数值分析ch7-1
ch7_1信号的抽取与内插
p p
1
X (e
j( p
p
)
p
p p
1
p p
3X D (e j )
p p
p p
序列抽取不混叠的条件
X(ej)=0，||>p/M
1
X(ej)
p
p
p
1
p X(ej)
p
p
p
p
p
1
p X(ej(p)
1
l
M
WM )
l
M
)
l0
H (z) M
X (z M WM )
l
l0
基本单元
内插等式
x[k ] L
L
H (z )
y3 [k ]
x[k ]
H ( z)
L
y 4 [k ]
Y3 ( z ) X ( z ) H ( z )
L L
Y4 ( z ) X ( z ) H ( z )
L
X (z )H (z )
n
X I ( z) X ( z )
L
XI(ej)= X(ejL)
基本单元
XI(ej)= X(ejL)
L=5时内插序列的频谱
1 X(ej)
p
镜像 1
XI(ej)
镜像
p
p
p
p
p
基本单元的连接
M
N
y[k] x[k]
MN
y[k]
x1[k]
1
x1[k]
p
p
p
p
p
p
Ch7-1-偏微分方程
(陆君安 尚涛 谢进 谷平编著，偏微分方程的Matlab 解法，武汉大学出版社，2001,8 第1版，20元，wdp4@ ,, ISBN 7-307-03256-2/O 237)一、主要内容：.12;22;]22,21;12,11[22,4),("pdetool ",,,, .)()(,)()( .),()())((.,,,.,.,)(),()(.,)().(.,)(.,)(22221212221211121211121211100002200矢量是矩阵是和表示矩阵可以用的张量是一个秩为如下图的工具栏最右侧选项也可选择应用模型菜单中再选此子下的图形界面中选菜单项在比如对于方程组情况方程组可以求解如下方程可以求解非线性椭圆型可以依赖于时间和系数方程中在抛物型方程和双曲型是待求的特征值上的复函数是定义在其中特征值问题和初始条件为双曲型初始条件为抛物型椭圆型⨯⨯⨯⎩⎨⎧=++∇⋅∇-∇⋅∇-=++∇⋅∇-∇⋅∇-∙Ω=+∇⋅∇-∙ΩΩ=+∇⋅∇-∙Ω∈∂∂==Ω=+∇⋅∇-∂∂∙=Ω=+∇⋅∇-∂∂∙Ω=+∇⋅∇-∙f d a c c c c c System Genericn ApplicatioOptions PDEtool f u a u a u c u c f u a u a u c u c PDE in u f u u a u u c t df a c d in du au u c x t tu ut t u u in f au u c tu d t u u in f au u c tu d in f au u c λλ也可由此选择方程类型或两个方程的偏微分方程组等在命令窗口输入“PDEtool ”，得到上面的界面，选择“PDE ”，可得对话框（如下图）：由对话框知，两个方程应是同一类型的。
利用命令行可以求解高阶方程组。
对于椭圆型方程，可以用自适应网格算法，还能与非线性解结合起来使用。
数值分析第7章答案
第七章非线性方程求根一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程(7.1) 的根是指求（实数或复数），使得.称为方程(7.1)的根,也称为函数的零点.若可以分解为其中m 为正整数,满足,则是方程(7.1)的根.当m=1时,称为单根;当m>1时,称为m 重根.若充分光滑,是方程(7.1)的m 重根,则有(1)()(*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若在[a,b]上连续且,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法设在[a,b]上连续,,则在(a,b)内有根.再设在(a,b)内仅有一个根.令,计算和.若则,结束计算;若,则令,得新的有根区间;若,则令,得新的有根区间.,.再令计算,同上法得出新的有根区间,如此反复进行,可得一有根区间套且110011*,0,1,2,...,()...()22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-.故因此,可作为的近似根,且有误差估计 (7.2) 2.迭代法将方程式(7.1)等价变形为 (7.3)若要求满足则;反之亦然.称为函数的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为 (7.4)函数称为迭代函数.如果对任意,由式(7.4)产生的序列有极限 则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设满足以下两个条件: 1.对任意有2.存在正常数,使对任意,都有 (7.5) 则在上存在惟一的不动点.定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设满足定理7.1中的两个条件,则对任意,由(7.4)式得到的迭代序列收敛.到的不动点,并有误差估计式 (7.6) 和 (7.7)定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设为的不动点,在的某个邻域连续,且,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程的根,如果迭代误差当时成产下列渐近关系式(7.8)则称该迭代过程是p 阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果在所求根的邻近连续,并且 (7.9)则该迭代过程在点的邻近是收敛的,并有(7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为 (7.11) 此法也可写成如下不动点迭代式(7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设为式(7.12)中的不动点,则是的不动点;设存在,,则是的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的. 3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为 其迭代函数为 (7.13)牛顿迭代法的收敛速度 当时,容易证明,,,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且(7.14)重根情形的牛顿迭代法 当是的m 重根时,迭代函数在处的导数,且.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若的重数m 知道,则迭代式 (7.15)求重根二阶收敛.当m 未知时,一定是函数的单重零点,此时迭代式1()()'()'()['()]()''()0,1,2,...k k k k k k k k k k x f x f x x x x x f x f x f x k μμ+=-=--= (7.16)也是二阶收敛的.简化牛顿法 如下迭代法 称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法 为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法将牛顿迭代法(7.13)中的用在,处的一阶差商来代替,即可得弦截法 (7.17)定理7.6假设在其零点的邻域内具有二阶连续导数,且对任意有,又初值,,则当邻域充分小时,弦截法(7.17)将按阶收敛到.这里p 是方程的正根. 5.抛物线法弦截法可以理解为用过两点的直线方程的根近似替的根.若已知的三个近似根,,用过的抛物线方程的根近似代替的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法.当在的邻近有三阶连续导数,,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为.二、知识结构图10[1,2]1x x --=≤≤--∈3-3-6k k 32三、常考题型及典型题精解例7-1 证明方程x 在上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|x -x*|10.若要求|x -x*|10,需二分区间[1,2]多少次?解 设f(x)=x ,则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*.又因f'(x)=3x -1,所以当x [1,2]时,f'(x)>0,即f (x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3204 1.3243 1.3243 2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.13438 1.3282 1.3282 1.3282 1.32631.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3282 1.3204 1.3243 1.3263 1.3253+ - + - + + - - + +610x e -≤≤⨯≤≤≤≤≥∈-3-39910-6k k k+101此时x =1.3253满足|x -x*|0.9771010,可以作为x*的近2似值.1若要求|x -x*|,只需|x -x*|10即可,解得k+119.932,2即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2 已知函数方程(x-2)=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x [a,b],31|10.k x ---<k 迭代方法均收敛;(3)用所构造的公式计算根的近似值,要求|x1lim lim x x x x x e e e e →+∞→-∞∞∞∞∈解 (1)令f(x)=(x-2)-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1),f(x)=+,f(x)=-1,f'(1)=--1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3].2'k k x x x x x x e e e e e e e ϕϕϕ-----∈∈≤≤≤∀∈k+100k+1(2)将(x-2)=1等价变形为x=2+,x [2,3].则(x)=2+.由于当x [2,3]时2(x)3,|(x)|=|-|<1故不动点迭代法x =2+,k=0,1,2,...,对x [2,3]均收敛.(3)取x =2.5,利用x =2+进行迭代计算,结果如表7-2所示.473cos 3120cos c k x x x ϕ--+=∈≤4k+10-30k+1k+1k 例 考虑求解方程2的迭代公式2x =4+,k=0,1,2,...3(1)试证:对任意初始近似x R,该方法收敛;(2)取x =4,求根的近似值x ,要求|x -x |10;(3)所给方法的收敛阶是多少?2解 (1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+3{}os ,(,).|'sin |1(,)x x x ϕϕϕ∈-∞+∞≤<-∞+∞∀∈0k 022由于(x)的值域介于(4-)与(4+)之间,且3322(x)|=|-33故根据定理7.1,7.2知,(x)在内存在惟一的不动点x*,且对x R,迭代公式得到的序列x 收敛于x*.(2) 取x =4,迭代计算结果如表7-3所示.此时已满足误差要求，即（3）由于，故根据定理7 .4知方法是线性收敛的，并且有。
数值分析第七章打印版(东南大学)
这是一个 n 次多项式， 根据代数基本定理， 它有 n 个根。
λ 是 A 的特征值当且仅当它是其特征多项式的零点。 A 的特征值的个数为 n。
求一个矩阵特征值的问题转化为求其特征多项式的零点。 求相应的特征向量问题转化为求齐次方程组的非零解问题。
李元庆 (版权本人所有)
Introduction to Numerical Analysis Chapter 7: Eigenvalue 2012 Problems 年 5 月 14 日
max a1 x1 + ∑ ai
i =2
李元庆 (版权本人所有)
Introduction to Numerical Analysis Chapter 7: Eigenvalue 2012 Problems 年 5 月 14 日
16 / 21
归一化幂法的收敛性（3）
从而
k →∞
lim uk =
x1 . max(x1 )
Ax = λ x → By = λ y , x = Ty .
李元庆 (版权本人所有)
Introduction to Numerical Analysis Chapter 7: Eigenvalue 2012 Problems 年 5 月 14 日
8 / 21
幂法（Power iteration） （1）
从而当 k 充分大， 有
k vk ≈ a1 λ1 x1 , k +1 vk +1 ≈ a1 λ1 x1 ≈ λ1 vk .
由上式知 vk +1 = Avk ≈ λ1 vk 。该式说明 vk 是 λ1 对应的近似 特征向量， vk 和 vk +1 近似线性相关。 所以
λ1 = lim (vk +1 )i , k →∞ (vk )i
数值分析Ch7
f (xi , yi )
0
言
Numerical Analysis
M. H. Xu
二 理论基础 定理 7. 1 若f (x, y )在区 域 D = {(x, y )|a ≤ x ≤ b, |y | < ∞} 内连 续, 关于 y 满足 Lipschitz条件 , 即 存在 常数 L > 0, 对 任意 y1 , y2 , 不 等 式 |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | 对所 有的 x ∈ [a, b]成立 , 则 初值 问题 dy = f (x, y ), a ≤ x ≤ b dx y (a) = y
Numerical Analysis
M. H. Xu
§7. 2 Euler方法与梯 形方 法 一 方法导出 由微分方程知 y (xi ) = f (xi , y (xi )), 用差商
y0 y yi y=y(x) yi+1 yn
y (xi+1 ) − y (xi ) h 近似 导数 y (xi )可 得 y (xi+1 ) ≈ y (xi ) + hf (xi , y (xi ))
0
在区 间[a, b]上有 唯 一解 y (x), 并且 y (x)为 连续 可微 的, 解函 数y (x) 连续 地依 赖于 初值 及f (x, y ).
Numerical Analysis
M. H. Xu
三 数值解法的基本步骤 第一 步: 把区 间[a, b]进行 划分 , 通 常进 行n等 分, 节点 xi = a + ih, i = 0, 1, 2 · · · , n, 其中 h = (b − a)/n; 第二 步: 求y (x)在节 点xi 处 函数 值y (xi )的近 似值 yi , 得 一列 表 函数 ; 第三 步: 根据 需要 可由 插值 方法求得 函数 y (x)在 x处的 近似 值, 或 由 列表 函数 求得 y = y (x)的近 似函 数. 说明 : 数值 解法 的关 键在 于如 何由 y0 得到y (x1 )的近 似值 y1 , 一 般地 , 如何 由y (xi )的近 似值 yi 得到y (xi+1 )的近 似值 yi+1 .
ch7 协整分析(金融计量-复旦,徐剑刚)
恩格尔和格兰杰的协整检验方法
• 恩格尔和格兰杰(1987)的协整检验方法，假定仅有两个 变量yt、zt，都是I(1) 下面说明检验yt、zt是否存在着协整 关系方法。 y t = β 0 + β 1 z t + et • (1) 估计长期均衡关系 • 如果两个变量yt、zt都是I(1)，估计两个变量的长期均衡 关系的模型为 • (2)利用最小二乘法估计模型 然后检验残差序列的平稳 性，常用我们已经介绍单位根检验的ADF方法、PP方法 等。如果残差序列是平稳的，那么，yt、zt协整。恩格尔 和格兰杰(1987)的协整检验方法也称为两步法。 •
7
协整与误差修正模型
• • 假定一个系统仅包括两个变量yt、zt，如果yt、zt存在着协整关系，那 么，yt、zt存在着长期均衡关系。但是，在协整变量的时间途经中，在短 期里，协整变量会偏离长期均衡状态，可见，偏离均衡水平的程度必影 响协整变量的时间途经，这是协整变量的一个主要特征。 因此，偏离长期均衡状态必影响协整变量的短期动态，这类动态模型是 误差修正模型中的一种。在误差修正模型中，变量短期动态将受偏离均 衡水平的影响，现在假定yt、zt都是I(1)，误差修正模型为
• 是平稳的。由于β1 yt+β2 zt是平稳的，右边第一项(β1μyt+β2 μzt)必须消 去。如果β1 μyt或β2μzt未消去，那么β1 yt+β2 zt必包含趋势项。因此，yt, zt存在着协整关系的充分必要条件是β1μyt+β2 μzt) ＝0。由于β1、β2中至 少有一个不等于0，因此，μyt＝－β2μzt/β1。可见，如果两个I(1)变量是 协整的(阶数为(1,1))，必含有共同趋势。
• •
• • •
同样，εyt、εzt以及Δyt-i、Δzt-i都是I(0)，因此，线性组合yt-1－βzt-1必是 I(0)，yt、zt必协整。 如果(yt-1－βzt-1)>0，那么，yt将上升，调整幅度为αy(yt-1－βzt-1)，这 里，(yt-1－βzt-1)称为误差修正项，αy称为调整速度系数，αy越大，yt对 上一期偏离均衡水平的反映越大。 如果所有a12(i)、αy都为0，那么，yt不受zt影响。所以，如果协整变量不 存在格兰杰因果关系，那么，调整速度系数必为0。 如果两个调整速度系数都为0，那么，就没有长期均衡关系，也就是没 有协整关系，此时，实际上用向量自回归的一阶差分模型来描述了。 协整关系反映了长期均衡关系，而误差修正模型则描述协整变量的短期 动态关系。
数值分析(颜庆津)第7章 学习小结
第7章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、 本章学习体会本章的主要内容是要掌握如何用数值解代替其精确解，这对于一些特殊的微分方程，特别是一些不好解其通解方程是非常有用的。
对于本章我总结如下几点：1、本章计算量相对较小，重要是其思想。
在做题过程中，要理解各种方法的原理及推导过程。
2、本章对泰勒展开法有一定要求。
无论是求方法的阶数还是推导数值解法的公式经常用到泰勒展开。
因此，我们对于泰勒级数要有很清楚的认识。
3、在求数值解法的公式推导时，经常用到第六章的插值型求积公式。
可见，在整本书中，知识往往是贯通的。
二、 本章知识梳理将初值问题离散化 数值微分法（离散变量法）数值积分法 局部截断误差Taylor 级数法 ]),(,[)()(11h t y t h t y t y R n n n n n ϕ--=++整体截断误差n n n y t y -=)(ε初值问题数值解法的一般形式：k M n k y y y t F k n n n n -==++,,1,0,0),,,,,(1 常微分方程初值问题的数值解法的分类 显式方法隐式方法一般形式 ,2,1,0),,,(1=+=+n h y t h y y n n n n ϕ局部截断误差 ),,(11h y t h y y R n n n n n ϕ--=++整体截断误差 n n n y t y -=)(ε显示单步法 局部截断误差与整体截断误差的关系若)(11++=p n h O R ，则)(1p n h O =+ε若数值方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称这种数值方法的阶数是p显式欧拉公式),,(1n n n n y t h y y ϕ+=+欧拉法隐式欧拉公式),(111++++=n n n n y t h y y ϕ基本思想⎩⎨⎧=≤≤='000)(),,(y t y T t t y t f y等价于10)],(,[)())(,()()(11<<+++=+=⎰++θθθh t y h t hf t y dt t y t f t y t y n n n t t n n n n ),(y x f龙格-库塔法不同点的数值解加权平均代替)](,[h t y h t f n n θθ++而使得截断误差的阶数尽可能高N 级R-K 方法的形式,2,1,0),,,(1=+=+n h y t h y y n n n n ϕ，∑==Ni i i n n k c h y t 1),,(ϕ相容性，收敛性和绝对稳定性1、相容性：设增量函数),,(h y t ϕ在区域}0,,|),,{(00h h y T t t h y t D ≤≤<∞≤≤=上连续，且对h 满足Lipschitz 条件，则单步法与微分方程相容的充要条件是单步法至少是一阶的方法2、收敛性;（1）定义：若对任意的0y 及任意的),(0T t t ∈，极限)(lim )0(t y y n tt n h n ==∞→→则称单步法是收敛的（2）单步法的收敛的充要条件：)(0∞→→n n ε（3）收敛与相容的关系:设增量函数),,(h y t ϕ在区域}0,,|),,{(00h h y T t t h y t D ≤≤<∞≤≤=上连续，且对y 满足Lipschitz 条件，则单步法与微分方程相容的充要条件是单步法是收敛的3、稳定性（描述初始值的误差对计算结果的影响）4、绝对稳定性：线性多步法的基本思想线性多步法的一般形式∑∑==--++=r i ri i n i i n i n f h y y 011βα线性多步法 Simpson 公式Admas 公式 基于数值积分方法Milne 公式线性多步法的构造基于泰勒展开的待定系数法∑∑=-=--++'--=r i ri i n i i n i n n x y h x y x y R 0111)()()(βα三、 本章思考题试用数值积分法建立常微分方程的初值问题：),()(00y x f dxdy y x y =⎪⎩⎪⎨⎧=的数值求解公式：)(211n n n n f f h y y ++=++ 解：由),(y x f dxdy =得：dx y x f dy ),(= （1） 对于（1）式。
ch7-1-溶液性质(46)
若难以找到合适的单一溶剂，可选择混合溶剂。
例如：
丙酮（δ＝20.0）和环己烷（δ＝16.7）都不是PS
（18.6）的良溶剂，但1 : 1（体积比）的混合溶剂
（δ＝18.4 ）是良溶剂。 该混合溶剂的溶度参数计算如下式： δ混 = φ1δ1 ＋φ2δ2 = 0.5×20.0 ＋0.5×16.7 = 18.4
A2是高分子间以及高分子与溶剂间相互作用大小 的一种量度。对于良溶剂，A2>0，此时高分子线团 舒展；对于不良溶剂，A2<0，此时高分子线团紧缩 （发生沉淀）；A2＝0为临界状态，称为θ状态，此时 的溶剂为θ溶剂，温度为θ温度。
θ状态时，溶液中三种相互作用力相等，即 溶剂分子——溶剂分子， 溶剂分子——高分子， 高分子——高分子， 之间的相互作用力完全相等。 于是分子链自由贯穿互不干扰，又得名“无扰状态”。
2. 膜渗透压法
毛细管
为什么这边较高？
渗透压π
纯溶剂池
高分子溶液池
渗透计
半透膜(例如纤维素膜，只允许 溶剂分子通过，高分子通不过) 图7-6 渗透计示意图
渗透计原理的解释：
渗透压π
高分子 纯溶剂池 高分子溶液池 溶剂分子
半透膜
一定温度下，有如下关系：
1 RT ( A2c ) c M
以π/c 对c 作图，可得一直线，由截距可求M，由 斜率可得A2，A2称为第二维利系数。
图7-13 GPC的分离原理
检 测 信 号 H
保留体积Ve
图7-14 典型高分子的GPC谱图
（1）校准曲线
根据GPC分离机理，保留体积(或洗脱体积)Ve与分
子量M之间有线性关系： 式中，A和B为常数。
log M A BVe
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
2 例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ设 f ( x ) sin x x / 2，已知 f ( 2) 0, f (1.5) 0，
求在区间[1.5,2]内根的近似值.计算结果列表如下：
~ x 1 (1.921875 1.9375) 1.9296875 取 6 2 1 1 误差限 ( b a ) 0.0078125. 6 2 128
图 7.1
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页
二分法
下一页 3
ak bk . 作法：取 x 2 若： f ( x ) f (ak ) 0 ，则取 ak 1 ak , bk 1 x
反之： f ( x ) f (ak ) 0 ，则取 ak 1 x , bk 1 bk
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6
这样：1） [ak , bk ]
2) 1 | ak bk | | ak 1 bk 1 | 2
当 k足够大，有 | ak bk |
ak bk ~ 取： ，作近似解，有估计： 2 1 ~ | | k 1 (b a ) 2 上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院
并且
f ( ) 0
上一页 下一页 2
湘潭大学数学与计算科学学院
§1 二分法
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) · f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必
有一根。
作区间套： a0 a , b0 b
[a0 , b0 ] [a1 , b1 ] [an , bn ]
第七章 非线性方程的数值解法
湘潭大学数学与计算科学学院
上一页
下一页
1
非线性方程 f (x) = 0 的根 例如： x 2 sin x 0
an x n an1 x n1 a1 x a0 0
n5
数值解法:
无精确解法
{ x } 构造数列 n ，使得： n0
lim xn n
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页
下一页
5
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一 个满足 f (ak)· f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区 间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)· f (b) < 0 。