2017年春季学期新版北师大版中考一轮专题复习：第07课时 二次根式
初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 实数二次根式专题复习
二次根式专题复习【知识与技能】1.了解二次根式的相关概念、性质与运算法则.2.会灵活运用二次根式的性质与运算法则解决问题.【过程与方法】经历回顾二次根式相关知识，并灵活运用相关知识解决问题的过程，发展学生解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过引导学生积极发言表述，培养学生有条理的表达能力，让学生在自我展示中收获喜悦。
【教学重点】二次根式的概念与相关性质【教学难点】二次根式相关性质的灵活运用.一、复习回顾，温故知新（一）概念回顾1．二次根式：一般地，形如______(a≥0)的式子叫做二次根式.2．最简二次根式：一般地，被开方数不含______，也不含____________的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
（特别要求：化简时，通常要求最终结果中分母_________）3．同类二次根式：几个二次根式化成_____________后，如果被开方数_______，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。
（二）性质梳理1.双重非负性：_____________.2.()()0______2≥=a a 3.()0______2≥=a a4.)00_(__________≥≥=b a ab ，教学重难点5.)00_____(>≥=b a ba ， （三）运算法则1.乘法法则：)00_______(≥≥=•b a b a ，2.除法法则：)00_______(>≥=b a ba ， 3.加减法则：先将二次根式化成___________，再合并同类二次根式。
4.运算顺序：与实数运算顺序相同。
特别注意：（1）分母有根号时，须将分母有理化；（2）运算结果含有二次根式的必须化为最简二次根式。
二、考点解析，难点突破（一）考点一、二次根式相关概念辨析例1.下列各式：122)1(183523++->--x x a x x a ；；；；；； 中，一定是二次根式的个数有（ ）个 个 个 个例2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A.24B.36C. ab D.4+a 例3.下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）A.18B.31 C. 54 D.0.3【变式练习1】1.若最简二次根式3412-+x x 和能够合并，则x 的值为___________；2.若代数式382-+a b a 和最简二次根式是同类二次根式，则b a +的值为______；3.已知228255=-+a ，则a 的值为___________；（二）考点二、确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例4.求下列二次根式中字母a 的取值范围:23)1(+-a a 211)2(- 2)3()3(+a 21)4(--a a【变式练习2】1.若代数式xx -+32有意义，则x 的取值范围为___________； 2.若实数x ，y 满足2623+-+-=x x y ，则=y x ___________；3.已知x 满足x x x =-+-20209201，则x-20232 =_______.（三）考点三、二次根式的性质的运用例5. 若a,b,c 分别是∆ABC 的三边长，且a,b,c 满足关系式013)12(52=-+-+-c b a .（1）求a,b,c 的值；（2）试判断∆ABC 的形状，并说明理由。
八年级数学上册第二章实数7二次根式教学课件(新版)北师大版
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
知识讲解
塔座
50 m
?m
am 塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为___a_2 _2_5_0_0_ m.
下球体
【解析】选C. A项中只有当x≤ -2时，才是二次根式， 故A项不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式， 故B项不一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞ 0，所以C项一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二 次根式，所以D项也不正确.
3.（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
1. 4 × 9 = _6_
4 9 _6_
2. 16 25 20
16 25 20
用你发现的规律填空，并用计算器验算： 1. 2 3 _＝__ 6 2. 2 5 _＝__ 10
一般地，对于二次根式的乘法有： a b ab (a≥0,b≥0)
a b ab (a≥0,b≥0)
学习目标
1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单 的二次根式的乘法运算. 2.掌握二次根式的除法运算法则，并能够应用除法法则 进行计算.
温故知新
1.最简二次根式的定义
2. ab a· b (a 0,b 0).
3. a a a 0, b 0
b
b
知识讲解
计算下列各式， 观察计算结果，你发现什么规律？
【例题】 【例例21.化】简化简：： （1）16 81.（2） 4a 2b3 .
【解析解】: (1) 16 81 16 81 4 9 36.
2017年中考数学一轮复习二次根式讲学案
2017年中考数学一轮复习二次根式讲学案2017年中考数学一轮复习第4讲《二次根式》【考点解析】二次根式的意义及性质【例题】（2016广西桂林）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【变式】1.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x= B．x≠ C．x≥ D．x≤【答案】C.【解析】由题意得：5x﹣3≥0，解得：x≥ ，故选C．2.若x、y满足，则的值等于( )A. B. C. D.【答案】B.【解析】∵ ，∴.∴ .故选B.2. 最简二次根式与同类二次根式【例题】（2016四川南充）下列计算正确的是（） A． =2 B． = C． =x D． =x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】A、 =2 ，正确；B、 = ，故此选项错误；C、 =﹣x ，故此选项错误；D、 =|x|，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．【变式】下列各式与是同类二次根式的是（） A． B． C． D．【答案】D．【解析】A、 =2 ，故不与是同类二次根式，故错误；B、 =2 ，故不与是同类二次根式，故错误；C、 =5 ，故不与是同类二次根式，故错误；D、 =2 ，故，与是同类二次根式，故正确；故选D．二次根式的运算例.(2015黑龙江哈尔滨）计算＝【答案】【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.【解析】原式=2 －3× =2 －【点评】本题考查了二次根式的加减法，正确把握运算法则是解题的关键。
【变式】化简：。
【答案】2.【解析】原式= =4-2=2【典例解析】【例题1】（2016湖北荆门）要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1【考点】二次根式有意义的条件．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出x ﹣1≥0，求出答案．【解答】解：要使式子有意义，故x﹣1≥0，解得：x≥1．则x的取值范围是：x≥1．故选：C．【例题2】（2016山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a ＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．故选：A．【例题3】（2016内蒙古包头）计算：6 ﹣（ +1）2= ﹣4 ．【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．【解答】解：原式=6× ﹣（3+2 +1）=2 ﹣4﹣2=﹣4．故答案为：﹣4．【中考热点】1.（2016贵州安顺）在函数中，自变量x的取值范围是x≤1且x≠﹣2 ．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，解得：x≤1且x≠﹣2．故答案为：x≤1且x≠﹣2．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2.（2014福建厦门，第22题6分）先化简下式，再求值：（﹣x2+3﹣7x）+（5x﹣7+2x2），其中x= +1．【分析】二次根式的化简求值；整式的加减．根据去括号、合并同类项，可化简代数式，根据代数式的求值，可得答案．【解答】原式=x2﹣2x﹣4=（x﹣1）2﹣5，把x= +1代入原式，=（ +1﹣1）2﹣5=﹣3．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，先去括号、合并同类项，再求值．3.（2016广西桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：∵a=3，b=4，∴∴事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC的内切圆半径r．【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用．【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S= 即可求得S的值；（2）根据公式S= r（AC+BC+AB），代入可得关于r 的方程，解方程得r的值．【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，∴p= = =10，∴S= = =10 ；故△ABC的面积10 ；（2）∵S= r（AC+BC+AB），∴10 = r（5+6+9），解得：r= ，故△ABC的内切圆半径r= ．。
北师大版初二数学上册7.二次根式.1 二次根式(第1课时)教学设计
第二章 实数7．二次根式惠来县葵潭中学 曾宇涛教学分析本节分为三个课时。
第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．学情分析学生在上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．但所任教班级学生运算能力还不够熟练，在这三节课的学习中，控制上课速度和题目的难度．（第1课时）教学目标：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质．3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．教学过程：一、回顾导入同学们，观察下列代数式：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），这些式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
明晰二次根式的概念。
一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。
a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．那么二次根式怎样进行运算呢？我们本节课要就来解决的这个问题．二、探究性质同学们，认真计算“做一做”练习，回答问题（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ；2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？从上面运算结果我们可以达到二次根式的性质：b a b a ∙=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0， b ＞0）． 三、知识巩固例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。
初中数学《二次根式》课件北师大版1
2、解：由题意得x-6=0且y+1=0． 解得x=6，y=-1． ∴x+4y=6+（-1）×4=2，
∴x+4y的平方根为± 2 .
3、由题意得
x 3≥ 0，
3
x≥
0，
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
2、二次根式的性质及化简
（1）
a
b
二：最简二次根式的条件；
1、被开方数不含 分母
a （开方数不含 能开得尽方的因数或因式 ；
学生自学，教师巡视（4分钟）
例1 化简：
（1） 81 64
81
64
98
72；
被开方数不含开得尽方 的因数或因式
（2） 25 6 25 6 5 6；
（3） 5 5 5 . 9 9 3 为什么50分解
（3）原式
3
3
25
5
2、仿照例2化简： （1） 200 （ 2） 2 1
2
（ 3） 1 6
被解开：方（ 数1是）带原分式 数时 100 2 10 2 ，应先化为假分数
（2）原式
（3）原式
5
5 2
10
2
最2后结2果， 2
1分母中6不能含有根6号
6 6
6
讨论、点拨、更正（3分钟）
1、50是最简二次根式吗？什为么？
例 2 化简：
为25×2，而不 分解成5×10？
被开方数不含分母
整数要分解为含有最 大开得尽方的因数.
（1） 50 25 2 25 2 5 2；
（2） 2 2 7 2 7 7 77 77
北京市第四中学2017年中考数学总复习 专题训练 二次根式 4《二次根式》复习与巩固(无答案)
《二次根式》全章复习与巩固
一、 化简
1、无条件的（所有字母取正数）
2、有附加条件的
0)a ＜ 5(03)x x -＜＜
3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围）
①2 ②
4、 需要分类讨论的
二、 因式分解（实数范围内）
①4a + ②2x x +
③2
215x +-
三、解方程（组）
①3x =
②-=+=
四、填空
1
、20072008(22)
=
2
x ，小数部分为y ，则32x y +=
3
、①20+=
②1(2-⎤=⎦
4
-
5、∆ABC 的三边长为a
、b 、c =
62x =-成立的条件是
=成立的条件是
7
===⎨⎪= 哪个对？
五、计算技巧：
1
=
2
=
3
、
=
4、化简
b ab b a ab a -++
5
、化简
6、已知a+b=-3,ab=1,求
a
b b a 的值.
7、如图所示，有一块边长为1的正方形铁片，将其每个角都剪下一个小等腰三角形，使其成为每条边都相等的八边形，求这个八边形的边长，你能将其结果写成没有分母或分母不带根号的形式吗？
D
C B A。
北师版数学中考一轮复习第一章--第四节 二次根式
第四节二次根式二次根式及相关概念1．二次根式形如a(a)的式子叫做二次根式．2．最简二次根式最简二次根式必须同时满足以下条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式几个二次根式化成后，如果相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如8与2是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．二次根式的性质二次根式的性质(1)(a)2＝a(a≥0)．(2)a2＝|a|（a≥0），a（a<0）.(3)ab＝a·b(a≥0，b≥0)．(4)ab＝ab(a≥0，b>0)．(5)双重非负性：二次根式a a≥0二次根式的运算1．二次根式的加减先将各二次根式化为，然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：a·b＝(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：ab＝(a≥0，b＞0)；(3)二次根式的运算结果一定要化成．3．二次根式的开方a2（a≥0），a（a＜0）.4．二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；(2)加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；(3)多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；(4)二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．二次根式的估值1．确定在哪两个相邻整数之间(1)先对根式平方，如(7)2＝7；(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；(3)对以上两个整数开方，如4＝2，9＝3；(4)确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间，如2<7<3.2．确定离哪个整数较近(1)先确定这个根式在哪两个整数之间，如2<7<3；(2)求这两个整数的平均数，如2＋32＝2.5；(3)用平方法比较根式和平均数的大小：若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近．如2.52＝6.25<7，则7离3较近．估算二次根式加上(减去)一个整数的值时，要先估算二次根式的值，然后根据不等式的性质：不等式两边同时加上(减去)一个整数，不等号方向不变来判断，如5＋1，∵2<5<3，∴2＋1<5＋1<3＋1，即3<5＋1<4.利用二次根式的双重非负性解题因为二次根式a (a ≥0)表示a 的算术平方根，所以a ≥0，对于二次根式非负性的应用，常见题型是已知几个非负数之和等于0，求代数式的值．(2019·硚口区月考)已知a ，b ，c 满足2a ＋b －4＋|a ＋1|＝b －c ＋c －b .求－4a ＋b ＋c 的平方根．二次根式的化简求值“给值求值”类型的二次根式求值题是二次根式运算中的常见题型，解答此类问题，一般不宜采取直接代入计算的方法求解，通常的思路是：先仔细分析已知数据与待求值的代数式之间的关系，把已知式和待求式进行适当的变形，然后采取整体代入的方法求值．(2019·吉安二模)已知x －y ＝2，z －y ＝－2，求x 2＋y 2＋z 2－xy －yz －xz 的值．当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不为0而出错(2019·恩施二模)使式子x ＋1x 2－1有意义的x 的取值范围是()A ．x ≥－1B ．x ≥－1且x ≠±1C ．x ＞－1D ．x ＞－1且x ≠1注意二次根式混合运算的结果要写成最简形式逆用公式a 2＝a (a ≥0)时未注意隐含条件将a－1a根号外的因式移到根号内的结果为．1．(2019·大同期末)如图，在矩形ABCD 中，不重叠地放上两张面积分别是5cm 2和3cm 2的正方形纸片BCHE 和AEFG .矩形ABCD 没被这两个正方形盖住的面积是．2．(2019·枣庄)观察下列各式：1＋112＋122＝1＋11×2＝1＋(1－12)，1＋122＋132＝1＋12×3＝1＋(12－13)，1＋132＋142＝1＋13×4＝1＋(13－14)，…请利用你发现的规律，计算：1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋120182＋120192，其结果为．海伦—秦九韶公式假设在一个平面内，有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，半周长p ＝a ＋b ＋c2，此三角形的面积S 可由以下公式求得：①S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），古希腊的几何学家海伦(Heron ，约公元50年)，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②S ＝14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2].下面我们对公式②进行变形：14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2]＝（12ab ）2－（a 2＋b 2－c 24）2＝（12ab ＋a 2＋b 2－c 24）（12ab －a 2＋b 2－c 24）＝2ab ＋a 2＋b 2－c 24·2ab －a 2－b 2＋c 24＝（a ＋b ）2－c 24·c 2－（a －b ）24＝a ＋b ＋c 2·a ＋b －c 2·c ＋a －b 2·b ＋c －a 2＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）.这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称公式①为海伦—秦九韶公式．3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为S ＝14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2].已知△ABC 的三边长分别为6，2，2，则△ABC 的面积为．二次根式的相关概念及性质（2019年安徽阜阳市中考模拟5-4在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是()（2018年安徽六安市中考模拟5-4的运算结果应在（）A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间（2017年安徽淮北市中考模拟12-5分）若14x <<=________．（2013年安徽11-5分）若1－3x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．（2011年安徽4-4分）设a ＝19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是()A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5二次根式的运算（2019年安徽11-5182的结果是.（2018年安徽合肥包河区中考模拟11-4分）计算18212-的结果是．（2017年安徽合肥庐阳区中考模拟15-8011244(12)38-（2016年安徽淮南市中考模拟12-54827）24的结果为__________________.（2015年安徽2-4分）计算8×2的结果是()A.10B.4C.6D.2（2010年安徽11-5分）计算3×6－2＝________．二次根式的估值（2016年安徽安庆市中考模拟4-4分）下列各式一定是二次根式的是()A.3- B.21x + C.34D.2x -（2014年安徽6-4分）设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为()A.5B.6C.7D.8。
第7讲解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版8年级上册
4 3 1． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键． 4．（2023 春·黑龙江大庆·七年级统考期末）计算： (1) 32 18 1 ；
2
2
(2) 2 3 1 2 3 1 3 1 ．
【答案】(1) 3 2 2
(2) 7 2 3 【分析】（1）先化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差和完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）原式 4 2 3 2 2
2 3 3．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解题关键是牢记公式．
【变式训练】
2
2
1．（2023 春·青海果洛·八年级统考期末）计算： 3 2 3 2 ．
【答案】 4 6
【分析】先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算即可．
2
2
【详解】解： 3 2 3 2
3 1
3
2
3
2．
【答案】(1) 3 4 2 (2) 3 2 3
【分析】（1）首先计算零指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左往右依次计算，即可得到答案； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并即可得到答案．
【详解】（1）解： 20220 18 4 2 1 2
13 2 2 2 2 2
第 2 章第 07 讲 解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6 类热点题型 讲练)
目录 【类型一 利用二次根式的非负性求值】 ..........................................................................................................1 【类型二 利用乘法公式进行计算】 ..................................................................................................................4 【类型三 整体代入求值】 .................................................................................................................................. 6 【类型四 新定义型运算】 .................................................................................................................................. 9 【类型五 二次根式的分母有理化】 ................................................................................................................12 【类型六 复合二次根式的化简】 ....................................................................................................................18