2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题33 平面向量夹角
高中数学常见题型解决方法归纳 反馈训练及详细解析 专
第17讲：异面直线所成的角的求法【考纲要求】能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题。
【基础知识】一、异面直线的定义的方向向量。
四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。
五、温馨提示如果你解三角形得到的角α的余弦是一个负值，如1cos 2α=-，你不能说两条异面直线所成的角为0120，你应该说两条异面直线所成的角为018012060-=，因为两条异面直线所成的角的范围为(0,]2πα∈。
例1 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AB BB ==，P 为11B C 的中点． （1）求直线AC 与平面ABP 所成的角； （2）求异面直线AC 与BP 所成的角； （3）求点B 到平面APC 的距离．解：（1）∵AB ⊥平面BC 1，PC ⊂平面BC 1，∴AB ⊥PC在矩形BCC 1B 1 中，BC=2，BB 1=1，P 为B 1C 1的中点，∴PC ⊥PB∴PC ⊥平面ABP ，∴∠CAP 为直线AC 与平面ABP 所成的角 ∵PC=2，AC=22，∴在Rt △APC 中，∠CAP=30∴直线AC 与平面ABP 所成的角为300P（2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP，∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角【变式演练1】已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角B—PC—D为直二面角.例2 如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC 是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD.（1）求二面角B-AD-F的大小；（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.解（1）∵AD与两圆所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依题意可知，四边形ABFC是正方形，∴∠BAF=45°.即二面角B—AD—F的大小为45°;（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，-32，0）， B （32，0，0），D （0，-32，8）， E （0，0，8），F （0，32，0）， ∴BD =（-32，-32，8），EF =（0，32，-8）.cos 〈BD ,EF 〉=.10828210064180||||·-=⨯--=EF BD EF BD设异面直线BD 与EF 所成角为α，则 cos α=|cos 〈EF BD ,〉|=1082.即直线BD 与EF 所成的角的余弦值为1082. 【变式演练2】如图所示，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′对角线BD ′上,∠PDA=60° (1)求DP 与CC ′所成角的大小;(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小.【高考精选传真】1.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A.5 B.5 C. 255D. 352.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.3．（2012高考真题上海理19）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π[解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分A BCDPE F在AEF∆中，由EF=2、AF=2、AE=2 知AEF∆是等腰直角三角形，所以∠AEF=4π.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是4π【反馈训练】1．四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30°B．45° C．60° D．90°2.ABCD—A1B1C1D1为正方体,点P在线段A1C1上运动,异面直线BP与AD1所成的角为θ,则θ的范围为( )A.(0,2π) B.(0,2π］C.(0,3π) D.(0,3π］3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A.6πB.4πC.3πD.2π4. 直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．1030B．21C．1530D．10155 已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证二面角B—PC—D为直二面角7一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角(1)求证平面ABD⊥平面ACD；(2)求AD与BC所成的角；(3)求二面角A—BD—C的大小PADDBAABC【变式演练详细解析】 【变式演练1详细解析】(1)解：因为PA ⊥平面AC ，AB ⊥BC ,∴PB ⊥BC ,即∠PBC =90°,由勾股定理得PB =222=+AB PA .∴PC =622=+PC PB .(2)解：如图，过点C 作CE ∥BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为∠PCE 或它的补角. ∵CE =BD =2，且PE =1022=+AE PA∴由余弦定理得cos ∠PCE =632222-=⋅-+CE PC PE CE PC ∴PC 与BD 所成角的余弦值为63.(3）证明：设PB 、PC 中点分别为G 、F ，连结FG 、AG 、DF ，则GF ∥BC ∥AD ，且GF =21BC =1=AD ，从而四边形ADFG 为平行四边形，又AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥AG ，即ADFG 为矩形，DF ⊥FG . 在△PCD 中，PD =2，CD =2，F 为BC 中点，∴DF ⊥PC从而DF ⊥平面PBC ，故平面PDC ⊥平面PBC ，即二面角B —PC —D 为直二面角. 【变式演练2详细解析】解得m=22,所以DH =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22,22.所以〈DH ,DC 〉=60°,可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°. 【反馈训练详细解析】1.A 【解析】：取AD 中点G ，连结EG 、GF ，则GE 21CD ，GE=21AB ∵CD=2AB ∴GE=2GF ，∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥GF ．∴∠GEF=30°，答案：A 2.D 【解析】:取点P 的极限位置,即线段A 1C 1的端点.答案:D3.D 【解析】：(特殊位置法）将P 点取为A 1，作OE ⊥AD 于E ，连结A 1E ，则A 1E 为OA 1的射影，又AM ⊥A 1E ，∴AM ⊥OA 1，即AM 与OP 成90°角.答案：D4. A 【解析】解法一：(几何法)如图，连结D 1F 1， 则D 1F 11121C B 11C B Θ BC ∴D 1F 1BC 21设点E 为BC 中点 ∴D 1F 1 BE 1BD ∴ EF 1 ∴∠EF 1A 或补角即为所求由余弦定理可求得cos ∠EF 1A=1030． 解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1则A （－1，0，0），F 1（－21，0，1），B （0，－1，0），D 1（－21，－21，1） 即1AF u u u r =（21，0，1），1BD u u u u r =（－21，21 ，1）∴cos<1AF u u u r ，1BD u u u u r>=103041411411141=++⋅++-ABCA 1B 1C 1D 1EF 1xzy5.【解析】 (1)解 因为PA ⊥平面AC ，AB ⊥BC ,∴PB ⊥BC ,即∠PBC =90°,由勾股定理得PB=222=+AB PA∴PC =622=+PC PB∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 (3）证明 设PB 、PC 中点分别为G 、F ，连结FG 、AG 、DF ，则GF ∥BC ∥AD ，且GF =21BC =1=AD ，从而四边形ADFG 为平行四边形， 又AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥AG ， 即ADFG 为矩形，DF ⊥FG在△PCD 中，PD =2，CD =2，F 为BC 中点，∴DF ⊥PC从而DF ⊥平面PBC ，故平面PDC ⊥平面PBC ， 即二面角B —PC —D 为直二面角 另法（向量法） (略)6 【解析】解 (1)如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角 由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ， ∴∠ADH =45°(2)∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影，∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°(3)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角设BC =a ,则由题设知，AH =DH =2,23aBH a =,在△HDB 中，HR =43a ，∴tan ARH =HRAH=2故二面角A —BD —C 大小为π－arctan2 另法（向量法） (略)7 【解析】 (1)证明 取BC 中点E ，连结AE ，∵AB =AC ，∴AE ⊥BC ∵平面ABC ⊥平面BCD ，∴AE ⊥平面BCD ，FG PABDPA BCDoxzyR HABCR HABCD z y∵BC ⊥CD ，由三垂线定理知AB ⊥CD又∵AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面BCD ，∵AB ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面ACD(2)解 在面BCD 内，过D 作DF ∥BC ，过E 作EF ⊥DF ，交DF 于F ，由三垂线定理知A F ⊥DF ，∠ADF 为AD 与BC 所成的角设AB =m ，则BC=2m ，CE =DF =22m ,CD =EF =36m 321arctan ,321tan 22=∠∴=+==∴ADF DF EF AE DFAFADF即AD 与BC 所成的角为arctan321故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ， 即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高， 且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=3. 在Rt △ABC 中，因AC=2AF=23，AB=2BC ，由勾股定理易知215415,.55BC AB == 故四面体ABCD 的体积1114152154.3325ABC V S DF ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯= （II ）解法一：如答（19）图1，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG//AD ，GH// 从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角.设E 为边AB 的中点，则EF//BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB.又由（I ）有DF ⊥平面ABC ， 故由三垂线定理知DE ⊥AB.所以∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角，由题设知∠DEF=60° 设,sin .2a AD a DF AD CAD ==⋅=则 在33,cot ,236a Rt DEF EF DF DEF a ∆=⋅=⋅=中 G G EFECBAABCD从而13.26GH BC EF a === 解法二：如答（19）图2，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，已知AD=CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F —xyz.不妨设AD=2，由CD=AD ，∠CAD=30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为(0,3,0),(0,3,0),(0,0,1),(0,3,1).A C D AD -=u u u r则 显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量. 已知二面角C —AB —D 为60°，故可取平面ABD 的单位法向量(,,)n l m n =， 使得1,60,.2n k n <>==o从而 2223,30,.661,.3n AD m n m l m n l ⊥+==-++==±u u u r 由有从而由得设点B 的坐标为6(,,0);,,3B x y AB BC n AB l ⊥⊥=u u u r u u u r u u u r由取，有 22463,,0,,()633(3)0,73,36x y x x y x y y ⎧⎧+==⎪=⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨=-⎪-+=⎩⎪⎪=⎩⎪⎩解之得舍去 易知63l =-与坐标系的建立方式不合，舍去.11用心爱心专心。
参数方程常见题型的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练(含答案).doc
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第91讲:参数方程常见题型的解法【知识要点】一、参数方程的定义：一般地，在平而直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标兀y 都是某个变数/ 的函数=反过來，对于r 的每个允许值，由函数式|% =所确定的点M （兀，刃都在曲线C 上,\y = g （t ）f y 二g ⑴那么方程I ；爲叫做曲线C 的参数方程，联系变5的变数，是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程.二、常见曲线的参数方程：”0 fx =+ rcos^（1）圆（x-x 0）2+（y-j ；0）2=r 2的参数方程为 ° .心（&为参数人[y = y （）+ r sm &x 2 y 2 [x = a cos & （2）椭圆二+ ― = 1的参数方程为彳 f .八（&为参数）；cr /r\y = bsm022（3）双曲线二—刍=1的参数方程 cr b- （4）抛物线j 2 =2px 参数方程2" （/为参数）; 卜=2刃X = X （｝ +/COSG（5）过定点P （x （）』（））、倾斜角为Q 的直线的参数方程彳 ° . （/为参数）•y = y Q +fsina三、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1） 代入法：利用解方程的技巧求11!参数f,然后代入消去参数（包括整体消元）.（2） 加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数.（3） 三角恒等式消参法：利用三角恒等式sin 26z+cos 2tz = l 消去参数.温馨提示：化参数方程为普通方程为F （x,y ） = 0：在消参过程屮注意变量兀、y 取值范围的一致性, 必须根据参数的取值范I 韦I,确定/⑴和g ⑴值域得八y 的取值范圉.x - a sec 0 y = b tan &（0为参数）;【题型讲评】2@为参数力又因为；1分兰屈平方得：K = 1 + sma,代入消参 —如G b =2+3得；^=y 2-l-^2<x<^2, gp ； y 2-^=l(\x\<42)【点评】（1）本题使用的是代入消参.（2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意兀、y 的取值范围，实际上这是两个函数x=f （t\y = g （t ）的值域问题.⑶参数方程化成普通方程之后，有时需要兀、y 的范圉都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写.这主要取决于化简之后的普通方程兀、y 是否与 原参数方程中兀、y 的范围一致.如果一致就不写•如果不一致，就要写.本题中只写了兀的范围，因为兀的 范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.【反馈检测1】参数方程=+ 1（t 为参数）表示什么曲线（）y = 1 - 2 &A. 一条直线B. 一个半圆C. 一条射线D. —个圆片=2 + ejn 2 f ） ~（&为参数）化为普通方程是（）y = _i + cos2&A. 2x-y + 4 = 0B. 2x+y -4 = 0C. 2x-y + 4 = 0,xG [2,3]D. 2兀+y-4 = 0,兀w [2,3]【解析】TCOS 2& = l-2sin ? 0, /. y = -l + l-2sin 2 0 = -2sin 2 0, /. sin 2 0 = 一专，代入 兀= 2 + sii?&可得兀=2— 上，整理可得2x+）一4 = 0. vsin 2&w[0,l],.・・2 + sii?[2,3],即｛【例1】参数方程〈 .a ax = sin ——cos —2y = j2 + sina2，（a 为参数）的普通方程为（） A ? 2 A.=1B. x 2 -y 2 = IC. b 一兀21(1诈 V2)D. x 2-y 2 =l(|x|< V2).a aJC=S1D —cos — 2【解析】由xe [2,3]・所以此参数方程化为普通方程为2兀+》-4 = 0,“ [2,3].故D正确.【点评】本题使用是三角恒等式消参.x = 2 + 3cos&【反馈检测2】设曲线C的参数方程为彳&为参数，直线/的方程为x-3j + 2 = 0,[y = —l + 3sin&则曲线c上到直线/的距离为警的点的个数为（A. 1B. 2C. 3D. 4【例3】若直线r=1+r,（/为参数）被圆r = 2+2cosa（。
2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题30 简单三角函数模型
第30讲:简单三角函数模型的应用问题的解法【考纲要求】1.了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.【基础知识】一、函数的物理意义A 是函数的振幅，wx ϕ+是相位，ϕ是初相。
一般通过函数的最值求A,通过周期2T wπ=求w ，通过最值点求ϕ。
二.用坐标法简单三角函数模型的应用题的步骤：第一步：求出三角函数的解析式；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成实际问题的结论.【方法讲评】例1、如图，某一天从6―14时的温度变化曲线满足函数y=Asin(ωx+φ)＋b 。
（1）求这一天6－14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。
【点评】求函数+B 一般利用待定系数法，从已知条件中找到方程组解答即可。
一般通过函数的最值求A 和B,通过周期2T wπ=求w ，通过最值点求ϕ。
【变式演练1】某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.(1)画出种群数量关于时间变化的图象；（2）求出种群数量作为时间t 的函数表达式（其中t 以年初以来经过的月份数为计量单位）.题型二潮汐进出港和海滨冲浪问题使用情景潮汐进出港和海滨冲浪问题解题步骤一般先求出三角函数的解析式，再解三角函数不等式。
例2已知某海滨浴场的海浪高度y（单位：米）与时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数关系记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，函数y=f（t）可近似地看成是函数y=Acosωt+b．（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b 的最小正周期T 及函数表达式（其中A＞0，ω＞0）；（2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？解：（1）由表格给出的数据知：T=12-0=12；T=2w π=212π=6π【变式演练3】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天从0时至24时的时间x （单位：时）与水深y （单位：米）的关系表：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.51.01.5（1）请选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系；（2）一条货轮的吃水深度（船体最低点与水面的距离）为12米，安全条例规定船体最低点与洋底间隙至少要有1.5米，请问该船何时能进出港口？在港口最多能停留多长时间？(2)设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωt+α)+b.由已知平均数量为800,最高数与最低数差为200,数量变化周期为12个月，【变式演练2详细解析】如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP =R ，设∠AOP =θ，则∠QOP =45°－θ，NP =R sin θ,在△PQO 中，°=θ−°135sin )45sin(RPQ ，∴PQ =2R sin(45°－θ)S 矩形MNPQ =QP ·NP =2R 2sin θsin(45°－θ)=22R 2·［cos(2θ－45°)－22］≤212−R 2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=225°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为212−R 2工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP =225°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM ⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212−R 2∴2k π+6π≤6π•x ≤2k π+56π，k ∈Z ，即12k+1≤x ≤12k+5，k ∈Z ．∵x ∈[0，24]，∴1≤x ≤5或13≤x ≤17．因此，货船在1点至5点可以进出港；或13点至17点可以进出港．每次可以在港口最多能停留4小时．。
2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题53 圆锥曲线常见题型解法
第53讲：圆锥曲线常见题型解法【考纲要求】 （1）圆锥曲线① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 了解圆锥曲线的简单应用 ⑤ 理解数形结合的思想 （2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
【方法点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量。
【变式演练1】 双曲线的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为错误！未找到引用源。
的直线交于双曲线P ，Q 两点，若错误！未找到引用源。
，求双个端点，F 为椭圆的一个焦点．若AB ⊥BF ，则该椭圆的离心率为( )A.5＋12B.5－12C.5＋14D.5－14解： 因为AB ⊥BF ，所以k AB ·k BF ＝－1，即b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，即b 2＝ac ，所以a 2－c 2＝ac ，两边同除以a 2，得e 2＋e －1＝0，所以e ＝－1±52(舍负)，故选B. 【方法点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于错误！未找到引用源。
的方程。
【变式演练2】已知椭圆错误！未找到引用源。
与双曲线错误！未找到引用源。
有公共的焦点，错误！未找到引用源。
的一条渐近线与以错误！未找到引用源。
的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若错误！未找到引用源。
恰好将线段AB 三等分，则( )A ．错误！未找到引用源。
＝132B ．错误！未找到引用源。
＝13C ．错误！未找到引用源。
＝12D ．错误！未找到引用源。
＝2例3 已知错误！未找到引用源。
+4(y-1)2=4，求：(1)错误！未找到引用源。
+y 2的最大值与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值．（2）分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y ，则将此代入错误！未找到引用源。
第08讲 函数图像的作法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】一、函数图像的作法一般有三种：描点法、图像变换法和性质分析法.二、描点法作函数的图像的一般步骤是：列表→描点→连线 ，描点法一般是在知道函数的图像和性质的情况下使用，其使用对象一般是我们熟悉的初等函数，如2()23 1.f x x x =-+三、图像的变换法就是利用图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等作出函数的图像，其解题对象一般是复合函数，如12()log ||f x x =.1、平移变换（左加右减，上加下减）①把函数()f x 的图像向左平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ②把函数()f x 的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像； ③把函数()f x 的图像向上平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ④把函数()f x 的图像向下平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像. 2、伸缩变换①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的ω倍得1()y f x ω= (1w >) ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的ω倍得1()y f x ω= (0ω<<1)③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x ω= ( ω>1) ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x ω= (0<ω<1) 3、对称变换①函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于x 轴对称； 函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =和函数()y f x =--的图像关于原点对称； 函数()y f x =和函数1()y fx -=的图像关于直线x y =对称；简单地记为：x 轴对称y 要变，y 轴对称x 要变，原点对称都要变,y=x 对称交换变.②对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称 轴是2ba x +=.③()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =- ；()y f x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x f a x b ++-=或()(2)2f x f a x b +-=； ()y f x =与()y g x =的图像关于直线x a =对称⇔ ()(2)f x g a x =-或 ()()f a x g a x +=-；()y f x =与()y g x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x g a x b ++-=或 ()(2)2f x g a x b +-=.4、翻折变换①把函数()y f x =图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数()y f x =的图像；②保留y 轴右边的图像，擦去y 轴左边的图像，再把右边的图像对称翻折到y 轴左边，得到函数()y f x =的图像.四、性质分析法一般指通过对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性的综合研究，再画出函数的图像.性质分析法一般是对那些较复杂的函数使用，如223ln 4y x x =--.学科#网五、作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像. 【方法讲评】【例1】用五点法作出函数3sin(2)6y x =+在一个周期的图像.【解析】列表得数函数、三角函数等），由于我们知道函数的图像和性质，所以我们常用描点法直接作函数的图像.【反馈检测1】已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩(1)在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；,(2)写出()f x 的单调递增区间．(1)1||1y x =-； (2)|2|(1)y x x =-+； (3)2|log 1|y x =-； (4)1|2|x y -=【解析】(1)先作函数1y x =的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数11y x =-的图象(如图(a)所示)．再擦掉y 轴左边图像，保留y 轴右边图像，并把y 轴右边图像对称翻折到y 轴左边, 得1||1y x =-的图象(如图(b)所示)．(2)函数式可化为2219()(2)2419()(2)24x x y x x ⎧--≥⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩其图象如图所示．【点评】（1）要熟练地画出函数的图像，必须熟练掌握函数的图像变换的知识（见前面的基础知识），能灵活地利用平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换画出函数的图像.（2）作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像.【反馈检测2】关于x 的方程2|43|x x a x -+-=恰有三个不相等的实数根，求实数a 的值. 【例3】已知函数2()8f x x x =-+,()6ln g x x m =+，是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.∵当0x +→时，()x φ→-∞，当x +∞→时，()x φ→+∞函数()()()x g x f x φ=-= 286ln x x x m -++的草图如下图所示，图1 图2 图3∴要使()0x φ=有三个不同的正实数根，函数的草图必须如图1所示，所以必须且只须⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7156ln3m <<-. 【点评】对于较复杂的函数，一般先求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等，再根据前面函数的性质画出函数的图像.【反馈检测3 】 设函数)(x f =2ln x ax b x ++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2． （1）求a b 、的值；（2）证明：()22f x x ≤-．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第08讲：函数图像作法参考答案【反馈检测1答案】（1）见详细解析；（2）[1,0].[2,5]-． 【反馈检测1详细解析】（1）函数的图像如下图所示：(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[1,0].[2,5]-． 【反馈检测2答案】34a =-【反馈检测3答案】（1）1,3a b =-=；（2）证明见解析.。
解密高中数学常见题型解析与实例解答技巧与思路
解密高中数学常见题型解析与实例解答技巧与思路高中数学作为学生普遍认为比较困难的学科之一，经常让同学们感到头疼。
在高中数学学习的过程中，我们会遇到各种不同的题型，有些题目看似简单，实际上需要通过一定的方法和技巧来解答。
本文将针对高中数学常见题型进行解析，并给出实例解答的技巧和思路。
一、代数方程题代数方程题在高中数学中属于基础题型，但也是容易出错的题目之一。
对于一些常见的代数方程题，我们可以采用以下技巧和思路进行解答。
1. 一次方程与二次方程一次方程和二次方程是最基本的代数方程类型。
在解一次方程时，我们可以通过逆向思维来确定未知数的值，即从已知的结果逆推回去。
而对于二次方程，可以利用求根公式或配方法等方式来求解。
2. 分式方程分式方程在解题时需要注意分母不能为零，可以通过通分、消分母等方法来简化方程，进而求解未知数的值。
3. 绝对值方程绝对值方程可以通过分情况讨论的方式来解答。
要注意绝对值的取值范围和绝对值函数的性质。
二、几何题几何题在高中数学中占据重要地位，解几何题需要掌握一定的几何知识和技巧。
以下是一些常见的几何题的解答技巧和思路。
1. 直线与圆的相交问题当直线与圆相交时，我们可以利用相切线的性质和角的性质来解答。
对于特殊情况，如直径、垂径等，需要注意对应的特殊性质。
2. 三角形的面积问题解三角形的面积问题时，可以利用海伦公式、正弦定理、余弦定理等几何定理来求解。
同时要注意计算时的单位换算和精度控制。
3. 圆锥与球的体积问题解圆锥和球的体积问题时，可以利用体积公式进行计算。
要注意单位的统一，对于圆锥的特殊情况如棱锥、斜锥等，需要注意对应的计算方法。
三、概率题概率题是高中数学中的一类难点题型，需要运用概率知识和统计方法来解答。
以下是一些常见的概率题的解答技巧和思路。
1. 条件概率解条件概率题时，需要根据已知条件计算出对应的概率。
可以利用条件概率公式和全概率公式来求解。
2. 排列组合与概率在一些涉及排列组合的概率题中，我们可以通过计算不重复的事件数和总事件数来计算概率。
2012-2013年高中数学常见题型解决方法归纳 反馈训练及详细解析 专题50 轨迹方程的求法
第50讲：轨迹方程的求法【考纲要求】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 【知识要点】 1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义（1）列式：用坐标表示条件)(M P ,列出方程0),(=y x f ； （2）化简：化方程0),(=y x f 为最简形式；（3）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来。
3、求轨迹方程的四种主要方法（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数。
（2）代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程。
（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。
（4）参数法：动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参。
例 1 线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，4AB =，2CD =，动点P 满足PA PB PC PD =··，求动点P 的轨迹方程．解：如图1，以AB 中点O 为原点，直线AB为x 轴建立直角坐标系． 设()P x y ，，易知(20)(20)(01)(01)A B C D --，，，，，，，． PA PB PC PD =∵··22222222(2)(2)(1)(1)x y x y x y x y ++-+=+-++∴··．整理得22223x y -=，故动点P 的轨迹方程为22223x y -=．例2 已知圆C ：22(1)(1)4x y ++-= ，由动点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，并且60APB ︒∠=，求点P 的轨迹。
解：设(,)P x y ，由题得PAC ∆是直角三角形，且090.PAC ∠=在直角三角形PAC 中，030,2||4APC AC PC ∠==∴= 2222(1)(1)4(1)(1)16x y x y ∴++-=∴++-=所以动点P 的轨迹方程为22(1)(1)16x y ++-=它是以点(1,1)-为圆心，4为半径的圆。
第05讲 函数解析式的求法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：1、待定系数法：假设函数解析式的类型〔函数是二次函数、指数函数和对数函数等〕时，可以用待定系数法.2、代入法：假设原函数)(x f 的解析式，求复合函数)]([x g f 的解析式时，可以用代入法.3、换元法：假设复合函数)]([x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式时，可以用换元法.换元时，注意新“元〞的范围.4、解方程组法：假设抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式. 【方法讲评】【例1】()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x .【点评】〔1〕此题由于函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.〔2〕由于3(1)2(1)217f x f x x +--=+对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的5217ax b a x ++=+实际上是一个恒等式，所以可以比拟等式两边的系数分别相等列方程组.【例2】函数)sin(ϕ+ω=x A y 〔0,||)2πϖφ><的图形的一个最高点为〔2，2〕，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过〔6，0〕，求这个函数的解析式.【解析】由题得)A y wx φ=∴=+【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过条件找到关于待定系数的方程 〔组〕.(2)对于三角函数)sin(ϕ+ω=x A y 来说，一般利用最小正周期得到ω的方程，利用最值得到A 的方程，利用最值点得到ϕ的方程.【反响检测1】()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且(0)1f =,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式.【例3】函数2()21f x x x =+-，求函数(1)f x -的表达式. 【解析】由题得22(1)2(1)(1)123f x x x x x -=-+--=-【点评】此题就是原函数的解析式，求复合函数的解析式，所以只需直接用“1x -〞代换原函数中的“x 〞即可.这就是代入法求函数的解析式.【例4】函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求当)0,(-∞∈x 时，)(x f 的函数解析式.【点评】此题就是某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式. 一般先在所求的函数的图像上 任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.这是高中数学常见到的一种题型，要好好地理解和掌握. 学科.网【反响检测2】设函数1()f x x x=+的图象为1C ，1C 关于点(2,1)A 对称的图象为2C ， 求2C 对应的函数()g x 的表达式.【例5】(1)lg f x x +=，求()f x .【解析】令21t x +=〔1t >〕，那么21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，所以2()lg (1)1f x x x =>-.【点评】〔1〕此题就是复合函数的解析式，求原函数的解析式.一般先换元，再求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.〔2〕换元时，一定要注意新元的取值范围，它就是所求函数的定义域.【反响检测3】 (1cos )cos 2,f x x -=求()2x f 的解析式.方法四 解方程组法使用情景 抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量.解题步骤利用构造另一个方程，得到一个方程组，解方程组即可.【例6】()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ． 【解析】12()()3f x f x x += ①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-． 【点评】在的方程中有自变量x 和1x ，它们互为倒数，所以可以把方程中x 的地方统一换成1x，从而又得到一个关于1(),()f x f x 的方程，解关于1(),()f x f x的方程组即可.【反响检测5】定义在区间(1,1)-上的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 的表达式. 方法五 实际问题法 使用情景 实际问题解题步骤一般情况下根据函数的意义求出函数的解析式，要注意函数的定义域.【例7】某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车分开A 地的路程()x km 表示为时间()t h 〔从A 地出发是开场〕的函数，再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数．【点评】实际问题中求函数的解析式难度比拟大，一般要认真读题，再根据函数的意义、自变量的意义及其它们之间的关系建立它们之间的函数关系.在写函数的解析式时，要注意函数的定义域.【反响检测6】 某公司消费一种产品的固定本钱为0.5万元，但每消费100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数()252x R x x =- ()05x ≤≤万元，其中x 是产品售出的数量〔单位：百件〕.〔1〕把利润表示为年产量的函数()f x ； 〔2〕年产量为多少时，当年公司所得利润最大.高中数学常见题型解法归纳及反响检测第05讲：函数解析式的求法参考答案【反响检测1答案】21()212f x x x =++ 【反响检测1详细解析】(0)bx c a ++≠2设二次函数的解析式为f(x)=ax 【反响检测2答案】12(4)4y x x x =-+≠- 【反响检测2详细解析】设(,)x y 是函数()g x 图象上任一点 ，那么关于(2,1)A 对称点为(4,2)x y --在()y f x = 上，即：1244y x x -=-+-即：124y x x =-+- 故1()2(4)4y g x x x x ==-+≠-. 【反响检测3答案】242()241(f x x x x =-+≤≤【反响检测5答案】21()lg(1)lg(1)(11)33f x x x x =++-+-<< 【反响检测5详细解析】【反响检测6答案】〔1〕()()()219105;242120.255x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩〔2〕当年产量为475件时，公司所得利润最大.〔2〕当05x ≤≤时，()()2121.56254.7522f x x =--+∴当年产量为475件时，公司所得利润最大， ∵该产品最多卖出500件，∴根据问题的实际意义可得，当年产量为475件时，公司所得利润最大.。
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→ → → → 15．已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3，且 A B ·B C ＝6，A B 与 B C 的夹角为θ. (1)求θ的取值范围； (2)求函数 f(θ)＝sin2＋2sinθcos θ＋3cos2θ的最小值．
【变式演练 2 详细解析】
� � � � � � � � � � 解：(1)| a − b |= ( a − b) = a − 2 aib + b = 4 − 2 aib � � �2 � � �2 � � ∵| a + b |= 2 ∴ a + 2a ib + b = 4 ∴ 4 + 2a ib = 4 � � � � ∴ 2a ib = 0 ∴| a − b |= 4 = 2 (2)设两个向量的夹角为α， � � � � � 2 �2 ( a + b )i ( a − b ) a − b 1 − 3 1 ∴ cosα = � � � � = = =− 4 4 2 | a − b || a + b | 2 ∵ 0 < α < π ∴α = π 3
a 与 a + b 的夹角为 30° 。
1 °＝ ， |cos60° (2)∵m·n＝|m||n|cos60 2
∴|a|2＝|2m＋n|2＝(2m＋n)·(2m＋n)＝7， |b|2＝|－3m＋2n|2＝7， 7 ∵a·b＝(2m＋n)·(－3m＋2n)＝－ . 2 设 a 与 b 的夹角为θ， 1 a ·b °. ＝－ ，∴θ＝120 120° ∴cosθ＝ |a|·|b| 2 · （2 a + b ）=61，∴ 4a − 4a ⋅ b − 3b = 61. 13.【解析】 （1）∵（2 a －3 b ） 又| a |=4，| b |=3，∴ a · b =－6.
→ → → ，渡船速度为OB，水流速度为OA，船实际垂直过江的速度为 OD，依题意知 】 如图 ， 如图， 依题意知， 【解析】 【解析 → → → → |O A |＝12.5，|O B |＝25，由于四边形 OADB 为平行四边形，则 |B D |＝|O A |，又 OD⊥BD， °. °，∴航向为北偏西 30 30° 30° ∴在 Rt△OBD 中，∠BOD＝30 6.【答案】 ② ．由两向量平行的充要条件得 1×6＋2k＝0，k＝－3，故命题②正 】 命题①明显错误 【解析 明显错误． 【解析】 确． °，命题③错误． 由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得 a 与 a＋b 的夹角为 30 30° 1 】 ：－ 答案】 7.【答案 2 2 2 2 2 】 ：先化简(a－b)·(2a＋b)＝2a －a·b－b ＝2|a| －|a||b|cosθ－|b| ＝－8－8cosθ＝ 解析】 【解析
（2）
� � � � � � � � 2 � � �2 xi y (a + b)i(2a + b) 2a + 3a ib + b � = cos α = � � = | x || y | 2i 5 10 3 3 10 = = 10 10 3 所以向量夹角的余弦值为 10 。 10
方法二 使用情景
利用公式 cos θ =
π ）的图像与 y 轴交于点（0，1） 。 2
���� �
（Ⅰ）求 ϕ 的值； （Ⅱ）设 P 是图像上的最高点， M、N 是图像与 x 轴的交点，求 PM 与 PN 的夹角的余弦。
����
【点评】 此类问题的一般步骤是：先求 a, b 的坐标，再代 cos θ = 【变式演练 2】
� �
x1 x2 + y1 y2
9.【解析】 (1)∵a∥b，∴θ＝0 或π， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝1× 2×cos θ＝± 2. (2)∵(a－b)⊥a，∴a·(a－b)＝0， 即 a2－a·b＝0， 2 ∴1－1× 2cos θ＝0，∴cos θ＝ . 2 π ∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . 4 10.【解析】 （1）|a＋b|＝ （a＋b）2 ＝ a2＋2a·b＋b2 1 × 8× 10× 102＋82＋2×10 ＝2 61 2 a2＋a·b a· （a＋b） 7 61 (2)cosθ＝ ＝ ＝ . 61 |a||a＋b| 10×2 61 ＝ |a|2＋|b|2＋2|a||b|cos600 ＝ 11. 【解析】由题意可得 | a | = 16 ， | b |= 4 ， a • b = −4 （1） (a − 2b) • ( a + b) = a − a • b − 2b = 12 ； （2） | 2a − b | =
2 2 x + y12 ⋅ x2 + y2 2 1
求解。
� � � � 已知 | a |= 1,| b |= 3, a + b = ( 3,1 ）， � � � � � � a + b与a − b的夹角。 （1）试求 | a − b | ；（2）
【高考精选传真】
AB 2 + BC 2 − AC 2 1 .又由余弦定理知 cos B = ，解得 BC = 3 . ∴ cos B = −2 BC 2 AB ⋅ BC A
第 33 讲 平面向量夹角的求法
【考纲要求】 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 【基础知识】 1、两个非零向量的夹角的概念
2、求两个向量的夹角一般有两种方法
�� �� � � a ib 方法一： cos < a , b >= � � a b
方法二：设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ， θ 为向量 a 与 b 的夹角，则 cos θ = 【方法讲评】
（2 a －3 b ） 13.（1）已知| a |=4，| b |=3， · （2 a + b ）=61，求 a 与 b 的夹角θ； （2）若 | a |=| b |= 1且a与b夹角为120 ，那么实数 x 为何值时 | a − xb | 的值最小？
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14.设平面内的向量 OA = (1,7) , OB = (5,1) , OM = ( 2,1) ，点 P 是直线 OM 上的一个动点， 求当 PA ⋅ PB 取最小值时， OP 的坐标及∠APB 的余弦值．
�
�
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x1 x2 + y1 y2
2 2 x + y12 ⋅ x2 + y2 2 1
例1
已知 x = a + b, y = 2 a + b, 且 | a |=| b |= 1, a ⊥ b.
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（1）求 | x | 和 | y | 。 （2）求 x, y 夹角的余弦值。 解： （1） | x |=
DE ⋅ CB 的值为________， DE ⋅ DC 的最大值为______。
【解析】根据平面向量的数量积公式 DE ⋅ CB = DE ⋅ DA = | DE | ⋅ | DA | cos θ ，由图可知，
| DE | ⋅ cos θ =| DA | ，因此 DE ⋅ CB =| DA |2 = 1 ，
��� � ��� � ��� � ��� � CA = (−2, 0）， CB = (1, 3） 则∠ACB就是CA和CB所成的角 ��� � ��� � 2 CAiCB −2 1 � ��� � = ∵ 0 < ∠ACB<π ∴∠ACB= π ∴ cos∠ACB= ��� =− 3 2 | CA || CB | 2 × 2
而 | DE | ⋅ cos α 就是向量 DE 在 DC 边上的射 DE ⋅ DC =| DE | ⋅ | DC | cos α = | DE | ⋅ cos α ， 影，要想让 DE ⋅ DC 最大，即让射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为 DC ，所以长度为 1．
3.若向量 a 与 b 不共线， a ib ≠ 0 ，且 c = a - ⎜ A．0 B．
°，|a|＝10，|b|＝8，求： 60° 10.已知 a 和 b 的夹角为 60 | 1 2 a b | a b （ ） ＋ ； （ ） ＋ 与 a 的夹角θ的余弦值.
11.已知 | a |= 4 ， | b |= 2 ，且 a 与 b 夹角为 120°求： ⑴ (a − 2b) • ( a + b) ； ⑵ | 2a − b | ； ⑶ a 与 a + b 的夹角。
(1)已知 a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)， 2.(1) 12. ①当 x、y 为何值时，a 与 b 共线？ ②是否存在实数 x、y，使得 a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出 xy 的值；若不存在，说明理由． °，试求向量 a＝2m＋n 和 b＝－3m＋2n 的夹角． (2)设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60 60°
【反馈训练详细解析】 1.【答案】 C 【解析】 ∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3. a·b π 3 1 ∴cos<a·b>＝ ＝ ＝ ，∴a 与 b 的夹角为 . |a||b| 1·6 2 3 2【答案】 C 】 向量 a 与向量 a＋b 的夹角为π，可设向量 a＋b 与向量 c 的夹角为α，则(a＋b)·c＝ 【解析】 【解析 5 1 °，则向量 a 与向量 c 所夹的角应为 120 °. |a＋b|·|c|·cos α＝5cos α＝ ，所以 cos α＝ ，α＝60 60° 120° 2 2
C．
π ，边 AB 、 AD 的长分别 3 | BM | | CN | 为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点，且满足 ，则 AM ⋅ AN 的取 = | BC | | CD |
4.【2012 高考真题上海理 12】在平行四边形 ABCD 中， ∠A = 值范围是 。
5.【 2012 高考真题北京理 13】已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则