福州大学线性代数课后习题三答案
线性代数课后习题答案全)习题详解
线性代数课后习题答案全)习题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x yyx y x +++. 解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --1002310021214---34)1(142101+-⨯--=143102211014-- 321132c c c c ++141717001099-(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4)4444442222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边)()()222222222222a d d a c c a a d a c ad a c ------ =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=n n n nd c d c b a b a a 0000111111--展开按第一行0000)11111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121n n n n a a a a a a a a +------10001001000100100010000114332展开（由下往上）按最后一列1(+n a nn n a a a a a a a ------00000000000000000000000224332 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=000100210151---= 112035122412111512-----=D 11503120270151------=313911230231115-2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列0000105165610050066100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 11051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以 AB =(AB)T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2,故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |1-A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到 |A||A*|=|A|n .若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解 由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E -2A)-1=-8(-2E -2A)-1=4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.由ABA -1=BA -1+3E 得AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001, 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线性代数课后练习参考答案（初稿）
线性代数课后练习参考答案（初稿）线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-?-?=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-= （3）13120010020020030(1)3002(1)243000040040004++=-=?-=-（4）111213100002300234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=?-+?-=2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）2 1412141312150620123212325625062-==（2）2851285110513102531906196512511310805120512121117609712--------==---=----=----------（3）111111111ab ac ae b c e bdcd de adf b c e adfbce bfcfefbce----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()010a b b ba b b b a b a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b ab a b a-==--=--------（5）x a a aa x a aa a x a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a a ax n a xa a x n a a x a x n a a a x+-+-+-+- =[(1)]x n a +-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]xn a+-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）2222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)012111110001012111 11200213111112201231230 123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a bb c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111*********22222222222223333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）0()()()()00x y z x z y x y z y z x z x y x y z y z x zy x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111xx x xxy y y y yy+---=++++---21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y yy y y y-?-?- ?=++=++++ ?---??22222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y + ?=+-=-+= ?- ?-?（4）设012110001000100n n n a a x D a x a x----=-，则按最后一行展开，可得011132 10001101(1)00110n n n n n a a x x D a xa x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++.332123223321123210n n n n n n n n n n na xa a x a x x D a xa a x a x a x a x -----------= =+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=? 有非零解时，必须满足什么条件？解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-.又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -+=-=---2. 解：由A X B +=，得020133.221X B A -??=-=-- ? ?--?? 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -???? ? ?-=--=- ? ? ? ?- 4. 解：（1）()31,2,32132231101?? ?=?+?+?= ? （2）()22411,212336-???? ? ?-=- ? ? ? ?-????，（3）12110162134021311491231042217--?????? ??? ?= -（4） 1312140012678113413120510402??--???? ?= ? ? ?---????5. 解：（1）错误，令1101,,0111A B == ? ?则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B == ? ?则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B == ? ?则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误，设00,10A ??=则有20A =，但0.A ≠（5）错误，设10,00A ??=则有2A A =，但.A I ≠6．解：2221010(),0101AB A B -== ? ?-7．证明：因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明：因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解：由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -?? ?=--=- ? ???. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-??=cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-??=对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2s in 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-??--??==-??, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-??=. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--=cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---??=+-??cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+??=++??因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-??=. 11. （1）解：由初等行变换可得，111031113111031107221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------???????? ?----=→→→ ? ? ? ?------ ?-（2）解：由初等行变换可得，111111107125016016234000000 ? ? ?-→-→- ? ? ? ? ? ?-12. 解法见第38页例2.14.13. (1) 解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ→→--- ? ? ? ? ? ?---?2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ?? ?→--- ? ?-+-+?，当2λ=-时，方程组无解，当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000??因此方程组的解为12111010001k k --++ ? ? ? ? ? ???????， 12,k k 为任意常数，当1λ≠，且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---??--→-- ? ? ? ?---?112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--???? ? ?→-+--→--- ? ? ? ?-------当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000??因此方程组的解为12111010001k k --++ ? ? ? ? ? ???????， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解：通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015?- ? ? ? ? ? ? ? ? ?-?15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-→→ ? ? ?--，故 112522521--= ? ?-相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解：原线性方程组可写成123123122103430x x x= ??? ? ??? ???????，因此，11231123132210234301x x x -??==- ? ? ? ? ? ? ? ?17.（1）由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --??-??-?? ? ?== ? ? ?-- ??? ?-，（2）由原矩阵方程可得1111143120112011104X --???????? ?== ? ??? ?---??????（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----???????? ? ??? ?=-=- ? ??? ? ? ??? ?--????????18证明：因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=，所以12()()k I A I A A A --=++++19．解：由220A A I --=，得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-，因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=-20. 证明：由220A AB B ++=，且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=- 21. 令11123,01121001B C ??== ? ??? ?，则111311044,0111100122B C --??-??- ? ?==--，因此1111130004411000002200001100001100001B B A A A ----??- ? ?-=== ?- ? ?- ?. 22. 证明：若,B C 可逆，则有11000B C I CB --= ? ?，所以A 可逆，且1110.0C A B---??= 反之，若A 可逆, 设其逆为X Y Z V ??，则， 000B X Y I o CZ V I= ??? ???????，因此，,BZ I CY I ==，因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =，得211A A AA --=，即A E =，这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?=+++ ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?-- 解得, 12345111 ,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x++= ? ? ? ? ? ???????，上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ? ? ?=-→-→- ? ? ? ? ? ?-, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立. 7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()?设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=??+=??+=? 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()? 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关，所以123123123(000k k k k k k k k k +-=??-++=??-+=? 解得上面方程组只有零解，因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（?）设1mi i i k αα==∑，和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（?）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑，则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi ii k α==∑若有某个0i k =，不妨设10k =，则有20,mi ii k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====，这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零，命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ? ? ?=-→--→-- ? ? ? ? ? ?--+-+所以，当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关，且312111.77ααα=+ 13. 解：（1）因为2344112311231123112323440501005010326132610501000001021102101020000A --------=→→→ ? ? ? ?------因此，向量组1234,,,αααα的秩为2，12,αα是一个极大线性无关组，且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2），（3），答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα?? ?-= ? ???，有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2，即12,αα线性无关.（2）容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++? 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明：因为01101111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关，即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++，即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=??-++=??+=?，解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明：因为A 是正交阵，所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==，故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000?????? ? ?--- ? ? ?→→-- ? ?-, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=??-=?选取3x 作为自由未知量，解得基础解系为1971-?? ? ? ???，因此，方程组的解为1971k -?? ? ? ???（2）313411311131159815980467113131340000--------→--→-- ? ? ? ? ? ?----，选取选取34,x x 作为自由未知量，解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -+ ? ? ? ?????（3）见教材答案（4）见教材答案2. （1）对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --???? ? ?=--→ ? ? ? ?----解得特解为5/6101/6??-??，对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-?? ?- ? ? ???，因此方程组的同解为5/6101/6?? ? ? ? ?-??+3510k -?? ?- ? ? ???（2）答案见教材 3. （略）4. 证明：令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线代第3章习题答案
第3章1. 34(30,10,20,16)γαβ=-=---.2. (1) 能，唯一一种表示：12323βααα=--. (2) 不能.(3) 能，很多种表示：123(21)(35)c c c βααα=-+-++，c 为任意常数. 3. 证明略，唯一表达式为：12123234344()()()b b b b b b b βαααα=-+-+-+. 4. (1) 线性无关. (2) 线性相关.(3) 线性相关，因为4个向量，每个向量维数3维. (4) 若a ,b ,c 均不相等，线性无关，否则线性相关. 5. (1) 线性无关 (2) 线性无关 (3) 线性相关.6. 解：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=，整理可得141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=，因为已知1234,,,αααα是线性无关的，故有 141223340,0,0,0,k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩系数矩阵1001100111000101011000110011000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =. 故12233441,,,αααααααα++++是线性相关的.7. 证：因为任意1n +个n 维向量必线性相关，故12,,,,n αααβ 线性相关，存在 不全为零的1n +个数121,,,n k k k + ，使得112210n n n k k k k αααβ+++++= . 若10n k +=，12,,,n ααα 线性相关，矛盾.所以10n k +≠，β可由12,,,n ααα 线 性表出.下证表达式唯一，类似于定理3.5的证明.8. 证：（反证法即得）.假设1234,,,k k k k 不全为零，其中某个为零，其他的不为零.不妨假设10k =，则2233440k k k ααα++=，其中234,,k k k 均不为零，则可推出 234,,ααα是线性相关的，这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成 立.由假设的任意性可知112233440k k k k αααα+++=，其中1234,,,k k k k 全不为 零.9. 证：设前一向量组的秩为r ，则显然r s ≤，又后一组的秩也为r ，则有1r s s ≤<+，故后一向量组是线性相关的.若r s =,则前一组是线性无关 的，后一组是线性相关的，则由定理3.5知，β可由1α,2α, ,s α线性表出， 且表达式唯一.若r s <，则两组均是线性相关的，且两个向量组的秩是相等 的，也可推出β可由1α,2α, ,s α线性表出. 10. 证：因为12,,n εεε 能由12,,n a a a 线性表示, 所以 1212(,,,)(,,,)n n r r a a a εεε≤ ，而12(,,,)n r n εεε= ，12(,,,)n r a a a n ≤ ，所以12(,,,)n r a a a n = ，从而 12,,n a a a 线性无关.11. 证：因为任一向量β可由12,,,s ααα 线性表出，故n 维基本向量组12,,s εεε能由12,,,s ααα 线性表出，又知12,,,s ααα 可由基本向量组12,,s εεε 表出，故12,,,s ααα 与12,,s εεε 等价，所以12,,,s ααα 的秩为s ，即 12,,,s ααα 线性无关.12. 证：由于123,,ααα线性无关，而1234,,,αααα线性相关，故一定存在123,,k k k , 使得4112233k k k αααα=++.若其中某个i k 不为零，假定10k ≠，则1422331()/k k k αααα=--，知423,,ααα也是极大线性无关组，唯一性矛盾. 故一定有1230k k k ===，即40α=.13. 证：必要性.若12,,,s βββ 线性无关，则12,(,,)s r s βββ= ，又因为 12,12(,,)min{(),(,,,)}s s r r A r βββααα≤ ，而12(,,,)s r s ααα= ，故12,(,,)()s r s r A βββ=≤ ，又因为()r A s ≤，则一定有()r A s =，即矩阵A 可 逆.充分性,若矩阵A 可逆，则在等式两边左乘1A -，然后根据矩阵秩的不等 式可得11212,(,,,)min{(),(,,)}s s r r A r αααβββ-≤ ，显然有112(,,,)()s r s r A s ααα-=≤= ，可推出1212,(,,,)(,,)s s r s r αααβββ=≤ ， 又12,(,,)s r s βββ≤ ，故只能12,(,,)s r s βββ= ，即12,,,s βββ 线性无关. 14. 证：因为向量组12,,,s ααα 的秩为1r ，则其中有1r 个线性无关的向量，设为 112,,,r c c c .向量组12,,,t βββ 的秩为2r ，则其中有2r 个线性无关的向量，设 为212,,,r d d d .则向量组1212,,,,,,s t αααβββ 中线性无关的向量一定在 121212,,,,,,r r c c c d d d 中选取，所以312r r r ≤+. 15. 定义即得.16. （例题）12(,,,)s r r ααα= ，且12,,,r i i i ααα 为其中r 个线性无关的向量.设 k α是向量组中任意一个向量，则12,,,,r i i i k αααα 线性相关，否则向量组的 秩会大于r .所以，由定理3.5，k α可由12,,,r i i i ααα 线性表出，故 12,,,r i i i ααα 为向量组的一个极大线性无关组.17. (1) 11311322601003000004000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故123()(,,)2r A r ααα==, 1α 2α 3α故一个极大线性无关组是1α，2α.(2) 24611231123100013691000012310000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，4α.(3) 12341234234501233456000045670000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，2α.18. (1) 11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,x x x x x x x ⎧-+-=⎨-+=⎩方程组的一般解为:34343432722x x x x X x x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可得方程组的一个基础解系为：137,,1,022Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，[]21,2,0,1T η=--.通解为1122X k k ηη=+，1k ，2k 为常数.(3) 212112133112054736290010A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，于是得阶梯形方程组12342343230,5470,0,x x x x x x x x ---=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩方程组的一般解为44417,,0,55TX x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，可得方程组的一个基础解系：117,,0,155Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，通解为11X k η=.(4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:()23423413,,,4TX x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系：11,1,0,04Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，23,0,1,04Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31,0,0,14Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.通解为112233X k k k ηηη=++，1k ，2k ，3k 为常数.19. 证:首先由定理3.9知AX O =的基础解系含有n r -个线性无关的解向量.设 12,,,r ηηη 是AX O =的任意n r -个线性无关的解向量，要证12,,,r ηηη 是 AX O =的基础解系，只需证AX O =的任一解向量β都可由12,,,r ηηη 线性 表出.事实上，12,,,,r ηηηβ 必线性相关（否则AX O =的基础解系至少含有 1n r -+个线性无关的解向量，与已知矛盾），所以β都可由12,,,r ηηη 线性 表出，故12,,,r ηηη 是AX O =的基础解系.20. 证:假定一个基础解系为12,,s ηηη ,向量组12,,,s βββ 与其等价，故也含 有s 个向量.已知向量组12,,,s βββ 满足线性无关性，又因为每一个解向量 都可以由12,,s ηηη 线性表出，而12,,s ηηη 和12,,,s βββ 是等价向量组， 根据线性表出的传递性，每个解向量都可以由12,,,s βββ 线性表出，故 12,,,s βββ 也是一个基础解系.21. 证：先证122331,,ηηηηηη+++线性无关.设存在123,,k k k ,使得 112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=，又因为123,,ηηη线性无关，则1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 可得只能1230k k k ===，即122331,,ηηηηηη+++线性无关.由于112223331()()()X k k k ηηηηηη=+++++ 131122233()()()k k k k k k ηηη=+++++，可知任意一个向量都可由122331,,ηηηηηη+++线性表出， 即122331,,ηηηηηη+++也是AX O =的一个基础解系.22. 证:（1）反证法，若12,γγ线性相关，则12,γγ一定成倍数关系，不妨令12k γγ=. 又因为12γγ≠,故1k ≠.由于12γγ-为齐次线性方程组AX O =的解，并且 122(1)k γγγ-=-，所以有22(1)(1)A k k A O γγ-=-=，而1k ≠，则有2A O γ=， 这与2A γβ=矛盾，所以假设不成立，即12,γγ线性无关.（2）若()1r A n =-，则齐次线性方程组AX O =的基础解系中只有一个解向 量，又12()A O γγββ-=-=，故112()k γγ-即为基础解系，其中1k 为某个非 零常数，又已知η是齐次线性方程组AX O =的解，则一定有2112()k k ηγγ=-， 即说明12,,ηγγ是线性相关的.23. (1)[]27316121123522401151109417200000A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：123423422,11510,x x x x x x x --+=-⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为：()()3434341129,105,,1111TX x x x x x x ⎡⎤=-+--+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：0210,,0,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，291,,0,11111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：01122122191111111051111111010001X k k k k ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1k ，2k 为常数. (2) []15231115231131425021131901170091475361100000A β----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 于是得阶梯形方程组：12342343452311,23,9147,x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为：()444431751,,714,29189TX x x x x ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01770,,,099Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：13514,,,12189T η⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数.(3) []211331321451010407551132121000152A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：12342344324,75511,152,x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取3x 为自由变量，可得方程组一般解为：333131552,,,1573715TX x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01352,,0,15315Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,077Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数. (4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为: []2345234544236,,,,TX x x x x x x x x =+-+-, 可得一个特解为：[]04,0,0,0,0Tη=， 一个基础解系：[]14,1,0,0,0Tη=，[]22,0,1,0,0Tη=-，[]33,0,0,1,0Tη=,[]46,0,0,0,1Tη=- 通解为011223344X k k k k ηηηηη=++++，1k ，2k ，3k ,4k 为常数.24. 解:[]2211230112302325012112020000A βλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 当20λλ-=，即0λ=或1λ=时有解. 当20λλ-≠，即0λ≠且1λ≠时无解.若有解，得阶梯形方程组：1234234230,2,x x x x x x x λ+-+=⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为： []34343444,2,,TX x x x x x x λλ=-+--+， 可得一个特解为：[]0,,0,0Tηλλ=-，一个基础解系为：[]14,2,1,0Tη=-，[]24,1,0,1Tη=-. 则方程组的通解为：01122X k k ηηη=++，其中1k ，2k 为常数，0λ=或1λ=.25. 解:[]11321113211316301121151010001053115230002226A b b a a b β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---+--⎣⎦⎣⎦，若220a -+=且260b --≠时，即1a =且3b ≠-时，无解. 若1a ≠时，有唯一解为：263420,6,5,11Tb b X b b b a a ++⎡⎤=--+-+⎢⎥--⎣⎦. 若1a =且3b =-时，有无穷多解.此时阶梯形方程组为：12342343321,21,2,x x x x x x x x +++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为： []448,32,2,TX x x =--， 可得一个特解为：[]08,3,2,0Tη=-， 一个基础解系为：[]10,2,0,1T η=-.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数 26. 证法1：单位矩阵E 的每一列都是AX O =的解，故A AE O ==. 证法2：假设A O ≠，则()0r A r =≠，所以AX O =只有n r -个线性无关的解， 显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AX O =的系数矩阵的秩为()r r n <，则AX O =的基 础解系中含有n r -个线性无关的解向量.反证法假设12(,,,)t r n r ααα>- ， 则其中有大于n r -个线性无关的解向量，并且其中每个解向量都可由这 12(,,,)t r ααα 个解向量线性表出，这说明AX O =的基础解系中含有大于 n r -个线性无关的解向量，这与已知矛盾，故假设不成立.则 12(,,,)t r n r ααα≤-28.证:(1)AX O =的基础解系中含有()n r A -个线性无关的解向量，BX O =的基 础解系中含有()n r B -个线性无关的解向量.若AX O =的解均为BX O =的解，即有()()n r A n r B -≤-，故()()r A r B ≥.(2)若AX O =与BX O =同解，通过(1)的结论，基础解系中含有相同个数的 线性无关的解向量，则()()n r A n r B -=-，故()()r A r B =. (3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，但这些解向 量不一定相等.。
线性代数(含全部课后题详细答案)3第三章矩阵习题解答.docx
习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、 ・仇 ・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
线性代数课后习题答案全解.pdf
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102−−−;解 381141102−−−=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b cb a ;解 ba c a cb cb a=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3. (3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:).(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解 逆序数为2)1(−n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) (2n ) (2n −2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n −1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n −2) (n −1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23 解 含因子a 的项. 11a 23(−1)的项的一般形式为t a 11a 23a 3r a 4s 其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. ,所以含因子a 11a 23 (−1)的项分别是t a 11a 23a 32a 44=(−1)1a 11a 23a 32a 44=−a 11a 23a 32a 44 (−1), t a 11a 23a 34a 42=(−1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42 4. 计算下列各行列式:.(1)71100251020214214; 解 71100251020214214010014231020211021473234−−−−−======c c c c 34)1(143102211014+−×−−−= 143102211014−−=01417172001099323211=−++======c c c c .(2)2605232112131412−; 解 2605232112131412−26053212213041224−−=====c c 041203212213041224−−=====r r 0000003212213041214=−−=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab −−−;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab −−−ec b e c b ec b adf −−−=abcdef adfbce 4111111111=−−−=.(4)dc b a 100110011001−−−. 解d c b a 100110011001−−−dc b aab ar r 10011001101021−−−++===== d c a ab 101101)1)(1(12−−+−−=+01011123−+−++=====cd c ada ab dc ccdad ab +−+−−=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a −b )3 证明;1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c −−−−−−=====ab a b a b a ab 22)1(22213−−−−−=+21))((a b a a b a b +−−==(a −b )3 (2) . y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2, c 2−c 1 得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b −−−−−−−−−=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++−−−= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++−++−−−−−−= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++−−−−−= =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ). (5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x xn n n+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−− =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+−=, 命题成立. 假设对于(n −1)阶行列式命题成立, 即 D n −1=x n −1+a 1 x n −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −2x +a n −1则D , n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−+=+−x x a xD D n n n n =xD n −1+a n =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n 因此, 对于n 阶行列式命题成立. .6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(−−==, D 3 证明 因为D =det(a =D .ij ), 所以 nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−− )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(−−+−+⋅⋅⋅++−=−=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=− )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(−−−=−=. D D D D D n n n n n n n n =−=−−=−=−−−−)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k (1)为k 阶行列式): aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 aa a a a D n 010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 000 0010 000)1(−×−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=n n n aa a )1()1(2 )1(−×−⋅⋅⋅⋅−+n n n a a an n n n n a a a+⋅⋅⋅−⋅−=−−+)2)(2(1)1()1(=a n −a n −2=a n −2(a 2−1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(−1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a aa a x D n −−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n −1)a ](x −a )n −1 (3). 111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=−−−+n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ; 解 根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=−−−++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++−−+−−=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++−−−=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+−++−⋅−⋅−=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+−=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn −−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n −2−b n c n D 2n −2, 即D 2n =(a n d n −b n c n )D 2n −2于是 . ∏=−=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D −==,所以 ∏=−=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij 解 a =|i −j |; ij =|i −j |, 043214 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 04321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213−⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(−1)n −1(n −1)2n −2 (6).nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=====−−100001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111000011 000 00 11000 01100 001 −−−−−−+−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=−−−−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1) =+++−=−−−−=+−+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为 14211213513241211111−=−−−−=D , 142112105132412211151−=−−−−−−=D , 284112035122412111512−=−−−−−=D , 426110135232422115113−=−−−−=D , 14202132132212151114=−−−−−=D , 所以 111==D D x , 222==D Dx , 333==DD x , 144−==D D x .(2)=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100065000611==D , 114551010651000650000601000152−==D , 703511650000601000051001653==D , 39551601000051000651010654−==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452−=x , 6657033=x , 6653954−=x , 6652124=x .9. 问λ, µ取何值时, 齐次线性方程组 =++=++=++0200321321321x x x x x x x x x µµλ有非零解？解 系数行列式为µλµµµλ−==1211111D .令D =0, 得 µ=0或λ=1.于是, 当µ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组 =−++=+−+=+−−0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ−−+−−=−−−−=101112431111132421D=(1−λ)3 =(1−λ)+(λ−3)−4(1−λ)−2(1−λ)(−3−λ) 3+2(1−λ)2 令D =0, 得+λ−3. λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3 解 由已知:的线性变换.= 221321323513122y y y x x x ,故= −3211221323513122x x x y y y−−−−=321423736947y y y ,−+=−+=+−−=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换++=++−=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,+−=+=+−=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3 解 由已知的线性变换.−= 221321514232102y y y x x x−− −=321310102013514232102z z z−−−−=321161109412316z z z ,所以有 +−−=+−=++−=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设 −−=111111111A ,−−=150421321B , 求3AB −2A 及A T 解 B .−−− −− −−=−1111111112150421321111111111323A AB−−−−= −−− −=2294201722213211111111120926508503,−= −− −−=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积: (1)−127075321134;解 −127075321134 ×+×+××+×−+××+×+×=102775132)2(71112374=49635.(2)123)321(;解123)321(=(1×3+2×2+3×1)=(10).(3))21(312−;解 )21(312−×−××−××−×=23)1(321)1(122)1(2−−−=632142. (4)−−−−20413121013143110412 ; 解−−− −20413121013143110412 −−−=6520876. (5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3321x x x )322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设 =3121A ,=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为=6443AB ,=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2 解 (A +B )吗? 2≠A 2+2AB +B 2 因为.=+5222B A ,=+52225222)(2B A=2914148,但 + +=++43011288611483222B AB A=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2 (3)(A +B )(A −B )=A . 2−B 2 解 (A +B )(A −B )≠A 吗? 2−B 2 因为.=+5222B A ,=−1020B A ,==−+906010205222))((B A B A ,而= −=−718243011148322B A ,故(A +B )(A −B )≠A 2−B 2 6. 举反列说明下列命题是错误的:.(1)若A 2 解 取=0, 则A =0;=0010A , 则A 2 (2)若A =0, 但A ≠0. 2 解 取=A , 则A =0或A =E ;=0011A , 则A 2 (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .=A , 但A ≠0且A ≠E . 解 取=0001A , −=1111X ,=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k 解 . ==12011011012λλλA , ===1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=101λk A k . 8. 设=λλλ001001A , 求A k 解 首先观察. =λλλλλλ0010010010012A=222002012λλλλλ,=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121−−−−. 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，−=⋅=−−−+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A+++=+−+−−+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:−=−−−k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T 证明 因为A AB 也是对称矩阵.T (B =A , 所以T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T 从而B AB ,T 10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .AB 是对称矩阵.证明 充分性: 因为A T =A , B T (AB )=B , 且AB =BA , 所以 T =(BA )T =A T B T 即AB 是对称矩阵.=AB ,必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T AB =(AB )=AB , 所以T =B T A T 11. 求下列矩阵的逆矩阵:=BA .(1)5221; 解=5221A . |A |=1, 故A −1 存在. 因为−−= =1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =−−−=1225. (2)−θθθθcos sin sin cos ; 解−=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A −1 存在. 因为−= =θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =−−=θθθθcos sin sin cos . (3)−−−145243121; 解−−−=145243121A . |A |=2≠0, 故A −1 存在. 因为−−−−−= =214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =−−−−−−=1716213213012. (4)n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知=−n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1) −=12643152X ; 解 −=−126431521X − −−=12642153 −=80232. (2) −=−−234311*********X ; 解 1111012112234311−−− −=X−−− −=03323210123431131 −−−=32538122. (3) −= − −101311022141X ;解 11110210132141−− − − −=X− −=210110131142121 =21010366121=04111. (4)−−−= 021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010−−−−− =X −−− =010100001021102341100001010 −−−=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) =++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为= 321153522321321x x x , 故 = = −0013211535223211321x x x ,从而有 ===001321x x x . (2) =−+=−−=−−05231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为=−−−−−012523312111321x x x , 故 =−−−−−= −3050125233121111321x x x , 故有 ===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1 证明 因为A . k =O , 所以E −A k E −A =E . 又因为k =(E −A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1所以 (E −A )(E +A +A ),2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1由定理2推论知(E −A )可逆, 且)=E ,(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.证明 一方面, 有E =(E −A )−1 另一方面, 由A (E −A ).k E =(E −A )+(A −A =O , 有2)+A 2−⋅ ⋅ ⋅−A k −1+(A k −1−A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1故 (E −A ))(E −A ),−1(E −A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1两端同时右乘(E −A ))(E −A ),−1 (E −A ), 就有−1(E −A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.15. 设方阵A 满足A 2−A −2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A −1及(A +2E )−1 证明 由A .2 A −A −2E =O 得2或 −A =2E , 即A (A −E )=2E ,E E A A =−⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A −=−. 由A 2 A −A −2E =O 得2或 −A −6E =−4E , 即(A +2E )(A −3E )=−4E ,E A E E A =−⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A −=+−.证明 由A 2−A −2E =O 得A 2 |A −A =2E , 两端同时取行列式得 2即 |A ||A −E |=2,−A |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2由 A ≠0, 故A +2E 也可逆. 2 ⇒A −A −2E =O ⇒A (A −E )=2E−1A (A −E )=2A −1)(211E A A −=−E ⇒,又由 A 2 ⇒ (A +2E )(A −3E )=−4 E ,−A −2E =O ⇒(A +2E )A −3(A +2E )=−4E所以 (A +2E )−1(A +2E )(A −3E )=−4(A +2 E )−1 ,)3(41)2(1A E E A −=+−.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )−1 解 因为−5A *|.*||11A A A =−, 所以 |||521||*5)2(|111−−−−=−A A A A A |2521|11−−−=A A=|−2A −1|=(−2)3|A −1|=−8|A |−1 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)=−8×2=−16.−1=(A −1 证明 由)*.*||11A A A =−, 得A *=|A |A −1 |A *|=|A |, 所以当A 可逆时, 有n |A −1|=|A |n −1从而A *也可逆.≠0,因为A *=|A |A −1 (A *), 所以−1=|A |−1又A .*)(||)*(||1111−−−==A A A A A , 所以(A *)−1=|A |−1A =|A |−1|A |(A −1)*=(A −1 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:)*.(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n −1 证明.(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)−1 A =A A *(A *)=E , 由此得 −1=|A |E (A *)−1所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.=O ,(2)由于*||11A A A =−, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n 若|A |≠0, 则|A *|=|A |.n −1 若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.;因此|A *|=|A |n −1.19. 设−=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A −2E )B =A , 故− −−−=−=−−321011330121011332)2(11A E A B −=011321330. 20. 设 =101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2 (A −E )B =A +B 得 2即 (A −E )B =(A −E )(A +E ).−E , 因为01001010100||≠−==−E A , 所以(A −E )可逆, 从而=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, −2, 1), A *BA =2BA −8E , 求B . 解 由A *BA =2BA −8E 得 (A *−2E )BA =−8E , B =−8(A *−2E )−1A =−8[A (A *−2E )]−1 =−8(AA *−2A )−1 =−8(|A |E −2A )−1 =−8(−2E −2A )−1 =4(E +A )−1 =4[diag(2, −1, 2)]−1−1)21 ,1 ,21(diag 4−==2diag(1, −2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵−=8030010100100001*A , 且ABA −1=BA −1+3E , 求B .解 由|A *|=|A |3 由ABA =8, 得|A |=2. −1=BA −1 AB =B +3A ,+3E 得 B =3(A −E )−1A =3[A (E −A −1)]−1 A 11*)2(6*)21(3−−−=−=A E A E−=−−=−1030060600600006603001010010000161. 23. 设P −1 −−=1141P AP =Λ, 其中,−=Λ2001, 求A 11 解 由P . −1AP =Λ, 得A =P ΛP −1, 所以A 11= A =P Λ11P −1 |P |=3, .−=1141*P ,−−=−1141311P ,而−= −=Λ11111120 012001,故−− −−−=31313431200111411111A −−=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中−−=111201111P ,−=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E −6A +A 2 解 ϕ(Λ)=Λ). 8(5E −6Λ+Λ2 =diag(1,1,5)8)[diag(5,5,5)−diag(−6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P )diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).−1 *)(||1P P P Λ=ϕ−−−−−− −−−=1213032220000000011112011112=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A −1+B −1 证明 因为也可逆, 并求其逆阵.A −1(A +B )B −1=B −1+A −1=A −1+B −1而A ,−1(A +B )B −1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A −1(A +B )B −1可逆, 即A −1+B −1 (A 可逆.−1+B −1)−1=[A −1(A +B )B −1]−1=B (A +B )−1 26. 计算A .−−−30003200121013013000120010100121. 解 设 =10211A , =30122A , −=12131B ,−−=30322B ,则 2121B O B E A O E A+=222111B A O B B A A ,而 −= −−+−=+4225303212131021211B B A ,−−= −− =90343032301222B A , 所以 2121B O B E A O E A +=222111B A O B B A A−−−=9000340042102521, 即−−−30003200121013013000120010100121−−−=9000340042102521. 27. 取==−==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==−−=−−=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 ||||||||D C B A D C B A ≠. 28. 设 −=22023443O O A , 求|A 8|及A 4解 令. −=34431A ,=22022A , 则=21A O O A A ,故 8218=A O O A A=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .= =464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1−O B A O ; 解 设 =−43211C C C C O B A O , 则O B A O 4321C C C C = =s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒ ====−−121413B C O C O C A C ,所以= −−−O A B O O B A O 111. (2)1−B C O A . 解 设 =−43211D D D D B C O A , 则 = ++= s nE O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒ =−===−−−−14113211B D CA B D O D A D ,所以−= −−−−−11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)2500380000120025; 解 设 =1225A , =2538B , 则−−= =−−5221122511A ,−−==−−8532253811B .于是 −−−−= = =−−−−850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)4121031200210001. 解 设 =2101A ,=4103B ,=2112C , 则−= =−−−−−−1111114121031200210001B CA B O A BC O A−−−−−=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1)−−340313021201;解−−340313021201(下一步: r 2+(−2)r 1, r 3+(−3)r 1 ~. )−−−020*********(下一步: r 2÷(−1), r 3 ~÷(−2). )−−010*********(下一步: r 3−r 2 ~. )−−300031001201(下一步: r 3 ~÷3. )−−100031001201(下一步: r 2+3r 3 ~. )−100001001201(下一步: r 1+(−2)r 2, r 1+r 3 ~. )100001000001.(2)−−−−174034301320;解−−−−174034301320(下一步: r 2×2+(−3)r 1, r 3+(−2)r 1 ~. )−−−310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2 ~. )0000310010020(下一步: r 1 ~÷2. )000031005010.(3)−−−−−−−−−12433023221453334311;解−−−−−−−−−12433023221453334311(下一步: r 2−3r 1, r 3−2r 1, r 4−3r 1~. )−−−−−−−−1010500663008840034311(下一步: r 2÷(−4), r 3÷(−3) , r 4~÷(−5). )−−−−−22100221002210034311(下一步: r 1−3r 2, r 3−r 2, r 4−r 2~. )−−−00000000002210032011.(4)−−−−−−34732038234202173132. 解−−−−−−34732038234202173132(下一步: r 1−2r 2, r 3−3r 2, r 4−2r 2~. )−−−−−1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3−8r 1, r 4−7r 1 ~. )−−41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2×(−1), r 4−r 3~. )−−−−00000410001111020201(下一步: r 2+r 3~. )−−00000410003011020201. 2. 设= 987654321100010101100001010A , 求A .解100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(−1))−=100010101.− =100010101987654321100001010A= − =287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1)323513123;解 100010001323513123~−−−101011001200410123~ −−−−1012002110102/102/3023~−−−−2/102/11002110102/922/7003~−−−−2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为−−−−21021211233267.(2)−−−−−1210232112201023.解−−−−−10000100001000011210232112201023~−−−−00100301100001001220594012102321~−−−−−−−−20104301100001001200110012102321~ −−−−−−−106124301100001001000110012102321 ~−−−−−−−−−−10612631110`1022111000010000100021 ~−−−−−−−106126311101042111000010000100001故逆矩阵为−−−−−−−10612631110104211. 4. (1)设 −−=113122214A ,−−=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为−−−−=132231 113122214) ,(B A−−412315210 100010001 ~r ,所以−−==−4123152101B A X .(2)设−−−=433312120A , −=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为−−−−=134313*********) ,(T T B A−−−411007101042001 ~r ,所以−−−==−417142)(1T T T B A X ,从而−−−==−4741121BA X . 5. 设−−−=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A −2E )X =A . 因为−−−−−−−−−=−101101110110011011) ,2(A E A−−−011100101010110001~,所以−−−=−=−011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r −1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r −1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:−0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1)−−−443112112013;解−−−443112112013(下一步: r 1↔r 2 ~. )−−−443120131211(下一步: r 2−3r 1, r 3−r 1 ~. )−−−−564056401211(下一步: r 3−r 2 ~. )−−−000056401211, 矩阵的2秩为, 41113−=−是一个最高阶非零子式.(2)−−−−−−−815073*********;解−−−−−−−815073*********(下一步: r 1−r 2, r 2−2r 1, r 3−7r 1 ~. )−−−−−−15273321059117014431(下一步: r 3−3r 2~. )−−−−0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223−=−是一个最高阶非零子式.(3)−−−02301085235703273812. 解−−−02301085235703273812(下一步: r 1−2r 4, r 2−2r 4, r 3−3r 4~. )−−−−−−023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1~. )−0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3−16r 2. )~−02301000001000071210 ~−00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=−是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ×n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设−−−−=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 −−−−=32321321k k k A+−−−−−)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =−2且k ≠1时, R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠−2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组: (1) =+++=−++=−++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−212211121211~ −−−3/410013100101,于是 ==−==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为−= 1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2) =−++=−−+=−++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−−−5110531631121~−000001001021,于是 ===+−=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为+−= 10010*********k k x x x x (k 1, k 2 (3)为任意常数).=−+−=+−+=−++=+−+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−7421631472135132~1000010000100001,于是 ====0004321x x x x ,故方程组的解为 ====00004321x x x x .(4) =++−=+−+=−+−=+−+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−3127161311423327543~−−000000001720171910171317301,于是 ==−=−=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为−−+= 1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组: (1) =+=+−=−+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有。
线性代数 课后习题详解 第三章
第三章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+.解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T )4,3,2,1(=3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示. (2)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3)若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4)若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关 取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.4．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得 044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---140113130********211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53105310321043173125 2334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r rr --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta . 解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,. 8．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能 由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关. 证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关不妨设:nnn n n n nn nn a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121 两边取行列式，得 T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTTT n T T a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量 T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即 nnn n n n nn nn k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121 两边取行列式，得T nT T nnn n n n Tn TTk k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T TT n T T T n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε 212112121 即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关.10．设向量组A :s a a a ,,,21 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21 的秩2r 向量组C : r s b b b a a a ,,,,,,,2121 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ), D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明:设T n a a a A ),,,(21 = T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为T r T T ααα,,,21 Ts T T βββ,,,21 显然,存在矩阵B A '',,使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此 ()()()B R A R B A R +≤+12．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。