高二数学下册期中联考测试卷1
高二期中考试数学试卷（文）仙桃中学 敖义一． 选择题：（共10小题，每题5分，共50分）1. 已知集合A=｛x ｜322--x x <0｝，B=｛x ｜｜x-1｜>1｝，则A ∩B= A （-1,0） B （2，3） C (-1,0)∪(2,3) D Φ 2 . x=2是442+-x x =0的（ ） A 充分条件 B 必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3.用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的。
其假设应是：（ ）A ．至少有5个球是同色的B .至少有5个球不是同色的 C. 至多有4个球是同色的 D.至少有4个球不是同色的4.复数ii 43)21(2-+的值是（ ）A -1B 1C -iD i 5.在集合知识结构图中， A 中应填上（ ）A 子集B 含义与表示C 基本关系D 基本运算6.在独立性检验中，若随机变量 635.62≥k ，则（ ） A ．x 与y 有关系，犯错的概率不超过1﹪ B ．x 与y 有关系，犯错的概率超过1﹪ C ．x 与y 没有关系，犯错的概率不超过1﹪ D ．x 与y 没有关系，犯错的概率超过1﹪7如果函数f(x)=32--ax x 在区间(-∞,4﹞上单调递减，则实数a 的范围是（ ）A a ≥8B a ≤8C a ≥4D a ≥-48.方程54516)5(22=-+-x y x 所表示的曲线是（ ）A ．椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆9下图是函数y=f(x)的的图像，则函数y=f(x)的导函数图像是（ ）10.曲线 2313-=x y 在点(1,35-)处切线的倾斜角为（ ） A 6πB4π C 43π D 65π二．填空题（共5题，每题5分，共25分）11.在线性回归模型中，总偏差平方和为13，回归平方和为10，则残差平方和为____________12.已知动点M （x,y ）到定点（2,0）的距离比到直线x=-3的距离少1，则动点M 的轨迹方程为______________13.若奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)，且f(3/2)=3，则f(-1/2)=_________ 14.若a x x x ≥---+-321恒成立，则a 的范围是____________15.若直线y=k(x+2)与曲线有两个不同的交点，则k 的范围是_________三．解答题：（12+12+12+12+13+14）。
的值域。
求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--=8,21,5log 3log 16..222x x x y17.已知a,b 为正数，求证：ba b a +≥+94118.若方程0542=++x ax 在区间[]3,2-上仅有一根，求实数a 的范围。
{}{}.,)1(2;2)1()(22,1.19111n n n n n n nn nn n n s n b a n n b a N n a a a a a 项的和的前求数列）设（是等差数列证明：数列满足数列+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==+++20.已知函数f(x)=d cx bx ax +++23过点（0,1）且在点（2，f(2)）的切线方程为y=3x+2,函数在x=1时有极值。
（1）求函数f(x)的解析式;(2) 若f(x)-m=0有三个不同的根，求m 的范围。
21.在△ABC 中，已知A （2-，0），B(2,0)，C D ⊥AB 于D, △ABC 的垂心是H,且CH CD 2=, (1)求点H 的轨迹方程E ；（2）若过定点F （2,0）的直线交曲线E 于不同的两点M,N （点M 在F,N 之间）且满足λ=,求λ的取值范围。
参考答案： CCCAC CABDB 11. 3 12.x y82= 13.-3 14.a ≤-1 15.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡33,0 [][]‘，函数的值域是则令解：12----------------1-429-10429,16429)23(53,3,1log 23,1log 8,21.16'min max '222'2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴------------=-=∴----------=--=-∈=-----------∈∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈y y t t t y x t x x '12------------------------------9410)2('9----------------------------0)2('7-----------------------044'5-----------------944'3------------9)(4)(941.17222222ba b a a b a b ab a b ab ab a b ab ab b a a b a b ba b a +≥+∴≥-≥-≥-+≥+++≥++++≥+ 即证即证即证只需证：证：要证[]()[]()[]()''''2'1243917-100439170)3()2(3,273,2-1715-9170353,2-310-430)(2540303,245540.18-----------------≤<---------------≠<<-∴<--∈---------∈-===---------∉==-=∴++=≠-----------------------=∴-∈-=∴=+=a a a f f x a x f x a x f x x ax x f a a x x a 综上：且则若，舍弃此时另一根为则时，若，成立此时另一根为则时，若时，令当成立时，方程可化为解：当'111'132'143232''11'11111111122)1(222211222221:)2()1(9)2(22)1(2322212)1(223222172)1(61211)1(2222124212221222122)1(.19---------∙-+=∙+-=∴---------⨯-++++⨯=----⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=∴---------------∙=+=∴----------------------+=∴+=∙-+=∴=∴=----------------⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴=-∴+=∴+=∴+=+++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n nn nn n n nnn n n n n n nn n n n nn n n n n n s n s n n s n s n a n n b n a n n a a a a a a a a a a a a a a 得）（是等差数列解：20.解：()c bx ax x f ++=232'由题意可知：1)0(=f 1=∴d()())3(812488)2(82232)2(02301)1(341232'' =+++⇒=∴=+⨯===++⇒==++⇒=c b a f y x c b a f c b a f 时，当由（1）（2）（3）得：------------------------411845727)(23++-=∴x x x x f ------------------------6()13)433,49373(1049373)712()(433)1()(81,71218257221)2(212'----------∈∴------==∴----------==∴=+-=m f x f f x f x x x x x f 的极小值是的极大值是 1,18,457,27==-==d c b a'''2)2222'222'2222''2222141311,133313101212)310,2(2)2(332221(3321,,10230)21(64648068)21(1222:631)1,0(),1,0(.24)2(12220)2,2(),,2()2,(),0,(),,()1(.21--------------------<≤∴<∴-----------<<∴<+<-∴--------------∈-+=-+=+=+=+∴>=∴=-------------------->∴>+⨯⨯-=∆--=+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=--------------------=∴-------------±≠=+=+∴=∙∴⊥∴-=+=∴λλλλλλλλλλ之间在轴同侧，不妨设在由题意可知，整理得：的斜率存在时，设当的斜率不存在时，则当）（即是垂心，由题意可知，则设解：N F M kk k x x x x x x x x x x y N M x xx x k k k kx x k y x kx y kx y l l N M l x y x y x BC AH H y x y x y x C x D y x H N M N M M N N M N M NMN M。
2021年高二数学下学期期中联考试题(I)
2021年高二数学下学期期中联考试题(I)一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合,,则（）A．B．C．D．2. 已知函数定义域为R, 命题：则是( )A .B．C.D.3.设xR，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．已知研究与之间关系的一组数据如下表所示，则对的回归直线方程必过点（）A． B． C． D．5.已知，，，则A. B. C. D.6.已知函数的定义域为R，对任意都有，且当时，，则的值为（）A． B．C．D．7．已知函数若有则的取值范围为（）A． B． C． D．8．设x，y∈R，a>1，b>1，若，，则的最大值为( )A．2 B. C．1 D.二、填空题（填空题答案写在答题纸上，每题5分，共30分）9．计算复数：（为虚数单位）10.数列的第一项，且，这个数列的通项公式11．设函数，则不等式的解集是12.若函数在区间上是增函数，则的取值范围是13．给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，，则；④对于正数若，则其中真命题的序号是：_________．14．已知偶函数满足，且当时，，若在区间内，函数有3个零点，则实数的取值范围是．三、解答题（解答题要写出必要的推理证明过程或必要的语言叙述）15．（本题满分13分）已知复数，且为纯虚数．（1）求复数；（2）若，求复数的模．16．（本题满分13分）已知函数的定义域为，函数的值域为．（1）求；（2）若，且，求实数的取值范围．17．（本题满分13分）某公司计划xx年在A,B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.A,B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定A,B两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在两个电视台做广告的时间,才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元? 18．（本题满分13分）解关于的不等式：19．已知函数是定义域为上的奇函数，且（1）求的解析式;（2）用定义证明：在上是增函数;（3）若实数满足，求实数的范围.20．已知函数，若互不相等，且求的取值范围．xx学年度期中六校联考高二数学(文)试卷答案1-8 B．B． A. D. C. B． B. C9． 10,．11.12.13 ①②④ 1415解（1）…………………………………4分是纯虚数，且……………………………………………6分，…………………………………………… 7分（2）3(3)2771222555i i i iw ii i i++⋅--====-++⋅-（）（）（）…………………12分…………………13分16．解：（1）由条件知；………5分………6分（2）由（1）知，又；（a）当时，，，满足题意………8分（b）当即时,要使，则，解得………11分综上述，. 13分17解：设公司在A和B做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得目标函数z=3000x+xxy.二元一次不等式组等价于………………6分作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.…………………………………… 8分作直线l:3000x+xxy=0,即3x+2y=0,平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.联立解得∴点M的坐标为(100,200),∴z max=3000×100+xx×200=700000,即该公司在A电视台做100分钟广告,在B电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.…………………………13分18．题：化简为当时，解集为…………………………3分当时，解集为当时，解集为当时，解集为………………………………12分当时，解集为…………………………………………13分19解（1）∵函数是定义域为上的奇函数∴∴又∴∴————3（2）任取且∵∴∴即∴在上是增函数————————————8(3) ∴<-又由已知是上的奇函数∴<∵是上的增函数∴0<<-------------14分20．作出函数的大致图象，如图所示．由题意，若互不相等，且，可知不妨设，则，．得，……4分所以，即，，同理，即，．所以，…… 9分又，，，所以，令函数，显然在区间上单调递增，所以，从而.……14分24362 5F2A 弪22130 5672 噲38288 9590 閐28912 70F0 烰;21406 539E 厞B20513 5021 倡20790 5136 儶26233 6679 晹 &39905 9BE1 鯡31060 7954 祔25255 62A7 抧。
湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)
湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷考试时长：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，则（ ）A. －1B. 1C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】由导数的定义可得答案.【详解】，故选：B ．2. 已知数列满足，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据前几项式子结构特征观察求解即可.【详解】由题意，则.故选：D3. 已知圆和点，若过点的5条弦的长度构成一个等差数列，则该数列公差的最大值是（ ）A.B.C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可.【详解】由已知圆的圆心为，半径为，因为，()()33lim2x f x f x x∆→+∆--∆=∆()3f '=()()()Δ03Δ3Δ3lim 12Δx f x f x f x→+--'=={}n a ()1112,22n n a a n a -==-≥2024a 20232024202420232024202520252024123423452,,,,1234a a a a =====⋯202420252024a =22:25O x y +=(2,P P 1245(0,0)O5(2221625+=<所以点在圆内，且，所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长10，从而公差.故选：C4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况．A. 54 B. 72 C. 78 D. 84【答案】C 【解析】【分析】利用间接法计算可得答案.【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况，甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况，总共的情况有.故选：C ．5. 如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ）A. 66B. 120C. 165D. 220【答案】D 【解析】【分析】由题意可知：前10项分别为，结合组合数的性质运算求解.【详解】由题意可知：前10项分别为，则(2,P 4OP =P 6=max 10614d -==55A 44A 44A 54435443A A A A 78--+=1,3,6,10,15,⋯222223411C ,C ,C ,,C ⋅⋅⋅222223411C ,C ,C ,,C ⋅⋅⋅222232222341133411C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，所以前10项的和为220.故选：D ．6. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】可转化为求动点与动点的距离的最小值，结合与的图象，可得答案.可以看作动点与动点的之间距离，再求最小值，画出与的图象，如下图，函数的导函数为，在的切线斜率为，且在切线方程为，即，函数的导函数为，在的切线斜率为，且在切线方程为，因为与平行，所以与可得故选:C ．7. 已知函数，数列满足，则“为递增数列”是3222344111111123C C C C C 220C =++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+===m ≥(),0,a b ∞∈∈+R m 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∞⎛- ⎝(-∞(],2-∞(),e aa (),lnb b exy =ln y x =(),eaa (),lnb b e x y =ln y x =e x y =e x y =()0,1A 0e 1=()0,1A 1y x -=1y x =+()ln 0y x x =>1y x=()1,0B 1()1,0B 1y x =-1y x =+1y x =-1y x =+1y x =-m ≤()()4,5511,5x a x f x a x x -⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩{}n a ()*,N n a f n n =∈{}n a“”的（ ）条件．A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分又不必要【答案】B 【解析】【分析】由为递增数列，注意n 是正整数的条件，可得不等式组，解不等式组即可判断.【详解】由“为递增数列”可以得到，解得，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件，故选：B ．8. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析】构造函数，利用函数单调性可得且；再构造函数，求导利用单调性可得.【详解】，构造函数，所以，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因为，，结合函数单调性可得且；【753a ≤<{}n a ()641505511a a a a -⎧>⎪->⎨⎪>-⋅-⎩{}n a ()641505511a a a a -⎧>⎪->⎨⎪>-⋅-⎩25a <<{}n a 753a ≤<26ln27ln16,8x y z e -===z x y <<x z y <<z y x<<y z x<<()ln xf x x=z x <z y <()()2e ,0e F x f x f x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭x y <222ln6ln27ln3ln16ln4ln23,,38423e x y z e e -=======()ln x f x x =()21ln xf x x -'=0e x <<()0f x '>()ln xf x x =e x >()0f x '<()ln xf x x =2e 2e 3<<e<3<4()ln x f x x =z x <z y <再构造函数，求导可得，所以在上单调递增，因为，所以，即，所以，也即，综上：.故选：A ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列，其前项和记为，则下列说法不正确的是（ ）A. 若是等差数列，且，则B. 若是等差数列，且，则C. 若是等比数列，且为常数，则D. 若是等比数列，则也是等比数列【答案】ACD 【解析】【分析】利用举反例来说明选项是错误，如A 选项中，当等差数列是常数列时， 就不能推出；又如D 选项中，当时，，这就不是等比数列；而选项中，由公比不为1的等比数列前和公式得，所以可判断应该等于－2，最后B 选项是可以用等差数列求和公式证明成立的.【详解】A 选项中，当等差数列是常数列时，由，就不能得到，所以A 是错误的；的()()2e ,0e F x f x f x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()()()()222222222222222e 1ln 1ln e e e 1ln e 1ln 110e e e x x x x nx x F x f x f x x x x x x x ---⎛⎫---=+=+⋅=+=> ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭'''()F x ()0,x e ∈2e 0e 3<<()2e e 03F F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭()2e 303f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭22e ln ln33e 33<x y <z x y <<{}n a n n S {}n a p q s t a a a a +=+p q s t +=+{}n a ()2,,n S An Bn C A B C R =++∈0C ={}n a 12(n n S C C +=+)1C =-{}n a 232,,,k k k k k S S S S S -- {}n a 1234a a a a +=+p q s t +=+1q =-20S =24264,,,S S S S S -- C n 1111n n a aS q q q=---C {}n a 1234a a a a +=+p q s t +=+B 选项中，当等差数列是常数列时，，此时且，当差数列公差不为0时，，此时，所以B 是正确的；选项中，由公比不为1的等比数列前和公式得，所以常数应该等于－2，所以是错误的；D 选项中，当时，，则就不是等比数列，所以D 是错误的；故选：ACD ．10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）A. 各项系数之和为1B. 存在无理项C. 常数项为400D. 的系数为－80【答案】AD 【解析】【分析】由二项展开式的通项公式，令即可判断A ；因为，故所有项中没有无理数，即可判断B ；令或或，即可判断C ；令或即可判断D ．【详解】由题意可知，多项式展开式的通项为，即，对于A ，令，则，即为各项系数之和，故A 正确；对于B ，因为展开式的通项公式中，所以不存在无理项，故B 错误；对于C ，常数项中的次数为0，则或或，则，故C 错误；对于D ，的系数即的系数之和，表示为，故D 正确.故选：AD ．{}n a 1n S na =0C =0A ={}n a 2111(1)()222n d dS na n n d n a n =+-=+-0C =C n ()1111111nn n a q a aS q qq q-==----C C 1q =-20S =24264,,,S S S S S -- 5121x x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3x 1x =,k r ∈N 0k r ==1k r ==2k r ==30k r ==，41k r ==，5121x x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()5,552C 2C 1,,5rkk rk r k rk a x k r k r x ---⎛⎫=⋅-⋅∈+≤ ⎪⎝⎭N ,55(1)2C C r k rk r k r k k r a x+--⋅⋅=-⋅⋅1x =51211x x ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,k r ∈N x 0k r ==1k r ==2k r ==()0,01,12,2180480401a a a ++=+-+=3x 3,04,1a a +()334455C 2C 228016080⋅+⋅⋅-=-=-11. 已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的极值点为B. 曲线与有且仅有两条公切线，并且斜率之积等于1C. 若时，则D. 若时，恒成立，则【答案】BCD 【解析】【分析】利用极值点的定义判断A ；设出切点坐标，求出切线方程结合已知构造函数，借助函数零点个数判断B ；令，构造函数并求出最小值判断C ；利用不等式构造函数转化为恒成立求解判断D.【详解】对于A ，函数的极值点是使函数取得极大值、极小值的x 值， A 错误；对于B ，令公切线与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，而，则曲线在处的切线：，曲线在处的切线：，则，消去得，令函数，求导得，显然函数在上单调递增，而，则存在，使得，即有当时，，递减；当时，，递增，，而，，因此函数有2个零点，即方程有且只有2个不等的正根，于是曲线与有且仅有两条公切线，与曲线相切的切点为，而曲线与关于直线对称，()e ,()ln x f x g x x ==e ()e ()y f x g x =-()1,e ()y f x =()y g x =12R,0x x ∈>12()()f x g x =212x x ->0x >()())2(kx x f g x x k -≥-2ek ≥12()()0f x g x t ==>2ln kx x ≥()y f x =00(,e )x x ()y g x =(,ln )s s 1()e ,()xf xg x x''==()y f x =00(,e )x x 000e e ()x x y x x -=-()y g x =(,ln )s s 1ln ()y s x s s -=-0001e (1)e ln 1x x s x s ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩0x ln ln 10s s s s ---=()ln ln 1s s s s s ϕ=---1()ln s s sϕ'=-()s ϕ'(0,)+∞1(1)10,(2)ln 202ϕϕ''=-<=->0(1,2)s ∈0()0s ϕ'=001ln s s =00s s <<()0s ϕ'<()s ϕ0s s >()0s ϕ'>()s ϕmin 00000001()()ln ln 10s s s s s s s s ϕϕ==---=--<22(e )13e 0ϕ--=->22(e )e 30ϕ=->()s ϕln ln 10s s s s ---=1212,()s s s s <()y f x =()y g x =()y g x =1122(,ln ),(,ln )s s s s ()y f x =()y g x =y x =则两条公切线关于直线对称，与曲线相切的切点为，两条切线斜率的积为，B 正确；对于C ，令，则，令，显然在上单调递增，而，则使得，即，且在上递减，在上递增，从而，C 正确；对于D ，恒成立，即恒成立，而函数在R 上单调递增，于是对恒成立，即恒成立，令，求导得，当时，，递增；当时，，递减，，因此，D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 今天是星期四，那么天后是星期______．【答案】三【解析】【分析】将拆成，再结合二项展开式的通项公式即可求得答案.【详解】，所以除以7余6，y x =()y f x =1122(ln ,),(ln ,)s s s s 12211221ln ln 1ln ln s s s s s s s s --⋅=--12()()0f x g x t ==>12ln ,e t x t x ==21()e ln th t x x t =-=-1()e th t t =-'()0,∞+1()20,(1)e 102h h ''=<=->01(,1)2t ∃∈0()0h t '=01te t =()h t ()00,t ()0,t ∞+000001()(e ln 2)t h t h t t t t ≥=-=+>20,e 2ln kx x x x kx >-≥-2222ln e ln ln e kx x kx x x x +≥+=+e xy x =+2ln kx x ≥0x >2ln xk x≥2ln ()x u x x =22(1ln )()x u x x-'=0e x <<()0u x '>()u x e x >()0u x '<()u x max 2()(e)e u x u ==2ek ≥4948494849(491)-()()()()()49148494904914848494949494948491C 491C 491C 491C 171k =-=-+-++-+-=- ()k ∈Z 4948故答案为：三．13. 一个乒乓球从高的桌面上落下，每次反弹的高度都是原来高度的，则乒乓球至少在第______次着地时，它所经过的总路程会超过．【答案】7【解析】【分析】计算乒乓球第次着地时经过的总路程，根据等比数列的前项和公式即可求解.【详解】由题意得，第次着地时经过总路程为，因为，所以在第7次着地时它所经过的总路程会超过．故答案为：7.14. 曲线在点处的切线方程为______；若当时，恒成立，则的取值范围为______．【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，利用导数证明恒成立，将不等式同构为，令，依题意只需在上单调递增，则在上恒成立，参变分离，即可求出参数的取值范围.【详解】因为，所以，则，即切线的斜率为，所以切线方程为：．令，则，所以当时，则在上单调递增，当时，则上单调递减，所以，即恒成立，当且仅当时取等号，的在1m 12189m 64n n (1)n n >122111111211131242212n n n n S ----=++++=+=-- 67188190,6464S S ==189m 64()ln f x x x =+()1,11x ≥()()11e 21x a f x a x-⎡⎤+≤+-⎣⎦a 21y x =-1a ≥-()ln 11x x x ≤-≥()ln 1ln e e 1x x a x a x -+≤+-()e x g x ax =+()g x ()0,∞+()0g x '≥()0,∞+()ln f x x x =+()11f x x'=+()12f '=221y x =-()ln 1m x x x =-+()111x m x x x-=-='01x <<()0m x '>()m x ()0,11x >()0m x '<()m x ()1,∞+()()max 10m x m ==ln 10x x -+≤1x =所以恒成立，原不等式可化简为，即，令，，又恒成立，所以在上单调递增．在上恒成立，即在上恒成立，所以．故答案为：；．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 编号为的三个除编号外完全相同的盒子里，分别装有3个红球，2个白球；3个黄球，3个白球；4个黑球，5个白球.（所有球除颜色外完全相同）（1）现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？（2）现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用条件概率公式直接求解即可；（2）先利用全概率公式求解事件“摸出白球”的概率，然后再利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】设“选到2号盒子”，“摸到的两个球都是白球”，则.【小问2详解】设“先选到第号盒子”“摸出白球”，则．，，.，的()ln 11x x x ≤-≥()1ln e1x a x x a x -+≤+-()ln 1ln e e 1x x a x a x -+≤+-()e xg x ax =+()()ln 1g x g x ∴≤-()ln 11x x x ≤-≥()g x ()0,∞+()e 0x g x a ∴='+≥()0,∞+e x a ≥-()0,∞+1a ≥-21y x =-1a ≥-1,2,31545131A =B =()2326C 31C 155P BA ===∣i C =i ()1,2,3,i D ==()()()12313P C P C P C ===()125P DC =∣()23162PD C ==∣()359P D C =∣()()()()()()()()()()123112233P D P C D P C D P C D P C P D C P C P D C P C P D C ∴=++=++∣∣∣12153645501313529270270++⎛⎫=⋅++== ⎪⎝⎭，即这个球来自2号盒子的概率为.16. 已知等差数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n 项和公式构成方程组即可求得的通项公式；（2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案.【小问1详解】设等差数列的首项为，公差为．因为，所以，化简得，所以所以数列的通项公式为；【小问2详解】，整理得，所以，()()()22114532131131270P C D P C D P D ⋅∴===∣45131{}n a n n S ()*4224,21n n S S a a n ==+∈N {}n a ()111nn n n n a b a a ++=-⋅{}n b n n T 21n a n =-1(1)242n n T n -=-++{}n a ()()111(1)22121nn b n n ⎡⎤=-⋅+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦{}n a 1a d ()*4224,21n n S S a a n ==+∈N ()()()1111464221211a d a d a n d a n d ⎧+=+⎪⎨⎡⎤+-=+-+⎪⎣⎦⎩1121d a d a =⎧⎨=+⎩1a 1,d 2=={}n a 21n a n =-()()112(1)(1)2121n n n n n n a nb a a n n ++=-⋅=-⋅-+()()111(1)22121nn b n n ⎡⎤=-⋅+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦12n nT b b b =++¼+11111111111(1)1(1)2335572121221n nn n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+++-++⋯+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦整理得17. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若过原点可以作两条直线与函数的图象相切，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）或【解析】【分析】（1）求导，分类讨论可求函数的单调区间；（2）设切点为，求得切线方程，利用切线过原点，可得，进而可得有解，数形结合可求的取值范围．【小问1详解】当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．当时，或．所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，恒成立，所以在上单调递增．当时，或．所以在和上单调递增，在上单调递减综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增1(1)242nn T n -=-++()()2e21e xx f x a ax=-++()f x ()f x a 102a -<<3212e 2a >-()()()()22e21e 2e 1e xx x x f x a a a '=-++=--()f x ()00,x y ()()()00002200e21e 2e 21e x x x x y a ax a a x x ⎡⎤-++-=-++-⎣⎦()()()00021e 2110x x a x --+-=0002121e 1x x a x -+=-a ()()()()22e 21e 2e 1e x x x x f x a a a'=-++=--0a ≤()()e 0.0ln2;0ln2xa f x x f x x ''-≥>⇒>-<⇒<-()f x (),ln2∞--()ln2,∞-+102a <<()0ln2f x x >-'>⇒()ln ;0ln ln2x a f x a x <<⇒<<-'()f x (),ln a ∞-()ln2,∞-+()ln ,ln2a -12a =()0f x '≥()f x R 12a >()0ln f x x a >⇒>'()ln2;0ln2ln x f x x a <-<⇒-<<'()f x (),ln2∞--()ln ,a ∞+()ln2,ln a -0a ≤()f x (),ln2∞--()ln2,∞-+当时，在和上单调递增，在上单调递减当时，在上单调递增．当时，在和上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】设切点为，则切线方程为代入原点可得，整理可得， 由题意可知方程有两个根，并且不是方程的根，当时，方程化简为：，令，或且．所以在和上单调递增，在和上单调递减．由图象可知或，解得：或．18. 已知数列的前项和为，且满足.数列的前项和为，且满足，.102a <<()f x (),ln a ∞-()ln2,∞-+()ln ,ln2a -12a =()f x R 12a >()f x (),ln2∞--()ln ,a ∞+()ln2,ln a -()00,x y ()()()0002200e 21e 2e 21e x x x x y a ax a a x x ⎡⎤-++-=-++-⎣⎦()()0000220000e21e 2e 21e x x x x a ax x a x ax -++-=-++-()()()00021e 2110xx a x --+-=01x =01x ≠0002121e 1x x a x -+=-()()()()()22321e 1,e 11xx x x x g x x g x x x --=≠=--'()00g x x >'⇒<()33;0022x g x x ><⇒<<'1x ≠()g x (),0∞-3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭()0,131,2⎛⎫⎪⎝⎭0211a <+<32214e a +>102a -<<3212e 2a >-{}n a n n S 22n n S a =-{}nb n n T 11b =()*12231111111n n n n b b b b b b b +++++=-∈N（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据与的关系，作差结合等比数列定义即可求得，当时，，作差变形得，利用等差数列定义求通项公式即可；（2）先利用错位相减法求得，然后把恒成立问题转化为恒成立，按照奇偶性分类讨论，分离参数利用数列单调性求解参数范围.【小问1详解】对于数列，当时，，解得；当时，，与原式作差可得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以；对于数列，当时，，解得，时，，与原式作差可得，因为，所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以.【小问2详解】由（1）可知，所以，{}{},n n a b n n n c a b ={}n c n n H ()*1,10n nn n H n m a +⎡⎤∈---<⎣⎦N m 2n n a =n b n =1324m -<<n S n a 2n n a =2n ≥1223111111n n nb b b b b b b -+++=- ()111n n b b n +-=≥()1122n n H n +=-⋅+(2)21n n m ⋅-<-{}n a 1n =1122S a =-12a =2n ≥1122n n S a --=-()12,2n n a a n -=≥{}n a 12a =2n n a ={}n b 1n =122111b b b =-22b =2n ≥1223111111n n nb b b b b b b -+++=- ()112n n b b n +-=≥211b b -=()111n n b b n +-=≥{}n b 11b =n b n =2nn c n =⋅()23122232122n n n H n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅所以，两式作差可得，所以，所以恒成立，化简得.当时，恒成立，所以，当时，恒成立，所以.综上可得：.19. 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor ）发现的泰勒公式（又称夌克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数．（1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）（2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；（3）已知，证明：．【答案】（1）（2），证明见解析（3）证明见解析【解析】()2341222232122nn n H n n +=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()231122222122n n n n H n n ++-=++++-⋅=-⋅- ()1122n n H n +=-⋅+()11122(1)20n n n n n m ++⎡⎤-⋅+---⋅<⎣⎦(2)21n nm ⋅-<-2,n k k +=∈N 112n m <-34m <21,n k k +=-∈N 112nm -<-12m >-1324m -<<()f x 0x =()*Nn n ∈()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =+⋅+⋅+⋅+⋯+⋅'''+⋯()f x ''()f x ()f x '()()()3n f x n ≥()f x n 1cos 2()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-+⋯+-+⋯-0x >sin x 36x x -*N n ∈()()11sin 1ln 1ln 129k n n k n n k n k n =⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥∑>-++-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦0.883sin 6x x x >-【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值；（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为，再裂项求和即可证明.【小问1详解】记，则，显然，当时，关于的函数单调递减，，．【小问2详解】令，则，恒成立，在递增，在递增，在递增，，即.【小问3详解】由题，，则，则，令，易得在上递增，在上递减，从而，2468cos 12!4!6!8!x x x x x =-+-+- ()3sin (0)6x g x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()()1sin 1111ln 1ln 3221221n k n k n k n k n k ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭>-- ⎪++-++-++⎝⎭()cos f x x =()()()()()()34sin ,cos ,sin ,cos f x x f x x f x x f x x'=-=-=''=2468cos 12!4!6!8!x x x x x ∴=-+-+- 12x =n ()()2122!nh n n ⎛⎫⎪⎝⎭=111110.875cos 10.8788281624∴-=<<-+<⨯1cos 0.882∴≈()3sin (0)6x g x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()()()21cos 1,sin ,1cos 2g x x x g x x x g x x =-+='-+=-'''''()0g x '''≥ ()g x ''∴()0,∞+()()()00,g x g g x ∴''>=∴'''()0,∞+()()()00,g x g g x ='>∴'∴()0,∞+()()3sin 006x g x x x g ⎛⎫=-->= ⎪⎝⎭3sin 6x x x >-N ,1n k n +∈≤≤101n k <<+31111sin 06n k n k n k ⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭()()()1ln 1,111x x x x x x x ϕϕ=+-=-=-'++()x ϕ()1,0-()0,∞+()()00x ϕϕ≤=即当且仅当时取等号），，即，，，得证．【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.()ln 1x x +≤（0x =()()110ln 1ln ln 1n k n k n k n k⎛⎫∴<++-+=+< ⎪++⎝⎭()()10ln 1ln n k n k n k >+>++-+()()()321sin 111111ln 1ln 66()n k n k n k n k n k n k n k ⎛⎫ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴>+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪++-++++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()224121211116(22)3(22)13221221n k n k n k n k =->-=-++-+-⋅++11113221221n k n k ⎛⎫=-- ⎪+-++⎝⎭()()11sin 1111111()ln 1ln 3212323254141n k n k n n k n k n n n n n n =⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥>--+-+⋅⋅⋅+-+∴+-+++++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑11132141n n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭()()1232141nn n n ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⋅+⎝⎭2123861n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭2121386129n n n n n n ⎛⎫>-=- ⎪++⎝⎭()()1sin 1111ln 1ln 3221221n k n k n k n k n k ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭>-- ⎪++-++-++⎝⎭。
(新)高二数学下学期期中联考试题卷
高二下学期期中联考试卷数 学一、单项选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分. 1.已知圆C ：22+4=0x y x -,l 是过点(3,0)P 的直线,则A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能2.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹 角的余弦值为A .55B .53C .255D .353.如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==.分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为αβγ，，，则 A.γαβ<< B.αγβ<< C.αβγ<< D.βγα<<4.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 A.22B.23C.25D.425.双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A .(2,0)-，(2,0)B .(2,0)-，(2,0)C .(0,2)-，(0,2)D .(0,2)-，(0,2)6.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面7.以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线8.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ 的最大值．记{(,)}P Q Ω=，P 在1C 上，Q 在2C 上，且OP OQ w =，则Ω中元素个数为A .2个B .4个C .8个D .无穷个二、多项选择题：本题共4个小题，每题5分，共20分.9.已知点P 在双曲线C ：221169x y -=上，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有A ．点P 到x 轴的距离为203 B.1250||+||=3PF PF C ．12PF F ∆为钝角三角形 D.12=3F PF π∠10.已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值11.已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 所在平面内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ．当点P 在圆上运动时，下列判断正确的是( )A. 当点A 在圆O 内（不与圆心重合）时，点Q 的轨迹是椭圆；B. 点Q 的轨迹可能是一个定点；C. 当点A 在圆O 外时，点Q 的轨迹是双曲线的一支；D. 点Q 的轨迹不可能是抛物线．12.在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，A ．的方程为B ．的离心率为C ．的渐近线与圆相切 D ．满足的直线有2条三、填空题：本题共4个小题，每题5分，共20分（第14题第一空2分，第二空3分）. 13.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF = . 14.已知向量a ,b 满足1=a ，2=b ，则+-a +b a b 的最小值是________，最大值是________.15.在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅，xOy P ()13,0F -()23,0F 13P E ():2l y kx =-E A B E 2213x y -=E 3E 2221x y 23AB =l则1F P与2F Q 的夹角范围为 ．16.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 四、解答题：本题共6个小题，共90分.17.（10分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18.（12分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅰ）若P 是半椭圆2241(0)y x x +=<上的动点，求PAB △面积的取值范围.19.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x yE +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B . （1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求QP OP •的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标.20.（12分）如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,12AB AA ==,点P Q ，分别为11,A B BC 的中点.(I)求异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值； (Ⅰ)求直线1CC ,与平面1AQC 所成角的正弦值.21.（12分）双曲线1C ：22214x y b-=，圆2C ：()22240x y b b +=+＞在第一象限交点为A ，(),A A A x y ，曲线22222241,44,A x y x x b x y b x x⎧-=⎪Γ⎨⎪+=+⎩＞＞。
高二数学下学期期中联考试题理(1)word版本
天津市六校 2016-2017学年高二数学放学期期中联考试题理第 I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分）22i1．复数等于（）1+iA．B．2i C．D．4i2．正弦函数是奇函数，因为 f x sin x 1 是正弦函数，所以 f x sin x 1 是奇函数．以上推理A．结论正确B．大前提错误 C ．小前提错误D．以上都不对3．当x在 ( －∞，＋∞ ) 上变化时，导函数 f x 的符号变化以下表：x( －∞， 1)1(1,4)4(4 ，＋∞ )f x－0＋0－则函数 f x 的图象的大概形状为()4．已知函数y f ( x)( x R)上任一点( x0 , f ( x0 )) 处的切线斜率k( x02)( x0 1)2，则函数f ( x) 的极值点的个数A．0 个B．1个C．两个D．三个5．若1a( 2x 1) dx3ln 2 则的值是（）xA． 6B．4C．3D． 2 ．ax21 有最大值，则a 的值是6．若函数f ( x)xx1A． B．C．D．7．设f ( x), g ( x)在[ a, b]上可导，且f '(x) g '( x) ，则当a x b 时有A. f ( x)g ( x)B. f ( x) g( x)C. f (x) g(b) g( x) f (b)D.f (x) g(a) g( x) f ( a)8．将正奇数 1,3,5,7 ，⋯排成五列 ( 以下表 ) ，按此表的摆列 律， 2017 所在的地点是 ( )A ．第一列B ．第二列C ．第三列D ．第四列第Ⅱ卷（非共 110 分） 二、填空 （本大 共 6 小 ，每小 5 分，共30 分）9． 是虚数 位，1ai是 虚数， 数的 是．2 i10．若函数 f xe x ax x 0 有极 ， 数的取 范 是．11．已知函数 fx 的 函数 fx ，且 足关系式f x =13xf 1 ， f2 的 等于．x12．底面是正方形，容16 的无盖水箱，它的高 ________ 最省资料．13．若曲 f ( x) ax 3 ln2x 存在垂直于 的切 ， 数取 范 是______．14．定 ：假如函数yf ( x) 在区 [ a, b] 上存在 x 1 , x 2 (ax 1 x 2b) ， 足f bf af ' x 2f bf af (x) 在区 [ a, b] 上是一个双中f ' x 1a， b a, 称函数 yb函数，已知函数f xx 3 x 2 是区 0,a 上的双中 函数， 数的取 范 是________．三、解答 （本大 共 6 小 ，共 80 分，解答 写出文字 明， 明 程或演算步 ． ）15．（本小 分 13分）已知曲21 2P1C 2 : y xC : y 2 x 与在第一象限内交点 ．2（1）求过点P且与曲线相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（以下图暗影部分）的面积S．16．（本小题满分 13 分）设函数f xax332a 1 x26x a R．2（ 1）当a1时，求曲线 y f ( x)在点( 1, f (1)) 处的切线方程；（ 2）当a 1时，求 f ( x) 的极大值和极小值．317．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x) x22ln x, g( x) x2x a.（ 1）求函数f ( x)的极值；（ 2）设函数h(x) f ( x)g( x) ，若函数 h(x) 在[1，3]上恰有两个不一样零点，务实数的取值范围．18．（本小题满分13 分）已知数列81，82，，8n2 ，为该数列的前项22222n22n133511和．（1）计算S1, S2, S3, S4；（ 2）依据计算结果，猜想的表达式，并用数学概括法证明．19．（本小题满分14 分）已知直线l : y x m 与函数f x ln x 2 的图像相切于点．（1）务实数的值；（2）证明除切点外，直线总在函数f x 的图像的上方；（ 3）设a, b, c是两两不相等的正实数，且a, b, c 成等比数列，试判断 f a f c 与 2 f b 的大小关系，并证明你的结论．20．（本小题满分14 分）已知函数 f x ln x a．x（ 1）当a0 时，证明函数f x在 0,是单一函数；（ 2）当a e 时，函数f x在区间 1,e上的最小值是4，求的值；a 3（ 3）设g x， A, B 是函数g x图象上随意不一样的两点，记线段AB 的中点的横f xx坐标是，证明直线AB 的斜率g ' x0．2016— 2017 学年度第二学期期中六校联考高二数学（理）答案一、选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）1．【 A】 2．【 C】 3．【 C】 4．【 B】 5．【 D】 6．【 B】 7．【 D】 8．【 B】二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）9．; 10 ．1，+; 11．5; 12 ．4; 13．(0, );14．11，42三、解答题（本大题共 6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小 分13分）y 2 2x,x 2, 解：（ 1）由，得1 y，所以 P 2,2yx 222所求切 方程 2xy 2 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分2 2 xdx2 12dx 1 3 2 1 x3 24 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分（ 2）2x3 2x 20 60 316．（本小 分 13 分）解：（ 1）当 a1时 , f ( x) x 3 3 x 2 6x, f ( x) x 3 3x 6 ⋯⋯2分2 13 13kf ( 1)3 3 66, f ( 1) 6(x 1) ⋯⋯ 4 分 2 , ∴ y 2即 12 x 2y1 0 所求切 方程．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）当 a1时 , f( x) 1 x 3 1 x 2 6x, f ( x)x 2 x 6⋯⋯6分332令 f ( x) 0得 x2或x 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分∴ f ( x)在(, 2)递加,在( 2,3) 减，在（3，+） 增⋯⋯⋯． 11 分列表⋯⋯⋯．11 分∴ f ( x) 的极大 f (2)22, f (x)的极小值为 f (3)27 ⋯⋯⋯⋯ 13 分3217．（本小 分 13 分）解 : （Ⅰ）因 f ( x)2x2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分x令 f ( x)0 ，因 x0 ，所以 x 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分(0,1)1 (1,)f ( x)f (x)极小所以 f (x)min f (1) 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（Ⅱ） hxf xg x2ln x x a所以 h (x)21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分x令 h (x) 0 得 x 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分当 x [1,2) ， h ( x)0 ；当 x (2,3] ， h ( x) 0故 h( x) 在 x [1,2) 上 减；在 x(2,3] 上 增⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分h(1) ≥0,a ≤ 1,所以h(2)0,即 a 22ln 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分h(3) ≥ 0,a ≤ 3 2 ln 3,所以 22ln2 a ≤ 3 2ln3数的取 范 是 (2 2ln 2,3 2ln3]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分18． （本小 分 13 分）（Ⅰ） S 18,S 224,S 348,S 480 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分92549812n 2 1（Ⅱ）猜想 S n1nN *，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2n21用数学 法 明以下：22 1①当 n1 ， S n18，猜想建立；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分2 1292k1 2 1② 假 当 nk ，猜想建立，即S k8 分2k2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1当 nk 1 ， S k 1S k8 k 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2k 122k 322k 2 18 k 112k122k122k232k 1 21 2k213 8 k2k1 22k 232k22k 22k 21 31 2k 122k322k212 k 1 2131 2k 3 22 k11 2故当 nk 1 ，猜想建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2n 1 2 1n N *， S n13 分由①②可知， 于随意的2n2都建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯119．（本小 分 14 分）解：（ 1） 切点 P x 0 , x 0m ， f 'x 0 1．由 f ' x1 ，有 11，解得 x 01，x22x 0于是 m 1 0 ，得 m 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分（ 2）结构函数g x x1ln x2，其数 g 'x11x 1 ．x 2x2当 x2, 1 ， g ' x0 ；当 x1,， g ' x0 ；所以 g x在区2,1减，在区1,增．所以 g x g 1 0 ．所以于x2,11,，有 x1ln x2，即除切点1,0外，直在函数f x 的像的上方．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）因a, b, c是两两不相等的正数，所以 a c2ac ．又因 a,b, c 成等比数列，所以b2ac ，于是 a c 2ac2b ．而 f a f c ln a 2 c 2ln ac 2 a c 4，2 f b2ln b2ln b24b4．因为 ac 2 a c4b2 2 a c4b24b 4 ，且函数 f x ln x 2 是增函数，因此ln ac 2 a c4ln b24b4，故 f a f c 2 f b．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分20．（本小分14 分）（ 1）解：f ' x x a．x2因 a 0 ， x0 ，所以 f ' x 0 ．∴函数 f x 在 0,是增函数；⋯⋯⋯ 2 分（ 2）解：在1,e上，分以下状况：1．当a 1 ， f ' x 0 ，函数 f x 增，其最小 f 1 a 1 ，与函数在1,e 上的最小是4相矛盾；32．当a1，函数 f x 在(1,e]增，其最小 f 11，同与最小是相矛盾；3．当1 a e，函数f x 在[1,a)上有 f ' x0，减，在 ( a, e] 上有f ' x0 ，增，41∴函数 f x 的最小f a ln a1e3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分，得 a3（ 3）明：当a0， g x1, g ' x02ln x, g ' x．x x1x2g x2g x1lnx2x1, 不如x2x1，又 k x2x1x2x1ln x 2要比与 g ' x0的大小，即比x1 与2的大小，又因x2x1，x2x1x1 x2x22( x2x1 )2(x21)所以即比 ln与x1的大小．x1x2 x1x21x1x 2令 h( x)ln x2( x1) ( x1) ， h ( x)10 ∴ h( x) 在 [1,) 上是增函数．x( x1)2x1x2x2x22(x21)又1，∴ h()h(1)0， ln x1，即k g 'x0．⋯⋯⋯⋯14分x x x1x211x11。
高二下学期期中联考数学试题word版有答案
高二下学期期中联考数学试题word 版有答案注意事项：1. 本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。
2. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}3|2<∈=x Z x A ，则=A C U （ ▲ ）A.{}2B.{}2,0C.{}2,1-D.{}2,0,1-2．已知复数z 满足i z i 31)1(-=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在（ ▲ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．已知 2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则=)]21([f f （ ▲ ）A. 13-B. 13C. 3D. 3-4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 （ ▲ ） A. 若//,//m n αα，则//m n B. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥C. 若//,//m m αβ，则//αβD. 若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥5．等比数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“41a a <”的（ ▲ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ▲ ）2cmA. 5B. 325+C. 225+D. 77．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a bya x 的左、右焦点，若双曲线右支上存在点A ，使42251055俯视图左视图正视图1230F AF ∠=，且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离心率是（ ▲ ）A. 32+B. 3C. 332 D. 32 8．把函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向右平移23π个单位长度后与原图像重合，则当ω取最小值时，()f x 的单调递减区间是（ ▲ ） A.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B.7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ C.225[,]()318318k k k Z ππππ-+∈ D.272[,]()318318k k k Z ππππ--∈ 9．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则)32sin(π+B 的最小值是（ ▲ ）A. 0B. 1-C.23 D. 23- 10．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错．误．的是（ ▲ ） A. 函数)0()(2≥=x x x f 存在“和谐区间” B. 函数)(3)(R x x x f ∈+=不存在“和谐区间” C. 函数)0(14)(2≥+=x x xx f 存在“和谐区间” D. 函数)81(log )(-=xc c x f （0>c 且1≠c ）不存在“和谐区间”第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．椭圆22143x y +=的长轴长是 ▲ ，离心率是 ▲ ． 12．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ．则=n a ▲ ；数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，=n ▲ ．13.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-020101x y x y x ，则y x z +=2的最大值为 ▲ ；22)1()1(++-y x 的最小值为 ▲ ．14. 若函数221,0(),0(2),0x x x f x a x g x x ⎧+->⎪==⎨⎪<⎩为奇函数，则=a ▲ ，=-)]2([g f ▲ ．15. 已知)cos()(m x x x f ++=为奇函数，且m 满足不等式01582<+-m m ，则实数m 的值为▲ ．16.正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段C A 1上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是▲ ．17．设M 是ABC ∆内一点，32=⋅，︒=∠60BAC ，定义),,()(p n m M f = 其中p n m ,,分别是MAB MAC MBC ∆∆∆,,的面积，若),,2()(y x M f =，a yx =+41，则a a 22+的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分。
高二数学下学期期中联考试题 理含解析 试题
五校协作体2021-2021学年高二数学下学期期中联考试题理〔含解析〕考试时间是是：2021年4月25 日试卷满分是：150分第I卷一、选择题：此题一共有12个小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.满足〔为虚数单位〕，那么等于〔〕A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】由得，利用复数的模的性质化简即得.【详解】∵，∴，即，∴.应选：A【点睛】此题主要考察复数的模的运算，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.：方程表示双曲线；命题：.命题是命题的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】等价转化命题，利用充分必要性定义结合不等式性质判断即可.【详解】方程表示双曲线等价于，即命题：，由推不出，充分性不具备，由能推出，必要性具备，故命题是命题的必要不充分条件，应选：B【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，利用好双曲线方程系数的关系是解决此题的关键，比拟根底．3.命题p：存在，，命题q：对任意x∈R，，以下命题为真命题的是( )A. ¬ qB. p且qC. p或者(¬ q)D. (¬ p)且q【答案】D【解析】【分析】先分别判断命题p,q的真假，再判断选项的真假得解.【详解】由y＝的性质可知，所以p为假命题，¬p是真命题；∵Δ＝(－1)2－4＝－3<0，∴q为真命题．∴(¬p)且q是真命题．故答案为：D【点睛】〔1〕此题主要考察复合命题的真假，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理才能.(2) 、复合命题真假断定的口诀：真“非〞假，假“非〞真，一真“或者〞为真，两真“且〞才真.4.平面α内有一点M〔1，-1，2〕，平面α的一个法向量=〔2，-1，2〕，那么以下点P 在平面α内的是〔〕A. 4,B. 0,C. 3,D.【答案】C【解析】【分析】由题意，点P在平面内，可得，然后再验证答案，易知C选项可得，此时，得出答案.【详解】因为点M、P是平面内的点，平面的一个法向量=〔2，-1，2〕，所以对于答案C，此时应选C【点睛】此题主要考察了用空间向量取解决立体几何中的垂直问题，属于较为根底题.5.4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，那么不同排列方法的种数是A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】A【解析】【分析】先求出所有的排法，再排除甲乙相邻的排法，即得结果．【详解】解：4种不同产品排成一排所有的排法一共有种，其中甲、乙两种产品相邻的排法有种，故甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，那么不同排列方法的种数是排法有种．应选：A．【点睛】此题主要考察排列与组合及两个根本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．A. 4B.C. 2D.【答案】A【解析】先根据题意画出图形：得到积分上限为，积分下限为曲线与直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为而故曲边梯形的面积为应选的图象大致为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数，可得和，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数，可得，可排除C、D，又由，排除B，应选A.【点睛】此题主要考察了函数图象的识别问题，其中解答中根据函数的解析式，合理利用排除法求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.8.的两个极值点分别为且，那么函数〔〕A. B. C. 1 D. 与b有关【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到满足的方程组，解方程组可以得到，从而可求．【详解】，故，，且，又，所以，故，解得〔舎〕或者者．此时，，故应选：B．【点睛】假如在处及附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，那么必为函数的极值点且．极大值点、极小值点的判断方法如下：〔1〕在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，那么为函数的极大值点；〔2〕在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，那么为函数的极小值点．经过点，且截轴所得的弦长为4，那么圆心的轨迹是〔〕A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】设出圆心C坐标，结合题意利用垂径定理及两点间的间隔公式得到关于x、y的方程即可．【详解】设圆心C〔x，y〕，弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，那么|BE|＝2，∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2+|BE|2，∴〔x﹣2〕2+y2＝22+x2，化为y2＝4x．应选D．【点睛】此题综合考察了抛物线的HY方程，考察了垂径定理、两点间的间隔公式，考察计算才能，属于中档题．的过程中，从到时左边需增加的代数式是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果.【详解】当时，左边的代数式为，当时，左边的代数式为，故用当时，左边的代数式减去时，左边的代数式的结果为：，应选B.【点睛】该题考察的是有关应用数学归纳法证明问题的过程中，由到增加的项的问题，注意对式子的正确归纳，属于简单题目.11.如下图，将假设干个点摆成三角形图案，每条边〔包括两个端点〕有个点，相应的图案中总的点数记为，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由图示总结出，那么，由裂项相消法可求和。
高二数学下学期期中联考试题 文含解析 试题
2021—2021学年第二学期十四县〔〕期中联考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日高二年级数学试卷〔文科〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1. 设复数，那么的一共轭复数是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】选D.2. 在HY性检验中，统计量有三个临界值：2.706、3.841和6.635，在一项打鼾与患心脏病的调查中，一共调查了1000人，经计算的=18.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 ( )A. 有95%的把握认为两者无关B. 约有95%的打鼾者患心脏病C. 有99%的把握认为两者有关D. 约有99%的打鼾者患心脏病【答案】C【解析】因为统计量有三个临界值：2.706、3.841和6.635，而=18.87>6.635,所以有99%的把握认为两者有关，选C.3. 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，那么( )A. r2<0<r1B. 0<r2<r1C. r2<r1<0D. r2＝r1【答案】A【解析】因为变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；所以Y与X之间的线性相关系数正相关，即因为U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，所以U与V之间的线性相关系数负相关，即因此选A.4. 用反证法证明命题“可被5整除，那么中至少有一个能被5整除〞时，假设的内容为( )A. 都能被5整除B. 都不能被5整除C. 不都能被5整除D. 不能被5整除【答案】B【解析】试题分析：由题为反证法，原命题的结论为：“至少有一个能被5 整除〞。
高二数学下学期期中联考 理 试题
四校09-10学年高二下学期期中联考数学理第I 卷 〔选择题 一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
〕 1、“a1＞-1”是“a ＜-1”的成立的〔 〕条件 A 、充分不必要 B 、必要不充分C 、充要条件D 、既不充分也不必要2、命题“存在Z x ∈，使022≤++m x x 〞的否认是〔 〕 A 、存在Z x ∈，使m x x ++22＞0B 、不存在Z x ∈，使m x x ++22＞0 C 、对任意Z x ∈，使022≤++m x xD 、对任意Z x ∈，使m x x ++22＞03、椭圆5522=-ky x 的一个焦点为〔0，2〕，那么=k 〔 〕 A 、-1B 、1C 、5D 、-54、向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1b +- 〕 A 、5B 、5C 、6D 、65、过点F 〔0，3〕，且和直线03=+y 相切的动圆圆心轨迹方程是〔 〕 A 、x y 122=B 、x y 122-=C 、y x 122=D 、y x 122-=6、命题21:≥-x p ，命题Z x q ∈:，假如“q p 且〞与“q ⌝〞同时为假命题，那么满足条件的x 为〔 〕A 、},13|{Z x x x x ∉≤≥或B 、{}z x x x ∉≤≤-,31|C 、{},3,2,1,0,1-D 、{}2,1,07、假设向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，a 、b 的夹角的余弦值为98，那么λ=〔 〕 A 、2B 、-2C 、-2或者552D 、2或者8、如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，AB=1，D 在棱BB 1上， 且BD=1，假设AD 与平面AA 1C 1C 的所成角为α，那么αsin =〔 〕A 、23B 、46 C 、410 D 、22 9、与双曲线116922=-y x 有一共同渐近线，且经过点〔-3，32〕的双曲线的一个焦点到一条渐近线的间隔 为〔 〕 A 、8B 、4C 、2D 、110、以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，那么椭圆的离心率为〔 〕A 、22B 、23C 、2-3D 、13-11、在正三棱柱111C B A ABC -中，a AB =，D 、E 分别是BB 1、CC 1上的点，满足BC=EC=2BD ，那么平面ABC 与平面ADE 所成的二面角的大小为〔 〕 A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°12、直线1-=x y 与抛物线x y 22=相交于P 、Q 两点，抛物线上一点M 与P 、Q 构成∆MPQ的面积为233，这样的点M 有且只有〔 〕个 A 、1B 、2C 、3D 、4第II 卷 〔非选择题 一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕13、假设空间三点A 〔1，5，-2〕、B 〔2，4，1〕、C 〔m ，3，2+n 〕一共线，那么m = ，n = 。
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。
高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)
高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（ ）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（ ） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（ ）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。