2008 年中考数学几何选择题汇编 三角形
2009年中考数学试题汇编之三角形与全等三角形试题及答案[1]
![2009年中考数学试题汇编之三角形与全等三角形试题及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/202572d233d4b14e852468ab.png)
2009年中考试题专题之16-三角形与全等三角形试题及答案一、选择题 1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组2.（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°3. (2009年义乌)如图，在ABC 中，90C ∠=。
，EF//AB,150∠=。
,则B ∠的度数为A ．50。
B. 60。
C.30。
D. 40。
【关键词】三角形内角度数【答案】D4.（2009年济宁市）如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD 等于A. 100°B. 120°C. 130°D. 150°A BD5、（2009年衡阳市）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．AC 中点 D ．∠C 的平分线与AB 的交点6、（2009年海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50° 7、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是 （ ） A ．5米 B ．10米 C ． 15米 D ．20米8、（2009年崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．9或12 9、（2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ）． A ．三角形两边之和大于第三边 B ．三角形的外角和等于360° C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形10、（09湖南怀化）如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ．30 B ．40 C ．50 D ．6011、（2009年清远）如图，AB CD ∥，EF AB ⊥于E EF ，交CD 于F ，已知160∠=°，则2∠=（ ）A ．20°B ．60°C ．30°D ．45°A DB12、（2009年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ） A ．2对 B ．3对C ．4对D ．5对【形ADO13、(2009年甘肃定西)如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）A ．2B ．3C．D．14、（2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACBABCD15、（2009肇庆）如图，Rt ABC △中， 90ACB ∠=°，DE 过点C ，且DE AB ∥，若 55ACD ∠=°，则∠B 的度数是（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°CDB AEF12A B E21CDBA16、（2009年邵阳市）如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝340，∠C ＝900）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） A.560B.680C.1240D.180017、（2009年湘西自治州）一个角是80°，它的余角是（ ）A ．10°B ．100°C ．80°D ．120°18、（2009河池）如图，在Rt △ABC 中，90∠=A ，AB =AC＝ E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△CEF 的面积是（ ）A ． 16B ． 18C ．D ．19、（2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个20、（2009年牡丹江）如图， ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ） ①1A ∠=∠，②CD DBAD CD=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤ACBD AC CD =·· A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【21、（2009桂林百色）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中， 将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°， 得A B O ''△ ，则点A '的坐标为（ ）．A ．（3，1）B ．（3，2）C ．（2，3）D ．（1，3）22、（2009年长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm 23、（2009年湖南长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长1C ACFAEC D BA可能是（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．13cm24、（2009陕西省太原市）如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35°D ．40°25、 （2009陕西省太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.526、（2009年牡丹江）尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS27、（2009年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（ ） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15°28、(2009年牡丹江市)尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS123C AB B 'A '【29、（2009年包头）已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43B ．45C ．54D ．34【30、（2009年齐齐哈尔市）如图，为估计池塘岸边A B 、的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，OB =10米，A B 、间的距离不可能是（ ） A ．20米 B ．15米 C ．10米 D ．5米31、（2009年台湾）图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。
中考数学---几何选择填空压轴题精选1
中考数学---几何选择填空压轴题精选1一．选择题：1．如下图1，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、如上图2，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3．如上图3，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③4．如下图1，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A.B. C. D.5、如上图2，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下图1，下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF ≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个7．如上图2，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD =S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（）A.①④⑤B.①②④C.③④⑤D.②③④8．如上图3，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE 交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②④⑤9．如下图1，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④10．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如上图2所示，点G在线段DK上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK的面积为（）A. 10B. 12C. 14D. 16二．填空题1．如下图1，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形， 图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是 个．2.如下图2，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1； ∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012= ．3．如下图1，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，…，则CA 1= ，= ．4、如上图2，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ﹣1在射线OB 上， 且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ﹣1B n ﹣1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ﹣1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ﹣1A n B n ﹣1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面为 ； 面积小于2011的阴影三角形共有 个． 5、如下图1，已知点A 1（a ，1）在直线l ：上，以点A 1为圆心，以为半径画弧，交x 轴于点B 1、B 2，过点B 2作A 1B 1的平行线交直线l 于点A 2，在x 轴上取一点B 3，使得A 2B 3=A 2B 2，再过点B 3作A 2B 2的平行线交直线l 于点A 3，在x 轴上取一点B 4，使得A 3B 4=A 3B 3，按此规律继续作下去， 则①a= ；②△A 4B 4B 5的面积是 ．6、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM；②A E⊥BC；③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有．7、如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为．8、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于．9．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD =15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为cm2．中考数学---几何选择填空压轴题精选1答案一．选择题：1、解：作EJ⊥BD于J，连接EF①∵BE平分∠DBC ∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF ∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF ∴OH=BF②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故②正确；③∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故此结论不成立；④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH=22.5°，由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，∴∠DBH=∠CDF，∵∠BHD=∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴=∴DH=HE•HB，故④成立；所以①②④正确．故选C．（第5题图）2、解：根据BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC；用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，假设∠GAC=∠GCA，则有△AGC为等腰三角形，F为AC的中点，又BF⊥AC，可证得AB=BC，与题设不符；由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 连接ED、四边形ABED为平行四边形，∵∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，∴∠GED=∠CED=45°，∴△GED≌△CED，∴DG=DC；④设AG为X，则易求出GE=EC=2﹣X 因此，S△AGC =SAEC﹣SGEC=﹣+x=﹣（x2﹣2x）=﹣（x2﹣2x+1﹣1）=﹣（x﹣1）2+，当X取1时，面积最大，所以AG等于1，所以G是AE中点，故G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值．故正确的个数有3个．故选C．3、解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF，∵AD∥BC，DE=BC，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE，∵DE=DC，∴∠DEG=∠DCE，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°﹣（∠BGD+∠EGF）=180°﹣（∠BGD+∠BGC），=180°﹣（180°﹣∠DCG）÷2=180°﹣（180°﹣45°）÷2=112.5°，∴∠GHC=∠DGE，∴△CHG≌△EGD，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，∴∠GDH=∠GHD，∴S△CDG =S▭DHGE．故选D．4、解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．5、解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正确；③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；（见上图）④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形；∴BN=PB=PC，正确．故选D．6、解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中，∵，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF，在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB==BD=BC．故①正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a﹣x．∵S△AEF =AE•AF=x（a﹣x）=﹣（x﹣a）2+a2，∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，又∵S△ABC =×a2=a2，∴S△AEF≤S△ABC．故②正确；EF2=AE2+AF2=x2+（a﹣x）2=2（x﹣a）2+a2，∴当x=a时，EF2取得最小值a2，∴EF≥a（等号当且仅当x=a时成立），而AD=a，∴EF≥AD．故④错误；由①的证明知△AED≌△CFD，∴S四边形AEDF =S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=AD2，∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF故③错误；当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．故⑤正确．综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．故选C．7、解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵tan∠AED=，由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴tan∠AED=＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD ＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选：A．8、解：①由∠ABC=90°，△BEC为等边三角形，△ABE为等腰三角形，∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°，可求得∠CEH=45°，此结论正确；②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确；③由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出BG=GD，此结论不正确；⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为（x+x）和△BCG的高为x，因此S△BCE ：S△BCG=（x+x）：x=，此结论正确；故正确的结论有①②⑤．故选C．9、解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDF=45°．∵AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°．∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC．∴FH=AF．（上图2）（2）∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，（上图3）∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG．（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，根据△MEC≌△CIM，（见下图2）可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．∴△CEH的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．10、解：如下图1，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△DGE =S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），同理S△GKE=S△GFE．∴S阴影=S△DGE+S△GKE=S△GEB+S△GEF=S正方形GBEF=4×4=16 故选D．二．填空题：1、解：观察图形，发现规律：图1中有1个菱形，图2中有1+22=5个菱形，图3中有5+32=14个菱形，图4中有14+42=30个菱形，则第5个图中菱形的个数是30+52=55，第6个图中菱形的个数是55+62=91个．故答案为91．2、解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，∴∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC=（∠A+∠ABC），整理得，∠A1=∠A=，同理可得，∠A2=∠A1=×=，…，∠A2012=．故答案为：．3、解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=，又因为CA1⊥AB，∴AB•CA1=AC•BC，即CA1===．∵C4A5⊥AB，∴△BA5C4∽△BCA，∴，∴==．所以应填和．4、解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，∴==，==，又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，∴===，==，∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，继而可推出S△A3B3A4=8，S△A4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个．故答案是：；6．5、解：如图所示：①将点A1（a，1）代入直线1中，可得，所以a=．②△A1B1B2的面积为：S==；因为△OA1B1∽△OA2B2，所以2A1B1=A2B2，又因为两线段平行，可知△A1B1B2∽△A2B2B3，所以△A2B2B3的面积为S1=4S；以此类推，△A4B4B5的面积等于64S=．6、解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，∴AE⊥BC，即②正确．∵∠MBE=45°，∴BE=ME．在△ABE与△CME中，∵∠BAE=∠MCE，∠AEB=∠CEM=90°，BE=ME，∴△ABE≌△CME，∴AB=CM，即①正确．∵∠MCE=∠BAE=90°﹣∠ABE＜90°﹣∠MBE=45°，∴∠MCE+∠MBC＜90°，∴∠BMC＞90°，即③⑤错误．∵∠AEB=∠CEM=90°，F、G分别是AB、CM的中点，∴EF=AB，EG=CM．又∵AB=CM，∴EF=EG，即④正确．故正确的是①②④．7、解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=，∴AM==，∴AC=，同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1故答案为（）n﹣1．8、解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∴∠HEF=90°，（见上图3）同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH=FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5（等量代换），同理∠5=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH=CF=FN，又∵HD=HN，∴AD=HF，在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF=，∴HF=5，又∵HE•EF=HF•EM，∴EM=，又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB=2EM=，∴AD：AB=5：=．故答案为：．9、解：如图，连接EF；∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF =S△DEF即S△ADF﹣S△DPF=S△DEF﹣S△DPF，即S△APD =S△EPF=15cm2，同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40cm2．故答案为40．。
中考数学模拟试题分类汇编三角形全等
三角形全等一、选择题 1、（2012年江西南昌十五校联考）如图，在下列条件中，不能．．证明△ABD ≌△ACD 的是条件（ ）.A. ∠B =∠C ，BD =DCB.∠ADB =∠ADC ，BD =DCC.∠B =∠C ，∠BAD =∠CADD. BD =DC ， AB =AC 答案：A2、 3、二、填空题1、(2012年，辽宁省营口市)如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD =4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C .若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 。
答案： 42（2012荆州中考模拟）．如图， (甲)是四边形纸片ABCD ，其中∠B =120︒，∠D =50︒。
若将其右下角向内折出 PCR ，恰使CP∥AB ，RC∥AD ，如图(乙)所示，则∠C = °.答案：95︒三、解答题1、（2012年福建福州质量检查）(每小题7分，共14分)(1) 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 和延长线与DC 的延长线相交于点F ．证明：△AB E ≌△FCE ．ABCDEF第17(1)题图第17(2)题图AC DR图(乙) AD图(甲)(2) 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角α为45°，看这栋高楼底部的俯角β为60°，热气球与高楼的水平距离AD ＝80m ，这栋高楼有多高(3≈1.732，结果保留小数点后一位)？答案：(1)证明：∵AB 与CD 是平行四边形ABCD 的对边，∴AB ∥CD ， ······························································································· 2分 ∴∠F ＝∠F AB ． ·························································································· 4分 ∵E 是BC 的中点， ∴BE ＝CE ， ······························································ 5分 又∵ ∠AEB ＝∠FEC ， ·············································································· 6分 ∴ △ABE ≌△FCE ． ·················································································· 7分 (2)解：如图，α＝45°，β＝60°，AD ＝80．在Rt △ADB 中， ∵tan α＝BDAD，∴BD ＝AD ·tan α＝80×tan45°＝80．………2分 在Rt △ADC 中， ∵tan β＝CD AD，∴CD ＝AD ·tan β＝80×tan60°＝803．……5分∴BC ＝BD ＋CD ＝80＋803≈218.6．答：这栋楼高约为218.6m ． ………………7分2、（2012昆山一模）已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G．(1)求证：BF＝AC(2)猜想CE与BG的数量关系，并证明你的结论．答案：3、（2012兴仁中学一模）（10分）如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．D CE【答案】解：由□ABCD 得AB ∥CD ， ∴∠CDF =∠F ，∠CBF =∠C ． 又∵E 为BC 的中点， ∴△DEC ≌△FEB ． ∴DC =FB ．由□ABCD 得AB =CD ， ∵DC =FB ，AB =CD ， ∴AB =BF ．4．(2012温州市泰顺九校模拟)(本题6分) 如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AE D ≌△AFD ，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.解法一：添加条件：AE ＝AF ， ……2分证明：在△AED 与△AFD 中，∵AE ＝AF ，……1分 ∠EAD ＝∠FAD ，……1分 AD ＝AD ，……1分∴△AED ≌△AFD （SAS ）. ……1分解法二：添加条件：∠EDA ＝∠FDA ，……2分证明：在△AED 与△AFD 中， ∵∠EAD ＝∠FAD ，……1分AD ＝AD ，……1分DCEB DC AE F B D CAEF∠EDA ＝∠FDA ，……1分∴△AED ≌△AFD （ASA ）. ……1分 解法三：添加条件：∠DEA ＝∠DFA 略……6分5. （2012年江苏海安县质量与反馈）如图，ABC △和ECD △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ==︒∠∠，D 为AB 边上一点． （1）求证：ACE BCD △≌△；（2）设AC 和DE 交于点M ，若AD =6，BD =8，求ED 与AM 的长．答案：(1)证明全等;(2) DE=10; AM=2724. 6、(2012温州市泰顺九校模拟) 如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AE D ≌△AFD ，需添加一个条件是：_______________，并给予证明. 答案：解法一：添加条件：AE ＝AF ， ……2分证明：在△AED 与△AFD 中，∵AE ＝AF ，……1分 ∠EAD ＝∠FAD ，……1分 AD ＝AD ，……1分∴△AED ≌△AFD （SAS ）. ……1分解法二：添加条件：∠EDA ＝∠FDA ，……2分证明：在△AED 与△AFD 中， ∵∠EAD ＝∠FAD ，……1分AD ＝AD ，……1分 ∠EDA ＝∠FDA ，……1分∴△AED ≌△AFD （ASA ）. ……1分 解法三：添加条件：∠DEA ＝∠DFA 略……6分7（河南省信阳市二中）（9分）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BC 到E ，使AE =AB ，连接AC 、DE ．（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加其他字母和辅助线）； （2）选择你在（1）中写出的任意一对全等三角形进行证明． A D B CE M第1题图 B D CAEF、答案：（ 1）①△ABC ≌△CDA ；②△ACE ≌△DEC ；③△CAD ≌△EDA ；④△ABC ≌△EAD ．……………………………………………………………………3分 （2）证明：△ABC ≌△CDA ． ………………………………………………………4分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，∠DAC =∠BCA ．…………………………………………………………6分 又∵AC =CA ，∴△ABC ≌△CDA （SAS ）．…………………………………………………………9分 8、（2012年4月韶山市初三质量检测）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：△ P O D ≌ △Q O B ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形P B Q D 是菱形．【答案】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠PDO=∠QBO ，又OB=OD ，∠POD=∠QOB ， ∴△POD ≌△QOB （2）解法一： PD=8-t∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∵AD=8cm ，AB=6cm ，∴BD=10cm ，∴OD=5cm. 当四边形PBQD 是菱形时， PQ ⊥BD ，∴∠POD=∠A ，又∠ODP=∠ADB ， ∴△ODP ∽△ADB ，C EDB∴OD AD PD BD =，即58810t =-，解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形. 解法二：PD=8-t当四边形PBQD 是菱形时，PB=PD=(8-t)cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在RT △ABP 中，AB=6cm ， ∴222AP AB BP +=， ∴2226(8)t t +=-， 解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形.9、（2012年北京市顺义区一诊考试）已知：如图，在ABC △中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，且BD=CE ．求证：∠ADE =∠AED ．证明：∵AB=AC ，∴B C ∠=∠．在△ABD 和△ACE 中，,,,AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ACE ． ∴ AD=AE ．∴∠ADE =∠AED ．10、(2012年北京市延庆县一诊考试)已知：如图，□ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长CE 交BA 的延长线于点F ．求证：AB =AF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB=CD ． ∴∠F =∠2, ∠1=∠D ． ∵E 为AD 中点， ∴AE =ED .在△AEF 和△DEC 中 ECBA EBCDAF21F D AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△AEF ≌△DEC ． ∴AF =CD .∴AB =AF .11、（2012双柏县学业水平模拟考试）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：OB ＝OD ．答案 ：证明：在△ABC 和≌△ADC 中∵ ∠1=∠2 AC =AC ∠3=∠4 ∴ △ABC ≌△ADC ∴ AB =AD∴ △ABD 是等腰三角形，且∠1=∠2 ∴ OB =OD12、（2012年4月韶山市初三质量检测）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：△ P O D ≌ △Q O B ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形P B Q D 是菱形．【答案】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠PDO=∠QBO ，又OB=OD ，∠POD=∠QOB ， ∴△POD ≌△QOB （2）解法一： PD=8-t∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∵AD=8cm ，AB=6cm ，∴BD=10cm ，∴OD=5cm. 当四边形PBQD 是菱形时， PQ ⊥BD ，∴∠POD=∠A ，又∠ODP=∠ADB ， ∴△ODP ∽△ADB ， DCB A O 12 3 4∴OD AD PD BD =，即58810t =-，解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形. 解法二：PD=8-t当四边形PBQD 是菱形时，PB=PD=(8-t)cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在RT △ABP 中，AB=6cm ， ∴222AP AB BP +=， ∴2226(8)t t +=-， 解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形.13、（2012年北京市顺义区一诊考试）已知：如图，在ABC △中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，且BD=CE ．求证：∠ADE =∠AED ．证明：∵AB=AC ，∴B C ∠=∠．在△ABD 和△ACE 中，,,,AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ACE ． ∴ AD=AE ．∴∠ADE =∠AED ．14、(2012年北京市延庆县一诊考试)已知：如图，□ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长CE 交BA 的延长线于点F ．求证：AB =AF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB=CD ． ∴∠F =∠2, ∠1=∠D ． ∵E 为AD 中点， ∴AE =ED .在△AEF 和△DEC 中 ECBA EBCDAF21F D AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△AEF ≌△DEC ． ∴AF =CD . ∴AB =AF .15、（杭州市2012年中考数学模拟）如图，已知：点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ．求证： BE ＝CF ． 答案：证明：∵AC ∥DF ∴∠ACB ＝∠F在△ABC 与△DEF 中ACB F A DAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△DEF ∴ BC = EF∴ BC –EC = EF –EC 即BE = CF 16．（杭州市2012年中考数学模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点,Q 连接.BQ⑴ 试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有;ADQ ABQ ∆≅∆⑵ 当ADQ ∆的面积与正方形ABCD 面积之比为1:6时，求BQ 的长度，并直接写出．．．．此时点P 在AB 上的位置. C D Q答案：(1) 证明：在正方形ABCD 中，AD AB DAQ BAQ AQ AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADQ ABQ ∆≅ (2) 解：∵ADQ ∆的面积与正方形ABCD 面积之比为1:6且正方形面积为36∴ADQ ∆的面积为6过点Q 作QE AD ⊥于,E QF AB ⊥于,F ∵ADQ ABQ ∆≅ ∴QE QF = ∴162AD QE ⋅= ∴2QE QF ==∵90BAD QEA QFA ∠=∠=∠=∴四边形AEQF 为矩形 ∴2AF QE ==∴624BF =-=在Rt QBF ∆中，BQ ===此时P 在AB 的中点位置(或者回答此时3AP =)17. （杭州市2012年中考数学模拟）如图：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，与两坐标轴交点为点A 和点C ，与抛物线2y ax ax b =++交于点B ，其中点A （0，2），点B （– 3，1），抛物线与y 轴交点D （0，– 2）．(1) 求抛物线的解析式； (2) 求点C 的坐标；(3) 在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：(1) 将（–3，1），（0，–2）代入得：1193222a a b a b b ⎧=-+=⎧⎪⎪⎨⎨-=⎪⎪⎩=-⎩解得 ABCD PQEF∴ 抛物线的解析式为：211222y x x =+- (2) 过B 作BE ⊥x 轴于E ，则E （–3，0），易证△BEC ≌△COA∴ BE = AO = 2 CO = 1 ∴ C （–1，0）(3) 延长BC 到P ，使CP = BC ，连结AP ，则△ACP 为以AC 为直角边的等腰直角三角形 过P 作PF ⊥x 轴于F ，易证△BEC ≌△DFC ∴ CF = CE = 2 PF= BE = 1 ∴ P （1，– 1）将（1，– 1）代入抛物线的解析式满足 若90CAP ∠=︒，AC = AP 则四边形ABCP 为平行四边形过P 作PG ⊥y 轴于G ，易证△PGA ≌△CEB ∴ PG = 2 AG = 1 ∴ P （2，1）在抛物线上∴ 存在P （1，– 1），（2，1）满足条件18．（海南省2012年中考数学科模拟）（本题满分11分）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边上任意一点，BG ⊥CE ，垂足为点O,交AC 于点F ，交AD 于点G 。
全国各地中考数学真题汇编 三角形(填空选择50题)-人教版初中九年级全册数学试题
三角形(填空+选择50题)一、选择题1.(2018某某滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A2.(2018某某宿迁)如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（）。
A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【答案】B3.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）海里海里海里海里【答案】B4.若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）。
A. 12B. 10C. 8 D . 6【答案】B5.在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（）A. B.C.D.【答案】C6.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。
A.45°B.60°C.75°D.85°【答案】C7.在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）。
.4C【答案】C8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）A. B.C.D.【答案】A9.如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。
江苏省中考数学试题汇编之几何解答题精选37题学生版
2008年江苏省中考数学几何解答题精选37题1（08年江苏常州）(本小题满分7分)已知:如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE.求证:AC=DE.2（08年江苏常州）已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED. 求证:AE 平分∠BAD.3（08年江苏常州）如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意．．图．,并写出它们的周长.4（08年江苏常州）(本小题满分8分)如图,港口B 位于港口O 正西方向120海里外,小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向.一艘科学考察船从港口O 出发,沿北偏东30°的OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发,沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C,在小岛C 用1小时装补给物资后,立即按原来的速度给考察船送去. (1) 快艇从港口B 到小岛C 需要多少时间?(2) 快艇从小岛C（第22题）（第23题）5（08年江苏淮安24题）(本小题9分)已知；如图．矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E，连结AE、DE． (1)试判断四边形AODE的形状,不必说明理由； (2)请你连结EB、EC．并证明EB=EC．6（08年江苏淮安26题）(本小题10分)如图，AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC,垂足为E，若BC=63，DE=3．求：(1) ⊙O的半径； (2)弦AC的长； (3)阴影部分的面积．7（08年江苏淮安27题）(本小题lO分)我们约定,若一个三角形(记为△A1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图l是由△A复制出△A1，又由△A l复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B.以下各题中的复制均是由△A开始的，由复制形成的多边形中的任意两个小三角形(指与△A 全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠．(1)图l中标出的是一种可能的复制结果．它用到_____次平移．_______次旋转．小明发现△B∽△A，其相似比为_________．若由复制形成的△C的一条边上有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则△C中含有______个小三角形；(2)若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；(3)在复制形成四边形的过程中，小明用到了两次平移一次旋转，你能用两次旋转一次平移复制形成一个四边形吗?如果能，请在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记；如果不能,请说明理由；(4)图3是正五边形EFGHI．其中心是O．连结O点与各顶点．将其中的一个三角形记为△A，小明认为正五边形EFGHI是由复制形成的一种结果，你认为他的说法对吗?请判断并说明理由．8（08年江苏连云港18题）（本小题满分8分）如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过点A 作O 的切线与OC的延长线交于点P ，求PA 的长．9（08年江苏连云港20题）（本小题满分8分）如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=，CD AD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片． （1）求证：四边形ADEF 是正方形；（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG CD =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．10（08年江苏连云港25题）（本小题满分12分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）； （3）某地有四个村庄E F G H ，，，（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．BCPOA（第18题图）E C B DAG F（第20题图） A A B B CC80 100 （第25题图1） G49.8F53.8 44.0 47.1 35.1 47.8 50.011（08年江苏南京21题）（6分）如图，在ABCD 中，E F ，为BC 上两点，且BE CF =，AF DE =． 求证：（1）ABF DCE △≌△；（2）四边形ABCD 是矩形．12（08年江苏南京22题）（6分）如图，菱形ABCD （图1）与菱形EFGH （图2）的形状、大小完全相同．（1）请从下列序号中选择正确选项的序号填写；①点E F G H ，，，；②点G F E H ，，，；③点E H G F ，，，；④点G H E F ，，，．如果图1经过一次平移后得到图2，那么点A B C D ，，，对应点分别是 ； 如果图1经过一次轴对称后得到图2，那么点A B C D ，，，对应点分别是 ； 如果图1经过一次旋转后得到图2，那么点A B C D ，，，对应点分别是 ； （2）①图1，图2关于点O 成中心对称，请画出对称中心（保留画图痕迹，不写画法）； ②写出两个图形成中心对称的一条．．性质： ．（可以结合所画图形叙述）13（08年江苏南京23题）（6分）如图，山顶建有一座铁塔，塔高30m CD =，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20，塔顶D 的仰角为23，求此人距CD 的水平距离AB ．（参考数据：sin 200.342≈，cos 200.940≈，tan 200.364≈，sin 230.391≈，cos 230.921≈，tan 230.424≈）（第21题）A B CDEF 图1 A （第22题）B图2 E F （第23题）ABCD 202314（08年江苏南通21题）如图，海上有一灯塔P ，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A 点处测得灯塔P 在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?15（08年江苏南通22题）已知：如图，M 是AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝．（1）求圆心O 到弦MN 的距离； （2）求∠ACM 的度数．16（08年江苏南通27题）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．（第22题） AB CMNO·A B P 北 东 （第21题）（第27题）方案一 方案二17（08年江苏苏州23题）（本题6分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，∠1=∠2，∠3=∠4． 求证：(1)△ABC ≌△ADC ； (2)BO=DO ．18（08年江苏苏州27题）(本题9分)如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BM 平分∠ABC 交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半径作OA 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交OA 于P 、K 两点．作MT ⊥BC 于T (1)求证AK=MT ； (2)求证：AD ⊥BC ； (3)当AK=BD 时， 求证：BN ACBP BM=．19（08年江苏宿迁21题）（本题满分8分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB =；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．20（08年江苏宿迁23题）（本题满分10分） 如图，⊙O 的直径AB 是4，过B 点的直线MN 是⊙O 的切线，D 、C 是⊙O 上的两点，连接AD 、BD 、CD 和BC ．(1)求证：CDB CBN ∠=∠； (2)若DC 是ADB ∠的平分线，且︒=∠15DAB ，求DC 的长．NM ODC B A F E DCB A 第21题21（08年江苏泰州23题）如图，⊿ABC 内接于⊙O ，AD 是⊿ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，⊿ABE 与⊿ADC 相似吗？请证明你的结论。
中考数学总复习——几何证明分类试题汇编
C ABD中考数学总复习——几何证明分类试题汇编 三角形总复习题1、求证等腰三角形两腰上的高线相等（先画出图，再写出已知、求证和证明）。
2．求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形（先画出图，再写出已知、求证和证明）1.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。
(2)求AB 的长。
2.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
ADEBC3．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？18．如图６，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ,AE =BC , 且 AE ∥BC ．E求证：（1）△AEF≌△BCD；(2)EF∥CD．4.如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：(1)AD=CB；(2)AE=CF；(3)∠B=∠D；(4)AD∥BC。
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程.18．如图10，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个结断：①AD =CB ；②AE =CF ；③∠B =∠D ；④AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并证明结论成立．5.如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD 、CD 的长.CABEF D图6. 已知，如图，⊿ABC 中，∠A = 900，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE = AF ，求证：ED ⊥FD7.已知：如图，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ， 求证：BD ＝CE .DBCEF8.已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．9．如图：已知在ABC，D为BC边的中点，过点D作△中，AB AC，.⊥，⊥，垂足分别为E FDE AB DF AC（1） 求证：BED CFD △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．DCBE AFA BCD EF11. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若12. 已知，如图⊿ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，∠ACB 的补角∠ACD 的平分线为CG ，EG ∥BC 交AC 于F ，EF 会与FG 相等吗？为什么？C13.（2012临沂）如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E 分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．ADEF 14.（2012•恩施州）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，点D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 的中点．求证：四边形AEDF 是菱形．15．（2012•南通）（本小题满分10分）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60º，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．(1)如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF ＝60º，求证：BE ＝DF ； (2)如图2，若∠EAF ＝60º，求证：△AEF 是等边三角形．16.（2011广东）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE 。
中考数学专题17 三角形与全等三角形
温馨提示：
三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到。学习时应结合图形，做到熟练、准确地应用。
三角形的角平分线、高、中线均为线段。
（三）全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
【答案】(1)C(2)A(3)C
方法总结：
（1）考查三角形的边或角时，一定要注意三角形形成的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（2）在求三角形内角和外角时，要明确所求的角属于哪个三角形的内角和外角，要抓住题目中的等量关系；
类型二全等三角形
(1)如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_________________________.
2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．三角形中的重要线段
(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．
(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．
1．(2009·温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()
A．1cm，2cm，3.5cmB．4cm，5cm，9cm
C．5cm，8cm，15cmD．6cm，8cm，9cm
解析：计算较小两数的和与最大数比较，大于的组成三角形，否则不能．
答案：D
2．(2008·嘉兴)如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝()
专题08 三角形中的倍长中线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题08三角形中的倍长中线模型【模型1】如图，已知AD 是ABC ∆的边BC 的中线，延长AD 至点E，使得AD=DE，连接BE，结合BD=CD，EDB ADC ∠=∠，可证得ADC ∆≌EDB ∆。
【模型2】如图，已知点D 是ABC ∆的边BC 上的中点，点E 是边AC 上的一点，连接ED 并延长ED 至点P，使得ED=DP。
结合BD=CD，CDE BDP ∠=∠，可证得BDP ∆≌CDE ∆。
【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，点D 为BC 的中点，则AD 的长可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ．证△ADC ≌△EDB （SAS ），可得BE ＝AC ＝2，再利用三角形的三边关系求出AE 的范围即可解决问题．【解析】解：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE，在△ADC 和△EDB 中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE ＝AC ＝2，在△ABE 中，AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，即2＜2AD ＜6，解得1＜AD ＜3，故选：B ．【例2】如图，ABC 中，13AB =，6AD =，5AC =，D 为BC 边的中点，则ABC S = ______．【答案】30【分析】由“SAS ”可证CDE △≌BDA V ，可得13CE AB ==，ADB CDE S S = ，可得ACE CAB S S = ，由勾股定理的逆定理可求ACE 为直角三角形，即可求解．【解析】解：延长AD 到E 使6AD DE ==，连接CE ，如图所示：在CDE △和BDA V 中，CD BD CDE ADB DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CDE ∴ ≌()BDA SAS ，13CE AB ∴==，ADB CDE S S = ，ACE CAB S S ∴= ，在ACE 中，22216914425CE CA AE ==+=+，ACE ∴ 为直角三角形，115123022CAB ACE S S AE CA ∴==⋅=⨯⨯= ，故答案为：30．【例3】（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED =AD ，连接CE．①证明△ABD ≌△ECD ；②若AB ＝5，AC ＝3，设AD ＝x ，可得x 的取值范围是_______；（2）如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE ＋CF ＞EF ．【答案】（1）①见解析；②1＜x ＜4；（2）见解析【分析】（1）由AD 是△ABC 的中线推出CD ＝BD ，再用SAS 证明即可；（2）由△ABD ≌△ECD 推出AB ＝EC =5，由ED =AD 推出AE =2x ，由△ACE 三边关系EC AC AE EC AC -<<+将已求代入解不等式即可；（3）延长FD 到G ，使得DG ＝DF ，连接BG 、EG ．用SAS 证明△CDF ≌△BDG ，△EDF ≌△EDG ，从而得到CF ＝BG ，EF ＝EG ，最后利用在△BEG 的三边关系BE +BG ＞EG 得证．【解析】（1）①∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝BD ，在△ABD 与△ECD 中，AD ED ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ECD （SAS ）②1＜x ＜4，理由如下：∵△ABD ≌△ECD ，AB ＝5，∴AB ＝EC =5，∵ED =AD ，AD ＝x ，∴AE=2x ．由△ACE 三边关系得：EC AC AE EC AC -<<+，又∵AC ＝3，∴53253x -<<+，解得：1＜x ＜4．故答案是：1＜x ＜4．（2）延长FD 到G ，使得DG ＝DF ，连接BG 、EG ．∵D 是BC 边上的中点，∴CD ＝DB ．在△CDF 与△BDG 中，DF DGCDF BDG CD BD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF ≌△BDG （SAS ）．∴CF ＝BG ，∵DE ⊥DF ，∴EDF EDG ∠=∠．在△EDF 与△EDG 中，DF DGEDF EDG ED ED⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝＝，∴△EDF ≌△EDG ．∴EF ＝EG ．在△BEG 中，BE +BG ＞EG ，即BE +CF ＞EF．一、单选题1．如图，已知AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是（）A ．2＜AD ＜8B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜5D ．4≤AD ≤8【答案】B【分析】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，先证ABD ECD ≅ ，得AB CE =，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的取值范围．【解析】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ABD △与ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ECD ∴≅ ，5AB CE ∴==，在ACE 中，由三角形三边关系得：CE AC AE CE AC -<<+，3AC = ，2AE AD DE AD AD AD =+=+=，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．2．在ABC 中，5AC =，中线7AD =，则AB 边的取值范围（）A ．212AB <<B ．412AB <<C ．919AB <<D ．1019AB <<【答案】C 【分析】延长AD 至E ，使DE =AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB =CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围．【解析】解：如图，延长AD 至E ，使DE =AD，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB =CE ，∵AD =7，∴AE =7+7=14，∵14+5=19，14-5=9，∴9＜CE ＜19，即9＜AB ＜19．故选：C ．3．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ⊥，5AB =，4BD =，3CD =，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）．A ．2B ．52CD ．3【答案】C 【分析】延长BE 交CD 延长线于P ，可证△AEB ≌△CEP ，求出DP ，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长．【解析】解：延长BE 交CD 延长线于P ，∵AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠ECP ，在△AEB 和△CEP 中，EAB ECP AE CE AEB CEP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△CEP （ASA ）∴BE ＝PE ，CP ＝AB ＝5又∵CD ＝3，∴PD=2，∵4BD =∴2225BP DP BD =+=∴BE ＝12BP ＝5．故选：C ．4．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，点E 为BA 延长线上一点，DF DE ⊥交射线AC 于点F ，连接EF ，则BE CF +与EF 的大小关系为()A ．BE CF EF+<B ．BE CF EF +=C ．BE CF EF +>D ．以上都有可能【答案】C 【分析】如图，延长ED 到T ，使得DT ＝DE ，连接CT ，TF ，证明△EDB ≌△TDC （SAS ），推出BE ＝CT ，由CT ＋CF ＞FT ，可得BE ＋CF ＞EF ．【解析】解：如图，延长ED 到T ，使得DT DE =，连接CT ，TF ．DE DT = ，DF ET ⊥，EF TF ∴=，在EDB ∆和∆TDC 中，DB DC EDB TDC DE DT =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EDB TDC SAS ∴∆≅∆，BE CT ∴=，CT CF FT +> ，BE CF EF ∴+>，故选：C ．5．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B Ð的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】D 【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 的度数．【解析】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，∵四边形ABCF 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CF ，∴∠NAE ＝∠F ，∵点E 是的AF 中点，∴AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FE AEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△NAE ≌△CFE （ASA ），∴NE ＝CE ，NA ＝CF ，∵AB ＝CF ，∴NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝BN ，∠N ＝∠NCB ，∵CD ⊥AB 于D ，即∠NDC ＝90°且NE ＝CE ，∴DE ＝12NC ＝NE ，∴∠N ＝∠NDE ＝50°＝∠NCB ，∴∠B ＝80°．故选：D ．6．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】①根据面积法可得ABE ACE S AB S AC ∆∆=，ABE ACE S BE S CE ∆∆=，从而可得①正确；②由AD 是中线，无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故可判断②错误；③运用SAS 证明ADC MDB ∆≅∆得AC MB =，在AMB ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在AB 上截取AN AC =，连接FN ，运用SAS 证明AFN AFC ∆≅∆得NF CF =，在BNF ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④．【解析】解：①过E 作EG AB ⊥于G ，EH AC ⊥于H ，过A 作AK BC ⊥于K，AE ∵是BAC ∠角平分线，EG AB ⊥，EH AC ⊥，EG EH ∴=，1212ABE ACE AB EG S AB S AC AC EH ∆∆⋅∴==⋅AK BC ⊥ ，12ABE S BE AK ∆∴=⋅，12ACE S CE AK ∆=⋅1212ABE ACE BE AK S BE S CE CE AK ∆∆⋅∴==⋅AB EB AC EC∴=，故①正确；②180BAC ACB ABC ∠+∠+∠=︒180()BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠+∠，AE ∵平分BAC ∠，1190()22BAE CAE BAC ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒-∠+∠，AD 是中线，∴无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故②错误；③延长AD 到M 使DM AD =，连接BM，AD 是中线，BD CD ∴=，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD ADC MDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC MDB SAS ∴∆≅∆AC MB∴=在AMB ∆中，AB BM AM AB BM-<<+2AM AD DM AD =+= ，AC BM =，2AB AC AD AB AC∴-<<+11()()22AB AC AD AB AC ∴-<<+，故③正确；④在AB 上截取AN AC =，连接FN，AE ∵是角平分线，NAF CAF ∴∠=∠，在AFN ∆和AFC ∆中，AN AC NAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AFN AFC SAS ∴∆≅∆，NF CF ∴=，在BNF ∆中，BF NF BN -<，BN AB AN AB AC=-=- BF CF AB AC ∴-<-，即AB CF AC BF +>+，故④正确；综上①③④正确．故选B ．二、填空题7．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，3AC =，5AD =，则AB 的取值范围是________．【答案】713AB <<【分析】延长AD 至点E ，使DE=AD ，证明ABD ECD ≅ ,由全等性质求出相关的线段长度，在CAE V 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<，代入数值即可得到答案．【解析】解：延长AD 至点E ，使DE=AD，如下图：∵D 是BC 的中点∴BD =CD在ABD △和ECD 中：BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ECD≅∴=AB EC∵AD =5∴AE =10在CAE V 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<得：713EC <<即：713AB <<故答案为：713AB <<8．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是△ABC 内一点，点E 是CD 的中点，连接AE ，作EF ⊥AE ，若点F 在BD 的垂直平分线上，∠BAC ＝α，则∠BFD ＝_________．（用α含的式子表示）【答案】180°﹣α．【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC ＝∠EMD ，AC ＝DM ，根据线段垂直平分线的性质得到AF ＝FM ，FB ＝FD ，推出△MDF ≌△ABF （SSS ），得到∠AFB ＝∠MFD ，∠DMF ＝∠BAF ，根据角的和差即可得到结论．【解析】解：延长AE 至M ，使EM ＝AE ，连接AF ，FM ，DM，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△AEC 与△MED 中，AE EM AEC DEM CE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△MED （SAS ），∴∠EAC ＝∠EMD ，AC ＝DM ，∵EF ⊥AE ，∴AF ＝FM ，∵点F 在BD 的垂直平分线上，∴FB ＝FD ，在△MDF 与△ABF 中，AB DM BF DF AF FM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△MDF ≌△ABF （SSS ），∴∠AFB ＝∠MFD ，∠DMF ＝∠BAF ，∴∠BFD +∠DFA ＝∠DFA +∠AFM ，∴∠BFD ＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF +∠EMD ）＝180°﹣（∠FAM +∠BAF +∠EAC ）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案为：180°﹣α．9．如图，平行四边形ABCD ，点F 是BC 上的一点，连接AF ，∠FAD ＝60°，AE 平分∠FAD ，交CD 于点E ，且点E 是CD 的中点，连接EF ，已知AD ＝5，CF ＝3，则EF ＝__．【答案】4【分析】延长AE ，BC 交于点G ，判定△ADE ≌△GCE ，即可得出CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，再根据三线合一即可得到FE ⊥AG ，进而得出Rt △AEF 中，EF ＝12AF ＝4．【解析】解：如图，延长AE ，BC 交于点G，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，∵平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠D ＝∠ECG ，又∵∠AED ＝∠GEC ，∴△ADE ≌△GCE ，∴CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，又∵AE 平分∠FAD ，AD ∥BC ，∴∠FAE ＝∠DAE ＝∠G ＝12∠DAF ＝30°，∴AF ＝GF ＝3+5＝8，又∵E 是AG 的中点，∴FE ⊥AG ，在Rt △AEF 中，∠FAE ＝30°，∴EF ＝12AF ＝4，故答案为：4．10．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若AB ＝3cm ，AC ＝5cm ，则AD 的取值范围是_______．【答案】1＜AD ＜4【分析】连接AD 并延长到点E ，使DE=DA ，连接BE ，利用SAS 证得△BDE ≌△CDA ，进而得到BE=CA ，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE 的取值范围，进而求出AD 的取值范围．【解析】如图，连接AD 并延长到点E ，使DE=DA ，连接BE ，∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ）∴BE=CA=5在△ABE 中，AB+BE>AE ，且AB ﹣BE ＜AE∵AB=3，AC=5∴2＜AE ＜8∴1＜AD ＜4故答案为：1＜AD ＜4．11．如图，在正方形ABCD 中，MN 分别是AD 、BC 边上的点，将四边形ABNM 沿直线MN 翻折，使得点A 、B 分别落在点'A 、'B 处，且点'B 恰好为线段CD 的中点，''A B 交AD 于点G ，作DP MN ⊥于点P ，交''A B 于点Q ．若4AG =，则PQ =________．955【分析】根据中点这个条件考虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形，综合等腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方形的边长，最后利用三角函数值快速求解．【解析】如图，连接B BB '，延长NB AD '、交于点F ，则CNB FDB ''△△≌，CB N FB D DGB '''∠=∠=∠，根据翻折的性质可得FMN 为等腰三角形，EFM EFN ∠=∠，作FE MN ⊥于点E ，设DB B C x ''==，则正方形边长为2x ，则5BB MN x '==，54BN x =，52FM FN x ==，32CN FD x ==，1124,4,,4444x x x DG x GM AM A M FG '∴=-=-===-由A MG FB G ''△△∽，得A M MG FB FG '='，则444511444x x x x -=-，解得6x =，则159216,,,8,222B C B N CN DG DM ''=====，55PD ∴==设CBB NFE MFE MDP α'∠=∠=∠=∠=，则1tan 2B C BC α'==，设CB N DGB β''∠=∠=，则3tan 4NC B C β=='，此时作QH GD ⊥，,tan tan QH QH GH DH βα==，128tan tan 5QH QH QH βα+=⇒=，则QD ==，5PQ PD DQ ∴=-=12．如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒=== ，，为AD 上的中点，则BE ＝______．【分析】延长BE 交CD 于点F ，证ABE DFE V V ≌，则BE=EF=12BF ，故再在直角三角形BCF 中运用勾股定理求出BF 长即可.【解析】解：延长BE 交CD 于点F,∵AB 平行CD ，则∠A=∠EDC ，∠ABE=∠DFE ，又E 为AD 上的中点，∴BE=EF,所以ABE DFE V V ≌.∴1,12BE EF BF AB DF ====∴1CF =在直角三角形BCF 中，∴12BE BF ==.三、解答题13．如图，AD 为ABC 中BC 边上的中线()AB AC >．（1）求证：2AB AC AD AB AC -<<+；（2）若8cm AB =，5cm AC =，求AD的取值范围．【答案】（1）2AB AC AD AB AC -<<+，（2）31322AD <<【分析】（1）延长AD 至E ，使AD DE =，连接BE ，然后再证明ACD EBD △≌△，根据全等三角形的性质可得AC BE =，再根据三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE -<<+，利用等量代换可得2AB AC AD AB AC -<<+；（2）把8cm AB =，5cm AC =代入（1）的结论里，再解不等式即可．【解析】（1）证明：如图延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，∵AD 为ABC 中BC 边上的中线，∴DC BD =，在ACD △和EBD △中：DC BD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ACD EBD ≌△△，∴AC BE =（全等三角形的对应边相等），在ABE △中，由三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE -<<+，即2AB AC AD AB AC -<<+；（2）解：∵8cm AB =，5cm AC =，由（1）可得2AB AC AD AB AC -<<+，∴85285AD -<<+，∴31322AD <<．14．如图，已知//AP BC ，点E 是DC 的中点，且AD BC AB +=，求证：AE BE ⊥．【答案】证明见解析【分析】延长AE 、BC 交于点M ，利用AAS 证出△ADE ≌△MCE ，从而得出AD=MC ，AE=ME ，结合已知条件即可证出BM=AB ，再利用SSS 即可证出△BAE ≌△BME ，从而得出∠BEA=∠BEM ，根据垂直定义即可证出结论．【解析】解：延长AE 、BC 交于点M ，如下图所示∵点E 是DC 的中点，∴DE=CE ，∵//AP BC∴∠1=∠M在△ADE 和△MCE 中156M DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△MCE∴AD=MC ，AE=ME∵AD BC AB+=∴MC ＋BC=AB∴BM=AB在△BAE 和△BME 中AE ME BE BEBA BM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△BME∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA ＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴AE BE⊥15．如图，O 为四边形ABCD 内一点，E 为AB 的中点，OA ＝OD ，OB ＝OC ，∠AOB +∠COD ＝180︒．（1）若∠BOE ＝∠BAO ，AB＝OB 的长；（2）用等式表示线段OE 和CD之间的关系，并证明．【答案】（1）2；（2）12OE CD =，理由见解析【分析】（1）由已知条件∠BOE ＝∠BAO ，且公共角OBE ABO ∠=∠，证明△OBE ∽△ABO ，进而列出比例式，代入数值即可求得OB ；（2）延长OE 到点F ，使得EF OE =，连接AF ，FB ，证明△AOF ≌△DOC ，进而可得OF CD =，即12OE CD =【解析】（1）解：∵∠BOE ＝∠BAO ，OBE ABO ∠=∠，∴△OBE ∽△ABO ，∴BE OB OB AB=，∵AB＝，E 为AB 的中点，∴BE =∴OB =∴2OB =（舍负）.（2）线段OE 和CD 的数量关系是：12OE CD =，理由如下，证明：如图，延长OE 到点F ，使得EF OE =，连接AF ，FB.∵AE BE=∴四边形AFBO 是平行四边形，∴AF OB ∥，AF OB =，∴180FAO AOB ∠+∠=︒，∵∠AOB +∠COD ＝180︒，∴FAO COD ∠=∠，∵OB ＝OC ，∴AF OC =，在△AOF 和△DOC 中，OA OD FAO COD AF OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF ≌△ODC ，∴OF CD=∴12OE CD =.16．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC 的边BC 到D ，使DC ＝BC ，过D 作DE ∥AB 交AC 延长线于点E ，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4【分析】[探究与发现]由ASA证明△ABC≌△EDC即可；[理解与应用]（1）延长AE到F，使EF=EA，连接DF，证△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再证△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AB=AF=2x，再由三角形的三边关系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．【解析】解：[探究与发现]证明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，∵点E是CD的中点，∴ED=EC，在△DEF 与△CEA 中，EF EA DEF CEA ED EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CEA （SAS ），∴AC =FD ，∴∠AFD =∠CAE ，∵∠CAE =∠B ，∴∠AFD =∠B ，∵AD 平分∠BAE ，∴∠BAD =∠FAD ，在△ABD 与△AFD 中，B AFD BAD FAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AFD （AAS ），∴BD =FD ，∴AC =BD ；（2）解：由（1）得：AF =2AE =2x ，△ABD ≌△AFD ，∴AB =AF =2x ，∵BD =3，AD =5，在△ABD 中，由三角形的三边关系得：AD -BD ＜AB ＜AD +BD ，即5-3＜2x ＜5+3，解得：1＜x ＜4，即x 的取值范围是1＜x ＜4．17．如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得△CED ≌△ABD ．①请证明△CED ≌△ABD ；②中线BD 的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中，AB ＝BM ，BC ＝BN ，∠ABM ＝∠NBC ＝∠90°，连接MN ．请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②19BD <<；（3）MN =2BD ，理由见解析【分析】（1）①只需要利用SAS 证明△CED ≌△ABD 即可；②根据△CED ≌△ABD 可得AB =CE ，由三角形三边的关系可得CE BC BE CE BC -<<+即AB BC BE AB BC -<<+则218BE <<，再由2BE BD =，可得19BD <<；（2），延长BD 到E 使得DE =BD ，同（1）原理可证△ADE ≌△CDB ，得到∠DAE =∠DCB ，AE =CB ，然后证明∠BAE =∠MBN ，则可证△BAE ≌△MBN 得到MN =BE ，再由BE =BD +ED =2BD ，可得MN =2BD ．【解析】解：（1）①∵BD 是三角形ABC 的中线，∴AD =CD ，又∵∠ABD =∠CDE ，BD =ED ，∴△CED ≌△ABD （SAS ）；②∵△CED ≌△ABD ，∴AB =CE ，∵CE BC BE CE BC -<<+，∴AB BC BE AB BC -<<+即218BE <<，又∵2BE BD DE BD =+=，∴19BD <<；故答案为：19BD <<；（2）MN =2BD ，理由如下：如图所示，延长BD 到E 使得DE =BD ，同（1）原理可证△ADE ≌△CDB （SAS ），∴∠DAE =∠DCB ，AE =CB ，∵BC =BN ，∴AE =BN ，∵∠ABM =∠NBC =90°，∴∠MBN +∠ABC =360°-∠ABM -∠NBC =180°，∵∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°，∴∠ABC +∠BAC +∠DAE =180°，∴∠BAE +∠ABC =180°，∴∠BAE =∠MBN ，又∵AB =BM ，∴△BAE ≌△MBN （SAS ），∴MN =BE ，∵BE =BD +ED =2BD ，∴MN =2BD ．18．（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【解析】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．19．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC 中，6AB =，10AC =，D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD 到E 点，使DE AD =，连接BE ．根据______可以判定ADC ≌△______，得出AC =______．这样就能把线段AB 、AC 、2AD 集中在ABE △中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD 的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在ABC 中，90A ∠= ，D 是BC 边的中点，90EDF = ∠，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：222BE CF EF +=．【问题拓展】（3）如图3，ABC 中，90B = ∠，3AB =，AD 是ABC 的中线，CE BC ⊥，5CE =，且90ADE ∠= ．直接写出AE 的长＝______．【答案】（1）SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）见解析；（3）8．【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；（2）延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC ，根据垂直平分线的性质得到EF GF =，然后利用SAS 证明BDE CDG ≌，得到BE CG =，B DCG ∠=∠，进而得到18090ACG A ∠=︒-∠=︒,最后根据勾股定理证明即可；（3）延长AD 交EC 的延长线于点F ，根据ASA 证明ABD FCD ∆∆≌，然后根据垂直平分线的性质得到AE CF =，最后根据全等三角形的性质求解即可．【解析】解：（1）在ADC 和EDB △中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADC EDB SAS ≌△△，∴10AC BE ==．∵6AB =，∴<<BE AB AE BE AB -+，即106<<106AE -+，∴4<<16AE ，∴4<2<16AD ，解得：2<<8AD ；故答案为：SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）如图所示，延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC，∵90EDF = ∠，∴EF GF =，在BDE 和CDG 中，BD CD BDE CDG DE GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDE CDG SAS ≌△△，∴BE CG =，B DCG ∠=∠，∴AB CG ∥，∴18090ACG A ∠=︒-∠=︒，∴在Rt FGC △中，222CG FC FG +=，∴222BE CF EF +=；（3）如图所示，延长AD 交EC 的延长线于点F，∵,AB BC EF BC ⊥⊥，ABD FCD ∴∠=∠，在ABD △和FCD 中，ABD FCD BD CD ADB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABD FCD ASA ∴∆∆≌，∴3CF AB ==，AD DF =，∵90ADE ∠= ，∴AE EF =，∵538EF CE AB =+=+=，∴8AE =．20．在△ABM 中，AM ⊥BM ，垂足为M ，AM ＝BM ，点D 是线段AM 上一动点．（1）如图1，点C 是BM 延长线上一点，MD ＝MC ，连接AC ，若BD ＝17，求AC 的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E 是△ABM 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF ．（3）如图3，当E 在BD 的延长上，且AE ⊥BE ，AE ＝EG 时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2【分析】（1）根据SAS 证明△AMC ≌△BMD ，由AC ＝BD 求出AC 的长；（2）延长EF 到点G ，使FG ＝FE ，连接BG ，证明△BFG ≌△CFE ，可得EC ＝GB ，∠G ＝∠CEF ，再由BD ＝BG 可得∠G ＝∠BDF ，从而证得结论；（3）延长AE 、BM 交于点C ，作MH ⊥AC 于点H ，作MF ⊥BG 于点F ，证明∠FEM ＝∠HEM ＝45°及△AEM ≌△GEM ，再证明∠AME ＝∠1，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出∠3＝2∠1+∠2．【解析】解：（1）如图1，∵AM ⊥BM ，∴∠AMC＝∠BMD＝90°，∵AM＝BM，MD＝MC，∴△AMC≌△BMD（SAS），∴AC＝BD＝17．（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，∵F为BC中点，∴BF＝CF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，又∵BD＝AC，EC＝AC，∴BD＝EC，∴BG＝BD，∴∠G＝∠BDF，∴∠BDF＝∠CEF．（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，∵AM ⊥BM ，AE ⊥BE ，∴∠BEC ＝∠AMC ＝90°，∴∠MBF ＝90°﹣∠C ＝∠MAH ，∵∠BFM ＝∠AHM ＝90°，BM ＝AM ，∴△BFM ≌△AHM （AAS ），∴FM ＝HM ，∵∠EFM ＝∠EHM ＝90°，EM ＝EM ，∴Rt △EMF ≌Rt △EMH （HL ），∵∠FEH ＝90°，∴∠FEM ＝∠HEM ＝12∠FEH ＝45°，∵∠AEB ＝∠GEC ＝90°，∴∠AEM ＝∠GEM ＝90°+45°＝135°，∵AE ＝EG ，EM ＝EM ，∴△AEM ≌△GEM （SAS ），∴∠AME ＝∠GME ，∵∠BEM ＝∠BAM ＝45°，∴∠AME ＝∠3﹣∠BEM ＝∠3﹣∠BAM ＝∠1，∴∠AMG ＝2∠AME ＝2∠1，∵∠3＝∠AMG +∠2，∴∠3＝2∠1+∠2．21．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点；（3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．【答案】（1）68︒；（2）见解析；（3）36【分析】（1）由已知条件可得45D C ∠=∠=︒，对顶角AQD CQF ∠=∠，则DAC DFC ∠=∠，根据DAE CAB ∠=∠即可的DFC BAE ∠=∠；（2）过点B 作ME 的垂线交EM 的延长线于N ,证明AEC BNA △≌△，得AE BN =,进而可得AD NB =，再证明DAM BNM △≌△即可得证点M 为BD 中点；（3）延长AG 至K ，使得9GK AG ==，连接CK ，设AE 交BC 于点P ，先证明ABE ACD △≌△，进而证明AEG KCG △≌△，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得BAD KCA ∠=∠，进而证明ABD CAK △≌△，再根据,90CAG ABD BAC ∠=∠∠=︒,证明AH BD ⊥，根据已知条件求得ABD S 最后证明AEC ABD S S = 即可．【解析】（1）设DF 交AC 于Q ，如图1，ABC 是等腰Rt ABC 和ADE 是等腰Rt ADE△45D C ∴∠=∠=︒AQD CQF∠=∠ 180,180DAQ D AQD QFC C CQF∠=-∠-∠∠=-∠-∠DAQ QFC∴∠=∠90BAC EAD ∠=∠=︒即BAE EAQ EAQ QAD∠+∠=∠+∠BAE QAD∴∠=∠DFC BAE∴∠=∠68BAE ∠=︒68DFC ∴∠=︒故答案为68︒（2）如图2，过点B 作ME 的垂线交EM 的延长线于N ,90N ∴∠=︒90AEC =︒∠ N AEC∴∠=∠90BAC ∠=︒90EAC NAB ∴∠+∠=︒90NAC ACE ∠+∠=︒NAB ECA∴∠=∠ ABC 是等腰Rt ABC 和ADE 是等腰Rt ADE△,AB AC AD AE∴==又 AC AB=∴AEC BNA△≌△NB AE∴=AE AD= AD NB∴=90DAE ∠=︒90DAM ∴∠=︒DAM N∴∠=∠又DMA BMN∠=∠ DAM BNM∴△≌△DM BM∴=即M 是BD 的中点（3）延长AG 至K ，使得9GK AG ==，连接CK ，设AE 交BC 于点P，如图90BAC EAD ∠=∠=︒即BAE EAC EAC CAD∠+∠=∠+∠BAE CAD∴∠=∠ ABC 是等腰Rt ABC 和ADE 是等腰Rt ADE△,AB AC AE AD∴==在ABE △与ACD △中，AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE △≌ACD △（SAS ）ABE ABD S S ∴=△△，BE CD=G 点是EC 的中点EG GC∴=AGE KGC ∠=∠ ，AG GK=AGE KGC ∴△≌△（SAS ）∴,AE CK AEG KCG=∠=∠,AE KC AD ∴==ACK ACB BCE KCG∠=∠+∠+∠45AEC BCE=︒+∠+∠45ABC BAP=︒+∠+∠90BAE=︒+∠BAD=∠AKC ABD ∴△≌△（SAS ）18BD AK ∴==，CAK ABD∠=∠90BAG CAG ∠+∠=︒90ABD BAG ∴∠+∠=︒即90AHB ∠=︒9AG =，5HG =954AH AG HG ∴=-=-=111843622ABD S BD AH ∴=⋅=⨯⨯=△36AEC AEG AGC GCK AGC ACK ABD S S S S S S S =+=+=== △△△△△△△∴AEC S 36=22．（1）基础应用：如图1，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到点E 使DE ＝AD ，连接CE ，把AB ，AC ，2AD 利用旋转全等的方式集中在△ACE 中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE +CF ＞EF ；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°且∠EAF ＝12∠BAD ，试问线段EF 、BE 、FD 具有怎样的数量关系，并证明．【答案】（1）1＜AD ＜6；（2）见解析；（3）结论：EF ＝BE ﹣FD ，证明见解析．【分析】（1）先证明△CDE ≌△BDA （SAS ）可得CE ＝AB ＝5，在△ACE 中，利用三角形的三边关系解答即可；（2）如图2中，延长ED 到H ，使得DH ＝DE ，连接DH ，FH ．再证明△BDE ≌△CDH （SAS ）可得BE ＝CH ，再证明EF ＝FH ，利用三角形的三边关系解答即可；（3）如图3，作辅助线，构建△ABG ，同理证明△ABG ≌△ADF 和△AEG ≌△AEF ．可得新的结论：EF ＝BE ﹣DF ．【解析】（1）解：如图1：∵CD ＝BD ，AD ＝DE ，∠CDE ＝∠ADB ，∴△CDE ≌△BDA （SAS ），∴EC ＝AB ＝5，∵7﹣5＜AE ＜7+5，∴2＜2AD ＜12，∴1＜AD＜6，故答案为1＜AD＜6．（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．（4）结论：EF＝BE﹣FD证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2008 年中考数学几何选择题汇编 三角形1.（08辽宁沈阳）6．若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ D ） A ．50B ．80C ．65 或50D ．50 或802.（08山西太原）3．在ABC △中，4080B C ∠=∠=，，则A ∠的度数为（ D ） A ．30B ．40C ．50D ．603.（08山西太原）4．如图，在ABC △中，D E ，分别是边AB AC ，的中点，已知10BC =，则DE 的长为（ C ） A ．3B ．4C ．5D ．64.（08山西太原）8．如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ A ） A ．15B ．16C ．8D ．75.（08湖北襄樊）3．如图1，已知AD 与BC 相交于点O ，AB CD ∥，如果40B ∠=，30D ∠=，则AOC ∠的大小为（ B ）A ．60B ．70C ．80D ．1206.（08湖南湘潭）5.已知ABC ∆中，AC =4，BC =3，AB =5，则sin A =（ A ）A. 35B.45 C. 53D.347.（08湖南株洲）4．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若 6BC =，则DE等于 CA ．5B ．4C ．3D ．2ACBa c b（5题图）第4题A BCDEADE B C8. (08四川内江)5．如图，在Rt ABC △中，90C =∠，三边分别为a b c ，，，则cos A 等于（ ） A ．a cB ．a bC ．b aD ．b c9.（08黑龙江鸡西）20．如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB ∥且12EF AB =；②BAF CAF ∠=∠； ③12ADFES AF DE = 四边形； ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，正确的个数是（ B ） A ．1B ．2C ．3D ．410.（08黑龙江大庆）9．如图，将非等腰ABC △的纸片沿DE 折叠后，使点A 落在BC 边上的点F 处．若点D 为AB 边的中点，则下列结论：①BDF △是等腰三角形；②DFE CFE ∠=∠；③DE 是ABC △的中位线，成立的有（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③11.（08黑龙江大庆）10．如图，在ABC △中，AC BC AB =>，点P 为ABC △所在平面内一点，且点P 与ABC △的任意两个顶点构成PAB PBC PAC △，△，△均是．．等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．712.（08山东济宁）9．如图，ABC △是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP △绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '△重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ A ） A．B．C．D．13.（08山东泰安）8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ C ）A ．247B．3C ．724D ．13第20题A（第9题） C（第10题）B A（第9题图）68CEABD（第8题）14.（08山东潍坊）6．如图，Rt ABC △中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，P 是BC 上一点，作PE AB ⊥于E ，PD AC ⊥于D ，设BP x =， 则PD PE +=（ ）A ．35x +B ．45x-C ．72D ．21212525x x -15.（08山东潍坊）8．如图，Rt ABC △中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，BE 平分ABC ∠，交AD 于E ，EF AC ∥，下列结论一定成立的是（ ）A ．AB BF = B ．AE ED =C ．AD DC =D ．ABE DFE =∠∠16.（08山东烟台）12、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ）AA 、b a c =+B 、b ac =C 、222b ac =+ D 、22b a c ==17.（08山东枣庄）3．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1＋∠2等于(B)A ．315°B ．270°C ．180°D ．135°18.（08年江苏常州）15.如图,在△ABC 中,若DE ∥BC,AD DB =12,DE=4cm,则BC 的长为 【 】 A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm19.（08年江苏南通）17．已知△ABC 和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm 2，周长是△ABC的一半．AB ＝8cm ，则AB 边上高等于 【B 】A ．3 cmB ．6 cmC ．9cmD ．12cm20.（08年江苏无锡）16．如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置，已知45AOB ∠=，A DPBE E A BD FC第3题图C（第16题）则AOD ∠等于（ D ）Ａ．55Ｂ．45Ｃ．40Ｄ．3521.（08浙江嘉兴）3．如图，ABC △中，已知8AB =，6BC =，4CA =，DE 是中位线，则DE =（ B ）A ．4B ．3C ．2D ．122.（08浙江嘉兴）8．已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等腰三角形的顶角为（ C ） A ．50B ．80C ．50 或80D ．40 或6523.（08浙江省丽水）8．如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是(D)A. DE 是△ABC 的中位线B. AA '是BC 边上的中线C. AA '是BC 边上的高D. AA '是△ABC 的角平分线 24.（08浙江温州）7．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线， 已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（ C ）A ．23B ．32C ．34D ．4325.（08浙江温州）10．以OA 为斜边作等腰直角三角形OAB ，再以OB 为斜边在OAB △外侧作等腰直角三角形OBC ，如此继续，得到8个等腰直角三角形（如图），则图中OAB △与OHI △的面积比值是（ C ） A ．32 B ．64 C ．128 D ．256 26. (08安徽省卷)10.在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于【 C 】 A.65 B. 95 C. 125 D. 16527.（08江西省卷）8．下列四个三角形中，与右图中的三角形相似的是（ B ）（第3题）A '（第8题）C ABD（第7题图）（第10题图）28.(08福建龙岩)16．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ C ）A ．43B ．33C ．23D ．329.(08福建南平)7．已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（C ） A ．2B ．3C ．6D ．5430.（08湖北鄂州）6．如图2，已知ABC △中，45ABC ∠=，4AC =，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ B ）AB ．4C．D ．531.（08湖北黄石）8．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（ B ）32.（08湖北黄石）12．如图，在等腰三角形ABC 中，120ABC ∠=，点P 是底边AC 上一个动点，M N ，分别是AB BC ，的中点，若PM PN +的最小值为2，则ABC △的周长是（ D ） A ．2 B．2C ．4D．4+33.（08湖北荆州）3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°，其中正确的个数 是（ D ） A.1 B.2 C.3 D.434.（08湖北十堰）2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是CA ．1cm ，2 cm ，3cmB ．2cm ，3 cm ，6 cmC ．4cm ，6 cm ，8cmD ．5cm ，6 cm ，12cmA ．B ．D ．ABD CBAE H图2ABCP MN(第3题图)35.（08湖北十堰）8．如图，点E 在AD 的延长线上,下列条件中能判断BC ∥AD 的是C A ．∠3=∠4 B ．∠A+∠ADC=180° C ．∠1=∠2 D ．∠A ＝∠536.(08湖北咸宁)8．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ∽△ACD ；③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是 【 B 】A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．37.（08湖南常德）14．如图3，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）AB 边上的高为3，（3）△CDE ∽△CAB ，（4）△CDE 的面积与 △CAB 面积之比为1：4.其中正确的有 （ D ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个38.（08湖南湘潭）3.如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8, 四边形 那么:AE AC 等于（ B ）A ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 239.（08湖南邵阳）8．如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ B ） A ．BC BD =B ．AC AD =C ．ACB ADB ∠=∠D ．CAB DAB ∠=∠40.（08广东茂名）10．如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩CB第4题图DA(第8题图）AB CDEFB图3BA DECADP B图（四）B（（第10题图）D BAOE形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ C ） Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．94 41.（08广东汕头）6．已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（ A ） A ．30B ．60C ．78D ．不能确定42.（08贵州贵阳）6．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（ ） A ．1:2B ．1:4C．D ．2:143.（08贵州遵义）4、如图，OA=OB ，OC=OD ，∠O=500，∠D=350，则∠AEC 等于 ( A ) A ．600B ．500C ．450D ．30044.（08四川成都）7如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条 件才能使△ABC≌△DEF ，不能添加的一组条件是 (A)∠B=∠E,BC=EF（B ）BC=EF ，AC=DF (C ）∠A=∠D ，∠B=∠E（D ）∠A=∠D ，BC=EF45.(08四川乐山)7、如图（3）AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则sinB=A A 、513 B 、1213 Ｃ、35 Ｄ、4546.（08四川资阳）10．如图3，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D 为AB 的中点，AC ＝1，若△DEC 绕点D 顺时针旋转，使ED 、CD 分别与Rt△ABC 的直角边BC 相交于M 、N ，则当△DMN 为等边三角形时，AM 的值为B ABCD ．147.（08重庆市卷）8、若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为（）BDCA图3B第18题图A 、2∶3 B、4∶9 C、2∶3 D 、3∶248.（08陕西省卷）3、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ D ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形49.（08青海省卷）18．如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ C ） A ．1:6 B ．1:5C ．1:4D ．1:250.（08新疆区卷）7．如图，ABC △中BC 边上的高为1h ，DEF △中DE 边上的高为2h ，下列结论正确的是（ C ） A ．12h h >B ．12h h <C ．12h h =D ．无法确定51.（08新疆乌鲁木齐）5．某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ C ） A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm。