高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积课后知能检测新人教B版必修4(1)

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人教B版高中数学必修四§3.3 三角函数的积化和差与和差化积

§3．3 三角函数的积化和差与和差化积课时目标1．能从两角和与差的正、余弦公式推导积化和差与和差化积公式．2．了解积化和差与和差化积的简单运用．一、选择题1．cos 215°＋cos 275°＋cos15°cos75°的值是( ) A ．32B ．62C ．34D ．542．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是( )A ．2B ．1C ．12D ． 33．cos20°＋cos60°＋cos100°＋cos140°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．224．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A ．cot2αB ．tan2αC ．cot αD ．tan α5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数6．cos 2α－cos αcos(60°＋α)＋sin 2(30°－α)的值为( ) A ．12B ．32C ．34D ．14二、填空题7．sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值是________． 8．给出下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ； ②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ；⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确的序号是________．9．sin20°cos70＋sin10°sin50°的值是________．10．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________．三、解答题11．求证：1＋cos x ＋cos x 2＝4cos x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6．12．求值：cos40°cos80°＋cos80°cos160°＋cos160°cos40°．能力提升13．求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2．14．已知sin α－sin β＝－13，cos α－cos β＝12，求sin(α＋β)的值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会．只要对上述思想方法有所感悟，公式不必记很多，记住cos(α－β)即可．2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．3．除了课本上所列的积化和差公式、和差化积公式外，公式1－cos α＝2sin2α2，1＋cos α＝2cos2α2，a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)也应视作和差化积公式；同样sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2也应视作积化和差公式．§3．3 三角函数的积化和差与和差化积答案知识梳理 12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 12[sin(α＋β)－sin(α－β)] 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] －12[cos(α＋β)－cos(α－β)] 2sin θ＋φ2cos θ－φ2 2cos θ＋φ2sin θ－φ2 2cos θ＋φ2cos θ－φ2－2sin θ＋φ2sin θ－φ2作业设计1．D [原式＝1＋cos 30°2＋1＋cos 150°2＋cos 90°＋cos 60°2＝54．]2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．B [原式＝(cos20°＋cos140°)＋cos100°＋cos60°＝2cos80°cos60°＋cos100°＋cos60°＝cos80°－cos80°＋cos60°＝12．]4．B [原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝tan2α．] 5．D [f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin π2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12∴T ＝2π2＝π，f (x )为非奇非偶函数．]6．C [原式＝1＋cos 2α2－12[cos(60°＋2α)＋cos60°]＋1－cos (60°－2α)2＝1＋12cos2α－12cos(60°＋2α)－14－12cos(60°－2α)＝34－12[cos(60°＋2α)＋cos(60°－2α)]＋12cos2α ＝34－12×2cos60°cos2α＋12cos2α＝34．] 7．－ 3解析原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5°＝－cos 30°sin 30°＝－2cos30°＝－2×32＝－3． 8．⑤解析 ①②③④都错，只有⑤是正确的． 9．14解析原式＝12(sin90°－sin50°)＋12(cos40°－cos60°)＝12－12sin50°＋12cos40°－14＝14． 10．－m解析 cos 2α－cos 2β＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＝2cos α＋β2cos α－β2⎝⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin α－β2＝－2sin α＋β2cos α＋β2·2sin α－β2cos α－β2＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝m ∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－m ． 11．证明左边＝2cos 2x 2＋cos x2＝2cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫cos x 2＋12＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋cos π3＝2cos x 2·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝4cos x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝右边．12．解原式＝12(cos120°＋cos40°)＋12(cos240°＋cos80°)＋12(cos200°＋cos120°)＝12(cos40°＋cos80°＋cos200°)－34 ＝12(2cos60°cos20°－cos20°)－34 ＝12(cos20°－cos20°)－34＝－34． 13．证明左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2＝4sin A 2sin B 2cos C2＝右边．14．解 sin α－sin β＝2sinα－β2cosα＋β2＝－13，①cos α－cos β＝－2sin α－β2sin α＋β2＝12．②∴由②①得：tan α＋β2＝32∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213．。

高中数学3.3 三角函数的积化和差与和差化积4 教案新人教B版必修4

三角函数的积化和差与和差化积
（一）教学目标
1．知识目标：
1.梳理公式体系，通过本章知识结构图，进一步加强对各公式之间内在联系的理解。

2.运用这些公式进行简单的三角恒等变换,达到熟练掌握基础知识的目的。

2．能力目标：
1.通过总结知识结构图，发展学生推理能力和运算能力，进一步培养学生观察、类
比、推广、特殊化和化归思想方法。

2.通过解决问题，引导学生明确三角变换是三角函数式的结构形式变换；角的变换；
不同三角函数之间的变换。

3.通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的基本能力。

3．情感目标：通过知识结构图和公式应用使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联系，培养学生严谨，规范的数学思维品质，发展正向、逆向思维和发散思
维能力。

（二）教学重点、难点
重点：梳理三角恒等变换公式体系，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法；熟练恒等变换公式，解决简单问题的应用。

难点：公式推导，解决问题中观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法的渗透。

（三）教学方法
本节课是在上一节课（三角函数的积化和差，和差化积）的一项作业（做三角恒等变换的知识结构图的）基础上，梳理公式体系；总结在推导过程中使用的数学思想方法。

（四）教学过程
2
++
sin30)
-
2⎪⎭化异角为同角式、角和
形式
5
13
β⎫=⎪⎭)
＊同时还要强调公式的应用通过完成此例题，严谨的解题思维，规范解题格。

人教B版高中数学必修四第三章 3.3三角函数的积化和差与和差化积同步测试()

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.3 三角函数的积化和差与和差化积同步测试试卷（数学人教B版必修4）建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1．计算cos 18°cos 42°-cos 72°cos 48°=（）A．12- B．12C．32- D．322．sin 15°cos 165°的值是（）A．14B．12C．14- D．12-3．在△ABC中，若B=30°，则cos Asin C的取值范围是（）A．[-1，1] B．[-12，12]C．[-14，34] D．[-34，14]4. 利用积化和差公式化简sin αsin(π2-β)的结果为（）A．-12[cos(α+β)-cos(α-β)]B．12[cos(α+β)+cos(α-β)]C．12[sin(α+β)-sin(α-β)]D．12[sin(α+β)+sin(α-β)]二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是____________．6．已知sin（α+β）•sin（β-α）=m，则cos2α-cos 2β的值为____________．三、解答题(共70分)7．（15分）已知函数f(x)=4cos x sin(x+π6)-1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x∈[-π6，π4]时，求函数f（x）的值域．8.（20分）已知函数f （θ）=-12+5sin 22sin 2θθ（0＜θ＜π），将f （θ）表示成关于cos θ的多项式．9．(20分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C A -的值．10.（15分）已知sin α+sin β=2，cos α+cos β=32，求tan （α+β）的值．3.3 三角函数的积化和差与和差化积（数学人教B版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.3 三角函数的积化和差与和差化积（数学人教B版必修4）答案一、选择题1. B 解析：原式=cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=12．故选B.2. C解析：sin 15°cos165°=sin 15°cos（180°-15°）=-sin 15°cos15°=-12sin30°=-14，故选C.3.C 解析：cos Asin C=12[sin（A+C）-sin（A-C）]=12[sin（π-B）-sin（A-C）]=14-12sin（A-C）.因为-1≤sin（A-C）≤1，所以-14≤14-12sin（A-C）≤34，即cos Asin C的取值范围为[-14，34],故选C.4.D 解析：sinαsin(π2-β)=sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)].故选D.二、填空题5. (0，32) 解析：：∵α-β=π6,∴sinαsinβ=-12[cos（α+β）-cos（α-β）]=-12[cos（α+β）-32]=-12[cos（2β+π6）-32].∵β为锐角，即0＜β＜π3,∴π6＜2β+π6＜5π6.∴-32＜cos（2β+π6）＜32.∴0＜-12[cos（2β+π6）-32]＜32.6. m 解析：由已知得sin（α+β）•sin（β-α）=cos2cos22αβ-=22(2cos1)(2cos1)2αβ---=cos2α-cos2β=m.三、解答题7.解：（1）f（x）=4cos xsin（x+π6）-1=4cos x（32sin x+12cos x）-1=23sin x cos x+2cos2x-1=3sin 2x+cos 2x=2sin（2x+π6），令2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2，k ∈Z ，解得：k π+π6≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ，则f （x ）的单调递减区间为[k π+π6，k π+2π3],k ∈Z ；（2）∵x ∈[-π6，π4]，∴2x+π6∈[-π6，2π3]，∴sin （2x+π6）∈[-12，1]，则f （x ）的值域为[-1，3]．8．解：f （θ）=-12+5sin 22sin 2θθ=-12+ 5sin cos 222sin cos 22θθθθ=-12+sin 3sin 22sin θθθ+ =-12+sin cos 2cos sin 22sin cos 2sin θθθθθθθ++ =-12+22sin (2cos 1)2sin cos 2sin cos 2sin θθθθθθθ-++=-12+22cos 4cos 12θθ+-=2cos 2θ+cos θ-1.9. 解：由题设条件知B =60°，A+C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22．将上式化简为cos A+cos C=－22cos Acos C ，利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A+C ）+cos （A －C ）］，将cos 2C A +=cos60°=21，cos （A+C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2C A -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 22C A -－1代入上式并整理得42cos 22C A -+2cos 2C A -－32=0，即［2cos 2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0．∵22cos2C A -+3≠0，∴2cos 2C A -－2=0．∴cos 2C A -=22．10. 解：322cos cos sin sin =++βαβα，由和差化积公式得2-2+2-2+βαβαβαβαcos cos 2cossin2=3， ∴tan2+βα=3，从而tan （α+β）=433132tantan222-=-⨯=2+-12+βαβα．。

数学人教B版必修4课后训练：3.3三角函数的积化和差与

三角函数的积化和差与和差化积练习1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( ) A ．23- B ．13- C ．13 D ．23 2．直角三角形的两个锐角分别为A 和B ，则sin A sin B ( )A ．有最大值12和最小值0 B ．有最大值12，但无最小值 C ．既无最大值，也无最小值D ．有最大值1，但无最小值3．化简2π4π6πcoscos cos 777++的结果为( ) A ．πsin 7B ．1πsin 27C ．12- D ．1πcos 27- 4．已知α－β＝π3，且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A ．13 B ．23 C ．79D ．89 5．如果sin(+)sin()m nαβαβ=-，那么tan tan βα等于( ) A ．m n m n -+ B ．m n m n+- C ．n m m n -+ D ．m n n m +- 6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.8．若x 为锐角三角形的内角，则函数y ＝πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x 的值域为________． 9．求2cos10sin20cos20︒-︒︒的值．10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C ＝2B ，11cos cos cos A C B +=-，求cos 2A C -的值．参考答案1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12 (cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β， ∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 答案：C2．解析：因为A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )，又π2-＜A －B ＜π2，则0＜cos(A －B )≤1，故0＜12cos(A －B )≤12，即sin A sin B 有最大值12，无最小值．答案：B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-. 答案：C4．解析：由cos α－cos β＝13得 12sin sin 223αβαβ+--=，又α－β＝π3， ∴+1sin 23αβ=-， ∴cos(α＋β)＝1－2 2+sin2αβ＝1－2×213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝79. 答案：C5．解析：tan sin cos sin cos =tan cos sin cos sin ββαβααβαβα⋅=＝1[sin(+)sin()]21[sin(+)sin()]2m nm n αββααββα+-+=---.答案：B6．解析：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12.答案：1 27．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝12-(cos 2α－cos 2β)＝12-[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m.答案：－m8．解析：y＝πsin3x⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x＝2ππsin cos66x⎛⎫+⎪⎝⎭π6x⎛⎫+⎪⎝⎭，由已知得ππ2π663x<+<，所以12＜πsin6x⎛⎫+⎪⎝⎭≤1.所以y∈⎝.答案：⎝9．解：2cos10sin202cos10(1sin10)cos20cos20︒-︒︒-︒=︒︒＝2cos10(sin90sin10)4cos10cos50sin40cos20cos20︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝8cos10cos50sin20cos20cos20︒︒︒︒︒＝8cos 10°sin 20°sin 40°＝4(sin 30°＋sin 10°)sin 40°＝2sin 40°＋4sin 40°sin 10°10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∴==-，∴11cos cosA C+=-将上式化简为cos A＋cos C＝-cos A cos C，则2cos cos22A C A C+-＝A＋C)＋cos(A－C)]．将cos2A C +＝cos 60°＝12，cos(A ＋C )＝cos 120°＝12-代入上式，得cos 2A C -＝2A －C )．将cos(A －C )＝22cos 2A C -⎛⎫ ⎪⎝⎭－1代入上式并整理，得22cos 022A C A C --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即2cos 3022A C A C --⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵2A C -＋3≠0，∴2cos 02A C -=.∴cos 22A C -=.。

高中数学第三单元三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4(new)

类型一利用积化和差与和差化积公式化简求值
例1求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
反思与感悟套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积,有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来。
梳理 (1） [sin（α＋β）＋sin（α－β）]
（2）［sin(α＋β）－sin(α－β）］
（3) [cos（α＋β）＋cos（α－β）］
（4）－ [cos(α＋β）－cos（α－β）］
知识点二
思考 2sin cos2c来自s sin2cos cos
－2sin sin
题型探究
例1 解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝2sin cos ＋2sin ·cos
＝2cos
＝2cos ·2sin cos
＝4sin sin cos
＝右边．
∴原等式成立．
当堂训练
1．B2.C3.C4.C
5．解由题意,得
cosAsinC＝［sin(A＋C）－sin（A－C)］
＝［sin(π－B）－sin(A－C）]
＝－ sin（A－C）．
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
学习目标 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用。
知识点一积化和差公式
思考根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整.
①sin（α＋β)＋sin（α－β）＝________________；
知识点二和差化积公式

数学人教B版必修4：3.3 三角函数的积化和差与和差化积作业 Word版含解析

双基达标 (限时20分钟)1．化简(cos 47°30′－sin 47°30′)(sin 23°cos 8°－sin 67°sin 8°)＝ ( )．A.14 B ．－14 C ．1D ．－1解析原式＝(cos 27°30′＋sin 27°30′)(cos 27°30′－sin 27°30′)(sin 23°cos 8°－cos 23°sin 8°)＝cos 15°sin 15°＝12sin 30°＝14，故选A.答案 A2．若cos 2α＝23，则sin 4α＋cos 4α＝ ( )．A ．1 B.79 C.1118D.1318解析 sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1－12sin 22α＝1－12(1－cos 22α)＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－29＝1118，故选C. 答案 C3．如果|cos θ|＝15，52π<θ<3π，则sin θ2＝ ( )．A ．－105 B.105 C ．－155D.155解析 ∵52π<θ<3π，∴θ是第二象限角． ∵|cos θ|＝15，∴cos θ＝－15. ∵54π<θ2<3π2，∴θ2是第三象限角．由cos θ＝1－2sin 2θ2，得－15＝1－2sin 2θ2，∴sin θ2＝－155，故选C.答案 C4．sin π4＋αcosπ4＋β化成和差为()．A.12sin(α＋β)＋12cos(α－β)B.12cos(α＋β)＋12sin(α－β)C.12sin(α＋β)＋12sin(α－β)D.12cos(α＋β)＋12cos(α－β)解析原式＝12sinπ4＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－π4－β＝12sinπ2＋α＋β＋sin(α－β)＝12[cos(α＋β)＋sin(α－β)]．答案 B5．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期为________．解析f(x)＝sin2x－sin x cos x＝1－cos 2x2－12sin 2x＝－22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4＋12.故函数的最小正周期T＝2π2＝π.答案π6．已知cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求2sin 2θ－cos θsin θ的值．解∵cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ＝1－cos2θ＝7 3.法一∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－cos θsin θ＝22×73×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－－2373＝－914＋214＝－714＝－142. 法二 ∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－2cos 2θ2sin θcos θ＝2(1－cos 2θ)2sin θcos θ ＝2×sin 2θ2sin θcos θ＝tan θ＝－142.综合提高 (限时25分钟)7．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是 ( )．A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以已知方程可化为sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A ＝B ，故选A.答案 A8．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于 ( )．A ．－12 B.12 C ．2D ．－2解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案 A 9．化简sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝________.解析原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x＝tan x 2.答案 tan x 210．如果a ＝(cos α＋sin α，2 008)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos 2α＋tan 2α＋1的值是________．解析由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)，∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008.1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008. ∴1cos 2α＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009. 答案 2 00911．已知函数f (x )＝ 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 12．(创新拓展)已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝ 4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝725.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝－45.。

高中数学第3章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积教案含解析新人教B版必修4

3.3 三角函数的积化和差与和差化积1．积化和差公式cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．2．和差化积公式设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y2，β＝x －y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y2cos x －y2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cosx ＋y2cosx －y2； cos x －cos y ＝－2sinx ＋y2sinx －y2.思考：和差化积公式的适用条件是什么？[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．1．计算sin 105°cos 75°的值是( ) A ．12B ．14C ．－14D ．－12B [sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.]2．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β化成和差的形式为( )A.12sin ()α＋β＋12cos ()α－β B.12cos ()α＋β＋12sin ()α－β C.12sin ()α＋β＋12sin ()α－β D.12cos ()α＋β＋12cos ()α－βB [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋π4＋β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4－β ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＋sin (α－β)＝12[cos(α＋β)＋sin(α－β)]．＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)．所以选B.]3．下列等式正确的是( ) A ．sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y2sin x －y2 B ．sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2cos x －y 2 C ．cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y 2 D ．cos x －cos y ＝2sinx ＋y2sinx －y2C [由和差化积公式知C 正确．](2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角． [解] (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝32cos 10°cos 50°cos 70° ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70° ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.积化和差公式的功能与关键(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式). ②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.1．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值．[解] 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.【例2】已知cos α－cos β＝2，sin α－sin β＝－3，求sin(α＋β)的值．[思路探究] 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解． [解] ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.和差化积公式应用时的注意事项(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.(3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如12－cos α＝cos π3－cos α.1．解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？[提示] 注意三角形中的隐含条件的应用，如A ＋B ＋C ＝π，a ＋b >c 等． 2．在△ABC 中有哪些重要的三角关系？ [提示] 在△ABC 中的三角关系： sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2， sin(2A ＋2B )＝－sin 2C ，cos(2A ＋2B )＝cos 2C . 【例3】在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2. [思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A ＋B ＋C ＝π. [解] 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C2·cos B ＋C2＝2sin B ＋C2cosB ＋C2＋2sin B －C2cosB ＋C2＝2cosB ＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫sinB ＋C 2＋sinB －C 2 ＝4sin A2sin B2cos C2＝右边，∴原等式成立．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.2．在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2cos B 2cos C2.[证明] 由A ＋B ＋C ＝180°，得C ＝180°－(A ＋B )，即C 2＝90°－A ＋B 2，∴cos C 2＝sin A ＋B2. ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B2·cos A －B2＋sin(A ＋B ) ＝2sinA ＋B 2·cosA －B 2＋2sinA ＋B2·cosA ＋B2＝2sinA ＋B 2⎝⎛⎭⎪⎫cosA －B2＋cosA ＋B 2＝2cos C 2·2cos A2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－B 2＝4cos A2cos B 2cos C2， ∴原等式成立．(教师用书独具)1．公式的记忆和差化积公式记忆口诀：“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．” (正代表sin α，余代表cos α) 2．公式的应用注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导．1．sin 75°－sin 15°的值为( ) A ．12 B ．22C ．32D ．－12B [sin 75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B.]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )A ．12 B ．14 C ．1D ．22B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14.∴函数y 的取最大值为14.]3．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sin αcos β＝________.1330 [sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.] 4．化简下列各式：(1)cos A ＋cos (120°＋B )＋cos (120°－B )sin B ＋sin (120°＋A )－sin (120°－A )； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A. [解] (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos Bsin B ＋2cos 120°sin A＝cos A －cos B sin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sinB －A 22cos A ＋B 2sinB －A 2＝tan A ＋B2. (2)原式＝(sin A ＋sin 5A )＋2sin 3A(sin 3A ＋sin 7A )＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋2sin 3A2sin 5A cos 2A ＋2sin 5A＝2sin 3A (cos 2A ＋1)2sin 5A (cos 2A ＋1)＝sin 3Asin 5A.。

新人教b版高中数学必修43.3《三角函数的积化和差与和

【思路点拨】
解答本题利用和差化积公式，
对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件求解．
α＋ β α－ β 1 【解】 ∵ cosα－ cosβ＝， ∴－2sin sin 2 2 2 1 ＝ ① 2 α＋ β α－ β 1 1 sinα－ sinβ＝－，∴2cos sin ＝－ ② 3 2 2 3 α－ β ∵ sin ≠ 0， 2 α＋ β 3 ∴－tan ＝－ . 2 2
2．和差化积公式
α＋β α－β 2sin cos sinα＋sinβ＝___________________ ； 2 2 α＋β α－β 2cos sin sinα－sinβ＝_____________________ ； 2 2 α＋β α－β 2cos cos 2 2 cosα＋cosβ＝____________________ ； α＋β α－β －2sin sin cosα－cosβ＝_____________________. 2 2
α＋β α＋β 2sin · cos α＋β 3 2 2 即 tan ＝，∴sin(α＋β)＝ 2 2 2α＋β 2α＋β sin ＋cos 2 2 α＋β 3 2tan 2× 2 2 12 ＝＝＝ . 9 13 2α＋β 1＋ 1＋tan 4 2
【点评】
对于给角求值问题，要分析式子的特
点，是否具备同名的和差形式或者同名、异名正、
【点评】证明三角恒等式，一般是从左证右或从右证左或是两边分头化简得同一结果．
变式训练 2 2sinx . cosx＋cos2x
3x x 证明： tan － tan ＝ 2 2
3x x sin sin 2 2 3x x 证明：法一：tan －tan ＝－ x 2 2 3x cos cos 2 2 3x x 3x x sin cos －cos sin 2 2 2 2 ＝ 3x x cos cos 2 2

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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014 学年高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积课后知能检测新人教 B 版必修 4
一、选择题 1．下列各式与 tan α 相等的是( )
1－cos 2α A. 1＋cos 2α
sin α B.1＋cos α
C.1－sicnosα2α
D.1－sicnos2α2α
【解析】
1－cos 2α
2sin2α
sin 2α ＝2sin αcos
α＝scions
αα＝tan
α.
【答案】 D
2．若函数 f(x)＝sin 2x－12(x∈R)，则 f(x)是(
)
A．最小正周期为π2 的奇函数
B．最小正周期为 π 的奇函数 C．最小正周期为 2π 的偶函数 D．最小正周期为 π 的偶函数【解析】 y＝sin 2x－12 ＝1－c2os 2x－12
＝－12cos 2x，
∴函数是最小正周期为 π 的偶函数．
【答案】 D
3．如果|cos
θ|＝15，52π<θ<3π，那么
θ sin 2 的值等于(
)
10 A．－ 5
10 B. 5
15 C．－ 5
15 D. 5
1

【解析】 |cos θ|＝15，52π<θ<3π，θ 为第二象限的角，则 cos θ＝－15，又54π<θ2
<32π，θ2 为第三象限的角，则 sinθ2 ＝－
1－cos 2
θ＝－
1＋15 2 ＝－
515.
【答案】 C
4．已知 sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则 tan θ2 的值为(
)
A．3
B．－3
C.13
D．－13
【解析】 ∵3π＜θ＜72π，sin θ＝－35，
∴cos θ＝－ 1－－53 2＝－45，∴tan θ＝34. ∵3π＜θ＜72π，∴32π＜θ2 ＜74π，
θ 又 tan θ＝12－tatnan22θ2 ＝34，
∴tan
θ 2 ＝－3
或13(舍去)．
【答案】 B
5．设 a＝12cos
6°－
3 2 sin
6°，b＝2sin
13°cos
13°，c＝
1－cos 50°
2
，则有
()
A．c<b<a
B．a<b<c
C．a<c<b
D．b<c<a
【解析】 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13° ·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
y＝sin x 在[0，π2 ]上是递增的．
∴a<c<b.
【答案】 C
二、填空题
6. 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是________．
2

【解析】原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. 5
∵4π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4.
∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4.
【答案】－2sin 4
7．5π<θ<6π，cosθ2 ＝a，则
θ sin 4 ＝________.
【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4 <θ4 <32π，∴sinθ4 <0.
sin θ4 ＝－
1－cosθ2 2 ＝－
1－2 a.
【答案】－
1－a 2
8．(2013·常熟高一检测)函数
y
＝
cos2(x
－
π 12
)＋sin2(x
＋1π2
)
－
1
的最小正周期为
________．
【解析】
y＝cos2(x－π12)＋sin2(x＋π12)－1＝1＋cos
2x－π6 2
1－cos 2x＋π6
＋
2
－1
23cos 2x＋12sin 2x－ 23cos 2x＋12sin 2x
＝
2
1 ＝2sin
2x，
∴T＝22π＝π.
【答案】 π 三、解答题 9．设 π＜θ＜2π，cos θ2 ＝a，求 (1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin2θ4 的值．【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2 ＜θ2 ＜π，
又 cos θ2 ＝a，∴sin θ2 ＝ 1－cos2θ2 ＝ 1－a2，
3

∴sin
θ＝2sin
θ 2 cos
θ2 ＝2a
1－a2.
(2)cos θ＝2cos2θ2 －1＝2a2－1.
θ (3)sin2θ4 ＝1－c2os 2 ＝1－2 a.
10．已知向量 a＝(cos
32x，sin
32x)，b＝(cos
x 2，－sin
x 2)，且
x∈[0，π2 ]，求：a·b
及|a＋b|.
【解】
a·b＝cos
32xcos
x 2－sin
32xsin
x 2＝cos
2x；
|a＋b|＝
3x
x
cos 2 ＋cos 2
2＋
3x
x
sin 2 －sin 2
2
＝ 2＋2cos 2x＝
4×1＋co2s 2x＝2
1＋cos 2x 2
＝2|cos x|. ∵x∈[0，π2 ]，∴cos x≥0，∴|a＋b|＝2cos x.
11．若 π＜α＜32π，化简
1＋sin α
＋
1＋cos α－ 1－cos α
1－sin α
.
1＋cos α＋ 1－cos α
【解】 ∵π＜α＜3π2 ，∴π2 ＜α2 ＜34π，
α
α
∴cos 2 ＜0，sin 2 ＞0.
sin
α2 ＋cos
α 2
2
sin
α2 －cos
α 2
2
∴原式＝
α
α＋
α
α
2|cos 2 |－ 2|sin 2 | 2|cos 2 |＋ 2|sin 2 |
sin
α2 ＋cos
α 2
2
＝
α
α
－ 2 sin 2 ＋cos 2
sin
α2 －cos
α 2
2
＋
α
α
2 sin 2 －cos 2
sin
α2 ＋cos
α 2
sin
α2 －cos
α 2
α
＝－
＋ 2
2
＝－ 2cos 2 .
4

。