电路理论chap 03
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电路原理第3章
④
i1 − i 2 = 0
− i1 + i3 + i5 = 0
i2 − i3 − i4 = 0
i4 − i5 = 0
6
• 一个 结点和b条支路的电路，其独立的 一个n结点和 条支路的电路 结点和 条支路的电路， KCL方程数为（n-1）。 方程数为（ ） 方程数为 二、KVL方程的独立方程数 方程的独立方程数 几个概念： 1、几个概念： 连通图： 连通图：任意两个结点之间至少存在一条路 径的图G。 径的图 。 回路(loop)：闭合路径。 回路 ：闭合路径。 一个连通图G的树 包含G的全部结点和 的树T包含 树：一个连通图 的树 包含 的全部结点和 部分支路，其本身是连通的，但不包含回路 回路。 部分支路，其本身是连通的，但不包含回路。 树支：树中包含的支路。 树支：树中包含的支路。 例如P54 P54图 例如P54图3-4
1. 概念
为未知量， 基尔霍夫定律和 以支路电流为未知量，根据基尔霍夫定律和VCR 支路电流为未知量 根据基尔霍夫定律 列出电路方程，进而求解电路变量的方法。 列出电路方程，进而求解电路变量的方法。
2. 适用范围
原则上适用于各种复杂电路， 原则上适用于各种复杂电路，但当支路数很多 方程数增加，计算量加大。因此， 时，方程数增加，计算量加大。因此，适用于支路 数较少的电路。 数较少的电路。
• 平面图：把一个图画在平面上，其各条支路除 平面图：把一个图画在平面上， 连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图 平面图。 连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图。 • 网孔是平面图中的“自然孔”，网孔内不再有 网孔是平面图中的 自然孔” 是平面图中的“ 其他支路。 其他支路。
平平 平
非平平平
求各元件上吸收的功率， 求各元件上吸收的功率，进行功率平衡校验
电路理论：第3章 电路定理及应用
练习 图示电路中各电阻均为1欧姆，用叠加法求电流 i .
解
+ 2A
4V
-
- 2V +
i
因为右边电桥平衡， 4V和2A独立源单独作用时 不对 i 有贡献。则
a
- 2V +
i
b
a b电位相等——短路
- 2V + 1 i
0.5
0.5
ab
i 2 1A 2
基本练习题 3.1-2，3.1-5
3.2 替代定理 ( Substitution Theorem )
比较可得
Uoc 15 V, Req 10
消去I1可得 ：u 15 10i
注意：
当含有受控源时，控制量与被控制量两个 支路必须包含在被化简的同一部分电路中。
例3-6 用戴维南定理求图 (a)所示电路中的U0 。
解：
(1) 求开路电压UOC 用结点电压法，有
1 2
1 2
Uoc
12 2
4I1
3.3 戴维南定理和诺顿定理 ( Thevenin-Norton Theorems )
又称等效发电机原理、有源二端网络定理。
R1 a R3
若只需研究某一支路的情况,
R2 Rx
i R4
b
R5 + uS–
这时，可以将其余部分的电路 等效变换为简单的含源支路。
a
最简等效电路 ?
A
Rx i
复杂
b
1.端口概念
4. u, i 叠加时要注意各分量的方向;
5. 叠加只适用于独立源，受控源应始终保留在原电路中。
二、齐性原理
当线性电路只有一个激励源时，则响应与激励成正比(齐性)。
电路理论 第三章
受控源等)组成的电路，称为线性电阻S的线性函数。电路响应与激励之间的这种线
性关系称为叠加性，它是线性电路的一种基本性
质。
现以图(a)所示双输入电路为例加以说明。
图 4－ l
列出图4－l(a)电路的网孔方程：
( R1 R2 )i1 R2i3 uS (4 1) i3 iS
转移函数
+ u1 + us R1
-
i1 i3 R3
i2 + R2 u2 -
i3/us=R2/(R1R2+R2R3+R3R1 ) i1/us=（R2+R3）/(R1R2+R2R3+R3R1) u2/us=R2R3/(R1R2+R2R3+R3R1) u1/us=（R2+R3）R1/(R1R2+R2R3+R3R1)
' 2 " 2
R2 u u2 i 0 uS S R1 R2
' 2
+
R1R2 u u2 u 0 iS S R1 R2
" 2
以上表明，由两个独立电源共同产生的响应，
等于每个独立电源单独作用所产生响应之和。线
性电路的这种叠加性称为叠加定理。
叠加定理陈述为：由全部独立电源在线性电阻
I1 R1 ＋ U6 － R3 R2 I2
I3
IS
R4
I4
I5 ＋
－ US
I1
R1 ＋ U6 U 6 － R3 I ' ＋U － I5 5 S
R2
' I2
［解］电压源单独作用时
= I2 ＋ I4 I5
US US = ＋ R1＋R2 R3＋R4 =
性关系称为叠加性，它是线性电路的一种基本性
质。
现以图(a)所示双输入电路为例加以说明。
图 4－ l
列出图4－l(a)电路的网孔方程：
( R1 R2 )i1 R2i3 uS (4 1) i3 iS
转移函数
+ u1 + us R1
-
i1 i3 R3
i2 + R2 u2 -
i3/us=R2/(R1R2+R2R3+R3R1 ) i1/us=（R2+R3）/(R1R2+R2R3+R3R1) u2/us=R2R3/(R1R2+R2R3+R3R1) u1/us=（R2+R3）R1/(R1R2+R2R3+R3R1)
' 2 " 2
R2 u u2 i 0 uS S R1 R2
' 2
+
R1R2 u u2 u 0 iS S R1 R2
" 2
以上表明，由两个独立电源共同产生的响应，
等于每个独立电源单独作用所产生响应之和。线
性电路的这种叠加性称为叠加定理。
叠加定理陈述为：由全部独立电源在线性电阻
I1 R1 ＋ U6 － R3 R2 I2
I3
IS
R4
I4
I5 ＋
－ US
I1
R1 ＋ U6 U 6 － R3 I ' ＋U － I5 5 S
R2
' I2
［解］电压源单独作用时
= I2 ＋ I4 I5
US US = ＋ R1＋R2 R3＋R4 =
第三章电路.ppt
➢结论：含b条支路，n个结点的电路，可以 列出(b-n+1）个独立的KVL方程。
方 ➢对平面电路来说，网孔就是一组独立的回路
程 通常对网孔列KVL方程
数
3-2:KCL KVL
讨论
（1）利用元件约束关系及拓扑约束关系，可 建立关于2b个变量的独立的2b个方程。
其中b个方程为元件约束关系方程；
、 n-1个方程为节点的KCL方程； 2b法
节点 3：– i4 – i5 + i6 =0
的
R1 i1
R5 i5 4
节点 4：– i1 – i3 + i5 =0
独
i6 可以证明:上述四个方
立 方 程 数
R6 + uS –
程只有3个是独立的。
结论：具有n个结点的电路，只能列出n-1个独 立的KCL方程。
3-2:KCL KVL
二、 KVL方程的独立性：
数 基本割集：只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1
注意：连支集合不能构成割集
3-2:KCL KVL
五、KVL的独立方程数
➢结论：一个具有n个结点的连通图G它的任 何一棵树的树支数总是(n-1)。
、 ➢设b表示支路数，于是连支数就为：
(b-n+1）。
➢独立回路数就等于连支数，为：(b-n+1）。
的 独 立
2
图示电路有多个回路,
、
i2 R2 i3
1
1
R4 i4
选择其中的几个分别 列写KVL方程
R32
3 1：–u1 + u2 + u3 = 0
的 独
R1 i1
5 R5
i5
4
3
2：–u3 + u4 – u5 = 0 3： u1 + u5 + u6 = 0 i6 4： u2 + u4+ u6 = 0
电路理论课件第一章电路元件和电路定律
(3) 用双下标表示：如 UAB , 由A指向B的方向为电压 (降)的参考方向
A
UAB
B
1-2 电压和电流的参考方向 小结：
(1) 电压和电流的参考方向是任意假定的。分析电路前
必须标明。
(2) 参考方向一经假定，必须在图中相应位置标注 (包 括方向和符号），在计算过程中不得任意改变。参 考方向不同时，其表达式符号也不同，但实际方向 不变。
1-5 电感元件
def L
i
=N 为电感线圈的磁链
L 称为自感系数
电感 L 的单位：H(亨) (Henry，亨利)
H=Wb/A=V•s/A=•s
线性电感的 ~i 特性是过原点的直线
Oi
L= /i tg
1-5 电感元件
线性电感电压、电流关系： u, i 取关联参考方向:
上述功率计算不仅适用于元件，也使用于任 意二端网络。
电阻元件在电路中总是消耗(吸收)功率，而电 源在电路中可能吸收，也可能发出功率。
例 U1=10V， U2=5V。 分别求电源、电阻的功率。
I 5
+ UR –
U1
U2
I=UR/5=(U1–U2)/5=(10–5)/5=1 A PR吸= URI = 51 = 5 W PU1发= U1I = 101 = 10 W PU2吸= U2I = 51 = 5 W
Ubc= b–c c = b –Ubc= –1.5 V
Uac= a–c = 1.5 –(–1.5) = 3 V
结论：电路中电位参考点可任意选择；当选择不同的电
位参考时，电路中各点电位均不同，但任意两点间 电压保持不变。
1-2 电压和电流的参考方向
4. 电动势(eletromotive force)：局外力克服电场力把单位正电荷
电路理论课本讲解
电路理论是电子工程的核心基 础，广泛应用于电子设备、通 信系统、计算机硬件等领域。
电力工程
电路理论在电力系统分析、电 机与电力电子、电网调度等领
域具有重要应用价值。
控制工程
电路理论在控制系统分析和设 计中发挥关键作用，如反馈控
制、线性系统理论等。
信号处理
电路理论在信号传输、处理和 转换中发挥重要作用，如模拟 信号数字化、滤波器设计等。
噪声
在实际电路中，噪声是一个常见的问题。噪声可能来源于电源、信号线、电磁辐射等， 对电路的性能产生影响。
干扰
电路中的干扰可能来源于电源、信号线、电磁辐射等多种因素。干扰可能导致电路性能 下降、信号失真等问题。因此，在实际应用中应采取相应的措施来减小干扰的影响。
实际电路中的电磁兼容问题
电磁干扰
实际电路中的电磁干扰可能来源于电源、信 号线、电磁辐射等多种因素。电磁干扰可能 导致电路性能下降、信号失真等问题。
二阶动态电路的分析主要基于二阶微分方程的求解方法，如特征根法和部分分式法。
二阶动态电路的分析方法包括相平面法，即通过在相平面上绘制曲线来描述电路的 动态行为。
正弦稳态电路分析
正弦稳态电路是指电路中的电 压和电流都是正弦波形的稳定 状态。
正弦稳态电路的分析主要基于 正弦稳态的基本关系式，如阻 抗、导纳、功率等。
电路分析的计算机辅助软件
总结词
详细描述
总结词
详细描述
利用计算机辅助软件进行电路 分析可以提高效率和精度。
随着计算机技术的发展，出现 了许多用于电路分析的软件， 如Multisim、SPICE等，这些 软件可以模拟电路的行为和性 能，帮助我们更好地理解和优 化电路设计。
选择合适的计算机辅助软件， 并掌握其使用方法，是进行高 效电路分析的重要技能。
电力工程
电路理论在电力系统分析、电 机与电力电子、电网调度等领
域具有重要应用价值。
控制工程
电路理论在控制系统分析和设 计中发挥关键作用，如反馈控
制、线性系统理论等。
信号处理
电路理论在信号传输、处理和 转换中发挥重要作用，如模拟 信号数字化、滤波器设计等。
噪声
在实际电路中，噪声是一个常见的问题。噪声可能来源于电源、信号线、电磁辐射等， 对电路的性能产生影响。
干扰
电路中的干扰可能来源于电源、信号线、电磁辐射等多种因素。干扰可能导致电路性能 下降、信号失真等问题。因此，在实际应用中应采取相应的措施来减小干扰的影响。
实际电路中的电磁兼容问题
电磁干扰
实际电路中的电磁干扰可能来源于电源、信 号线、电磁辐射等多种因素。电磁干扰可能 导致电路性能下降、信号失真等问题。
二阶动态电路的分析主要基于二阶微分方程的求解方法，如特征根法和部分分式法。
二阶动态电路的分析方法包括相平面法，即通过在相平面上绘制曲线来描述电路的 动态行为。
正弦稳态电路分析
正弦稳态电路是指电路中的电 压和电流都是正弦波形的稳定 状态。
正弦稳态电路的分析主要基于 正弦稳态的基本关系式，如阻 抗、导纳、功率等。
电路分析的计算机辅助软件
总结词
详细描述
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利用计算机辅助软件进行电路 分析可以提高效率和精度。
随着计算机技术的发展，出现 了许多用于电路分析的软件， 如Multisim、SPICE等，这些 软件可以模拟电路的行为和性 能，帮助我们更好地理解和优 化电路设计。
选择合适的计算机辅助软件， 并掌握其使用方法，是进行高 效电路分析的重要技能。
电路理论第3章 电路定理
U 2 = − 3 × 10 3 = − 3000V
动画演示： 动画演示：叠加定理
华中科技大学出版社
15
湖北工业大学
3.2 替代定理
叠加定理只适用于线性电路， 叠加定理只适用于线性电路，这一节中将介绍另外 一个定理：替代定理。替代定理具有广泛的应用， 一个定理：替代定理。替代定理具有广泛的应用，可以 推广到非线性电路。 推广到非线性电路。 在一个线性或非线性的电路中，其中第K条支路的电 在一个线性或非线性的电路中，其中第 条支路的电 和电流I 为已知， 压Uk和电流 k为已知，则这条支路总能够由以下的任何 一个元器件去替代： 一个元器件去替代： 1）电压值为Uk的理想电压源； 电压值为 的理想电压源； 电流值为I 的理想电流源； 2）电流值为 k的理想电流源； 电阻值为U 的线性电阻元件R 3）电阻值为 k/Ik的线性电阻元件 k。 而替代后电路中全部的电压和电流均将保持不变， 而替代后电路中全部的电压和电流均将保持不变， 这就是替代定理。 这就是替代定理。
华中科技大学出版社
4
湖北工业大学
图 3-1 叠加定理
下面仅以支路电流I 为例，加以说明。由图3 下面仅以支路电流I1为例，加以说明。由图3-1可知 I1 = I1′ − I1′′ 式中，I1为原电路中令E2＝0，即理想电压源短接，电 式中， ′为原电路中令 即理想电压源短接， 路中只有E 单独作用时，在上所产生的电流。 路中只有 1单独作用时，在上所产生的电流。 ′′为原电路中令E I1 为原电路中令 1＝0，即理想电压源短接，电路中 即理想电压源短接， 只有E 单独作用时，在上所产生的电流。 只有 2单独作用时，在上所产生的电流。
华中科技大学出版社
13
湖北工业大学
电路理论
由电磁感应律：u d L
dt
线性电感电压： u L di dt
线性电感电流： i
1 L
udt
或定积分形式：
i 1
tud 1
t0 ud 1
t
ud
L
L
L t0
i(t0)
1 L
t
ud
t0
17
线性电感电压： u L di dt
电感功率： p ui Lidi dt
受控电源反映电路中某处电压（或电流）控制另一处电压（或 电流）的现象。也是表示一处电路变量与另一处电路变量之间 的耦合关系。
22
例：1-3
求图示电路中的电流 i，已知u2=0.5u1， iS=2A，
i
iS
+
5 u1
-
+ u2 2 -
解 i ： u 20 .5 u 10 .5 1 02 .5A 22 2
u(t)
C
u()d(u)1C2u(t)1C2u( )
u( )
2
2
若在 t = -时电容未储能，则：
WC
1Cu2(t) 2
从 t1 到 t2 ，电容元件的电场能：
W C C u u ( ( t 1 t2 ) )u d 1 2 C 2 u ( t2 ) u 1 2 C 2 ( t 1 ) u W C ( t2 ) W C ( t 1 )
10
1-4 电路元件
电路元件是电路中的最基本的组成单元 分为：二端、三端、四端、多端元件；有源元件、无源元件
线性元件、非线性元件； 时不变元件、时变元件等
常用的理想元件符号
理想电压源 理想电流源 电阻
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12
支路法的一般步骤: （1） 标定各支路电流（电压）的参考方向； （2） 选定(n–1)个独立节点，列写KCL方程； （3） 选定b–(n–1)个独立回路，列写KVL方程； （4） 求解上述方程，得到b个支路电流。
13
I1 7Ω 70V + –
1
求各支路电流及电压源各自发出的功率。 a (1) 标定各支路电流（电压） 解 I2 I3 的参考方向，如图所示； 11Ω
将支路电流表达式代入（a）式
i2 R2
un1 un1 un1 − un2 un1 − un2 + + + = iS1 − iS2 + iS3 R1 R2 R3 R4 un1 − un2 un1 − un2 un2 − − + = − iS3 R3 R4 R5
26
整理，得
1 1 1 1 1 1 ( + + + ) un1 − ( + )un2 = i S1 − i S2 + i S3 R1 R2 R3 R4 R 3 R4
70 − U A UA = −7 I1 + 70 ⇒ I1 = 7 6 −UA UA = −7 I 2 + 6 ⇒ I 2 = 11 UA I3 = 7
22
支路分析法需要（b-n+1）个KVL方程，（n-1）个KCL方程。 如何减少方程的数量？ 选择参考节点，设所有其它节点的电压为未知变量。 a I1 如果能确定(n–1)个独立节点的电 I2 7Ω 压，就可以确定电路中所有支路 11Ω 的电压、电流。 + + 6V 70V – – 以(n–1)个独立节点的电压为变量列写方程 b n–1 方程个数？ 方程形式？ KCL
I2 = −406 203 = − 2A I 3 = I1 + I 2 = 6 − 2 = 4 A
特殊情况1：电流源与电阻并联的处理
I1
+
I3 I2 R3 I4 R4 IS
US
-
R2
电流源与电阻元 件并联的部分电 路进行等效变换
I1 I3 I2 R3
R4 I S
2
+
R1
I1 − I 2 − I 3 = 0 R1 I1 + R2 I 2 = US − R2 I 2 + ( R3 + R4 ) I 3 = − R4 I S
I3 7Ω
为什么不用列写KVL方程？
23
任意选择参考点，节点电压就是节点与参考点的电 压（降），也即是节点电位，方向为（独立）节点 指向参考节点。 由于电位的单值性，节点电压自动满足 KVL 方程。 A UA UA−UB UB B (UA−UB)+UB−UA=0 以节点电压为变量的KVL 自动满足
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL、 VCR列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不 同可分为支路分析法、节点分析法和回路分析法等。
7
3.1 支路分析法 （Branch Current Method）
支路分析法：以各支路电流为未知量列写电路方程 举例 说明: i2 1 R1 R2 i3 R3 i1 R6 + R5 i5 2 R4 i4 3 分析电路的方法。
需要列写方程：
KCL: n-1=3 KVL: b-n+1=3 VCR：b=6 方程总数（n-1）+（b-n+1）+（b） =2b=12 i2 1
R2
4
问题： 方程数多（12个方程） 复杂电路难以手工计算
有必要寻找减少列写方程数量的方法 。
6
目的：找出求解线性电路的分析方法 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络。 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 电路的连接关系——KCL，KVL定律 基础 元件特性——约束关系 VCR
（4）用支路电流表出支路电压 u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6 = –uS+R6i6 将各支路电压、电流关系代入 方程（2） –R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 –R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
+ -
节点b：I 2 − I 3 − I 4 = 0 节点c：I 4 − I 5 − I 6 = 0 回路1： I 2 + 2 I 2 + I 3 = 1 + 1 + 3 I 6
− I 3 + 5 I 4 + 2 I 5 =−3I 6 + 1 + 5 I 2 回路2：
回路3：−2 I 5 + I 6 = −2 I 44 − 5 I 2 = −2( I 4 − 2) − 5 I 2
4 3 + u – S
（3） 根据欧姆定律，列写电阻的 i6 VCR关系。 u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6 = –uS+R6i6
5
（3）
求图示电路中支路电流 i1 ～ i6 （各支路电压与电 流采用关联参考方向）。 2 i3 R3 R1 i1 R6 + R5 i5 i6 uS – R4 i4 3
4 3 +
uS –
i6 （3） 选定b−n+1个独立回路， 根 据KVL列写回路电压方程。 回路1 回路2 回路3 –u1 + u2 + u3 = 0 –u3 + u4 – u5 = 0 u1 + u5 + u6 = 0
9
（2）
2 i2 1 R1 R2 i3 1 i1 R6 R32 R5 i5 i6 R4 i4 3
1 1 1 1 1 ) un 2 = − i S3 )un1 + ( + + −( + R 3 R4 R5 R 3 R4
o
只需列写以节点电压为变量的KCL方程。
24
3.2 节点分析法 （Node Voltage Method）
节点分析法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析 电路的方法。适用于节点较少的电路。 举例说明 un1 iS1 i1 R1 iS2 i2 R2 0 i4 R4 iS3 1 i3 R3 （1） 选定参考节点，标 明其余n-1个独立节点 的电压。
1 2
1Ω 3
+
U 66
-
1Ω
3U 3 I 66
6
1Ω
5I 2
+
2 I 44
-
U 66 = I 6 × (1Ω) = I 6
I 44 = I4 − 2
19
2A
a
I1
I2
2Ω
1V
+
b I4
5Ω
I 44
2Ω
-
c
I5 I6
3 +
I3
1A
1 2
1Ω
+
U 66
-
1Ω
3I 6
1Ω
5I 2
+
2 I 44
-
I2
2Ω
a I1 7Ω + 70V – I2 1 +
5U
I3 11Ω + 7Ω U _ 2 b
解
节点a：–I1–I2+I3=0
回路1：7I1–11I2=70-5U 回路2：11I2+7I3= 5U 增补方程：U=7I3
18
_
例3.1.3
2A
a
I1
I2
2Ω
1V
+
b I4
5Ω
I 44
2Ω
-
cHale Waihona Puke I5 I6+
I3
1A
支路数 b=6 节点数 n=4 变量：支路电流 i1～ i6 支路电压 u1～ u6
4
3
2 i2 1 R1 R2 i3 R3 i1 R6 + R5 i5 R4 i4 3
（1） 根据KCL列各节点电流方程 节点 1 节点 2 节点 3 节点4 i6 uS – 节点 1 节点 2 节点 3 i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0 – i1 – i3 + i5 =0 出为正 进为负
+
US
-
1
R2
R1
R4
15
特殊情况2：纯电流源支路的处理 （1）以电流源的端电压为变量，列写KVL方程
a a I1 7Ω 70V + – b I2 1 6A 11Ω +
U
I3 7Ω
(1) n–1=1个KCL方程：
节点a：–I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
_
2
7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
支路数 b=6
节点数 n=4
（1） 取支路电流 i1～ i6为独立变 量，并在图中标定各支路电流参考 方向；支路电压u1～ u6的方向与电
4
i6 流的取关联参考方向。 uS –
8
2 i2 1 R1 R2 i3 1 i1 R6 R3 2 R5 i5 R4 i4 3
（2） 根据KCL列各节点电流方程 节点4设为参考节点 节点 1 节点 2 节点 3 i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0 （1）
10
（3）
4 3 + u – S
（4）
图示电路用支路分析法求解所列写的方程： 2 i2 1 R1 R2 i3 R3 i1 R6 + R5 i5 i6 uS – R4 i4 3 i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0 KCL
支路法的一般步骤: （1） 标定各支路电流（电压）的参考方向； （2） 选定(n–1)个独立节点，列写KCL方程； （3） 选定b–(n–1)个独立回路，列写KVL方程； （4） 求解上述方程，得到b个支路电流。
13
I1 7Ω 70V + –
1
求各支路电流及电压源各自发出的功率。 a (1) 标定各支路电流（电压） 解 I2 I3 的参考方向，如图所示； 11Ω
将支路电流表达式代入（a）式
i2 R2
un1 un1 un1 − un2 un1 − un2 + + + = iS1 − iS2 + iS3 R1 R2 R3 R4 un1 − un2 un1 − un2 un2 − − + = − iS3 R3 R4 R5
26
整理，得
1 1 1 1 1 1 ( + + + ) un1 − ( + )un2 = i S1 − i S2 + i S3 R1 R2 R3 R4 R 3 R4
70 − U A UA = −7 I1 + 70 ⇒ I1 = 7 6 −UA UA = −7 I 2 + 6 ⇒ I 2 = 11 UA I3 = 7
22
支路分析法需要（b-n+1）个KVL方程，（n-1）个KCL方程。 如何减少方程的数量？ 选择参考节点，设所有其它节点的电压为未知变量。 a I1 如果能确定(n–1)个独立节点的电 I2 7Ω 压，就可以确定电路中所有支路 11Ω 的电压、电流。 + + 6V 70V – – 以(n–1)个独立节点的电压为变量列写方程 b n–1 方程个数？ 方程形式？ KCL
I2 = −406 203 = − 2A I 3 = I1 + I 2 = 6 − 2 = 4 A
特殊情况1：电流源与电阻并联的处理
I1
+
I3 I2 R3 I4 R4 IS
US
-
R2
电流源与电阻元 件并联的部分电 路进行等效变换
I1 I3 I2 R3
R4 I S
2
+
R1
I1 − I 2 − I 3 = 0 R1 I1 + R2 I 2 = US − R2 I 2 + ( R3 + R4 ) I 3 = − R4 I S
I3 7Ω
为什么不用列写KVL方程？
23
任意选择参考点，节点电压就是节点与参考点的电 压（降），也即是节点电位，方向为（独立）节点 指向参考节点。 由于电位的单值性，节点电压自动满足 KVL 方程。 A UA UA−UB UB B (UA−UB)+UB−UA=0 以节点电压为变量的KVL 自动满足
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL、 VCR列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不 同可分为支路分析法、节点分析法和回路分析法等。
7
3.1 支路分析法 （Branch Current Method）
支路分析法：以各支路电流为未知量列写电路方程 举例 说明: i2 1 R1 R2 i3 R3 i1 R6 + R5 i5 2 R4 i4 3 分析电路的方法。
需要列写方程：
KCL: n-1=3 KVL: b-n+1=3 VCR：b=6 方程总数（n-1）+（b-n+1）+（b） =2b=12 i2 1
R2
4
问题： 方程数多（12个方程） 复杂电路难以手工计算
有必要寻找减少列写方程数量的方法 。
6
目的：找出求解线性电路的分析方法 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络。 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 电路的连接关系——KCL，KVL定律 基础 元件特性——约束关系 VCR
（4）用支路电流表出支路电压 u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6 = –uS+R6i6 将各支路电压、电流关系代入 方程（2） –R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 –R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
+ -
节点b：I 2 − I 3 − I 4 = 0 节点c：I 4 − I 5 − I 6 = 0 回路1： I 2 + 2 I 2 + I 3 = 1 + 1 + 3 I 6
− I 3 + 5 I 4 + 2 I 5 =−3I 6 + 1 + 5 I 2 回路2：
回路3：−2 I 5 + I 6 = −2 I 44 − 5 I 2 = −2( I 4 − 2) − 5 I 2
4 3 + u – S
（3） 根据欧姆定律，列写电阻的 i6 VCR关系。 u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6 = –uS+R6i6
5
（3）
求图示电路中支路电流 i1 ～ i6 （各支路电压与电 流采用关联参考方向）。 2 i3 R3 R1 i1 R6 + R5 i5 i6 uS – R4 i4 3
4 3 +
uS –
i6 （3） 选定b−n+1个独立回路， 根 据KVL列写回路电压方程。 回路1 回路2 回路3 –u1 + u2 + u3 = 0 –u3 + u4 – u5 = 0 u1 + u5 + u6 = 0
9
（2）
2 i2 1 R1 R2 i3 1 i1 R6 R32 R5 i5 i6 R4 i4 3
1 1 1 1 1 ) un 2 = − i S3 )un1 + ( + + −( + R 3 R4 R5 R 3 R4
o
只需列写以节点电压为变量的KCL方程。
24
3.2 节点分析法 （Node Voltage Method）
节点分析法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析 电路的方法。适用于节点较少的电路。 举例说明 un1 iS1 i1 R1 iS2 i2 R2 0 i4 R4 iS3 1 i3 R3 （1） 选定参考节点，标 明其余n-1个独立节点 的电压。
1 2
1Ω 3
+
U 66
-
1Ω
3U 3 I 66
6
1Ω
5I 2
+
2 I 44
-
U 66 = I 6 × (1Ω) = I 6
I 44 = I4 − 2
19
2A
a
I1
I2
2Ω
1V
+
b I4
5Ω
I 44
2Ω
-
c
I5 I6
3 +
I3
1A
1 2
1Ω
+
U 66
-
1Ω
3I 6
1Ω
5I 2
+
2 I 44
-
I2
2Ω
a I1 7Ω + 70V – I2 1 +
5U
I3 11Ω + 7Ω U _ 2 b
解
节点a：–I1–I2+I3=0
回路1：7I1–11I2=70-5U 回路2：11I2+7I3= 5U 增补方程：U=7I3
18
_
例3.1.3
2A
a
I1
I2
2Ω
1V
+
b I4
5Ω
I 44
2Ω
-
cHale Waihona Puke I5 I6+
I3
1A
支路数 b=6 节点数 n=4 变量：支路电流 i1～ i6 支路电压 u1～ u6
4
3
2 i2 1 R1 R2 i3 R3 i1 R6 + R5 i5 R4 i4 3
（1） 根据KCL列各节点电流方程 节点 1 节点 2 节点 3 节点4 i6 uS – 节点 1 节点 2 节点 3 i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0 – i1 – i3 + i5 =0 出为正 进为负
+
US
-
1
R2
R1
R4
15
特殊情况2：纯电流源支路的处理 （1）以电流源的端电压为变量，列写KVL方程
a a I1 7Ω 70V + – b I2 1 6A 11Ω +
U
I3 7Ω
(1) n–1=1个KCL方程：
节点a：–I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
_
2
7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
支路数 b=6
节点数 n=4
（1） 取支路电流 i1～ i6为独立变 量，并在图中标定各支路电流参考 方向；支路电压u1～ u6的方向与电
4
i6 流的取关联参考方向。 uS –
8
2 i2 1 R1 R2 i3 1 i1 R6 R3 2 R5 i5 R4 i4 3
（2） 根据KCL列各节点电流方程 节点4设为参考节点 节点 1 节点 2 节点 3 i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0 （1）
10
（3）
4 3 + u – S
（4）
图示电路用支路分析法求解所列写的方程： 2 i2 1 R1 R2 i3 R3 i1 R6 + R5 i5 i6 uS – R4 i4 3 i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0 KCL