福州大学线性代数4.4-5.1(1)
考研线性代数重点内容及常见题型
考研线性代数重点内容及常见题型作者：戴立辉，陈翔来源：《教育教学论坛》 2016年第47期戴立辉，陈翔（闽江学院数学系，福建福州350108）摘要：本文依据考研大纲，对考研线性代数的重点内容及常见题型进行归纳和总结，从而将线性代数课程要求学生掌握的知识体系体现出来，可作为教师进行线性代数教学时参考。
关键词：考研；线性代数；重点内容；常见题型中图分类号：G643 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）47-0202-02收稿日期：2016-06-28基金项目：闽江学院2013年度教育教学改革研究项目（项目编号：MJUB2013033）作者简介：戴立辉（1963-），男，江西乐安人，闽江学院数学系教授，主要从事矩阵论的研究；陈翔（1980-），男，福建连江人，闽江学院数学系讲师，主要从事代数环论的研究。
线性代数是考研数学（含高等数学或微积分、线性代数、概率论与数理统计）重要组成部分之一，由于它的内容的抽象性，因此在理解上有一定的难度，使许多学生对该课程的考题有无从入手的感觉。
因此要求学生首先要充分理解线性代数的基本概念，在此基础上，熟练掌握相关基本定理或基本性质，最终熟练掌握基本计算方法，并及时将所学知识进行总结并提高，以达到融会贯通、举一反三的目的。
考研线性代数内容包括行列式、矩阵、向量与向量空间、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型等[1]。
本文依据考研大纲[2，3]，对考研线性代数的重点内容及常见题型进行归纳和总结，从而将线性代数课程要求学生掌握的知识体系体现出来，可作为教师进行线性代数教学时参考。
本文中，|A|表示方阵A的行列式，R（A）表示矩阵A的秩，AT表示矩阵A的转置，A*表示矩阵A的伴随矩阵，其他符号可参见文献[1]。
一、行列式行列式作为一种重要的数学工具，在线性代数课程中，如在计算矩阵的特征值中起着必不可少的作用。
重点内容是计算行列式（具体的或抽象的行列式的计算），计算的主要方法有：用行列式定义计算行列式、用行列式的性质计算行列式（重点是化行列式为三角行列式）、按行或列展开定理（包括拉普拉斯展开定理）计算行列式、化行列式为范得蒙德行列式、用递推法或数学归纳法或加边法计算行列式、用方阵的特征值计算行列式（方阵的行列式等于它的全部特征值的乘积）。
线性代数讲义正式版
目录 第一章 行列式........................................................................................................................................ 1
第一节：基本概念.......................................................................................................................... 1 第二节：行列式的基本性质与计算.............................................................................................. 1 第三节：典型例题精讲.................................................................................................................. 2 第二章 矩阵.......................................................................................................................................... 5 第一节：基本概念.......................................................................................................................... 5 第二节：几种特殊矩阵.................................................................................................................. 5 第三节：矩阵基本运算与公式性质.............................................................................................. 6 第四节：初等变换与初等矩阵...................................................................................................... 8 第五节：求逆矩阵........................................................................................................................ 10 第六节：矩阵的秩........................................................................................................................ 12 第七节：矩阵的性质.................................................................................................................... 13 第三章 向量........................................................................................................................................ 18 第一节：基本概念........................................................................................................................ 18 第二节：向量组的性质................................................................................................................ 19 第三节：向量组的秩与向量组等价............................................................................................ 23 第四章 线性方程组............................................................................................................................ 26 第一节：基本概念........................................................................................................................ 26 第二节：基本结论........................................................................................................................ 26 第三节：线性方程组解的结构.................................................................................................... 27 第四节：具体线性方程组的通解的求法.................................................................................... 28
福州大学高等数学教材答案
福州大学高等数学教材答案1. 引言《福州大学高等数学教材答案》是为了满足福州大学高等数学课程的学生需求而编写的辅助教材。
本答案提供了教材中各章节的习题解答，旨在帮助学生更好地理解和掌握高等数学的概念和方法。
本文按章节顺序介绍了教材的答案解析，以帮助学生更好地进行自主学习和提高数学思维能力。
2. 第一章绪论第一章主要介绍了数学的基本概念和运算法则，包括数集、数的性质、数的四则运算等。
本章的习题解答涉及了自然数、整数、有理数、实数、复数等的性质和运算法则，旨在巩固学生对基础数学概念的理解和应用能力。
3. 第二章极限与连续第二章重点介绍了函数的极限和连续性，包括极限的定义、性质和计算方法，以及连续函数的概念和判定定理。
本章的习题答案解析涵盖了函数极限的求解、连续性的判定和应用等内容，旨在帮助学生掌握函数极限和连续性的理论和实际运用。
4. 第三章导数与微分第三章主要介绍了函数的导数和微分，包括导数的定义、性质和计算方法，以及微分学的基本概念和应用。
本章的习题答案解析涉及了导数的求解、微分的计算和应用等方面，旨在加深学生对导数和微分的理解和运用能力。
5. 第四章积分与应用第四章重点介绍了函数积分和积分学的应用，包括定积分的定义、性质和计算方法，以及面积、体积和物理应用等方面。
本章的习题答案解析涵盖了定积分的求解、曲线围成的面积和曲线绕轴旋转体的体积计算等内容，旨在帮助学生巩固对积分和应用的理论和实践能力。
6. 第五章微分方程第五章主要介绍了微分方程及其应用，包括常微分方程的基本概念、解法和应用。
本章的习题答案解析涵盖了一阶和高阶微分方程的求解、初值问题和物理应用等方面，旨在帮助学生掌握微分方程的理论和实际应用能力。
7. 总结《福州大学高等数学教材答案》全面覆盖了教材中各章节的习题解析，提供了对数学知识点的应用和实践指导。
通过自主学习和对答案解析的理解，学生可以更好地掌握高等数学的理论和方法，提高数学思维能力。
[理学]线性代数技巧行列式的计算方法解析
![[理学]线性代数技巧行列式的计算方法解析](https://img.taocdn.com/s3/m/3701813a650e52ea55189860.png)
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nn n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a bb D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
线性代数教学大纲和计划(专科)
《线性代数》课程教学大纲（专科）32学时2学分一.课程教学对象本课程是工科专业的公共基础课，以微电子二年级专科生为教学对象。
二.课程的地位、作用及任务本课程是理、工、经、管各专业必修的一门基础理论课程。
它以向量和矩阵为主要工具，讨论有限维空间的线性理论和方法。
由于线性问题广泛存在，非线性问题在一定条件可转化线性问题研究，而且无限维的问题也可通过离散化为有限维问题来处理，因此线性代数的理论与方法已经渗透到现代科技的各个领域。
随着科学技术数学化和计算机的广泛应用，线性代数在高等教育中的地位和作用愈显重要。
通过本课程的教学，学生应该掌握初等线性代数的基本理论和基本方法，培养用矩阵方法处理有关问题的能力，为学习后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的基础。
三. 教学内容和基本要求第一章. 矩阵及其初等变换（7节）1.1矩阵及其运算（2节）1.2高斯消元法与矩阵的初等变换（2节）1.3逆矩阵（2节）1.4分块矩阵（1节）教学基本要求：理解矩阵的概念，掌握零矩阵单位阵、数量矩阵、对角阵、对称阵等性质；熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律；掌握高斯消元法，知道初等矩阵，了解初等矩阵的性质及与初等变换的关系，了解行阶梯阵和行最简形矩阵的特点。
理解逆矩阵的概念及其存在的充要条件，掌握用初等行变换求逆矩阵的方法；学会分块矩阵的运算。
重点：矩阵运算、矩阵求逆难点：矩阵的逆运算及分块运算第二章.行列式（6节）2.1 行列式的定义（2节）2.2行列式的性质（2）2.4克莱姆法则（1节）2，5矩阵的秩（1节）教学基本要求：掌握行列式的性质及按行（列）展开，了解行列式的乘法公式，掌握2～4阶数字行列式的计算，会计算较简单的n阶行列式。
掌握逆阵与伴随阵的关系，了解Cramer 法则，理解矩阵的秩的概念和性质；会用初等变换求矩阵的秩。
重点：求逆序数、行列式的计算难点：计算行列式习题课（2节）第四章.n维向量空间（7节）4.1 n维向量空间的概念（1节）4.2向量组的线性相关性（2节）4.3向量组的秩与最大无关组（2节）4.4线性方程组解的结构（2节）教学基本要求：理解n维向量与线性组合的概念；理解向量组线性相关、线性无关的定义，并了解有关重要结论；掌握向量组的线性相关性与无关性的判别；理解矩阵的秩、向量组的秩概念及它们的关系；会用初等变换求向量组的极大无关组。
线性代数四五章知识点总结
线性代数四五章知识点总结第四章：行列式1. 行列式的定义行列式是一个数学工具，它可以用来表示一个线性变换对体积的放大倍数。
对于一个n阶（n行n列）的方阵A，它的行列式记作det(A)，行列式的元素通常用aij表示，其中i代表行号，j代表列号。
2. 行列式的性质（1）行列式中的行（列）互换，则行列式变号。
（2）行列式的某一行（列）乘以一个数k，那么行列式的值也要乘以k。
（3）行列式中的某一行（列）的元素都是两个数的和，那么行列式等于两个行列式的和。
（4）若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为0。
3. 行列式的计算（1）余子式和代数余子式对于一个n阶行列式A，如果去掉第i行和第j列的元素后，剩下来的(n-1)阶行列式就是A的余子式，用Mij表示。
而对应的代数余子式就是Mij乘上(-1)^(i+j)。
（2）拉普拉斯（Laplace）展开定理通过代数余子式的计算，可以利用拉普拉斯展开定理来计算n阶行列式的值。
即对于一个n阶行列式A，其中的元素aij乘以对应的代数余子式Mij后相加，即可得到行列式的值。
第五章：特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的概念对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax=λx，那么λ称为A 的特征值，x称为A对应于特征值λ的特征向量。
2. 特征值和特征向量的计算寻找一个矩阵的特征值和特征向量可以通过求解方程组(A-λI)x=0来得到。
其中A是待求矩阵，λ是特征值，x是特征向量，I是单位矩阵。
3. 特征值和特征向量的性质（1）特征值的性质：一个n阶方阵A的n个特征值之和等于它的主对角线元素之和，即Tr(A)=λ1+λ2+...+λn。
（2）特征向量的性质：如果A有n个不同的特征值λ1,λ2,...,λn，那么这n个特征值对应的n个特征向量是线性无关的。
4. 特征值与对角化如果一个n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以将它对角化成对角阵D，即找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D。
福州大学《线性代数》含参考答案
福州大学《线性代数》试卷2014年4月27日一、填空(共30分,每空3分)1. 设1211102,2243x x y t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则t =____________. 2. T (1,2,3),A E A A =-=设则3_______________．3. 313233112103,,3312ij ij D A D a A A A _____.-=-+-=-设表示中元素的代数余子式则.4. ,A B 设都是n 阶方阵，13,2,3______A B A B *-==-=且则.5. 2333231232221131211==a a a a a a a a a M 如果，则=D 111112132121222331313233532532532a a a a a a a a a a a a ----=--__________. 6. 若方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩存在非零解，则.__________=λ7. 设方阵A 的特征值3对应的特征向量为T (1,3,1)-，则T (1,3,1)A-= .8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50413102x 可相似对角化，则x 的值为 .9. 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵表达式为_____________________________________________，可经正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形 123(,,)f y y y =______________.学院 专业 级 班 姓 名 学 号二、单项选择（每小题2分，共10分） n 1.设,,,A B C ABC E =阶方阵满足则必有（ ）.(C) (D)CBA E BAC E ACB E === 2. 设A 是n 阶非奇异矩阵.其伴随矩阵为A *，则( )．2112(A) () (B) () (C) () (D)() n n n n A AA AAA A AA A AA ++--********====3. 设A 是s m ⨯矩阵,B 为n s ⨯矩阵,则使0=ABx 与0=Bx 是同解方程组的一个充分条件是( ).(A) (R A m =) (B ) (R A s =) (C )(R B n =) (D) (R B s =) 4．已知3阶方阵A 的特征值是0，1，1-，则下列命题中不正确的是( ). (A) 方阵A 是不可逆的 (B) 方阵A 与对角矩阵相似(C) 1和1-所对应的特征向量正交 (D) 0=Ax 的基础解系由一个向量组成5. 设1234(,,,)A αααα=是4阶方阵，若T (1,0,1,0)是方程0AX =的一个基础解系，则*0A X =的基础解系可为( ).(A)12,αα (B)13,αα (C)123,,ααα (D)234,,ααα三(10分) 1,6,A B A BA A BA -=+设三阶矩阵满足A =且111(,,),234diag 试求矩阵B ．.四(10分) 11002131101121210111003200110022A B ,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭设； (1)B 求；(2)R 求()AB .五(10分)设矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1129513151133173113311，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属该最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示．六(10分) 当λ取何值时，线性方程组 ,1)5(4224)5(2122)2(321321321⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-λλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多解? 并求其通解．装 订 线 装 订 线 装 订 线11)6(---=∴E A B ).21,31,41(---=diag -------------10分四、解 (1) .40104222312122200230012121312-=⨯-=-⋅-=--=B ----------5分(2) 由(1)知,040≠-=B 所以B 可逆, 从而有 ).()(A R AB R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100111011010011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−1100111011100011r ,0000110011100011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−r,3)(=∴A R 因此.3)()(==A R AB R ----------10分 法二 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4100531254122504AB ,0000410001205312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−r .3)(=∴AB R 五、解 记),,,,( 54321ααααα=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1129513151133173113311 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−00000210001121013311r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−00000210003021080101r ---------6分故一个最大无关组为421,,ααα.且有,2213ααα+=.2384215αααα++-=六、解 对方程组的增广矩阵)(b A B =施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------==154224521222)|(λλλλb A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------−→−)4)(1()10)(1(0011101452λλλλλλλλr（或 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-−→−=)4)(1()10)(1(0011101542)|(λλλλλλλλλrb A B ）(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, R (A )=R (B )=3,方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, R (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, R (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.此时,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−rB故方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T=-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,) ---------10分解法二 方程组的系数行列式为λλλ-------=542452222||A ,)1)(10(2--=λλ(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, |A| ≠0, 方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==221121215112)|(b A B ,90000330211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−λrR (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==244224421221)|(b A B ,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−rR (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.得方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T =-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)----------10分七、解(1),000210101000210321622412321),,(21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r x x β.221x x --=∴β ----------6分(2) 212121222)2(x x Ax Ax x x A A +-=--=--=β.026⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ----------10分八、证明 “充分性”设T ab A =,其中b a ,为非零列向量,则有.1)()(==T b R a R 由Sylverster 不等式有)},(),(min{)(1)()(T T T b R a R ab R b R a R ≤≤-+即有,1)(1≤≤T ab R 故,1)(=T ab R 即.1)(=A R ----------4分“必要性” 设,1)(=A R 则A 的标准形为n m O O O E F ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1n m ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001 所以存在m 阶可逆阵P , n 阶可逆阵Q , 使得,F PAQ =(1) 从而有,11--=FQ P A 记 ),,,,(211m p p p P =-,211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n q q q Q则),,2,1(m i p i =为m 阶非零列向量, ),,2,1(n j q j =为n 阶非零行向量,112121000000001),,,(q p q q q p p p A n n m m =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⨯令,,11q b p a T ==则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. ----------10分（或(2) 推出 11000000001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A 1111)0,,0,1(001-⨯⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q P n m 记11001⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m P a ,11)0,,0,1(-⨯=Q b n T , 则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. -------10分）。
福师大2013-2014-2线性代数期考试卷A
福建师范大学 （公共课） 数计学 院 2013 — 2014 学年第 二 学期考试 期末考A 卷 考生 信 息 栏 ＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿ 专业 ＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿ 装订线专 业： 全校各专业 年 级： 2013级等 课程名称: 线性代数 任课教师： 陈兰清、林惠玲 试卷类别：开卷（ ）闭卷（√ ） 考试用时： 120 分钟 考试时间: 2014 年 6 月 27 日 下 午 2 点 30 分 题号 一 1-5 二 6-10 三 总得分 11 12 13 14 15 得分 考生 须知 1. 答案一律写在答题纸上，否则无效。
2. 答题要写清题号，不必抄原题。
3. 考试结束，试卷与答题纸一并提交。
一． 单项选择题：每小题3分，共15分. 请将答案写在答题纸上. 1. 设3阶矩阵A 的特征值分别为2, 0, 0, 则A E -= （ ）. (A) 1； (B) -1； (C) 0； (D) 2 . 2. 设矩阵123(,,)A a a a =经过初等行变换可化为112011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则必有( ). (A) 3122a a a =+； (B) 312a a a =+； (C) 123,,a a a 线性无关； (D) 123,,a a a 线性相关，但无法给出其关系.考 生 信息 栏 ＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿ 装 订 线。