高一数学抽象函数的习题
高考中的抽象函数专题练习(含答案)
定义域为 [
3, 3
3 3
]
故②不成立，因为函数
y
log2
(
x2
2x
3)
的定义域为
x2
2x
3
0,
x
3
或 x 1所以递增区间为 (1, ) 不正确，所以③不成立.因为函数 y f (2x 1) 与函数 y f (1 2x) 的
图像关于 y 轴对称，所以④不正确.故选 A
2.答案：C
分析：由 f (0) 0, f (x) f (1 x) 1，得 f (1) 1 ， f (1) 1，又 f ( x) 1 f x ， f (1) 1 ，
其中正确的个数为 (
)
A. 0 个
B. 1个 C. 2 个 D. 3 个
2.定义在 R
上的函数
f
(x) 满足
f
(0)
0,
f
(x)
f
(1
x)
1,
f
(x) 5
1 2
f
(x) ，且当 0
x1
x2
1
时，
f
(x1)
f
(x2 ) ，则
f
( 1 ) 等于（ 2021
）
A. 1 2
B. 1 16
C. 1 32
D. 1 64
3.已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且 f (x 3)[1 f (x)] 1 f (x) ， f (2) 3 2 ，则 f 2021
2
值为（
）
A. 2 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 3
4.已知 f (x 1) f (x 1), f (x) f (x 2) ，方程 f (x) 0 在[0,1] 内有且只有一个根 x 1 ，则 2
数学抽象函数定义域专项训练
高一数学函数抽象函数定义域专项训练（含解析）一、求定义域（共22题；共41分）1.（2020高一上·南京月考）已知函数的定义域为，则的定义域是（）A. B. C. D.2.（2020高一上·重庆月考）如果函数的定义域为，那么函数的定义域为（）A. B. C. D.3.（2020高一上·利辛期中）已知的定义域是，求函数的定义域（）A. [−1，5]B. [2，5]C. [−7，5]D. [−2，10]4.（2020高一上·定远月考）已知的定义域为，函数的定义域为（）A. B. C. D.5.（2020高一上·亳州月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.6.（2020高一上·蛟河月考）已知的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.7.（2020高一上·福建月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.8.（2020高三上·哈尔滨月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.9.（2020高一上·上海月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.10.（2020高一上·南阳月考）函数定义域是，则的定义域是（）A. B. C. D.11.（2020高一上·洛阳月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.12.（2020高一上·太原月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.13.（2020高一上·芜湖期中）已知函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A. B. C. D. [0，2]14.（2020高一上·江西月考）已知函数的定义域为，，那么的定义域是（）A. B. C. D.15.（2020高一上·定远月考）已知函数y＝f(x＋1)的定义域是{x|－2≤x≤3}，则y＝f(2x－1)的定义域是（）A. {x|0≤x≤ }B. {x|－1≤x≤4}C. {x|－5≤x≤5}D. {x|－3≤x≤7}16.（2020高一上·项城月考）已知函数的定义域为，函数的定义域为（）A. B. C. D.17.（2020高一上·贵溪月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.18.（2020高一上·杭州期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.19.（2020高一上·蚌埠期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.20.（2020高一上·百色期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为________.21.（2020高一上·四川月考）设的定义域为，则函数的定义域是________.22.（2020高一上·辽宁期中）函数的定义域为，则的定义域为________.答案解析部分一、求定义域1.【答案】C【解析】【解答】对于函数，，可得，因此，函数的定义域是.故答案为：C.【分析】由，计算出，由此可计算出函数的定义域。
高一抽象函数经典习题
抽象函数练习题参考答案第一组1、 若函数()21f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()2log f x 的定义域为________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、 若()()11f n f n +=+，n *∈N ，且()12f =，则()100f =________． 【答案】1023、 定义R 上的函数()()()f xy f x f y =+，且()98f =，则f =________．4、 定义在区间()1,1-上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-．若()()2110f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,5、 已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，对正实数,x y ，都有：()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集是_________．【答案】()1,26、 已知函数()f x 是定义在(],3-∞上的减函数，已知()()222f a t f a t -+-≤对[]1,1t ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎡⎢⎣⎦7、 已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在0x ∈R ，使得12,x x ∀∈R ，总有()()()()0102012f x x x x f x f x f x +=++恒成立，则0x =________．【答案】1第二组8、 函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件()21f =，()()()f xy f x f y =+，()f x 是减函数．⑴ 证明：()10f =；⑵ 若()()32f x f x +-≥成立，求x 的取值范围．【答案】⑵ []1,3-．9、 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+且当0x >，()0f x <，又()12f =-．⑴ 判断()f x 的奇偶性；⑵ 求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；⑶ 解关于x 的不等式()()()224f ax f x f ax -<+．【答案】⑴ 奇函数；⑵ 6；⑶ 当0a =时，(),1-∞；当2a =时，()(),11,-∞+∞；当0a <时，2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当02a <<时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当2a >时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．10、 定义在R 上的函数()y f x =满足：① ()00f ≠；② 当0x >时，()1f x >；③ ,a b ∀∈R ，()()()f a b f a f b +=⋅． ⑴ 求证：()01f =；⑵ 求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >； ⑶ 证明：()f x 是R 上的增函数；⑷ 若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．【答案】⑷ ()0,3．11、 已知函数()f x 的定义域为R 满足：① 任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=⋅； ② 当0x >时，()01f x <<．⑴ 证明：()01f =，且0x <时()1f x >； ⑵ 证明：()f x 在R 上单调递减； ※⑶ 设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()(){},21,B x y f ax y a =-+=∈R ，若AB =∅，试确定a 的取值范围．【答案】⑶ ⎡⎣12、 已知函数()f x 的定义域为R ，满足：① 任意实数,m n 都有()()()12f m n f m f n +=+=； ② 102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ 当12x >时，()0f x >． ⑴ 求()1f ； ※⑵ 求和()()()()123f f f f n ++++（n *∈N ）；⑶ 判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】⑴ ()112f =；⑵ 22n ；⑶ 单调递增．13、 函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：① 对任意x ∈R ，有()0f x >；② 对任意,x y ∈R ，有()()yf xy f x =⎡⎤⎣⎦； ③ 113f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：()f x 在R 上是单调减函数；※⑶ 若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()()2f a f c f b +>．【答案】⑴ ()01f =．14、 定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足：① ()f x 不恒为零；② 对任何实数,x q ，都有()()q f x qf x =． ⑴ 求证：方程()0f x =有且只有一个实根；⑵ 若1a b c >>>，且a 、b 、c 成等差数列，求证：()()()2f a f c f b ⋅<⎡⎤⎣⎦；⑶ 若()f x 单调递增，且0m n >>时，有()()22m n f m f n f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，求证：32m <<【答案】略．15、 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称．⑴ 求()0f 的值；⑵ 证明：()()4f x f x +=；⑶ 若()f x x =（01x <≤），求当x ∈R 时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象．【答案】⑴ ()00f =；⑶ ()4,414124,4143x k k x k f x x k k x k --+⎧=⎨-+-+<<+⎩≤≤，k ∈Z ．16、 设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有()()130f f ==．⑴ 试判断函数()y f x =的奇偶性；⑵ 试求方程()0f x =在闭区间[]2013,2013-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】⑴ 非奇非偶函数；⑵ 806个根．第三组17、 已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：函数()f x 是奇函数；⑶ 若当()1,0x ∈-时，有()0f x >，求证：()f x 在()1,1-上是减函数； ※⑷ 写出一个满足已知条件的函数（此问不用写理由）．【答案】⑴ ()00f =；⑷()arctan f x x =-或()1log 1axf x x-=+，其中0a >且1a ≠．18、 定义在R 上的函数()f x 对任意实数,a b 都有()()()()2f a b f a b f a f b ++-=⋅成立，且()00f ≠．⑴ 求()0f 的值；⑵ 试判断()f x 的奇偶性；⑶ 若存在常数0c >使02c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试问()f x 是否为周期函数，请说明理由．【答案】⑴ ()01f =；⑵ 偶函数；⑶ 2c ．19、 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且,a b ∀∈R ，()()()f ab af b b a =+．⑴ 求()0f ，()1f 的值；⑵ 判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论； ⑶ 若()22f =，试求12nf ⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【答案】⑴ ()00f =，()10f =；⑵ 奇函数；⑶ 122nn n f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．20、 已知定义在R 上的函数()f x 满足：① 值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； ② 对于定义域内任意的实数,x y ，均满足()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+．⑴ 试求()0f 的值；⑵ 判断并证明函数()f x 的奇偶性； ⑶ 判断并证明函数()f x 的单调性．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 奇函数；⑶ 单调递减．21、 ()f x 的定义域关于原点对称，且满足①对()f x 定义域D 内的任意两个数1x 、2x （12x x ≠），()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；②()1f a =-，且当0x a <<时，()0f x <． ⑴ 证明：()f x 是奇函数；⑵ 求函数()f x 在()0,4a 上的单调性．【答案】⑵ 单调递增．22、 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 不恒等于零．对任意实数m 、n ，总有()()22n m f m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证，对任意实数t ，均有()t f t ⋅≥0；※⑶ 若()01f y =，求所有满足条件的()f x ．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 取2m t =，2n t =，有()()242tf t f t =0≥，∴()0t f t ⋅≥ ⑶ ()()222442222n n mm mnf m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()()22222mnf m f n m f n n f m =+ ()()mf n nf m =取1m =，n x =，有()0f x xy =即为所求．23、 已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，值域为[)0,+∞的子集，且满足下列条件：①对任意的[),0,x y ∈+∞都有()()()f xf y f y f x y ⋅=+⎡⎤⎣⎦； ②()20f =；③当02x <≤时()0f x ≠． ⑴ 求证：当2x ≥时，()0f x =； ⑵ 求()f x 的解析式．【答案】⑴ 取2y =即得；⑵ 当[),0,2x y ∈时，取()2xf y =，有()20f y f y ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴()22y f y +≥，()22f y y -≤ 取2x y +=，有()20f xf x -=⎡⎤⎣⎦，∴()22xf x -≥，即()22f x x-≥ 综上，当02x <≤时()22f x x =-．于是()f x 的解析式为()2,0220,2x f x x x ⎧<⎪=-⎨⎪⎩≤≥．24、 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：① 对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； ② ()13f =；③ 若10x ≥，2x ≥0且121x x +≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥． ⑴ 求()0f 的值； ⑵ 求()f x 的最大值；※⑶ 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()132n n S a =--，n *∈N ． 求证：()()()121312223n n f a f a f a n -++++-⋅≤． 【答案】⑴ ()02f =；⑵ 3．25、 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：① 对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥； ② ()11f =；③ 若10x ≥，20x ≥，121x x +≤，都有()()()1212f x x f x f x ++≥成立． 则称函数()f x 为理想函数．⑴ 若函数()f x 为理想函数，求()0f 的值；⑵ 判断函数()21x g x =-（[]0,1x ∈）是否为理想函数，并予以证明；⑶ 若函数()f x 为理想函数，假定[]00,1x ∃∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，求证：()00f x x =．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 是．26、 已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，满足：① ,x y ∀∈R ，()()()()()f x y f x g y g x f y -=-； ② ()10f ≠．⑴ 求证：()f x 为奇函数；⑵ 若()()12f f =，求()()11g g +-的值．【答案】⑵ ()()111g g -+=．。
高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析
高一数学之抽象函数专题集锦一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(−2)，f(−π)，f(3)的大小顺序是( )A.B. C. D.2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =−2对称，若f(−2)=1，则f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. [−2,2]B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[4,+∞)D. [0,4]3. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]4. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. B. C. [0,4] D. [1,3]5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={x 2+4x x ≥0 , 4x −x 2 , x <0若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−2 , 1)B. (−1 , 2)C. (−∞ , −1)⋃(2 , +∞)D. (−∞ , −2)⋃(1 , +∞)7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是A. f(−1)<f(0)=f(2)B. f(0)<f(−1)<f(2)C. f(0)=f(2)<f(−1)D. f(−1)<f(0)<f(2)8. 设函数f(x)={x 2−6x +6,x ⩾03x +4,x <0，若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是( )A. (113,6]B. (203,263)C. (203,263]D. (113,6) 9. f(x)是定义域在(−2,2)上单调递减的奇函数，当f(2−a)+f(2a −3)<0时，a 的取值范围是( )A. (0,4)B. (0,52)C. (12,52)D. (1,52) 10. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1+ x 2>0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( )A. 恒为负值B. 恒等于零C. 恒为正值D. 无法确定正负11. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加，则f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是( ) A. (13,23). B. [13,23) C. (12,23) D. (12,23] 12. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5] 13. 若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)+f(x +13)的定义域为( )A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13] 14. 已知函数f(x)={x 2+4x(x ⩾0)4x −x 2(x <0)，若f (2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,−1)∪(2,+∞)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 15. 设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)≤f(1)的x 的取值范围是_____．16. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是 ．17. 奇函数f(x)的定义域为[−5,5]，当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________．18. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x +4)=f(x −2).若当x ∈[−3,0]时，f(x)=6−x ，则f(919)=______．三、解答题（本大题共15小题，共180.0分）19. 设函数f(x)是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)．(1)求f(0)；(2)证明f(x)奇函数；(3)解不等式．20.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1∈D,x2∈D，有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)．(Ⅰ)求f(1 )的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明；(Ⅲ)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x−6)≤3，且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+bx ，且f(1)=2，f(2)=52．(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式，并判断奇偶性；(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增；(Ⅲ)求满足f(1+2t2)−f(3+t2)<0的实数t的取值范围．22.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，且f(3)=6，(1)求f(0)，f(1)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(3)若对于任意x∈[12,3]都有f(kx2)+f(2x−1)<0成立，求实数k的取值范围．23.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x．(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．24.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，证明：(Ⅰ)函数y=f(x)是R上的减函数；(Ⅱ)函数y=f(x)是奇函数.25.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b∈[−1,1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)>0恒成立．a+b(1)用定义证明函数f(x)在[−1,1]上是增函数;)<f(1−x);(2)解不等式：f(x+12(3)若f(x)≤m2−2m+1对所有x∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．26.定义域为R的函数f(x)满足，对任意的m，n∈R有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，有0<f(x)<1，f(4)=1．16(1)求f(0)；(2)证明：f(x)在R上是减函数；f(x2)恒成立，求实数a的取值范围．(3)若x>0时，不等式f(x)f(ax)>14)=1，如果对于0<x<y，都有f(x)> 27.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(−x)+f(3−x)≥−2。
高中数学抽象函数经典综合题33例
抽象函数经典综合题抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查能力的较好途径；抽象函数问题既是难点，又是近几年来高考的热点；1．定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈、，有)()()(b f a f b a f ⋅=+；I ．求证1)0(=f ； Ⅱ．求证：R x ∈∀，0)(>∃x f ；Ⅲ．证明：)(x f 是R 上的增函数；Ⅳ．若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围；2．已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=-且0)1(≠f ；I ．求证：()f x 为奇函数；II ．若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值；3．已知函数)(x f 对任意实数x ，y 恒有)()()(y f x f y x f +=+且当0>x ，0)(<x f ，又2)1(-=f .I ．判断)(x f 的奇偶性；Ⅱ．求)(x f 在区间]3,3[-上的最大值；4．已知)(x f 在)1,1(-上有定义，1)21(-=f ，且满足x ，)1,1(-∈y 有)1()()(xyyx f y f x f ++=+； I ．证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数；II ．对数列211=x ，2112nn n x x x +=+，求)(n x f ；III ．求证+)(11x f +)(12x f +)(13x f 252)(1++->+n n x f n ；5．已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；I ．试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；II ．n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；Ⅲ．若(0)1f =，对任意,m n N ∈，有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12．6．已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =；(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-．I ．求(0)f 的值；II ．求()f x 的最大值；III ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈．求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-．7． 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． I ．若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；Ⅱ．判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； Ⅲ． 若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．8．已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立；I ．求0x 的值；Ⅱ．若0()1f x =，且对任意正整数n ，有1()12n n a f =+，求数列{}n a 的通项公式；Ⅲ．若数列{}n b 满足1221n n b log a =+，将数列{}n b 的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则如下：112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证：12311112924n c c c c ++++<； 9．设函数)(x f 是定义域在),0(+∞上的单调函数，且对于任意正数y x ,有)()()(y f x f y x f +=⋅，已知1)2(=f ．I ．求)21(f 的值；II ．一个各项均为正数的数列}{n a 满足：)(1)1()()(*∈-++=N n a f a f S f n n n ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项的和，求数列}{n a 的通项公式； Ⅲ．在II的条件下，是否存在正数M，使)12()12()12(12221321--⋅-+≥n n na a a n M a a a a ，对一切*∈Nn 成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由．10．定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=1120，，且x >12时，0)(<x f ； I ．设a fnn N n=∈()()*，求数列的前n 项和S n ； II ．判断)(x f 的单调性，并证明；11．设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数m ，n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当0>x 时，1)(0<<x f ； I ．求证：1)0(=f ，且当0<x 时，1)(>x f ；II ．求证：)(x f 在R 上单调递减； Ⅲ．设集合{}A x y f xf y f =>(,)|()()()221·，{}B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=∅，求a 的取值范围；12．定义在R 上的函数)(x f 对任意实数a ．b 都有)()(2)()(b f a f b a f b a f ⋅=-++成立，且f ()00≠； I ．求)0(f 的值；II ．试判断)(x f 的奇偶性；Ⅲ．若存在常数0>c 使f c()20=，试问)(x f 是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由；13．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：①f x x f x f x f x f x ()()()()()1212211-=+-·②存在正常数a ，使1)(=a f ， 求证：I ．)(x f 是奇函数；II ．)(x f 是周期函数，并且有一个周期为a 4；14．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：I ．x >0时，01<<f x ()；II ．f x ()在R 上为减函数；即f x ()为减函数； 15．已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式fk x fk x (s i n )(s i n)-≥-22恒成立，求k 的值；16．设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <； I ．判断)(x f 的奇偶性，并加以证明；II ．试问：当20032003≤≤-x 时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； III ．解关于x 的不等式2211()()()()22f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥． 17．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：)()(1)()()(n f m f n f m f n m f ++=+，试回答下列问题：I ．试求)0(f 的值；Ⅱ．判断并证明函数)(x f 的单调性；Ⅲ．若函数)(x f 存在反函数)(x g ，求证：+)51(g +)111(g )21()131(2g n n g >+++．18．已知函数)(x f 对任意实数x ．y 都有)()()(y f x f xy f ⋅=，且1)1(-=-f ，9)27(=f ，当10<≤x 时，)1,0[)(∈x f ；I ．判断)(x f 的奇偶性；II ．判断)(x f 在),0[+∞上的单调性，并给出证明；Ⅲ．若0≥a 且39)1(≤+a f ，求a 的取值范围；19．设函数)(x f y =的定义域为全体R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+成立，数列}{n a 满足)0(1f a =，且)12(1)(1+-=+n n n a a f a f （*∈N n ）I ．求证：)(x f y =是R 上的减函数； Ⅱ．求数列}{n a 的通项公式；Ⅲ．若不等式0121)1()1)(1(21≤+-+++n a a a k n 对一切*∈N n 均成立，求k 的最大值．20．函数)(x f 的定义域为D {}0x x =>， 满足： 对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且1)2(=f ．I ．求)4(f 的值；II ．如果3)62(≤-x f ，且)(x f 在),0(+∞上是单调增函数，求x 的取值范围．21．函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x ．R y ∈，有yx f xy f )]([)(=；③1)31(>f ；I ．求)0(f 的值；II ．求证：)(x f 在R 上是单调增函数； Ⅲ．若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+22．定义在区间),0(∞上的函)(x f 满足：（1）．)(x f 不恒为零；（2）．对任何实数x ．q ，都有)()(x qf x f q =．I ．求证：方程0)(=x f 有且只有一个实根；II ．若1>>>c b a ，且a ．b ．c 成等差数列，求证：)()()(2b fc f a f <⋅； Ⅲ．若)(x f 单调递增，且0>>n m 时，有)2(2)()(nm f n f m f +==，求证：32m << 23． 设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．I ．求证)(x f 在]1,1[-上是减函数；Ⅱ．如果)(c x f -，)(2c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围；Ⅲ．证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域．24．已知函数1)(1)()(+-=x g x g x f ，且)(x f ，)(x g 定义域都是r ，且0)(>x g ，2)1(=g ，)(x g 是增函数，)()()(n m g n g m g +=⋅(m ．R n ∈) ；求证：)(x f 是R 上的增函数25．定义在+R 上的函数)(x f 满足： ①对任意实数m ，)()(x mf x f m =；②1)2(=f ．求证：I ．)()()(y f x f xy f +=对任意正数x ，y 都成立；II ．证明)(x f 是*R 上的单调增函数；Ⅲ．若2)3()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围．26．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且对任意R x ∈都有5)()5(+≥+x f x f ，1)()1(+≤+x f x f ，若x x f x g -+=1)()(，求)2002(g ；27．设定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，1)(>x f ，且对任意x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+，2)1(=f ；I ．解不等式4)3(2>-x x f ；Ⅱ．解方程组1)2()3(21)]([2+=++f x f x f ；28、定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数x ，y 都有)()()(y f x f y x f +=+成立，且当0>x 时0)(<x f 恒成立． I ．判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅱ．证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在)3,3[-上总有6)(≤x f 成立，试确定)1(f 应满足的条件；Ⅲ．解关于x 的不等式)()(1)()(122a f x a f nx f ax f n ->-，n 是一个给定的自然数，0<a ； 29．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+I ．求()()0,1f f 的值；Ⅱ．判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅲ．若2)2(=f ，nf u n n )2(-=)(*∈N n ，求数列{}n u 的前n 项的和n S ．30．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间]7,0[上，只有(1)(3)0f f ==． I ．试判断函数()y f x =的奇偶性；Ⅱ．试求方程()0f x =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．31．设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期；32．设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称；对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅； I ．设f ()12=，求f f ()()1214，；II ．证明)(x f 是周期函数；33．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足： ①当1x ，2x 是定义域中的数时，有)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+=-；②1)(-=a f （0>a ，a 是定义域中的一个数）； ③当a x 20<<时，0)(<x f ；试问：I ．)(x f 的奇偶性如何？说明理由；II ．在)4,0(a 上，)(x f 的单调性如何？说明理由；。
高一数学必修1函数的单调性和奇偶性专题训练(题型全)
专题 抽象函数的单调性和奇偶性一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,32．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ） A . 2 B . 4 C . 6 D . 83．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ）学=科网A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A . ()()()201f f f ->> B . ()()()102f f f >>- C . ()()()210f f f ->> D . ()()()120f f f >-> 5．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是（ ）A .B .C .D .6． ()(),f x g x 是定义在R 上的函数， ()()()h x f x g x =+若()(),f x g x 均为奇函数则下列说法不正确的是（ ）A . 一定是奇函数B . 不可能是偶函数C . 可以是偶函数D . 不可能是非奇非偶函数7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．【河北省定州市2016-2017学年期末】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-二、填空题10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．11．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x 的取值范围是______________． 12．已知定义在上的函数满足，且，若，则实数的取值范围为______.学*科网13．定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．14．定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数且()10f =，则不等式12log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________．15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞上单调增，且()21f =，则满足()11f x ->的x 的取值范围是_______________.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________．三、解答题17．已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =. （1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围.18．定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数； （3）解关于t 的不等式()221f t t -<.19．定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数； （3）解关于t 的不等式()221f t t -<.20．若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．21．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数；（2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 22．函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 23．设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.24．已知函数()f x 满足：对任意,x y R ∈，都有()()()()()2f x y f x f y f x f y +=--+成立，且0x >时， ()2f x >，（1）求()0f 的值，并证明：当0x <时， ()12f x <<． （2）判断()f x 的单调性并加以证明．学-科网（3）若函数()()g x f x k =- 在(),0-∞上递减，求实数k 的取值范围. 25．已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.26．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意a b R ∈、，当0a b +≠时，都有()()0f a f b a b +>+．（1）若a b >，试比较()f a 与()f b 的大小关系；（2）若()()923290x x x f f k -+->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．专题7 抽象函数的单调性和奇偶性一、选择题1．【湖北省荆门市2016-2017学年期末】设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3 【答案】D【解析】由题意可得()11,f -=，不等式()121f x -≤-≤可化为()()()121f f x f ≤-≤-，又因为()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，所以121,x ≥-≥-即13x ≤≤，选D .2．【山东省烟台市2016-2017学年期末】若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ） A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 【答案】C3．【内蒙古赤峰市2016-2017学年期末】已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．【海南省东方中学2016-2017学年期中】已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >-> 【答案】A5．【江西省玉山县第一中学2016-2017学年期中考】已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是（ ）A .B .C .D .【答案】B 【解析】，所以 的取值范围是，选B .点睛：利用函数单调性解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内6．【安徽省蚌埠市2015-2016学年期中】()(),f x g x 是定义在R 上的函数， ()()()h x f x g x =+若()(),f x g x 均为奇函数则下列说法不正确的是（ ）A . 一定是奇函数B . 不可能是偶函数C . 可以是偶函数D . 不可能是非奇非偶函数 【答案】B【解析】选项A 中，当()3f x x =-， ()3g x x =时，则()0h x =既是奇函数也是偶函数；选项B 中，两个奇函数的和不能成为偶函数，显然成立；则选项C 、D 均不正确，故选B .点睛：此题主要考查两个函数的和的奇偶性判断，属于中高档题型，也是常考知识点.函数的奇偶性的判断应从两个方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性），二是看()f x 与()f x -的关系，对于两个函数的和或差的奇偶性的判断，需要对特殊情况进行考虑，如解析中的两个函数等.7．【青海省西宁市2017届检测】若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减,()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a << 【答案】B【解析】∵偶函数f (x )在(−∞,0]上单调递减， ∴f (x )在[0，+∞)上单调递增， ∵3224422log 3log 9log 5>>=>,∴()()3242log 5log 32f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，∴b <a <c . 本题选择B 选项.8．【江西省抚州市临川区第一中学2017届检测】已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1- D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C 。
高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，因为f（x）是定义在 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，
所以函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，
由f（3）＝0，则不等式f（1﹣2x）＞0⇒f（1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3，
【解析】设 则
∵ ，∴ ．所以函数 是R上的减函数，
∵函数 是偶函数，∴函数 ，∴函数关于 对称，
∴ ，原不等式等价为 ，
∴不等式 等价 ，
．∵ 在R上单调递减，∴ ．故选B．
12．定义在 上的函数 满足，对任意 ，都有 ，非零实数 ， 满足 ，则下列关系式中正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 ，
所以 .故选A.
7．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则函数 的零点个数至少为（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】 是定义在 上的奇函数， ，且零点关于原点对称，
零点个数为奇数，排除选项 ，又 ，
， ，
， 的零点至少有 个，故选C.
8．定义在 上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式 的解集为()
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有 ，
故 ，∴函数 是 上的减函数，
∵ ，∴ ，∴ .故选C.
5．已知定义在 上的函数 满足 为偶函数，若 在 内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， 的周期为6，又 为偶函数，
15．已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，且在区间 上是增函数，
必修一数学抽象函数习题精选含答案
必修一数学抽象函数习题精选含答案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（必修一数学抽象函数习题精选含答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为必修一数学抽象函数习题精选含答案(word版可编辑修改)的全部内容。
抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在f x ()[]37，f x ()区间上是( ）[]--73，A. 增函数且最小值为B 。
增函数且最大值-5为-5C. 减函数且最小值为D 。
减函数且最大值-5为-5分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在上的偶函数满足,并且在上为增函数。
R f (x)f (2)0=f (x)(,0)-∞若，则实数的取值范围 。
(1)(a)0a f ->a 二、抽象函数的单调性和奇偶性1。
证明单调性例3．已知函数f(x)= ，且f(x),g(x ）定义域都是R,且g(x ）〉0, 1)(1)(+-x g x g g(1） =2,g(x) 是增函数。
.(m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈求证： f （x)是R 上的增函数.解：设x 1〉x 2因为，g(x ）是R 上的增函数， 且g （x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) 〉0。
g （x 1)+1 > g(x 2)+1 〉0，〉 〉0⇒1)(22+x g 1)(21+x g — 〉0。
⇒1)(22+x g 1)(21+x gf(x 1)- f(x 2)=- =1-—(1-）1)(1)(11+-x g x g 1)(1)(22+-x g x g 1)(21+x g 1)(22+x g =-〉0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学抽象函数的习题
1, 已知f(x)是定义在（0，+∞)上的增函数，且)()()(
y f x f y x f -=
(1)求f(1)的值
(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f(x 1)＜2 解答：由定义域知x ＞0
)()()(y f x f y x
f -=, 令y=1得f(x)=f(x)-f(1),
又f(x)在（0,+∞）上的增函数，则f(1)=0
又f(x 1)=f(1)-f(x)=-f(x) 原不等式f(x+3)-f(x 1
)<2可化为 f(x+3)+f(x)<2
再化为f(x+3)-1<1-f(x) 即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)
即f(63
+x ）＜f （x
6） 则0＜63+x ＜x 6 解得0＜x ＜23
173-
2, 已知f(x)在定义域0到正无穷上为增函数，且f(xy)=f(x)+f(y) ,f(2)=1 解不等式f(x)-f(x-3)大于3
解：f(x)－f(x －3)＞3 因为f(2)=1所以，f(x)－f(x －3)＞3f(2)
因为f(xy)＝f(x)+f(y).所以3f(2)=f(2)+f(4)=f(8)
所以，f(x)>f(x －3)+f(8)＝f(8(x-3)) 又因f(x)在零到正无穷上递增，所以，x ＞8(x-3)且x-3>0，得3<x<24/7
3, 已知函数f （x+y ）=f （x ）+f （y ）+2y （x+1），且f （1）=1 若x 为正整数，试求f （x ）的表达式
解答：把f(x)看成数列的第x 项
因f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)
所以f(x+1)-f(x)=2x+3
然后用叠加法
可得f(x)=f(x)-f(x-1)+f(x-1)-f(x-2)+...+f(2)-f(1)+f(1)
=2[(x-1)+(x-2)+...+1]+3(x-1)+1
=x(x-1)+3(x-1)+1
=2x +2x-2 4已知f(x)为定义在实数集上不恒为零的偶函数，且对任意实数都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，求f[f(25
)] 解答：先求 f(25) 和 f （0）。
对于 x=-21 有 （-21）⨯f （【-21】+1）=（1+【-21】）⨯f （-21），于是 （-21）⨯f （21）=（21）⨯f （21）进一步有 f （21
）=0 ；再求f （0），对于x=0有 0⨯f(1)=1⨯f(0),于是有 f （0）=0 。
由 xf(x+1)=(1+x)f(x)可得 f （x ）=1)1(--x x xf ，
可推出f （25）= 0 ，于是 f[f(25)] =f （0）=0
5若y=f(x)有反函数,且y=f(x+2)的反函数为y=f-1(x-1),则f-1(1)-f-1(0)的值是（ ）。
解答：y=f(x+2)的反函数为y=f-1(x)-2=f-1(x-1)
所以f-1(x)+f-1(x-1)=2
令x=1得f-1(1)+f-1(0)=2
6，1）已知f(x)是一次函数，且有f[f(x)]=9x+8,求f(x)；
（2）已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=22x -4x+4,求f(x)。