8-56 磁场的能量 位移电流

二、主要贡献
麦克斯韦在电磁学方面的贡献是总结了库仑、高 麦克斯韦在电磁学方面的贡献是总结了库仑、 安培、法拉第、诺埃曼、 斯、安培、法拉第、诺埃曼、汤姆逊等人的研究成果 特别是把法拉第的力线和场的概念用数学方法加以描 论证、推广和提升， 述、论证、推广和提升，创立了一套完整的电磁场理 论。 麦克斯韦除了在电磁学方面的贡献外， 麦克斯韦除了在电磁学方面的贡献外，还是分子 运动论的奠基人之一。 运动论的奠基人之一。
Q=σS= D S
电位移通量
+q0
+ + + + + + + +
D
−q0
dQ dΦD dD I= = (= S ) dt dt dt
若把右端电通量的时间变化率看作 若把右端电通量的时间变化率看作 电通量的时间变化率 为一种电流，那么电路就连续了。 为一种电流，那么电路就连续了。麦克 斯韦把这种电流称为位移电流。 斯韦把这种电流称为位移电流。 位移电流
I0 =
ε
R
τ↓
R − t ε I = 1 − e L R
0.63I 0
0 .37 I 0
L τ = 时间常数 R
0
τ
t
二、磁场能量
L
R
t
dI ε − L = RI dt
ε
BATTE RY
ε Idt − LI d I = RI d t
2
电池
自感线圈磁能
W
m
1 2 ∫0ε Id t = 2 LI +
∂D ⋅ dS ∫l H⋅ dl = ∑I0 + Id = ∑I0 + ∫S ∂t
有一圆形平行平板电容器, 例1 有一圆形平行平板电容器 R = 3 .0 cm 现对其充电,使电路上的传导电流 现对其充电 使电路上的传导电流 I c = d Q d t = 2 . 5 A ，若略去边缘效应 若略去边缘效应, 求（1）两极板间的位移电流; ）两极板间的位移电流 （2）两极板间离开 ） 轴线的距离为 −Q +Q r = 2 . 0 cm P 的点 P 处的磁感强 度.
l
S
j ⋅ ds
麦克斯韦假设 麦 克 斯 韦 电 磁 场 方 程 的 积 分 形 式
（1）有旋电场 E k ）
dD （2）位移电流 j d = ） dt ∫ D ⋅ ds = ∫ ρdV = ∑ q
S V
∫ E ⋅ dl
l
= −∫
S
∂B ⋅ ds ∂t
∫ B ⋅ ds = 0 ∫ H ⋅ dl = ∫ ( j
1865 年麦克斯韦在总结前人工作的 基础上，提出完整的电磁场理论， 基础上，提出完整的电磁场理论，他的 主要贡献是提出了“有旋电场” 主要贡献是提出了“有旋电场”和“位 移电流”两个假设，从而预言了电磁波 移电流”两个假设， 的存在，并计算出电磁波的速度（ 的存在，并计算出电磁波的速度（即光 速）. 1 c= ( 真空中 ) 真空中
位移电流 电磁场基本方程的积分形式
1820年奥斯特 年奥斯特 1831年法拉第 年法拉第 1865 年麦克斯韦 变化的磁场 变化的电场
电 产生 磁 磁 产生 电
激发
电场 磁场
麦克斯韦（ 麦克斯韦（J.C.Maxwell)简介 简介 (1831--1879)
一、生平
在法拉第发现电磁感应定律那一年， 在法拉第发现电磁感应定律那一年，即1831年， 年 麦克斯韦在英国的爱丁堡出生了。他从小聪明好问。 麦克斯韦在英国的爱丁堡出生了。他从小聪明好问。父 亲是个机械设计师，很赏识自己儿子的才华， 亲是个机械设计师，很赏识自己儿子的才华，常带他去 听爱丁堡皇家学会的科学讲座。 听爱丁堡皇家学会的科学讲座。十岁时送他到爱丁堡中 在中学阶段，他就显示出了在数学、诗歌的才能， 学。在中学阶段，他就显示出了在数学、诗歌的才能， 十五岁那年就写了一篇关于卵形线作图法的论文，被刊 十五岁那年就写了一篇关于卵形线作图法的论文， 登在《爱丁堡皇家学会学报》 登在《爱丁堡皇家学会学报》上。1847年，十六岁的麦 年 克斯韦考入爱丁堡大学。 年又转入剑桥大学。 克斯韦考入爱丁堡大学。1850年又转入剑桥大学。他学 年又转入剑桥大学 习勤奋，成绩优异。 习勤奋，成绩优异。
定义
{
dΦD Id = dt
∂D jd = ∂ t
（位移电流） 位移电流） （位移电流密度） 位移电流密度）
通过电场中某一截面的位移电流等于通 通过电场中某一截面的位移电流等于通 电场中某一截面的位移电流 过该截面电位移通量对时间的变化率 电位移通量对时间的变化率. 过该截面电位移通量对时间的变化率 电场中某一点位移电流密度等于该点电 电场中某一点位移电流密度等于该点电 位移电流密度等于该点 位移矢量对时间的变化率. 位移矢量对时间的变化率
µ
R2
解 由安培环路定律可求 H
I R1 < r < R2 , H = 2π r r > R2 , H = 0 则 R1 < r < R 2 wm = 1 µ ( I ) 2 2 2π r 2 µI = 8π 2 r 2
r < R1 ,
H =0
µ µ
R2
单位长度壳层体积
Wm = ∫ wm dV = ∫
磁场的能量 磁场的能量密度
一、RL回路 回路
k1
接通 滋长过程
ε + ε L − IR = 0
dI dI ε L = −L ε − L − IR = 0 dt dt R I t R − t dI ε = ∫ dt ⇒ I = 1 − e L ∫0 ε 0 L R −I R
I
对 S面 对 S′面
∫ H⋅ dl = I
l
Sl
∫ H⋅ dl = 0
l
I
+ + + + + +
S′
I
矛盾 有了位移电流， 有了位移电流， 对 S′面
∂D H⋅ dl = ∫∫ ⋅ dS = I ∫l s′ ∂ t
位移电流的本质是 变化的电场 位移电流的本质是:变化的电场 象传导 的本质是 变化的电场(象传导 电流一样)产生变化的磁场 产生变化的磁场. 电流一样 产生变化的磁场 位移电流的方向： 位移电流的方向：与传导电流方向相同 如放电时
Ic
R
*
Ic
解 如图作一半径为 r 平行于极板的圆 形回路，通过此圆面积的电位移通量为 形回路，通过此圆面积的电位移通量为
Φ D = D ( πr )
2
Q ∵D =σ = 2 πR
+Q
Ic
R
r ∴ ΦD = 2 Q R
dΦ D r 2 d Q = 2 Id = dt R dt
2
−Q
P
*r
Ic
r 2 dQ ∴ H (2 π r ) = 2 ∵ ∫ H ⋅ dl = I c + I d = I d l R dt r dQ µ0 r dQ 计算得 H = ∴B = 2 2 2 π R dt 2 π R dt
代入数据计算得
+Q
−Q
I d = 1 .1 A
B = 1.11×10−5 T
Ic
R
P
*r
Ic
二 电磁场 麦克斯韦电磁场方程的 积分形式
静电场高斯定理 ∫SD ⋅ ds = ∫V ρdV = ∑ q 静电场环流定理 磁场高斯定理 安培环路定理
S
∫ E ⋅ dl
l
=0
∫ B ⋅ ds = 0
∫ H ⋅ dl = ∑ I = ∫
ε0µ0
c=
1
ε 0µ0
( 真空中 ) 真空中
1888 年赫兹（1857-1894）的实验证 年赫兹（ ） 实了他的预言, 实了他的预言 麦克斯韦理论奠定了经典 动力学的基础， 动力学的基础，为无线电技术和现代电子 通讯技术发展开辟了广阔前景. 通讯技术发展开辟了广阔前景
一 位移电流假设
电流的连续性问题: 电流的连续性问题
∂D ∂t
q
Id
Ic
σ
D
∂D + ∂t −
D
}
反向
}
同向
Ic
D
∂B ⋅ dS Ei ⋅ dl = −∫ ∫l S ∂ t
∂D ∫L Hd ⋅dl = ∫S ∂t ⋅dS
(Hd为Id产生的涡旋磁场 产生的涡旋磁场)
∂ B ∂ t
∂D ∂t
Ei
左旋
右旋
Hd
对称美
2、全电流定律 、 全电流 通过某一截面的全电流是通过这一截面的传 通过某一截面的全电流是通过这一截面的传 导电流、和位移电流的代数和 导电流、和位移电流的代数和. 在任一时刻,电路中的全电流总是连续的 在任一时刻 电路中的全电流总是连续的. 电路中的全电流总是连续的 在非稳恒的电路中,安培环路定律仍然成立 在非稳恒的电路中 安培环路定律仍然成立. 安培环路定律仍然成立 全电流定律
R I L I
包含电阻、 包含电阻、电感线圈 的电路,电流是连续的 的电路 电流是连续的. 电流是连续的
+ + + + + +
?
包含有电容的电 流是否连续
I
I
在电流非稳恒状态下 , 安培环路定理是否正确 ? 对 S面 对 S′面
∫ H⋅ dl = I
l
Sl
∫ H⋅ dl = 0
l
I
+ + + + + +
S
l S
∂D ) ⋅ ds c + ∂t
麦克斯韦的理论当时没有几个人懂，奥地利 麦克斯韦的理论当时没有几个人懂， 物理学家玻尔兹曼（L.E.Boltzmann，1844～ 物理学家玻尔兹曼（L.E.Boltzmann，1844～1906 称它为“天书” 支持的人就更少了。 年）称它为“天书”，支持的人就更少了。 “尽管麦克斯韦理论具有内在的完美性并 尽管麦克斯韦理论具有内在的完美性并 和一切经验相结合， 和一切经验相结合，但它只能逐渐地被物理学 家们接受。它的思维是太不正常了， 家们接受。它的思维是太不正常了，甚至象亥 姆霍茨和玻尔兹曼这样有异常才能的人为了理 解它也花了几年的力气。 解它也花了几年的力气。”——劳厄 劳厄