【沪科版九年级数学上册】23.2 第4课时 坡度问题及一次函数k的几何意义 PPT精品课件
沪科版数学九年级上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其运用第4课时坡度、坡角在解直角三角形中的运
解：在 Rt△BAE 中，∠BAE＝68°，BE＝162 米，∴AE＝tan∠BCBAE ≈21.6428＝65.32(米)．在 Rt△DCE 中，∠DCE＝60°，DE＝176.6 米，∴ CE＝tan∠DECDE＝117.763.6≈102.08(米)，∴AC＝CE－AE≈102.08－65.32 ＝36.76≈36.8(米)．即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC 约 为 36.8 米
解：作 AF⊥BC 于点 F.在 Rt△ABF 中，∠ABF＝∠α＝60°，AF ＝AB·sin60°＝20· 23＝10 3(m)．在 Rt△AEF 中，∠β＝45°，∴ AF＝EF，∴AE＝ AF2＋EF2＝10 6(m)．即坡长 AE 为 10 6 m
7．(10 分)如图，水库的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜
坡度、坡角在解直角三角形中的运用
1．(4 分)小明沿坡度为 1∶3 的斜坡向上行走了 10 m，则他上升的
竖直高度是( B )
10 A. 3 m
B. 10 m
C．10 m
D．30 m
2．(4 分)如图，已知一坡面的坡度 i＝1∶ 3，则坡角α为( C )
A．15° B．20° C．30° D．45°
9．如图，河堤横断面为梯形，上底为4m，堤高为6m，斜坡AD的坡 比为1∶3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为() B
A．48m2B．96m2C．84m2D．192m2
二、填空题(每小题5分，共10分) 10．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡 的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是_2_1_0____cm.
九年级数学上册 23.2 第4课时 坡度问题教案1 沪科版(2021学年)
2０17年九年级数学上册２3.2 第４课时坡度问题教案１(新版)沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(２017年九年级数学上册２3.２第4课时坡度问题教案1 (新版）沪科版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2０1７年九年级数学上册23．２第4课时坡度问题教案1 (新版）沪科版的全部内容。
第４课时坡度问题１.理解并掌握坡度、坡比的定义;２．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中,测量某些量可以采取不同的方法,某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量.从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示.你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度?二、合作探究探究点:与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用３0s,车速是２m/s，汽车行驶的水平距离是４０m，则这个斜坡的坡度是___＿____.解析：坡面距离为30×2＝60ｍ，水平距离为40m，∴铅直高度为错误!＝２0错误!(m),∴坡度i ＝２0错误!∶４0＝错误!∶2.方法总结:根据坡度的定义i＝错误!,解题时需先求得水平距离ｌ和铅直高度ｈ。
如图所示，在平面上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离）为4ｍ,如果在坡度为0。
75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（)A.5ｍＢ.6ｍC．7mD．8m解析：由题知，水平距离l＝4ｍ,ｉ＝0.７５,∴铅直高度h=ｌ·i=4×0。
75=3(m）,∴坡面距离为错误!＝５(ｍ)．故选A.方法总结:解此类题,首先根据坡度的定义,求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离.如图所示,给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1。
最新沪科版九年级数学上册精品课件23.2 第4课时 坡度问题及一次函数k的几何意义
4米
在Rt△B•C第F三中级，同理可得
45°
BF
4
•
第四级
• 6第.9五3级 (米).
A
E
tan 30
C
30°
F
B
因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
2019/8/21
24
单击此处编母版标题样式
课堂小结
利•用单解击直此角处三编角辑形母的版知文识本解样决式实际问题的一般过程是： （1）• 将第实二级际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
AE 3
2019/8/21
9
单击此处编母版标题样式
在Rt△DCF中，同理可得 i CF 1 ， FD 2.5
F•D单击2此.5C处F编辑2.5母版23文本57样.5式m ，
A•D第•二第A级三E级 EF FD=69+6+57.5=132.5 (m). 在Rt△AB•E第中四• 级，第五由级 勾股定理可得
比较陡？• 第三级
• 第四级
B
• 第五级
A
C
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
2019/8/21
2
单击此处编母版标题样式
讲授新课
☆•与单坡击度此、处坡编角辑有母关版的文实本际样问式题
坡面
知识•回第顾•二第级三级
1. 坡角
• 第四级 • 第五级
i= h : l α
l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
BC•=第3m二，级则坡面AB的长度是
(B)
A.
9m•
第三级
• 第B四.级6m
C. 6 3m
2017年九年级数学上册 23.2 第4课时 坡度问题教案2 (新版)沪科版
23.2 解直角三角形及其应用第4课时坡度问题教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】解决有关坡度的实际问题.【难点】理解坡度的概念和有关术语.教学过程一、创设情境,导入新知师:在现实生活中,经常会有建筑大坝、修地基等,它们的截面上底和下底不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的,这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循.教师多媒体课件出示:例:如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)师:已知一个大坝的横截面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD 的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m).学生思考.二、问题探究1.回忆旧知识.师:我们先来回忆一下坡度与坡角的概念.学生看课本.老师作图:师:坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比,通常用小写字母i表示,坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角,一般用α表示.坡度与坡角的关系是:坡度越大,坡角越大.2.练习.教师多媒体课件出示:(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为;(2)坡度通常写成1∶的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为;(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为,坡度为;(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i= ,AD= ;若AB=10,CD=4,i=,则h= .师:我们再来看几个练习,以加深对坡度和坡角的理解.教师找学生回答,然后集体订正.【答案】(1) (2)m 20°48'(3)4∶3 5 0.6三、例题讲解【例1】如图,一船以20n mile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上,继续航行1h到达B处,再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周10n mile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全?分析:这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile.解:过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x n mile.在Rt△ACD中,AD==.在Rt△BCD中,BD==.由AB=AD-BD,得AB=-=20,即-=20,解方程,得x=10>10.答:这船继续向东航行是安全的.【例2】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.解:过点C作CD⊥AD于点F,得CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.∵BE=5.8 m,=,=,∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).∴AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).由tanα=i=,tanβ=i'=,得α≈32°,β≈21°.答:铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和21°.【例3】已知:在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ,这条直线向上方向与x 轴正方向所夹的锐角为α.求证:tanα==k.证明:由α是锐角,可知直线y=kx+b是上升的,即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.如图,设x1<x2,则y1<y2.过点P1、P2作x轴的垂线,垂足分别为Q1、Q2,再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R,得∠P2P1R=α.在Rt△P2P1R中,tanα===.∵P1、P2都在直线y=kx+b上,∴y1=kx1+b, ①y2=kx2+b. ②由②-①,得y2-y1=k(x2-x1),∴k=.即tanα==k.四、巩固练习1.为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值为( )A. B. C. D.【答案】D2.如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i=1∶2,则斜坡AB的长为米.【答案】63.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为2 m,则这个坡面的坡度为.【答案】1∶24.如图,斜坡AC的坡度为1∶,AC=10米,坡顶有一旗杆BC,旗杆的顶端点B与点A用一条彩带AB相连,AB=14米,求旗杆BC的高度.【答案】设旗杆高为x,在Rt△ADC中,CD=AC=5,AD=AC=5,则在△ADB中,AD2+BD2=AB2,即(5)2+(5+x)2=142,解得x=6,所以旗杆高6米.5.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图(i=1:是指坡面的铅直高度DE与水平长度CE 的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三个有效数字,参考数据:≈1.732)【答案】52.0师:请同学们认真思考上面的问题,然后在草稿纸上完成解答过程.教师巡视,对有疑问的学生进行指导.五、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你们还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思在教学过程中要多给学生提供练习的机会,让学生自己来作辅助线.在解直角三角形时让学生讨论,各抒己见.在有多种方法时,让学生讨论哪一种方法简单.这节课应用了坡比、坡度与解直角三角形的结合,而坡比、坡度的概念有些同学可能忘记了或记得不牢,难于灵活应用,所以在本节课开头我带领学生复习并练习了这些概念,使他们能熟练地在下面的练习中应用.。
19年秋沪科版九年级数学上：第二十三章 23.2-第4课时 坡度、坡角问题 第5课时 坐标系中直线与x轴的夹角
A．6sin15°cm C．6tan15°cm
B．(知识点 2)(4 分)直线 y＝2x＋1 的向上方向与 x 轴正方向所夹的锐角 为 α，则 tanα＝ 22 .
6．(知识点 1)(10 分)如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是 10 米，CB⊥DB，坡面 AC 的倾斜角为 45°.为了方便行人推车过天桥，市政 部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的坡度为 i＝ 3∶3.若新坡角下需留 3 米 宽的人行道，问离原坡角(A 点处)10 米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：
3．(知识点 2)(4 分)直线 y＝2x 与直线 y＝3x 的向上方向与 x 轴正方向
所成的角分别为 α，β，则( C )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＜β
D．都不对
4．(知识点 1)(4 分)如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm(如箭头所示)，则木桩上升了( C )
第二十三章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第4课时 坡度、坡角问题 第5课时 坐标系中直线与x轴的夹角
知识点 1 坡度、坡角问题 坡度也叫 坡坡比比 ，是坡面的 铅铅直直高高度度 与 水水平平长长度度 的比．坡
角是坡面与 水水平平面面 的夹角．i＝hl ＝ ttaannαα .与坡度有关的应用题常自 斜坡的顶端作 垂垂线线 ，从而转化为解直角三角形问题．
知识点 2 坐标系中直线与 x 轴的夹角 设直线 y＝kx＋b 向上的方向与 x 轴正方向所夹的锐角为 α，则 tanα＝ kk .
(总分 30 分) 1．(知识点 1)(4 分)河堤的横断面如图所示，堤高 BC 是 5m，迎水斜坡 AB 的长是 13m，那么斜坡 AB 的坡度是( C )
沪科版九年级数学上册教案第4课时坡度问题2
23.2 解直角三角形及其应用第4课时坡度问题教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】解决有关坡度的实际问题.【难点】理解坡度的概念和有关术语.教学过程一、创设情境,导入新知师:在现实生活中,经常会有建筑大坝、修地基等,它们的截面上底和下底不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的,这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循.教师多媒体课件出示:例:如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)师:已知一个大坝的横截面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m).学生思考.二、问题探究1.回忆旧知识.师:我们先来回忆一下坡度与坡角的概念.学生看课本.老师作图:师:坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比,通常用小写字母i表示,坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角,一般用α表示.坡度与坡角的关系是:坡度越大,坡角越大.2.练习.教师多媒体课件出示:(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为;(2)坡度通常写成1∶的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为;(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为,坡度为;(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=,AD=;若AB=10,CD=4,i=,则h=.师:我们再来看几个练习,以加深对坡度和坡角的理解.教师找学生回答,然后集体订正.【答案】(1)(2)m20°48'(3)4∶350.6三、例题讲解【例1】如图,一船以20n mile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上,继续航行1h到达B处,再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周10n mile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全?分析:这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile.解:过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x n mile.在Rt△ACD中,AD==.在Rt△BCD中,BD==.由AB=AD-BD,得AB=-=20,即-=20,解方程,得x=10>10.答:这船继续向东航行是安全的.【例2】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.解:过点C作CD⊥AD于点F,得CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.∵BE=5.8 m,=,=,∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).∴AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).由tanα=i=,tanβ=i'=,得α≈32°,β≈21°.答:铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和21°.【例3】已知:在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ,这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.求证:tanα==k.证明:由α是锐角,可知直线y=kx+b是上升的,即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.如图,设x1<x2,则y1<y2.过点P1、P2作x轴的垂线,垂足分别为Q1、Q2,再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R,得∠P2P1R=α.在Rt△P2P1R中,tanα===.∵P1、P2都在直线y=kx+b上,∴y1=kx1+b,①y2=kx2+b.②由②-①,得y2-y1=k(x2-x1),∴k=.即tanα==k.四、巩固练习1.为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值为()A. B. C. D.【答案】D2.如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i=1∶2,则斜坡AB的长为米.【答案】63.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为2 m,则这个坡面的坡度为.【答案】1∶24.如图,斜坡AC的坡度为1∶,AC=10米,坡顶有一旗杆BC,旗杆的顶端点B与点A用一条彩带AB相连,AB=14米,求旗杆BC的高度.【答案】设旗杆高为x,在Rt△ADC中,CD=AC=5,AD=AC=5,则在△ADB中,AD2+BD2=AB2,即(5)2+(5+x)2=142,解得x=6,所以旗杆高6米.5.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图(i=1:是指坡面的铅直高度DE与水平长度CE的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三个有效数字,参考数据:≈1.732)【答案】52.0师:请同学们认真思考上面的问题,然后在草稿纸上完成解答过程.教师巡视,对有疑问的学生进行指导.五、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你们还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思在教学过程中要多给学生提供练习的机会,让学生自己来作辅助线.在解直角三角形时让学生讨论,各抒己见.在有多种方法时,让学生讨论哪一种方法简单.这节课应用了坡比、坡度与解直角三角形的结合,而坡比、坡度的概念有些同学可能忘记了或记得不牢,难于灵活应用,所以在本节课开头我带领学生复习并练习了这些概念,使他们能熟练地在下面的练习中应用.。
2019年九年级数学上册 23.2 第4课时 坡度问题教案2 (新版)沪科版.doc
2019年九年级数学上册 23.2 第4课时坡度问题教案2 （新版）沪科版教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】解决有关坡度的实际问题.【难点】理解坡度的概念和有关术语.教学过程一、创设情境,导入新知师:在现实生活中,经常会有建筑大坝、修地基等,它们的截面上底和下底不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的,这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循.教师多媒体课件出示:例:如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)师:已知一个大坝的横截面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD 的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m).学生思考.二、问题探究1.回忆旧知识.师:我们先来回忆一下坡度与坡角的概念.学生看课本.老师作图:师:坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比,通常用小写字母i表示,坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角,一般用α表示.坡度与坡角的关系是:坡度越大,坡角越大.2.练习.教师多媒体课件出示:(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为;(2)坡度通常写成1∶的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为;(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为,坡度为;(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i= ,AD= ;若AB=10,CD=4,i=,则h= .师:我们再来看几个练习,以加深对坡度和坡角的理解.教师找学生回答,然后集体订正.【答案】(1) (2)m 20°48'(3)4∶3 5 0.6三、例题讲解【例1】如图,一船以20n mile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上,继续航行1h到达B处,再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周10n mile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全?分析:这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile.解:过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x n mile.在Rt△ACD中,AD==.在Rt△BCD中,BD==.由AB=AD-BD,得AB=-=20,即-=20,解方程,得x=10>10.答:这船继续向东航行是安全的.【例2】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.解:过点C作CD⊥AD于点F,得CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.∵BE=5.8 m,=,=,∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).∴AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).由tanα=i=,tanβ=i'=,得α≈32°,β≈21°.答:铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和21°.【例3】已知:在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ,这条直线向上方向与x 轴正方向所夹的锐角为α.求证:tanα==k.证明:由α是锐角,可知直线y=kx+b是上升的,即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.如图,设x1<x2,则y1<y2.过点P1、P2作x轴的垂线,垂足分别为Q1、Q2,再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R,得∠P2P1R=α.在Rt△P2P1R中,tanα===.∵P1、P2都在直线y=kx+b上,∴y1=kx1+b, ①y2=kx2+b. ②由②-①,得y2-y1=k(x2-x1),∴k=.即tanα==k.四、巩固练习1.为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值为( )A. B. C. D.【答案】D2.如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i=1∶2,则斜坡AB的长为米.【答案】63.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为2 m,则这个坡面的坡度为.【答案】1∶24.如图,斜坡AC的坡度为1∶,AC=10米,坡顶有一旗杆BC,旗杆的顶端点B与点A用一条彩带AB相连,AB=14米,求旗杆BC的高度.【答案】设旗杆高为x,在Rt△ADC中,CD=AC=5,AD=AC=5,则在△ADB中,AD2+BD2=AB2,即(5)2+(5+x)2=142,解得x=6,所以旗杆高6米.5.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图(i=1:是指坡面的铅直高度DE与水平长度CE 的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三个有效数字,参考数据:≈1.732)【答案】52.0师:请同学们认真思考上面的问题,然后在草稿纸上完成解答过程.教师巡视,对有疑问的学生进行指导.五、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你们还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思在教学过程中要多给学生提供练习的机会,让学生自己来作辅助线.在解直角三角形时让学生讨论,各抒己见.在有多种方法时,让学生讨论哪一种方法简单.这节课应用了坡比、坡度与解直角三角形的结合,而坡比、坡度的概念有些同学可能忘记了或记得不牢,难于灵活应用,所以在本节课开头我带领学生复习并练习了这些概念,使他们能熟练地在下面的练习中应用.。
最新沪科版初中数学九年级上册23.2第4课时坡度问题1优质课教案
第4课时 坡度问题1．理解并掌握坡度、坡比的定义； 2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2/s ，汽车行驶的水平距离是40，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60，水平距离为40，∴铅直高度为602－402＝205()，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2方法总结：根据坡度的定义i ＝hl，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4，如果在坡度为075的山坡上种树，也要求株距为4，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5B ．6 ．7 D ．8解析：由题知，水平距离l ＝4，i ＝075，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×075＝3()，∴坡面距离为32＋42＝5()．故选A方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶15的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为15米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为B与A 的和，而由坡度的定义知B A ＝115，所以A 可求．解：∵B A ＝115，∴A ＝15B ＝15×3＝45(米)．∴A ＋B ＝45＋3＝75(米)． ∴地毯的总面积为15×75＝1125(平方米)．∴需要的钱数为8×1125＝90(元)．答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计 坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝错误!，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
D 30°
B
C
探究归纳
l
α
h
l α
h
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”
的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把 山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中
一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡
近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰
角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.
l1 h1 α1
方法归纳
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上 面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们 再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为 整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学 中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今 后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
BC BC ， 因此 sin AC 240
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）． 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上 升了约107.3 m．
例2 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲 的解决问题的策略 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根 据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量 如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡 面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如
图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于
P2(x2,y2) R
y=kx+b的值随x值的增大而增大. 如图，x1＜x2,则y1＜y2.过点P1,P2作
x轴的垂线，垂足分别为Q1,Q2, 再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2 于点R，得 ∠P2P1R=α.
α
o
Q1 Q2
x
在Rt△P2P1R中，
RP2 y2 y1 y2 y1 tan RP x2 x1 x2 x1 1
23.2 解直角三角形及其应用
第4课时 坡度问题及一次函数 k 的几何意义
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解并掌握坡度、坡比的定义；(重点)
2.学会用坡度、坡比解决实际问题.(难点)
导入新课
观察与思考 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路 比较陡？ B
A 如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
CF 1 ， 在Rt△DCF中，同理可得 i FD 2.5
FD 2.5CF 2.5 23 57.5 m ，
AD AE EF FD =69+6+57.5=132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
AB AE 2 BE 2 692 232 72.7 m .
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. 6 B C i=1:3 i=1:2.5 23 α A D F E
练一练
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出 发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 20 5 米到达山 顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的 俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离． 答案：点B和点C的水平
h α l
典例精析
例1 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多 少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长 度精确到0.1m）？
i=1:2
用α表示坡角的大小，由题意可得 解： 1 tan 0.5， 2 因此 α≈26.57°. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°， AC=240m，
i=1:3 A B 6 C α
i=1:2.5 23 D
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4， 由计算器可算得α≈22°. 故斜坡CD的坡角α 为22°.
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). i=1:3
B
6
C
α i=1:2.5 23
D F E 解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别 为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在Rt△ABE中， BE 1 i ， AE 3BE 3 23 69 m . AE 3
C
讲授新课
与坡度、坡角有关的实际问题
知识回顾
1. 坡角
坡面
i= h : l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 (或坡比)
α l
h 水平面
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比 叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l . 坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
3. 坡度与坡角的关系 h i tan l 即坡度等于坡角的正切值. 坡面 i= h : l α h
l
水平面
练一练
1. 斜坡的坡度是 1: 3 ，则坡角α =___ 30 度.
2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. 1:1 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. 1: 3
∵P1,P2都在直线y=kx+b上，
y1 kx1 b y2 kx2 b y2 y1 k x2 x1 y2 y1 tan k x2 x1
当堂练习
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : 3 ，坝高 BC=3m，则坡面AB的长度是 ( B) A. 9m B. 6m C. 6 3 m B D. 3 3 m
不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.
例3:已知：在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，
这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α. y2 y1 求证：tan k y x2 x1 证明：由α是锐角，可知直线
y=kx+b是上升的，即函数
P1(x1,y1) α