动能定理和功能原理
动能定理与动量守恒
动能定理与动量守恒动能定理和动量守恒是物理学中两个重要的基本原理。
它们可以帮助我们理解物体在各种力的作用下的运动规律。
本文将介绍动能定理和动量守恒的基本概念、原理和应用。
一、动能定理动能定理是描述物体动能变化的定理，它表明物体的动能变化等于物体所受的合外力沿着物体位移方向所作的功。
简单来说，动能定理可以用以下公式表示：K2 - K1 = W其中，K1是物体的初始动能，K2是物体的末态动能，W是合外力对物体所作的功。
动能定理的证明可以通过牛顿第二定律和功的定义进行推导。
根据牛顿第二定律 F = ma，将力和位移的关系代入功的定义 W = F·s，可以得到动能定理的数学表达。
动能定理的应用非常广泛。
例如，我们可以通过动能定理分析汽车在行驶过程中的能量转化和耗散情况。
当汽车加速时，发动机提供的功将转化为汽车的动能，而刹车时，动能则被耗散为热能。
二、动量守恒动量守恒是指在一个封闭系统内，系统的总动量在时间不变的情况下保持不变。
也就是说，系统中各个物体的动量之和保持恒定。
动量是物体的运动状态的量度，它等于物体的质量与速度的乘积。
动量守恒可以用以下公式表示：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'其中，m1和m2分别是两个物体的质量，v1和v2分别是它们的初始速度，v1'和v2'分别是它们的末态速度。
动量守恒的原理可以通过牛顿第三定律和动量定义进行推导。
根据牛顿第三定律 F12 = -F21和动量定义 p = mv，可以得到动量守恒的数学表达。
动量守恒在物理学中有广泛的应用。
例如，它可以解释火箭发射的原理。
火箭通过向后喷射燃料与氧化剂产生的高速气体，使系统的总动量为零，实现了火箭的推进。
三、动能定理与动量守恒的关系动能定理和动量守恒是物理学中两个不同的概念，但它们之间存在着紧密的联系。
首先，动能定理可以通过动量守恒得到。
当在动量守恒的条件下，物体的速度发生变化时，根据动量定义可以得到物体动能的变化。
动能定理对运动物体的作用分析
动能定理对运动物体的作用分析动能定理是力学中的基本定理，它解释了运动物体上受力及其变动的动能，定义了动能和力学势能之间的关系。
本文将对动能定理在运动物体上作用的原理和特性进行分析，以期获得对运动物体受力作用、动能变化及动能定理中关键概念之间关系的认识。
首先，我们将介绍动能定理的原理及其作用。
动能定理的原理是：在没有外力作用的情况下，物体的动能总是保持不变的。
因此，当物体受到力的作用时，它的动能就会发生变化。
动能定理表明，动能变化量表示物体受力的量，根据动能定理的表达式，可以得出：动能变化量=力×拉伸距离。
其次，我们将讨论力学势能和动能之间的关系以及在运动物体上的作用。
在动能定理中，动能和力学势能有着相互关系，即力学势能变化量＝动能变化量。
因此，当物体受力时，它的动能会发生变化，而其力学势能也会发生变化。
动能定理的作用在于分析物体运动的总体特征，可以帮助我们分析物体受力和动能变化之间的关系，帮助我们更好地理解物体受力运动的总体特性。
最后，我们将总结动能定理中的两个关键概念。
其中一个是机械能，它指的是物体运动时能够被转换成其他形式能量的能量，从动能定理可以看出，当物体受到力作用时，它的机械能会随着物体拉伸距离的增加而增加，从而使动能发生变化。
另一个概念是力学势能，它指的是物体受到的力的势能，它的变化是由于物体受到的力的大小和方向的变化而引起的，它与机械能是相互关联的，即当机械能发生变化时，力学势能也会发生变化。
综上所述，本文分析了动能定理在运动物体上的作用，及其原理及特性，以及力学势能和动能之间的关系。
动能定理为我们提供了一种理解物体受力运动总体特性的重要方法。
通过对动能定理中关键概念、原理及其作用的深入分析，我们可以更好地理解物体受力运动的总体特性。
功能原理与动能定理
功能原理与动能定理
功能原理是指某一物体或系统实现特定功能的原理或方法。
它描述了该物体或系统是如何运作的，通过什么方式实现特定功能的。
动能定理是一个物理学定理，描述了一个物体的动能如何随时间变化。
根据动能定理，物体的动能的变化率等于物体所受外力的功率。
换句话说，当一个物体受到外力作用时，物体的动能将发生变化，这个变化的速率等于外力对物体做功的速率。
这意味着如果一个物体受到的外力做正功，那么物体的动能将增加；如果外力做负功，物体的动能将减少。
动能定理在分析物体运动和力学系统中非常有用，可以帮助我们理解物体的动能如何受力和能量转移的影响而变化。
它也是能量守恒定律的重要推论之一。
质点组的动能定理与功能原理
一、质点组动能定理与功能原理的认识动能定理和功能原理是动力学中的两条基本定律。
动能定理是从物体相互作用中，外力的功和物体能量的变化关系角度来研究物体的运动的，它由牛顿定律推出，且动能是状态量，研究对象的动能发生变化，一定是外力做功的结果。
尽管功是和力的作用点的位移相关的过程量，但做功的多少，总可以用相应的动能变化来表示。
在解决有些动力学问题时，比牛顿运动定律更方便，可省去研究不同时间、不同过程中力和加速度变化的步骤。
所以应用更广泛。
1.1 动能定理的内容和物理意义1.1 .1 动能定理的内容和表达式内容：外力对物体做功的代数和等于物体动能的变化量。
表达式：W 合=△E K ，即W 1+W 2+…+Wn=21mv 22－21mv 12 1.1.2 动能定理的物理意义动能定理指出了外力对物体做的总功与物体的动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功等于物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度。
1.2 功能原理的内容和物理意义1.2.1 功能原理内容内容：系统的机械能增量等于外力对系统所作的总功和系统内耗散力所作的功的代数和。
表达式：12E E W W -=+非保内外1.2.2 功能原理的物理意义它体现了系统的功能关系，是系统的动能定理和机械能守恒定律之间的定律，实质上系统的动能定理经过进行功的分类，再变形就得到了功能原理，而功能原理在一定条件下（即外力和非保守内力做功之和为零），就可以得到机械能守恒。
1.3动能定理与功能原理的联系和区别研究“外力对物体做功”和“物体机械能变化”的关系是力学中的重要问题之一。
“动能定理”和“功能原理”都是表达这种关系的规律，只是表达的形式不同，但它们的本质是相同的。
A 在“动能定理”中只提动能而不提势能；在“功能原理”中既提动能也提势能。
B 在“动能定理”中包含重力所做的功；在“功能原理”中不包含重力所做的功。
C 在“动能定理”中所包含的重力对物体所做的功与在“功能原理”中所提到的物体重力势能的变化是对同一物理现象的不同表述。
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
3 动能定理 功能原理 机械能守恒定理
注意 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 .
动能 能量守恒定律
质点系统动能定理
每一个质点都满足动能定理，则有
A1 12 m 1v12 12m1v120
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
以上各式左右分别相加
对称性与守恒定律
F1
m2
都有这一特点
A
B
C
保守力作的功，是位置的单值函数；
D
那么，我们就可以引入仅是位置的单
B
值函数的能量，叫作保守力的势能，
也叫作位能。
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
五 势能
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
A (mgzB mgzA )
引力功
A
(G
械能的改变。
动能 能量守恒定律
九 机械能守恒定律 功能原理
对称性与守恒定律
A外 A非 保 内 E
当 A外 A非 保内 0 时，有 E1 E2
机械能守恒定律： 只有保守内力作功的情况下，质 点系的机械能保持不变 .
注意： 1、机械能守恒是有条件的。从初态到末态的每一个微元 过程中，外力和非保守内力所做的元功的代数和均为零， 则机械能守恒。
9/4
4dy 9.125J
1
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
例：质量为 m 的物体放在水平桌面上，物体和桌面的摩 擦系数为 ，物体在外力作用下沿半径为R圆由a运动 到b，移动了半个圆周，求在这一过程中摩擦力的功。
这是力的大小不变，物 体沿曲线运动的例子
3-4-6 动能定理,保守力与非保守力,功能原理 机械能守恒定律
W Fcos d s
os 1
ds
s2
s
3
(3) 功是一个过程量，与路径有关。
(4) 合力的功，等于各分力的功的代数和。
F F i F j F k x y z d r d x i d y j d z k B B W F d r （ F d x F d y F d z ） x y z
21
3-6 功能原理 机械能守恒定律
一 质点系的动能定理
对第 i个质点，有
W W E E k i k i 0
ex i in i
m1
ex F i
外力功 内力功
m2
in m i F i
对质点系，有
i ex i i in i i k i k i 0 k k 0 i ex in
W W E E E E
8
1 2 1 2 W m v m v E E 2 1 k 2 k 1 2 2
合外力对质点所作的功，等于质点动能 的增量 ——质点的动能定理
注意
功是过程量，动能是状态量；
功和动能依赖于惯性系的选取， 但对不同惯性系动能定理形式相同。
9
例 2 一质量为1.0 kg 的小球系
在长为1.0 m 细绳下端，绳的上
势能具有相对性，势能大小与势能零点 的选取有关。 势能是属于系统的。 势能差与势能零点的选取无关。
20
3-5 保守力与非保守力
势能
四 势能曲线
E z p mg
1 2 Ep kx 2
m 'm E G p r
Ep
Ep
Ep
O
x
O
z
高中物理常见的各种能量及能量守恒定律
的标志—— Ek T 。
能
阻力、粘滞阻力等；② fs相对 Q ，
量。①W+Q=⊿U；②理想 转移到其他的物体,在转化或转移的 气体：体积 V↑，W<0；V↓， 过程中能量的总量保持不变。
能相互转化；传送带问题——内能、机械能相互转化。 弹性碰撞——“速度交换”模型；非弹性碰撞——子弹打木
分子势能：分子间的相互作用势能。①系统性： 分子势能属于物体内所有分子整体；②Ep— r 曲
（零势面）有关，正负表示大小。
②a.保守力做功与具体路径无关，而 内的摩擦力等；
做功的代数和为零。
弹性势能：弹簧由于弹性形变而具有的能量。 只与初末相对位置有关；b.弹簧弹力 b.轻绳弹力、轻杆弹力、光 ③守恒条件二：系统与外界没有能量 连接体问题：轻绳连接，轻杆(板)连接，光滑斜面、曲面连
①
Ep
统性——电势能属于相互作用的系统；相对性功与具体路径无关，而只
形式之间转化或只在系统内各个物体
间转移，即：W外 0 ， E 0 ；
带电粒子在复合场中运动——电势能、重力势能、动能、内 能等的相互转化（洛仑兹力不做功）。
——数值与所选择的参考点（零电势点）有关， 与初末位置的电势差有关；b.电场力做功的正负与 q 和 UAB 的正负
功，等于系统机械能的增 E动 E重 E弹 E动 E重 E弹 量。①WG外 E机 ；
竖直平面内的圆周运动，单摆运动，带电小球、液滴在重力 场、磁场的复合场中的运动（洛仑兹力不做功）等。
②a“. 除重力之外其他的力” ②守恒条件一：WG外 0 ，两种情形： 弹簧问题：水平弹簧问题，竖直、光滑斜面弹簧问题——注
正负表示大小。
都有关。
b.外界对系统做功，或系统与外界有
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动能定理和功能原理抛砖引玉指点迷津思维基础学法指要思维体操心中有数动脑动手创新园地一.教法建议【抛砖引玉】在经典力学中，“动能定理”是“牛顿运动定律”的推论和发展，“功能原理”也是“牛顿运动定律”的进一步推导的结果。
因此我们建议：教师不要把本单元的内容当作新知识灌输给学生，而是引导学生运用“牛顿运动定律”对下述的这个匀加速运动问题进行分析和推导，使学生自己获得新知识──“动能定理”和“功能原理”。
具体的教学过程请参考下列四个步骤：第三步：运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。
若已知物体的质量为m、所受之合外力为、产生之加速度为a。
则根据牛顿第二定律可以写出：③将①、②两式代入③式：导出：④若以W表示外力对物体所做的总功⑤若以E ko表示物体通过A处时的动能，以E kt表示物体通过B处时的动能则：⑥⑦将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：W=E－E kokt若以△E k表示动能的变化E kt－E ko则可写出“动能定理”的一种简单表达形式：W=△E k它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
这个结论叫做“动能定理”。
第四步：在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。
在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过④式，现抄列如下：④为了导出“功能原理”我们需要对其中的下滑分力做功项F1S进行分析推导。
我们知道，当斜面的底角为θ时，下滑分力F1和重力mg的关系如下：将⑩式代入④式后进行推导：若以代入⑾式，就导出了一种“功能原理”的数学表达形式：Fs－fs=△E+△E PK它的物理意义是：动力对物体做功Fs与物体克服阻力做功fs之差(不包括重力做的功)，等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。
若在⑾式基础上进行移项变化可导出下式：⑿若以代入⑿式，就可以写为：Fs－fs=E－E0t再以代入上式就可以导出“功能原理”的另一种数学表达形式：W=△EF（不包括重力做的功），等于物体机械能的变化量△E。
它的物理意义是：外力对物体对所做的总功WF＞0时，△E＞0，机械能增加；当（当WFW＜0时，△E＜0，机械能减少。
F(请读者注意：“功能原理”中的W F与“动能定理”中的W是不相同的！我们将在后面的“指点迷津”中进行说明。
)在上面所推导出的关于“功能原理”的各数学表达式中，虽以W F=△E最为简练，但在实用解题中以⑾、⑿两式最方便，在后讲述的“学海导航”和“智能显示”栏目中将会看到。
【指点迷津】下面我们推导“重力对物体做功”与“物体重力势能的变化”的数量关系：由此可知：重力对物体的所做的功等于物体重力势能的变化。
上面推导出的这个结论是否只适用于竖直下落问题呢？不是的，它适用于重力对物体做功的各种情况，我们在后面的“学海导航”中还将通过例题说明其它情况。
3.“动能定理”和“功能原理”有什么联系和区别？在运用它们解题时需要注意什么？研究“外力对物体做功”和“物体机械能变化”的关系是力学中的重要问题之一。
“动能定理”和“功能原理”都是表达这种关系的规律，只是表达的形式不同，但它们的本质是相同的。
在“动能定理”中只提动能而不提势能；在“功能原理”中既提动能也提势能。
在“动能定理”中包含重力所做的功；在“功能原理”中不包含重力所做的功。
在“动能原理”中所包含的重力对物体所做的功与在“功能原理”中所提到的物体重力势能的变化是对同一物理现象的不同表述。
某些力学问题，既可以用“动能定理”求解，也可以用“功能原理”求解。
具体如何选择，往往要根据题意而定。
选择恰当，不仅解题便捷，而且不易失误。
（注：目前的高三物理课本只讲“动能定理”，但有关功能原理的思想也分布在课文之中了。
如果学生的基础不太好，若为减轻负担，也可只学习和应用“动能定理”。
）在运用“动能定理”解题时应当注意：在公式W=△E K中不含势能的变化(△E P),但是在W中包含着重力做功W G。
在运用“功能原理”解题时应当注意：在公式W F=△E中既含动能的变化也含势能的变化，即△E=△E K+△E P，但是在W F中不包含重力做功W G。
（注：也不包括重力分解出的下滑分力做功！）总之必须明确：W与W F的区别；△E K与△E的区别。
二.学海导航【思维基础】例题1.如图5－10所示：质量为m的物体沿着光滑的斜面由A处滑到B处。
物体通过A处时的速度为v A、高度为h A;物体通过B处时的速度为v B、高度为h B。
则在此过程中重力对物体所做的功W G 为：思维基础：这是一个检查学生对概念规律的理解和应用能力的选择题，需掌握下列知识：1.功的定义及其计算式。
2.“重力对物体做功”与“物体重力势能变化”的关系。
3.“动能定理”的物理意义及其应用。
4.建议：请学生阅读前面“教法建议”的内容后，参考其推理方法，先不看本题后面的解题思路和答案，自己进行解答，然后再进行核对，将会有较大的收获。
解题思路：在本题中物体只受重力和斜面的支持力(弹力)，又因斜面的支持力与物体的位移垂直而不做功，所以与解答本题无直接关系（因而在图中也未画出），因此只考虑重力做功与物体机械能的变化就可以了。
根据功的定义及其计算式，在本题中F=mg，代入可得：根据数学中的三角函数知识，可知在本题中，代入可得：(附：若将mg分解出下滑分力, 然后据，亦可得出同样结果。
而重力的另一正压分力因与位移垂直不做功，只是与斜面支持力平衡，使物体在垂直于斜面方向保持)根据“重力对物体做功等于物体重力势能的变化”(当重力对物体做正功时，物体的重力势能减少)，可以写出下式：答案：[A、B、C、D]解题后的思考：1.你想到了本题的四个答案都是正确的吗？这四个答案之间有什么联系？2.你能够运用功的计算式、匀变速运动公式及数学中的三角函数知识等推导出(C)、(D)两个答案吗？3.如果在本题中斜面是不光滑的（物体与斜面间存在着摩擦力f），那么(A)、(B)、(C)、(D)四个答案中哪些是正确的？哪些答案是不正确的？【学法指要】例题2.原来以7米/秒速度在水平轨道上直线行驶着的火车，在关闭气门停止动力后，滑行100米，车速减为5米/秒。
问：继续滑行100米，车速将减为多少？（火车在滑行过程中阻力始终保持不变。
）启发性问题：1.火车在滑行过程中处于何种做功状态？2.你打算用什么物理规律解答本题？3.你会用图示法分析物理问题吗？分析与说明：1.在本题中，火车滑行时已停止了动力作用，所以只存在运动着的火车克服阻力做功火车将减速运动。
2.解答本题可有几种不同方法，但是对于学过“动能定理”的学生，往往想到使用这个规律。
求解过程：根据“动能定理”，我们可以写出下列展开式：在本题中=0、=fsⅠ和W阻=fsⅡ、设火车的质量为m，则：对于sⅠ段可以写出下式：0－fsⅠ=①对于sⅡ段可以写出下式：0－fsⅡ=②在①、②两式中，已知sⅠ=sⅡ，所以两式的左方相等，因此两式的右方也应相等：＝消去等式两边的可得将v1＝7米/秒、v0=5米/秒代入上式可得：答：火车继续滑行100米(即火车一共滑行了200米)车速将减为1米/秒。
【思维体操】“准备活动”(解题所需的知识与技能)1.在本题中，由于汽车是加速运动，所以被提拉的物体也应是加速上升──这表明物体的动能和重力势能都增加了。
2.根据“功能原理”就可以求出绳的拉力对物体所做的功W F。
(注：因为本题只要求绳的拉力对物体所做的功，所以就不必考虑汽车在运动过程中的牵引力和阻力等问题了。
)设：汽车开到B处时，物体上升的即时速度为v、上升的高度为h，据前面“准备活动”的分析，可以写下列二式：则：根据：“功能原理”，并将①、②两式代入进行推导，就可求出绳Q端拉力对物体做的功W F，具体过程如下：（注：物体的初速为零，初高定为零）“整理运动”（解题后的思考）1.在本题的做功过程中，物体受到的是恒力还是变力？物体是匀加速上升还是变加速上升？2.请你用“动能定理”再将本题解答一次，并进行比较──你喜欢用哪种方法求解。
三.智能显示【心中有数】1.功和能的关系：各种不同形式的能可以通过做功来转化，能转化的多少通过功来量度，即功是能转化的量度。
2.动能定理：合力的功等于物体动能的增量，表达式为:W合=。
应用动能定理解题步骤：(1)分析物体的受力情况和运动情况；(2)分析各个力对物体做功的情况，计算时要把各已知功的正负号代入分式进行运算，若是未知功，则用代号W代入。
(3) 变力(大小或方向改变)的功不要直接用W=Fscosθ来求，可以应用动能定理来求。
在公式中变力的功只能用代号W表示。
(4)如果物体运动有几个过程时，可以分段运用动能定理，也可以对全过程运用动能定理，即各个力做功的代数和等于物体动能的增量：W+W2+……W n=1【动脑动手】(一).选择题1.关于做功和物体动能变化的关系，下列说法中正确的是A.只有动力对物体做功，物体的动能一定增加B.只有物体克服阻力做功，物体的动能一定减少C.外力对物体做功的代数和等于物体末动能与初动能之差。
D.动力和阻力都对物体做功，物体的动能一定变化2.下面关于物体所受的合外力、合外力做功和物体动能变化的说法中正确的是A.如果物体所受的合外力为零，合外力对物体做的功一定为零B.如果合外力对物体做的功为零，合外力一定为零C.如果物体的动能不变，所受的合外力一定为零D.如果物体的动能不变，合外力对物体做的功一定为零3.质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能A.与它通过的位移成正比B.与它通过位移的平方成正比C.与它运动的时间成正比D.与它运动时间的平方成正比4.一颗子弹以水平速率v射入固定的木块中，射入深度为s，设子弹在木块中所受阻力是恒定的。
当子弹以的水平速度射入固定的木块中，射入深度为A.sB.C.D.6.两个物体的质量分别为m1和m2，已知m1=4m2，当它们以相同的初动能在动摩擦因数相同的水平面上运动时，它们的滑行距离之比和滑行时间之比分别为A.s1∶s2=1∶2, t1∶t2=2∶1B.s1∶s2=4∶1, t1∶t2=1∶2C.s1∶s2=2∶1, t1∶t2=4∶1D.s1∶s2=1∶4, t1∶t2=1∶210.质量为10kg的物体以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起在物体上作用一个向右的水平力，经过一段时间，物体的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力做的功为A.0B.8JC.16JD.32J11.在水平面上有一质量为m的物体，受到水平力F的作用从静止开始运动，通过距离s撤去力F，这以后又通过距离s停止下来，则在这个过程中A.它所受的摩擦力大小为FB.它所受的摩擦力大小为C.力F对物体做的功为FsD.力F对物体做的功为零12.被竖直上抛物体的初速度与回到抛出点时速度大小之比为k，空气阻力在物体运动过程中大小不变，则重力与空气阻力的大小之比等于A. B.C.kD.13.两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1∶m2=1∶2，速度之比v1∶v2=2∶1。