统计学教材5.2

表 5-2-1
试 验 结 因 因 果 A B 因 因
B1
B2
…
Bs
A1
X 11
X 12
… …
X 1s
A2
X 21
X 22
X 2s
M
Ar
M
X r1
M
X r2
M
…
M
X rs
1. 假设前提 与单因因方差分析的假设前提相同，仍假设： 因因方差分析的假设前提相同 与单因因方差分析的假设前提相同，仍假设： 1) X ij ~ N ( µ ij , σ 2 ) ， µ ij , σ 2 未知， i = 1, L, r; j = 1, L, s. 未知， 2) 每个总体的方差相同； 每个总体的方差相同； 3) 各 X ij 相互独立， i = 1, L, r; j = 1, L , s. 相互独立，
r
s
2 X ij
T2 , − rs
1 SA= s
1 SB = r
∑
∑
s
T2 Ti ⋅2 − , rs i =1
r
T2 , T⋅ 2 − j rs j =1
S E =S T -S A -S B .
可得如下方差分析表： 可得如下方差分析表：
表 5-2-2 无重复试验双因因方差分析表
方差来源 平方和 因因A 因因B 误差 总和 SA SB SE ST 均方和 S r −1 SA = A r −1 S s −1 SB = B s −1 SE (r − 1)(s − 1) S E = (r − 1)( s − 1) rs − 1 自由度 F比 FA = S B / S E FB = S B / S E
ST = S A + S B + S E
SA =
∑∑ ( X
i =1 j =1
r
s
i⋅
− X) = s
2
∑(X
i =1
r
i⋅
− X )2 , ,
SB =
∑∑
i =1 j =1
r
s
(X⋅j − X ) = r
2
∑
j =1
s
( X ⋅ j − X )2 ,
SE =
∑∑ ( X
i =1 j =1
r
s
ij
对于双因因试验的方差分析，我们分为无重 复和等重复试验两种情况来讨论. 对无重复试 验只需要检验两个因因对试验结果有无显著 影响；而对等重复试验还要考察两个因因的 交互作用对试验结果有无显著影响.
无交互作用) 一、 无重复试验双因因方差分析 (无交互作用 无交互作用
设因因 A，B 作用于试验指标。因因 A 有 r 个水平 A 1 ，A 2 ，K ， ， 作用于试验指标。 A r ，因因 B 有 s 个水平 B 1 ，B 2 ， K ，B s . 对因因 A，B 的每一个 ， 水平的一对组合（ ，(i=1，2， K ，r，j=1，2， K ，s)只进 水平的一对组合（A i ，B j ） ， ， ， ， ， ， 只进 行一次实验， 行一次实验，得到 rs 个试验结果 X ij ，列于下表中
X ij = µ ij + ε ij , i = 1, L , r ; j = 1, L , s; ε ij ~ N (0, σ 2 ), µ ij , σ 2未知，ε ij 相互独立。
1 r s 引入记号： µ = ∑∑ µ ij ， 引入记号： rs i =1 j =1
1 µi ⋅ = s
2. 偏差平方和及其分解 类似于单因因方差分析，需要将总偏差平方和进行分解. 类似于单因因方差分析，需要将总偏差平方和进行分解 记
1 X = rs 1 X i⋅ = s X⋅j 1 = r
∑∑ X
i =1 j =1 s
r
s
ij ,
∑X
j =1 r i =1
ij , i
= 1, L, r; j = 1,L , s;
50 63 52 47 54 42
47 57 41 53 58 48
165 143 145 159
T. j = ∑ X ij
i =1
a
197 232 183
49.3 58.0 45.8
T = 612
X = 51
X. j = T. j a
表 5-2-2 无重复试验双因因方差分析表
方差来源 平方和 因因A 因因B 误差 总和 SA SB SE ST 均方和 S r −1 SA = A r −1 S s −1 SB = B s −1 SE (r − 1)( s − 1) S E = (r − 1)( s − 1) rs − 1 自由度 F比 FA = S B / S E FB = S B / S E
方差来源
平方和
自由度
均方和
F比
P值
工工 机机 误差 总合
114.67 318.50 32.83 466
3 2 6 11
38.22
6.985
0.002 0.001
159.25 29.102 5.47
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 产量 Source Model Type III Sum of Squares 31645.167a 114.667 318.500 32.833 31678.000 df 6 3 2 6 12 Mean Square 5274.194 38.222 159.250 5.472 F 963.812 6.985 29.102 Sig. .000 .022 .001
j =1
j
为总平均， 称 的效应， 称 = 0 . 称 µ 为总平均， α i 为水平 A i 的效应， β = µ +α i + β
j
的效应. 为水平 B j 的效应 且 µ
ij
j
.
于是上述模型进一步可写成
X ij = µ + α i + β j + ε ij , (i = 1,2, K , r , j = 1,2, K , s ) 2 2 ε ij ~ N (0, σ ), µ ij , σ 未知，各ε ij 相互独立， r s α = 0, β = 0. ∑ j ∑ i j =1 i =1
H 0 B : µ i1 = µ i 2 = L = µ is = µ i ⋅
备择假设为
H1 A : µ1 j , µ 2 j , L , µ rj 不全相等。
H1B : µ i1 , µ i 2 ,L , µ is不全相等。
未知） ，记 由假设有 X ij ~ N ( µ ij , σ 2 ) （ µ ij 和 σ 2 未知） 记 X ij − µ i = ε ij ， ， 可视为随机误差. 即有 ε ij = X ij − µ ij ~ N (0, σ 2 ), 故 X ij − µ ij 可视为随机误差 从而得 到如下数学模型
− X i⋅ − X ⋅ j − X )2 .
为误差平方和； 的偏差平方和. 我们称 S E 为误差平方和；分别称 S A ，S B 为因因 A、因因 B 的偏差平方和 、
类似地， 成立时， 类似地，可以证明当 H 0 A 、 H 0 B 成立时，有 1) ST σ 2 , S A σ 2 , S B σ 2 , S E σ 2 分别服从自由度依次 分布; 为 rs − 1, r − 1, s − 1, (r − 1)(s − 1) 的 χ 2 分布 相互独立. 2) ST , S A , S B , S E 相互独立
类似地， 为真时， 类似地，当 H 0 B 为真时，可以证明 FB =
S B ( s − 1) ~ F ( s − 1, (r − 1)(s − 1)); S E (r − 1)( s − 1))
取显著性水平为 α ，得假设 H 0 B 的拒绝域为 FB =
S B ( s − 1) ≥ Fα ( s − 1, (r − 1)(s − 1)); S E (r − 1)( s − 1))
那么，要比较同一因因的各个总体的均值是否一致，就是要检 那么，要比较同一因因的各个总体的均值是否一致， 验各个总体的均值是否相等， 检验假设为： 验各个总体的均值是否相等，故检验假设为：
H 0 A : µ1 j = µ 2 j = L = µ rj = µ ⋅ j
j = 1, L, s,
i = 1, L , r.
T⋅ j
3
2 67 69 59 56 251
3 81 96 67 64 308
4 56 59 54 58 227
5 51 70 42 37 200
Ti⋅
76 82 68 63 289
331 376 290 278 1275
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 数数 Source Model Type III Sum of Squares 84411.700a 1182.950 1947.500 441.300 84853.000 df 8 3 4 12 20 Mean Square 10551.462 394.317 486.875 36.775 F 286.919 10.722 13.239 Sig. .000 .001 .000
工工 机机
Error Total
a. R Squared = .999 (Adjusted R Squared = .998)
个不同地地， 例 2 下面给出了在某 5 个不同地地， 不同时间空气中的颗粒状物 以 mg/m （ 的含量的数数： 计）的含量的数数： 地地） 因因 B （地地） 1 因 因 A 时 间 1995 年 10 月 1996 年 1 月 1996 年 5 月 1996 年 8 月