2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。

又x Z ∈。

因此{}21012A =--，，，，。

所以，集合A 中所有元素的和为0。

2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径2R =。

由243R ππ=，得2R =。

∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。

3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。

∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。

BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥； （3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； （4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B【解答】（1）不正确。

如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，取m 为直线BD ，n 为直线11AC 。

过点A 的直线l 如果与直线BD 相交，则l 在ABCD 面内，此时l 与直线11AC 不相交。

（2）、（3）正确。

（4）不正确。

如图，正方体1111ABCD A BC D -的面ABCD 内取两条与BC 平行的直线，如图中的直线AD 与EF ，则有11AD BCC B ∥面，11EF BCC B ∥面，1111AD A B C D ∥面，1111EF A B C D ∥面，但11BCC B 面与面1111A B C D 相交而不平行。

5．已知函数22()(2)()f x x x x mx n =+++，若对任意实数x 均有(3)(3)f x f x -+=--，则()f x 的最小值为（ ）A ．16-B ．14-C ．12-D ．10- 【答案】 A【解答】 依题意，()f x 的图像关于直线3x =-对称。

∴ (6)(0)0f f -==，(4)(2)0f f -=-=。

于是，24(366)08(164)0m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，解得1024m n =⎧⎨=⎩。

10m =，24n =时，2222()(2)(1024)(2)(4)(6)(6)(68)f x x x x x x x x x x x x x =+++=+++=+++。

∴ 222222()(6)8(6)(3)98(3)9f x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+++=+-++-⎣⎦⎣⎦，即2422()(3)10(3)9(3)516f x x x x ⎡⎤=+-++=+--⎣⎦。

此时，22(3)(5)16f x x -+=--，22(3)(5)16f x x --=--，符合题意。

∴ 2(3)50x +-=，即3x =-()f x 取最小值16-。

1AA （第4题图）6．已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c a b c ---=，则a 的最小值为（ ）A ．16-B ．15-C ．14-D ．13-【答案】 D【解答】 由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=。

∴ 1ab bc ca a b c ++=++-。

设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-。

∵ 2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，∴ 22(1)1x x --=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=。

∴ ()0ab a b c ++=，即()(1)0ab a b a b ++--=。

∴ 220a b ab a b ++--=，即22(1)0b a b a a +-+-=。

由a ，b R ∈知，22(1)4()0a a a =---≥△。

∴ 23210a a --≤，解得113a -≤≤。

因此，13a ≥-。

又当13a =-时，代入前面解得，23b c ==。

符合题设要求。

∴ a 的最小值为13-。

二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知定义在[]10-，上的函数()log ()a f x x m =+（0a >，且1a ≠）的值域也是[]10-，，则a m +的值为 。

【答案】52【解答】当1a >时，()f x 在[]10-，上为增函数，依题意有(1)log (1)1(0)log (0)0a a f m f m -=-+=-⎧⎨=+=⎩，方程组无解。

当01a <<时，()f x 在[]10-，上为减函数，依题意有(1)log (1)0(0)log (0)1a a f m f m -=-+=⎧⎨=+=-⎩，解得212m a =⎧⎪⎨=⎪⎩。

所以，52a m +=。

8．如图，在三棱锥P ABC -中，5PA PC BA BC ====，6AC =，4PB =。

设PA 与ABC面所成的角为θ，则sin θ的值为 。

【答案】【解答】如图，取AC 中点O ，连接OP ，OB 。

∵ 5PA PC BA BC ====，6AC =， ∴ AC OP ⊥，AC OB ⊥，4OP OB ==。

∴ AC POB ⊥面，ABC POB ⊥面面。

又由4PB =，知POB △是等边三角形。

作PH OB ⊥于H ，则PH ABC ⊥面，且PH = ∴ PAH ∠是PA 与ABC 面所称的角。

∴sin sin 5PH PAH PA θ=∠==。

AA （第8题图）（第8题图）9．已知(912)A -，，(1612)B --，，(00)O ，，点D 在线段OB 内，且AD 平分OAB ∠，则点D 的坐标为 。

【答案】 9(6)2--，【解答】如图，OB 方程为34y x =，设(43)D t t ，（40t -<<）。

又直线AO 方程为430x y +=，AB 方程为24730x y -+=，AD 平分OAB ∠。

∴ 点D 到直线AO 、AB 距离相等。

∴1699621300525t t t t +-+=。

解得，6t =（舍去）或32t =-。

因此，点D 坐标为9(6)2--，。

10．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且在区间[]01，上单调递减。

若()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为 。

【答案】 []282ππ--，【解答】∵ ()f x 是偶函数，且在区间[]01，上单调递减。

∴ ()f x 在区间[]10-，上为增函数。

又()f x 是以2为周期的周期函数， ∴ ()f x 在区间[]12，上为增函数。

又()1f π=，(2)2f π=，以及()f x 是以2为周期的偶函数。

∴ (2)()1f f ππ-==，(82)(28)(2)2f f f πππ-=-==。

又12822ππ<-<-<，∴ 不等式组的解集为[]282ππ--，。

11．已知()2xf x x =+，定义1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，2n =，3，4，…，则2017(3)f = 。

【答案】2019323-（第9题图）【解答】 依题意，有1333(3)523f ==-，2433(3)1323f ==-，3533(3)2923f ==-， …………… 一般地，有23(3)23n n f +=-。

所以，201720193(3)23f =-。

12．已知0x >，0y >，0z >，且22251x y z ++=，则2x y y z +的最大值为 。

【答案】12【解答】由222222215(4)()422(2)x y z x y y z xy yz xy yz =++=+++≥+=+，知122xy yz +≤，当且仅当2x y =，且y z =，即x =，y z == 所以，2xy yz +的最大值为12。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知21()()3f x ax a x c =+-+，且当11x -≤≤时，1()6f x ≤恒成立。

（1）求()f x 的解析式；（2）已知11()A x y ，、22()B x y ，是函数()y f x =图像上不同的两点，1(1)6P -，，且P A P B ⊥。

当1x 、2x 为整数，123x x <<时，求直线AB 的方程。

【解答】（1）依题意，1(0)6f c =≤，11(1)36f c =+≤。

∴ 1166c -≤≤，且1126c -≤≤-。

∴ 16c =-。

…………………………… 4分此时，1(0)6f =-，可见()f x 在区间[]11-，上的最小值为(0)f 。

∴ ()f x 的对称轴为0x =，即103a -=，13a =。

∴ 211()36f x x =-。

…………………………… 8分 （2）由（1）知，2111111111()16366(1)13PA y x x k x x ----===--+。

同理213PBx k -=。

∵ PA PB ⊥， ∴ 1211133PA PB x x k k --⋅=⋅=-。

∴ 12(1)(1)9x x --=-。

…………………………… 12分 又1x 、2x 为整数，且12x x <，∴ 121911x x -=-⎧⎨-=⎩，或121313x x -=-⎧⎨-=⎩，或121119x x -=-⎧⎨-=⎩。