x)2 (xnx)2]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1用样本的频率分布估计总体分布课件 新人教A版必修3
课堂互动讲练
考点突破 频率分布表、 频率分布表、频率分布直方图及折 线图 频率分布表是反映总体频率分布的表格， 频率分布表是反映总体频率分布的表格， 一般内容有数据的分组、频率的统计、 一般内容有数据的分组、频率的统计、频 数和频率等内容．根据这个表格， 数和频率等内容．根据这个表格，就可以 在坐标系中画频率分布直方图． 在坐标系中画频率分布直方图．
4．茎叶图的特点 ． 当样本数据较少时， 当样本数据较少时，用茎叶图表示数据 的效果较好，它不但可以保留所有信息， 的效果较好，它不但可以保留所有信息， 而且可以随时记录， 而且可以随时记录，给数据的记录和表 示都带来了方便． 示都带来了方便．
问题探究 1．什么是总体分布？ ．什么是总体分布？ 提示： 总体分布是指总体取值的分布规律， 提示 ： 总体分布是指总体取值的分布规律 ， 即 某小组数据在总体数据中所占的比例大小． 某小组数据在总体数据中所占的比例大小． 2．在一组测量长度的数据 单位：cm)中最小数 单位： ．在一组测量长度的数据(单位 中最小数 据为15.2， 最大数据为 据为 ， 最大数据为20.3， 如果组距为 ， 那 ， 如果组距为1， 么画频率分布直方图时， 可分为几组较好？ 么画频率分布直方图时 ， 可分为几组较好 ？ 第 一组数据及最后一组数据，如何限定区间？ 一组数据及最后一组数据，如何限定区间？ 提示：因为20.3－15.2＝5.1，可分为 组，第一 提示：因为 － ＝ ，可分为6组 组可限定为(15.1,16.1)，最后一组为 组可限定为 ， (20.1,21.1)． ．思维总结】 【思维总结】绘制茎叶图的关键是分清茎和
一般地说， 如果数据是整数(至少为两位 叶 ． 一般地说 ， 如果数据是整数 至少为两位 数 )的 ， 除个位数字以外的其它数字为 “ 茎 ” ， 的 除个位数字以外的其它数字为“ 个位数字为“ 如果是小数的， 个位数字为“叶”；如果是小数的，通常把整 数部分作为“ 小数部分作为“ 数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”．解 题时要根据数据特点合理选择茎和叶． 题时要根据数据特点合理选择茎和叶．
人教A版必修3《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》优化训练ppt课件
最中间位置 的一个数据(或中间两个数据的平均数)称为这 在____________
组数据的中位数.
注意：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 相等 ，由此可以估计中位数的值. 的面积________
x1＋x2＋„＋xn x＝ n (3)如果有n个数x1，x2，„，xn，那么_________________
如下(单位：mL)：
342,348,346,340,344,341,343,350,340,342
343.6 则样本的平均数是________.
解析：由于数据较大，又都在常数 342 附近波动，把各数
据都减去 342，得 0,6,4，－2,2，－1,1,8，－2,0，
1 则 x ′＝10×(0＋6＋4－2＋2－1＋1＋8－2＋0)＝1.6， 即 x ＝ x ′＋342＝343.6.
人员
平均环数－ x 方差s2
甲 8.6 3.5
乙 8.9 3.5
丙 8.9 2.1
丁 8.2 5.6
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人 选是( C )
A.甲
C.丙
B.乙
D.丁
【问题探究】
如何通过频率分布直方图估计众数、中位数和平均数？ 答案：(1)众数是最高矩形底边的中点；(2)中位数左边和右
边的直方图的面积应相等，由此可以估计中位数的值；(3)平均
数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形的面积乘
以小矩形底边中点的横坐标之和.
题型 1 众数、中位数、平均数的求法
【例 1】 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如下表： 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 人数/名
1 这组数据的平均数是 x ＝17×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×
组数据的中位数.
注意：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 相等 ，由此可以估计中位数的值. 的面积________
x1＋x2＋„＋xn x＝ n (3)如果有n个数x1，x2，„，xn，那么_________________
如下(单位：mL)：
342,348,346,340,344,341,343,350,340,342
343.6 则样本的平均数是________.
解析：由于数据较大，又都在常数 342 附近波动，把各数
据都减去 342，得 0,6,4，－2,2，－1,1,8，－2,0，
1 则 x ′＝10×(0＋6＋4－2＋2－1＋1＋8－2＋0)＝1.6， 即 x ＝ x ′＋342＝343.6.
人员
平均环数－ x 方差s2
甲 8.6 3.5
乙 8.9 3.5
丙 8.9 2.1
丁 8.2 5.6
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人 选是( C )
A.甲
C.丙
B.乙
D.丁
【问题探究】
如何通过频率分布直方图估计众数、中位数和平均数？ 答案：(1)众数是最高矩形底边的中点；(2)中位数左边和右
边的直方图的面积应相等，由此可以估计中位数的值；(3)平均
数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形的面积乘
以小矩形底边中点的横坐标之和.
题型 1 众数、中位数、平均数的求法
【例 1】 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如下表： 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 人数/名
1 这组数据的平均数是 x ＝17×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×
人教a版必修三：《2.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2)》ppt课件(33页)
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.2.1（二）
探究点二：茎叶图
思考3 一般地，画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何？
答 第一步，将每个数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分；
第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧； 第三步，将各个数据的叶按次序写在茎右(左)侧．
第二章 统 计
§2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(二)
本节知识目录
2.2.1（二）
用样本
明目标、知重点
的频率
分布估
填要点、记疑点 探究点一 探要点、究所然 探究点二 当堂测、查疑缺 频率分布折线图、总体 密度曲线的概念 茎叶图
计总体
分布
(二)
明目标、知重点
填要点、记疑点
中称这条光滑曲线为总体密度曲线．那么下图中阴影部分的面积有何实际意义？
答 图中阴影部分的面积，就是总体在区间(a，b)内的取值的百分比．
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.2.1（二）
探究点一：频率分布折线图、总体密度曲线的概念
思考 5
对于一个总体，如果存在总体密度曲线，能否通过样本数据准确地画出总
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
B．x甲>x乙；甲比乙成绩稳定 D．x甲<x乙；甲比乙成绩稳定
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.2.1（二）
探究点二：茎叶图
解析 从茎叶图可知，甲五次成绩中一次茎为8，一次茎为9，而乙五次成绩中，茎 8和茎9各两次，故可知x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3
方差及标准差的应用 方差、 方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均 距离，表示各个样本数据在样本平均数的周围 距离， 分散程度． 分散程度．
例3 甲 、 乙两机床同时加工直径为 乙两机床同时加工直径为100 cm的 的
零件，为检验质量，各从中抽取6件测量 件测量， 零件，为检验质量，各从中抽取 件测量，数据 为： 甲：99 乙：99 100 100 98 102 100 99 100 100 103 100
思维总结】 【思维总结】
要先找清每个小矩形的高、 要先找清每个小矩形的高、宽
及其意义，就可求相应的样本数字． 及其意义，就可求相应的样本数字． 变式训练1 变式训练 根据频率分布直方图(如图 估计 根据频率分布直方图 如图)估计 如图 估计(1)
众数； 中位数 中位数； 平均数 平均数． 众数；(2)中位数；(3)平均数．
课堂互动讲练
考点突破 众数、中位数、 众数、中位数、平均数的综合应用 众数体现了样本数据的最大集中点； 众数体现了样本数据的最大集中点 ； 中位数 是样本数据所占频率的等分线； 是样本数据所占频率的等分线 ； 平均数与每 一个样本数据有关． 一个样本数据有关．
例1
某工厂人员及工资构成如下表： 某工厂人员及工资构成如下表：
2
【 思维总结】 本题易出现判断甲机床质量 思维总结 】 更稳定的错误， 更稳定的错误 ， 其原因是对方差的概念理解 错误． 错误．
互动探究2 互动探究
在本例中， 甲机床所加工的6个 在本例中 ， 甲机床所加工的 个
零件的数据全都加10， 零件的数据全都加 ， 那么所得新数据的平 均数及方差分别是多少？ 均数及方差分别是多少？
(1)分别计算两组数据的平均数及方差； 分别计算两组数据的平均数及方差； 分别计算两组数据的平均数及方差 (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量 根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量 更稳定． 更稳定．
人教A版高中数学必修三课件：2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2 (2)
• (2)频率分布直方图如图所示．
• 累积频率分布图如图所示．
• (3) 由累积频率分布图可以看出，寿命在 100h～400h的电子元件出现的频率为0.65. • (4)由频率分布表可知，寿命在400h以上的 电子元件出现的频率为0.20＋0.15＝0.35， 故我们估计电子元件寿命在 400h以上的频 率为 0.35.
• 2．2 用样本估计总体 • 2．2.1 用样本的频率分布 • 估计总体分布
• [例1] 已知一个样本： 25,21,23,25,27,29,25,28,30,29,26,24,25,27,2 6,22,24,25,26,28，以2为组距，列出频率分 布表，绘制频率分布直方图，并由样本值 估计总体出现在22～28之间的频率．
• [解析] 频率分布表： 分组 20.5～22.5 22.5～24.5 24.5～26.5 频数累计 频数 2 3 8 频率 0.1 0.15 0.4
26.5～28.5
28.5～30.5 合计
4
3 20
0.2
0.15 1.00
• 频率分布直方图：
• 由样本频率分布表可知，样本值出现在 22～28之间的频率为0.15＋0.40＋0.2＝0.75， 所以可以估计总体中出现在22～28之间的 数的频率约为0.75.
• [解析] (1)样本的频率分布表为：
起始月薪(百 频数 频率 元) [13,14) 7 0.07 [14,15) 11 0.11
[15,16) [16,17) [17,18) [18,19) [19,20) [20,21) 合计
26 23 15 8 4 6 100
0.26 0.23 0.15 0.08 0.04 0.06 1.00
• [解析] 由茎叶图可知，该班学生父亲的年 龄分布主要集中在40～60岁之间，平均年 龄大约在48岁左右；而母亲的年龄分布大 致对称，平均年龄大约在44岁左右，父亲 的平均年龄比母亲的平均年龄要大．
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 用样本估计总体
平.因为公司中少数人的月工资额与大多数人的月工资额差别较大，
这样导致了平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观真实
地反映这个公司员工的工资水平.
题型四 综合问题
【例4】(12分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每 瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量 （单位：百毫升）如下: 12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.1 12.3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.1 11.4 11.6 11.2 12.2
1
（2）频率分布直方图如图：
（3）电子元件寿命在100 h～400 h以内的频数为130,则频率 为 13=00.65. 200
（4）寿命在400 h以上的电子元件的频数为70，则频率 为 =700.35. 200
学后反思利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可 以看出，要比较准确地反映出总体70 分布的情况，必须准确地作出
［140,15 0)
人数
4
8
x
5
3
生产能 力分组 人数
表2：
［110， 120）
6
［120，130） ［130,14 0)
y
36
［140,15 0)
18
(1)先确定x、y,再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言， A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪 个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
比；所有组距的频率之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该
组距所对应的矩形的面积.
解
（1）M=0.102
=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2n,N =m1,
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
注:在只有样本频率散布直方图的情况下，我 们可以按上述方法估计众数、中位数和平均 数，并由此估计总体特征.
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
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息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记 录和表示，能够展示数 据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多 时，茎叶图就显得不太方便了．
2．用样本的数字特征估计总体的分布
(1)平均数、中位数描述其集中趋势，方差、极差
和标准差描述其波动大小，也可以说方差、标准差
和极差反映各个数据与其平均数的离散程度．
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气
质量为优；在51～100之间时，为良；在101～
150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为 轻度污染． 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量 给出一个简短评价．
【解】
(1)频率分布表：
(2)频率分布直方图如图所示：
(3)答对下述两条中的一条即可： ①该市一个月中空气污染指数有 2 天处 1 于优的水平，占当月天数的 ；有 26 天 15 13 处于良的水平，占当月天数的 ；处于优 15 14 或良的天数为 28，占当月天数的 .说明 15 该市空气质量基本良好．
乙：8,13,14,16,21,23,24,26,28,33,38,39,51.
(1)画出两组数据的茎叶图；
(2)试比较这两位运动员的得分水平．
【思路分析】
(1)将十位数字作为茎，个位数字
作为叶，逐一统计，样本中有一位数，有两位数，
把一位数的十位数字看为0.
(2)根据茎叶图分析两组数据，得到结论．
2
＋(14－13) ]＝0.8. 2 2 (2)由 s甲>s乙可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成 绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成 绩则无明显提高．
2
【规律小结】
平均数与方差都是重要的数字特征，
是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有
着重要的实际意义，要学会通过这些数据分析其含
茎叶图 一般制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十
位数字作“茎”，个位数字作“叶”，茎相同 者共用一个茎，茎按从小到大顺序由上到下列 出，共茎的叶按从大到小(或从小到大)的顺序 同行列出．
例2
美国NBA篮球赛中甲、乙两篮球运动员
上赛季某些场次比赛的得分如下： 甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.
(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方
图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的
横坐标之和 __________．
(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的 横坐标 矩形的中点的___________．
课前热身 1．已知一个样本中的数据为 0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14， 则该样本的众数、中位数分别是( )
10＋13＋12＋14＋16 x 甲＝ ＝13(分)， 5 13＋14＋12＋12＋14 x 乙＝ ＝13(分)， 5 1 s甲＝ [(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋ 5
2
(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
1 s 乙 ＝ [(13－13)2 ＋(14－13)2 ＋(12－13)2 ＋(12－13)2 5
义，从而为正确决策提供依据．
当两组数据的平均数相同或相近时，用方差或标准 差比较它们的波动大小，样本方差或标准差越大， 样本数据的波动越大，稳定性越差；反之，样本数 据波动就越小，稳定性越好．
方法感悟 方法技巧
1．几种表示频率分布方法的优、劣
(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直
观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．
4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染 物为可吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95, 91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
8分
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在 [1.15,1.30)中的概率约为 0.47. 10 分 120×100 (3) ＝2000，所以水库中鱼的总条 6 数约为 2000. 12 分
【名师点评】
本题考查了频率分布直方图，
试题难度较小，绝大多数考生都能得全分，但
仍有些考生对频率等于组距乘以(频率/组距)不
A．0.14,0.15
C．0.15,0.15 答案：D
B．0.15,0.14
D．0.15,0.145
2．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中， 甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标 准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进 球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为( ) ①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏 A．1 B．2
C．3
答案：D
D．4
3．已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5，则该样 本的标准差为( ) A．1 C. 3 B. 2 D．2
答案：B 4．一个容量为32的样本，分成5组，已知第三 组的频率为0.375，则另外四组的频数之和为 ______． 答案：20
5.甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩 用茎叶图表示如右：则平均分数较高的是 __________，成绩较为稳定的是
用茎叶图整理数据时，要注意：一是数据不遗
漏，二是数据最好按从小到大顺序排列，对三组 以上的数据，也可使用茎叶图，但没有表示两组 记录那么直观、清晰．
考向瞭望·把脉高考
考情分析
从近几年的高考试题来看，频率分布直方图、茎 叶图、平均数、方差是高考的热点，题型既有选 择题、填空题，又有解答题，客观题考查知识点 较单一，解答题考查得较为全面，常常和概率、 平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解 决问题的能力． 预测2012年高考，频率分布直方图、茎叶图、平 均数、方差仍然是考查的热点，同时应注意和概 率、平均数等知识的结合．
思考感悟 频率分布直方图中纵轴的含义是频率吗？ 提示：不是．表示的是频率/组距．
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小 中点 长方形上端的_______，就得到频率分布折线图． 样本容量 (2)总体密度曲线：随着___________的增加，作 所分的组数 组距 图时______________增加，_______减小，相应
第2课时 用样本估计总体
第 2 课 时 用 样 本 估 计 总 体
双基研习·面对高考
考点探究·挑战高考
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理 1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．
(2)决定组距和组数．
(3)将数据分组．
(4)列频率分布表．
(5)画频率分布直方图．
(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据， 非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分 布表中看不清楚的数据模式．
(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化
趋势．如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩
小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．
(4)用茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信
频率
(2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放
回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞
出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据 这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
【解】
(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组
距×(频率/组距)，故可得下表： 分组 [1.00,1.05) [1.05,1.10) [1.10,1.15) [1.15,1.20) [1.20,1.25) [1.25,1.30) 频率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02
(2)一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据 波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标 准差的单位与原单位相同．
(3)若 x1，x2，„，xn 的平均数为 x ， 那么 mx1＋a，mx2＋a，„，mxn＋a 的 平均数是 m x ＋a.
失误防范
在作茎叶图时，容易出现茎两边的数字不是从小
到大的顺序排列，从而导致结论分析错误，在使
理解．
名师预测 1．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位： cm)分布茎叶图如图，记录的平均身高为177 cm， 有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，
那么x的值为(
A．5 C．7
)
B．6 D．8
解析：选D.由题意可知，3＋4－7－4＋(x－7)＋1 ＋2＝0，解得x＝8.
2．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a、b是方程 x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( A．3 C．5 B．4 D．6 )
例3
甲乙两人参加某体育项目训练，近期的五
次测试成绩得分情况如图：
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩
作出评价．
【解】 分别为
(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
1 ②轻微污染有 2 天，占当月天数的 ；污染指 15 数在 80 以上的接近轻微污染的天数 15， 加上处 17 于轻微污染的天数 17，占当月天数的 ，超过 30 50%，说明该市空气质量有待进一步改善．
【规律小结】 (1)解决频率分布直方图问题，应注意 某一组频数 某一组的频率＝ ＝某一组对应小长方形的 样本容量 面积这一关系的灵活运用．(2)利用样本的频率分布， 可近似地估计总体的分布，利用样本在某一范围内的 频率，可近似地估计总体在这一范围内的概率．
2．用样本的数字特征估计总体的分布
(1)平均数、中位数描述其集中趋势，方差、极差
和标准差描述其波动大小，也可以说方差、标准差
和极差反映各个数据与其平均数的离散程度．
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气
质量为优；在51～100之间时，为良；在101～
150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为 轻度污染． 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量 给出一个简短评价．
【解】
(1)频率分布表：
(2)频率分布直方图如图所示：
(3)答对下述两条中的一条即可： ①该市一个月中空气污染指数有 2 天处 1 于优的水平，占当月天数的 ；有 26 天 15 13 处于良的水平，占当月天数的 ；处于优 15 14 或良的天数为 28，占当月天数的 .说明 15 该市空气质量基本良好．
乙：8,13,14,16,21,23,24,26,28,33,38,39,51.
(1)画出两组数据的茎叶图；
(2)试比较这两位运动员的得分水平．
【思路分析】
(1)将十位数字作为茎，个位数字
作为叶，逐一统计，样本中有一位数，有两位数，
把一位数的十位数字看为0.
(2)根据茎叶图分析两组数据，得到结论．
2
＋(14－13) ]＝0.8. 2 2 (2)由 s甲>s乙可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成 绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成 绩则无明显提高．
2
【规律小结】
平均数与方差都是重要的数字特征，
是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有
着重要的实际意义，要学会通过这些数据分析其含
茎叶图 一般制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十
位数字作“茎”，个位数字作“叶”，茎相同 者共用一个茎，茎按从小到大顺序由上到下列 出，共茎的叶按从大到小(或从小到大)的顺序 同行列出．
例2
美国NBA篮球赛中甲、乙两篮球运动员
上赛季某些场次比赛的得分如下： 甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.
(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方
图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的
横坐标之和 __________．
(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的 横坐标 矩形的中点的___________．
课前热身 1．已知一个样本中的数据为 0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14， 则该样本的众数、中位数分别是( )
10＋13＋12＋14＋16 x 甲＝ ＝13(分)， 5 13＋14＋12＋12＋14 x 乙＝ ＝13(分)， 5 1 s甲＝ [(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋ 5
2
(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
1 s 乙 ＝ [(13－13)2 ＋(14－13)2 ＋(12－13)2 ＋(12－13)2 5
义，从而为正确决策提供依据．
当两组数据的平均数相同或相近时，用方差或标准 差比较它们的波动大小，样本方差或标准差越大， 样本数据的波动越大，稳定性越差；反之，样本数 据波动就越小，稳定性越好．
方法感悟 方法技巧
1．几种表示频率分布方法的优、劣
(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直
观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．
4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染 物为可吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95, 91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
8分
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在 [1.15,1.30)中的概率约为 0.47. 10 分 120×100 (3) ＝2000，所以水库中鱼的总条 6 数约为 2000. 12 分
【名师点评】
本题考查了频率分布直方图，
试题难度较小，绝大多数考生都能得全分，但
仍有些考生对频率等于组距乘以(频率/组距)不
A．0.14,0.15
C．0.15,0.15 答案：D
B．0.15,0.14
D．0.15,0.145
2．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中， 甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标 准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进 球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为( ) ①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏 A．1 B．2
C．3
答案：D
D．4
3．已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5，则该样 本的标准差为( ) A．1 C. 3 B. 2 D．2
答案：B 4．一个容量为32的样本，分成5组，已知第三 组的频率为0.375，则另外四组的频数之和为 ______． 答案：20
5.甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩 用茎叶图表示如右：则平均分数较高的是 __________，成绩较为稳定的是
用茎叶图整理数据时，要注意：一是数据不遗
漏，二是数据最好按从小到大顺序排列，对三组 以上的数据，也可使用茎叶图，但没有表示两组 记录那么直观、清晰．
考向瞭望·把脉高考
考情分析
从近几年的高考试题来看，频率分布直方图、茎 叶图、平均数、方差是高考的热点，题型既有选 择题、填空题，又有解答题，客观题考查知识点 较单一，解答题考查得较为全面，常常和概率、 平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解 决问题的能力． 预测2012年高考，频率分布直方图、茎叶图、平 均数、方差仍然是考查的热点，同时应注意和概 率、平均数等知识的结合．
思考感悟 频率分布直方图中纵轴的含义是频率吗？ 提示：不是．表示的是频率/组距．
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小 中点 长方形上端的_______，就得到频率分布折线图． 样本容量 (2)总体密度曲线：随着___________的增加，作 所分的组数 组距 图时______________增加，_______减小，相应
第2课时 用样本估计总体
第 2 课 时 用 样 本 估 计 总 体
双基研习·面对高考
考点探究·挑战高考
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理 1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．
(2)决定组距和组数．
(3)将数据分组．
(4)列频率分布表．
(5)画频率分布直方图．
(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据， 非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分 布表中看不清楚的数据模式．
(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化
趋势．如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩
小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．
(4)用茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信
频率
(2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放
回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞
出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据 这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
【解】
(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组
距×(频率/组距)，故可得下表： 分组 [1.00,1.05) [1.05,1.10) [1.10,1.15) [1.15,1.20) [1.20,1.25) [1.25,1.30) 频率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02
(2)一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据 波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标 准差的单位与原单位相同．
(3)若 x1，x2，„，xn 的平均数为 x ， 那么 mx1＋a，mx2＋a，„，mxn＋a 的 平均数是 m x ＋a.
失误防范
在作茎叶图时，容易出现茎两边的数字不是从小
到大的顺序排列，从而导致结论分析错误，在使
理解．
名师预测 1．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位： cm)分布茎叶图如图，记录的平均身高为177 cm， 有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，
那么x的值为(
A．5 C．7
)
B．6 D．8
解析：选D.由题意可知，3＋4－7－4＋(x－7)＋1 ＋2＝0，解得x＝8.
2．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a、b是方程 x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( A．3 C．5 B．4 D．6 )
例3
甲乙两人参加某体育项目训练，近期的五
次测试成绩得分情况如图：
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩
作出评价．
【解】 分别为
(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
1 ②轻微污染有 2 天，占当月天数的 ；污染指 15 数在 80 以上的接近轻微污染的天数 15， 加上处 17 于轻微污染的天数 17，占当月天数的 ，超过 30 50%，说明该市空气质量有待进一步改善．
【规律小结】 (1)解决频率分布直方图问题，应注意 某一组频数 某一组的频率＝ ＝某一组对应小长方形的 样本容量 面积这一关系的灵活运用．(2)利用样本的频率分布， 可近似地估计总体的分布，利用样本在某一范围内的 频率，可近似地估计总体在这一范围内的概率．