黑龙江省哈尔滨市三中2017届高三第四次模拟考试数学(理)试卷

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哈尔滨市第三中学2017届高三第三次模拟考试数学(理)试题及答案

2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N MA.)2,1[-B.]2,1[-C.]1,4[- D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b ab 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B.1- C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21 BCD6. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．323B ．503 C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输出的结果为A ． 81B ．74C ．121D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线y =程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x=-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为A .3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6B.3C.4 D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是 A .(],1-∞B .1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C .[)1,+∞D .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是．14. 函数2cos2y x x -的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”；（2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a<<<则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数2()(33)m f x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=.其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号） 16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得 22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,nn n SS a n n N *--=++≥∈，且13a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：121111 (1112)n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AAC C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程；（Ⅱ）对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N，使得||2||AB MN -为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x gx +=，求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C 的参数方程为12x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分）设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.2017年哈三中第三次高考模拟考试答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π 15.(2)(4) 16.[]2,417. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意121nn a a -=+()2,n n N *≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分 121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n na ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列，因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-…………………………………9分11122n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………..11分 12<…………………………………………………………………………………………….12分 18. （本小题满分12分）（Ⅰ）…………………………………………………………………………………………………………………………………….2分2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分（Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分（ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分由题意可知()20,0.6Y B ，……………………………………………..10分故()12,EY =………………………………………………………………………11分() 4.8D Y =………………………………………………………………………..12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. …… ……5分1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2C -131(,2)2BA =,(0,2,0)BD =,11(,2BC =-设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- …… …… ……8分设平面DCF 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m nθ⋅==……… ……12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2px ty t R =+∈ ，221212(,),(,)22y y A y B y p p ……………………..1分由 222y pxp x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --=222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==-…………………… 2分2||2(1)AB p t ==+ …………….4分当直线l 倾斜角为4π时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ，所以抛物线G 的方程为28y x =. …………………………….6分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值. 由（1）知2||8(1)AB t=+ …………………………………………7分212()2422M tx y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t +………….8分若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分,即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -= 综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）21()23ln f x x x x a '=-+，……………………………………………………1分由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由2321123023ln ln x x x x x a a -+≥⇒-≥-，设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤，当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a ≤矛盾，从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………………………3分由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a -≤-，由之前讨论可知，11ln a -≤-，当10a >>时，11ln a -≤-恒成立，当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a ≥⇒≥⇒≥⇒≥，综上a e =...................................................................................................................6分（II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+，因为12()()0g x g x +=，所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭，所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++=()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++=所以()()21212121212ln()2x x x x x x x x -+++=-，…………………………………………………..9分令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1tg t t t -'=-=，()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-，整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥……………………………………………………………………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， ……………………………… 2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= ………………………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OA SAOB …………………………………… 10分23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>a a a a x f a …………………………………. 5分①②……………………………………………………………………………………………9分综上，实数a的取值范围是)4,1(………………………… 10分。

2017年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试理科综合试卷(含答案)

2017 年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试
理科综合能力测试
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 33～40 题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
6.下列有关细胞分裂的说法正确的是 A.根尖成熟区细胞比分生区细胞的细胞周期长 B.一个四分体中含有一对同源染色体，4 条脱氧核苷酸链 C.有丝分裂间期完成 DNA 分子的复制和有关蛋白质的合成 D.秋水仙素作用于细胞分裂后期抑制纺锤体的形成 7.关于生活中的化学问题，下列说法错误的是．． A.地球上的绝大多数金属元素是以化合态形式存在 B.铜盐溶液都有毒，这主要是由于铜离子能使蛋白质变性 C.普通玻璃以纯碱、石灰石、石英砂为主要原料制得 D.SO2 气体通入氯水中可以增强氯水溶液的漂白性 8.分子式 C8H10O 的芳香醇分子数目为 A.3 B.4 C.5 D.6
13．利用下图装置进行实验，甲、乙两池中均为 1mol·L－1 的 AgNO3 溶液，A、B 均为 Ag 电极。实验开始时先闭合 K1，断开 K2。一段时间后，断开 K1，闭合 K2，形成浓差电池，电流表指针偏转(Ag 浓度越大氧化性越强)。下列说法错误的是．．

黑龙江省哈尔滨市高三数学下学期第四次模拟考试试题

黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学下学期第四次模拟考试试题文（扫描版）2017 四模文科数学答案一、选择题BAABC CBDAD BC二、填空题13. 11 14. ②③④⇒①（或①②④⇒③） 15. 1316. 2三、解答题17、（12分）解：（1）在BCP ∆中，tan 2PCPBC BC BC ∠=⇒= 在ABC ∆中，由正弦定理得：002sin sin sin15sin 45BC AB ABBAC BCA =⇒=∠∠ 所以，2(31)AB =+船的航行速度是每小时6(31)+千米. ………………………………………6分（2）在BCD ∆中，由余弦定理得：6CD =在BCD ∆中，由正弦定理得：CD 2sin sin sin 2BC CDB DBC CDB =⇒∠=∠∠所以，山顶位于D 处南偏东0135.………………………………………12分 18、（12分）（1）*()70()f n n n N =+∈**100(45,)()6170(45,)n n N g n n n n N ⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩…………………………………………4分（2）()11545f n n >⇒>设在甲公司工作，日工资在115元以上的概率为1P ，若视频率为概率，则120101021005P ++== …………………………………………………7分()11547.548g n n n >⇒>⇒≥设在乙公司工作，日工资在115元以上的概率为2P ，若视频率为概率，则2401011002P +== …………………………………………………………10分12P P <，所以选择去乙公司应聘 ………………………………………………………………………12分19、（12分）（1）111111=A B ABC A B AC AB AC AC A ABB AC BB A B AB B ⊥⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎭I 平面平面 ………………………4分 .（2）设11A B 中的为N ，连MN ，又M 为11B C 的中点，111A B C V 中，中位线11//MN AC11ACC A Y 中11//AC A C ，所以//MN AC由（1）知11AC A ABB ⊥平面，所以11MN A ABB ⊥平面，MN 为三棱锥1M A AB -的高 …………………………………………8分1111122MN AC AC ===， 1111122A AB A B ABC A B AB S A B AB ⊥⇒⊥⇒=⋅=V 平面 1111111111111122//A BMA B ABCA B A B C A B A M S A B A M ABC A B C ⊥⎫⇒⊥⇒⊥⇒=⋅=⎬⎭V 平面平面平面平面 111111()()233A A BM M ABA A BM A AB V V S d S MN d --=⇒⋅=⋅⇒=V V …………………………12分20、（12分）（1）根据题设,点在FO 的垂直平分线上，----------------------------1分所以点到准线的距离为32422p p p +=⇒=---------------------3分 2:4C x p ⇒=-------------------------------------4分（2）设()()1122,,,A x y B x y ，12KA KB y y λλ=⇒=u u u r u u u r，-------------------------------------5分设直线:1l x my =-代入到24y x =中得2440y my -+=，所以()1222122414y y m y y y y λλ+==+==-------------------------------------6分()2214m λλ+⇒=-------------------------------------8分19162,23λλ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦-------------------------------------9分又AB 中点()221,2m m -，-------------------------------------10分所以直线AB 的垂直平分线为()2221y m m x m ⎡⎤-=---⎣⎦--------------------11分可得20131121,43x m ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦-------------------------------------12分 21、（12分）解: (1)()1a f x x'=- ()0100()010()010af x x a x af x x a x af x x ax '>⇒->⇒<<'<⇒-<⇒>'=⇒-=⇒=()f x 在()0,a 递增，()f x 在(,)a +∞递减，x a =为函数()f x 的极大值点1a =……………………………………………………………………………………………4分(2)由已知13ln ln x x m x x x+--=-的两解为12,x x ，即12ln 0x m x+-=的两解为12,x x 。

黑龙江省哈尔滨市高考数学四模试卷理(含解析)

2017年黑龙江省哈尔滨市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合（∁Z A）∩B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知复数z=﹣，则z=（）A． i B．C．﹣D．﹣ i3．若实数x，y满足不等式组，则x﹣2y的最大值为（）A．1 B．2 C．0 D．44．设函数f（x）=，则f（27）+f（﹣log43）的值为（）A．6 B．9 C．10 D．125．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设S n是数列{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．110 B．90 C．55 D．456．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．若函数则函数f（x）的图象关于（）A．原点轴对称B．x轴对称C．y轴对称D．y=x对8．执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（）①φ=②函数f（x）在区间[﹣π，π]上递减；③把g（x）=sin的图象向左平移得到f（x）的图象；④函数f（x+）是偶函数．A．①③ B．①② C．②③④D．①④10．已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A．B．C．D．11．已知菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的表面积为（）A．15π B．C． D．7π12．已知函数f（x）在定义域R内是增函数，且f（x）＜0，则g（x）=x2f（x）的单调情况一定是（）A．在（﹣∞，0）上递增B．在（﹣∞，0）上递减C．在R上递减D．在R上递增二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．的展开式中，常数项为20，则实数a的值为．14．设满足且（+）⊥，则（﹣）•的值为．15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16．已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC的面积为，，b=3．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．18．某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元．产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失．（Ⅰ）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率；（Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率；（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润ξ（元）的分布列和期望．19．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．20．椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．21．已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线（t为参数），以原点为极点，以x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M（1，0），且曲线C1与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|3x﹣2|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合（∁Z A）∩B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】1E：交集及其运算．【分析】运用二次不等式的解法和补集的定义，化简集合∁Z A，再由交集的定义和集合子集的个数（n个元素的集合的子集为2n），即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，∁Z A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}={x|﹣1≤x≤3，x∈Z}={﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|x＞0}，则集合（∁Z A）∩B={1，2，3}，可得集合（∁Z A）∩B的子集个数为23=8，故选：D．2．已知复数z=﹣，则z=（）A． i B．C．﹣D．﹣ i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】计算=，可得==．即可得出．【解答】解：∵ ==， ===．∴z=﹣=﹣=﹣．故选：C．3．若实数x，y满足不等式组，则x﹣2y的最大值为（）A．1 B．2 C．0 D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，得，即A（4，0）代入目标函数z=x﹣2y，得z=4，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是4．故选：D．4．设函数f（x）=，则f（27）+f（﹣log43）的值为（）A．6 B．9 C．10 D．12【考点】3T：函数的值．【分析】根据分段函数的表达式分别代入进行求解即可．【解答】解：f（27）=log927==，f（﹣log43）=+=3+，则f（27）+f（﹣log43）=+3+=6，故选：A5．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设S n是数列{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．110 B．90 C．55 D．45【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程，求出首项，由此能求出S10．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8成等比数列，∴，∴（a1+3×2）2=（a1+2）（a1+7×2），解得a1=2，设S n是数列{a n}的前n项和，则S10=10a1+=10×2+=110．故选：A．6．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得e==2，即c=2a，又由双曲线的性质可得b=，结合c2=a2+b2，计算可得a2的值，将a2、b2的值代入双曲线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则e==2，即c=2a，又由右焦点到一条渐近线的距离为，则有b=，又由c2=a2+b2，即4a2=a2+3，则有a2=1，则双曲线的方程为：x2﹣=1；故选：B．7．若函数则函数f（x）的图象关于（）A．原点轴对称B．x轴对称C．y轴对称D．y=x对【考点】3O：函数的图象．【分析】判断f（x）的奇偶性，即可得出结论．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（x）=x（1﹣）=x•f（﹣x）=﹣x•=﹣x•=f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故选：C．8．执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S值为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，S=1，i=1执行循环体，S=6，i=2不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=3不满足条件i＞5，执行循环体，S=4，i=4不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=5不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为．故选：C．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（）①φ=②函数f（x）在区间[﹣π，π]上递减；③把g（x）=sin的图象向左平移得到f（x）的图象；④函数f（x+）是偶函数．A．①③ B．①② C．②③④D．①④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据题意，求出函数f（x）的解析式，再判断题目中的命题是否正确即可．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为4π，∴T==4π，∴ω=；又对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，∴x=时，函数f（x）取得最大值，∴×+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，①正确；∴f（x）=sin（x+），当x∈[﹣π，π]时， x∈[﹣，]，x+∈[﹣，]，函数f（x）不是单调递减函数，②错误；把g（x）=sin的图象向左平移，得y=sin（x+）=sin（x+）的图象，即为f（x）的图象，③正确；函数f（x+）=sin[（x+）+]=sin（x+），它不是偶函数，④错误．综上，正确的命题是①③．故选：A．10．已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y，那么就会有0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|如果小于20，就是等待事件，否则不用等待了．由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率【解答】解：设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y那么就会有：0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|＜30，就是等待事件，否则不用等待了．画出来坐标轴如下图两条斜直线间的面积是等待，外面的两个三角形面积是不等待，∴至少有一辆车需要等待装货物的概率p=；故选：D．11．已知菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的表面积为（）A．15π B．C． D．7π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用几何体求出外接球的半径，然后求解几何体的表面积即可．【解答】解：菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，三角形ABD的外接圆的半径为：=，内切圆的半径为：，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的半径为： =．外接球的表面积为：4=15π．故选：A．12．已知函数f（x）在定义域R内是增函数，且f（x）＜0，则g（x）=x2f（x）的单调情况一定是（）A．在（﹣∞，0）上递增B．在（﹣∞，0）上递减C．在R上递减D．在R上递增【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数f（x）在定义域R内是增函数则f'（x）＞0在定义域R上恒成立，然后求出导函数g'（x），讨论x，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间．【解答】解：∵函数f（x）在定义域R内是增函数∴f'（x）＞0在定义域R上恒成立∵g（x）=x2f（x）∴g'（x）=2xf（x）+x2f'（x）当x＜0时，而f（x）＜0，则2xf（x）＞0，x2f'（x）＞0所以g'（x）＞0即g（x）=x2f（x）在（﹣∞，0）上递增当x＞0时，2xf（x）＜0，x2f'（x）＞0，则g'（x）的符号不确定，从而单调性不确定故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．的展开式中，常数项为20，则实数a的值为 1 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：的通项公式为：T r+1==a r x6﹣2r．令6﹣2r=0，或6﹣2r=﹣1，解得r=3，r=（舍去）．∴a3=20，解得a=1．故答案为：1．14．设满足且（+）⊥，则（﹣）•的值为﹣5 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积和向量模的计算即可【解答】解：∵，∴||=2∵（+）⊥，∴（+）•=+•=0，即•=﹣4，∴（﹣）•=•﹣=﹣4﹣1=﹣5，故答案为：﹣5．15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，代入体积计算公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面面积S=4×8=32，高h=4，故体积V==，故答案为：16．已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为y2=8x ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，根据中点坐标公式求得M的横坐标，则M到准线的距离d=x+=，即可求得d的值，求得抛物线方程．【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），由题意可知直线AB的斜率显然存在，且不为0，设直线AB的方程y=k（x﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），=（﹣x1，﹣y1），=（x2﹣，y2），由=3，则﹣x1=3（x2﹣），则3x2+x1=2p，①，整理得：k2x2﹣（k2+2）px+=0，由韦达定理可知：x1+x2=，②x1x2=，③由①②解得：x1=，x2=，代入③，解得：k2=3，则x==，M到准线的距离d=x+=，∴=，解得：p=4，∴抛物线的方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC的面积为，，b=3．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=，即．sinB=由余弦定理得：…①，又s△ABC=，∴ac=6…②，由①②解得a，c（Ⅱ）由余弦定理得cosC=，则sinC=．即可得sin（B﹣C）=sinBcosC ﹣cosBsinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=即2sinAcosB=，∵sinA≠0，∴．sinB=由余弦定理得：⇒…①又∵s△ABC=，∴ac=6…②由①②解得∵a＞c，∴a=3，c=2（Ⅱ）由余弦定理得cosC=，则sinC=．∴sin（B﹣C）=sinBcosC﹣cosBsinC=．18．某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元．产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失．（Ⅰ）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率；（Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率；（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润ξ（元）的分布列和期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率公式计算；（II）使用条件概率公式计算；（III）列出ξ所有可能的取值及对应的概率，再计算数学期望．【解答】解：（I）设一天生产的2件产品都为一等品为事件A，则P（A）=0.52=0.25，∴在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率P=0.25×0.25×0.75×=．（II）设一天中生产的2件产品中，有一件是一等品为事件B，另一件是一等品为事件C，则P（BC）=P（A）=0.25，P（B）=0.5×0.5+0.5×0.4×2+0.5×0.1×2=0.75，∴该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，另1件也为一等品的概率为P（C|B）==（III）ξ的可能取值为8000，7000，6000，2000，1000，﹣4000，ξ的分布列为：ξ8000 7000 6000 2000 1000 ﹣4000PE（ξ）=8000×+7000×+6000×+2000×+1000×+（﹣4000）×=6000．19．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，则OD∥A1B，由此能证明A1B∥平面B1DC．（2）以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，∴OD∥A1B，∵A1B⊄平面B1DC，OD⊂平面B1DC，∴A1B∥平面B1DC．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．∴以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B1（0，，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），=（﹣1，，﹣3），=（﹣1，0，﹣3），=（0，0，﹣3），设平面B1DC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣3，0，1），设平面B1CC1的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（），设二面角D﹣B1C﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值为．20．椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可得： =1， =，又a2=b2+c2，联立解得：a2，b2，c．可得椭圆C的方程．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得： +=1，解得y．则S△AMN ≠3，舍去．②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．可得|y1﹣y2|=．利用S△==3即可得出．AMN【解答】解：（1）由题意可得： =1， =，又a2=b2+c2，联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆C的方程为：．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得： +=1，解得y=±．则S△AMN==2≠3，舍去．②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．∴y1+y2=﹣，y1•y2=，∴|y1﹣y2|===．则S△AMN==3×=3，解得m=±1．∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．21．已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到函数在x=1处的切线方程，结合已知切线方程求得a值，进一步求得函数的单调区间；（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．求出k AB及f′（）．由题意列等式可得1+ln==，整理得：，令（t＞1）换元，则．令g（t）=（t＞1），利用导数求得g（t）的最小值小于1﹣ln2，说明计算错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+．∴f′（1）=1+a，又f（1）=0，∴函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=（1+a）（x﹣1）=（1+a）x﹣1﹣a．∴1+a=1，得a=0．则f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1．由f′（x）=lnx+1=0，得x=．∴当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0．∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．．由f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得1+ln==，整理得：，令（t＞1），则．令g（t）=（t＞1），则g′（t）=，令h（t）=2t﹣2﹣tlnt﹣lnt，h′（t）=2﹣lnt﹣1﹣=1﹣lnt﹣，再令r（t）=1﹣lnt﹣，则r′（t）=＜0，∴r（t）单调递减，由r（1）=0，∴h′（t）＜0，得h（t）单调递减，又h（1）=0，∴h（t）＜0，即g′（t）＜0在（1，+∞）上恒成立．可得g（t）在（1，+∞）上单调递减，则g（t）＜g（1）=﹣ln2．∴不成立，故假设错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线（t为参数），以原点为极点，以x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M（1，0），且曲线C1与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消去参数t，即可求得C1的普通方程，由，化简即可求得曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）将曲线C1代入曲线C2的方程，求得A和B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得的值．【解答】解：（Ⅰ）将y=t，代入x=1+t，整理得x﹣y﹣1=0，则曲线C1的普通方x ﹣y﹣1=0；曲线，则1=+ρ2sin2θ．由，则曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）由，整理得：3x2﹣4x=0，解得：x=0或x=，则A（0，﹣1），B（，），∴丨MA丨==，丨MB丨==，∴丨AB丨==，∴==，∴的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|3x﹣2|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分情况将原不等式绝对值符号去掉，然后求解；（Ⅱ）两边同除以|x|，然后求出左边的最小值，解关于m的不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当x≤时，原不等式可化为﹣（3x﹣2）﹣（x﹣2）≤8，解得x≥﹣1，故此时﹣1≤x≤；当＜x≤2时，原不等式可化为3x﹣2﹣（x﹣2）≤8，解得x≤4，故此时＜x≤2；当x＞2时，原不等式可化为3x﹣2+x﹣2≤8，即x≤3，故此时2＜x≤3．综上可得，原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）•|x|恒成立，则不等式可化为：m2﹣m+2≤|3﹣|+|1﹣|恒成立．因为|3﹣|+|1﹣|≥|3﹣+﹣1|=2，所以要使原式恒成立，只需m2﹣m+2≤2即可，即m2﹣m≤0．解得0≤m≤1．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题2017年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.若集合{}2|20A x x x =+-<，集合21|1B x x⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =IA. ()1,2-B. ()(),11,-∞-+∞UC. ()1,1-D.()()1,00,1-U2.在复平面内，复数21ii--（i 是虚数单位）对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 3.在等差数列{}na 中，2436aa +=，则数列{}na 的前5项和5S 的值为A. 108B. 90C. 72D. 244.执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为A. 8B. 48C. 384D. 38405.若实数,x y 满足约束条件029y y xy x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩，则3z x y =+的最大值等于A. 0B. 92C. 12D.27 6. 已知函数()()()3sin cos 0,f x x x y f x ωωω=+>=的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是A.5,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 511,.1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. 2,.63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.,.36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.23B.3C.3D.438.下列结论中正确的个数是①“3x π=”是“1sin 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的充分不必要条件； ②若a b >，则22am bm >；③命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“,sin 1x R x ∀∈>”；④函数()cos f x x x=在[)0,+∞内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 49.已知非零向量,a b r r 满足2,1a b a b a +=-==r r r r r，则a b +r r 与a b-r r的夹角为A. 6πB. 3πC. 23πD.56π10.将A,B,C,D,E 五名同学分到四个不同的班级，每班至少至少一名学生，则A,B 被分到同一个班级的概率为A. 35B. 25C. 15D.110 11.若PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在的平面相互垂直，2,60PA PD AB APD ===∠=o若点,,,PA B C D 都在同一个球面上，则此球的表面积为 A.253πB.283π C.282127πD.2127π12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),A c b ，右焦点(),0F c ，椭圆上存在一点M ，使得OM OA OF OA⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r，且()OM OF tOA t R +=∈u u u u r u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为A. 22B. 32C.33D. 23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设等比数列{}na 中，141,8a a ==，则7a = .14.62x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为 .15.进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的记数系统.”满几近一为就是几位制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：把以上各步所得的余数从下到上排列，得到89=1011001（2）这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k 进制数的方法，称为“除k 取余法”，那么用把“除k 取余法”化为七进制数为 .16. 当12a <时，关于x 的不等式()20xx e a e a --+<的解集中有且只有两个整数值，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C的对边，()-+=,其外接圆的半径为1.c a B b C2cos cos0（1）求角B的大小；（2）求ABC∆周长的取值范围.18.（本题满分12分）某电子元件厂对一批新产品的使用寿命进行检验，并且厂家规定使用寿命在[]300,500为合格品，适用寿命超过500小时为优质品，质检科抽取了一部分产品做样本，经检测统计后，绘制出来该产品使用寿命的频率分布直方图（如图）.（1）根据频率分布直方图估计该厂产品为合格品或优等品的概率，并估计该批产品的平均使用寿命；（2）从这批产品中，采取随机抽样的方法每次抽取一件产品，抽取4次，若以上述频率作为概率，记随机变量X为抽出的优质品的个数，列出X的分布列，并求出其数学期望.19.（本题满分12分）已知四边形ABCD为直角梯形，⊥===,F为BC的中点，//,,24,3AD BC AB BC BC AB ADEF//AB,EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD,BC,AC.（1）求证：BE//平面ACD;（2）若平面ABFE⊥平面EFCD（Ⅰ）求二面角B-AC-D的大小（Ⅱ）线段AC上是否存在点P，使FP⊥平面ACD，若存在，求出AP的值，若不存在，请说明理由..AC20.（本题满分12分）已知抛物线()2=>，其焦点为F,过F且斜率E x py p:20为1的直线被抛物线截得的弦长为8.（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上的一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称为点B，直线AB与y轴交与点C,求OBC∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()()(),ln .f x ax g x x a R ==∈（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围；（2）若在[)1,+∞上不等式()()1xf x g x -≥恒成立，求实数a的取值范围（3）证明：对于[)1,x ∈+∞时，任意0t >，不等式22lnx t tx t t x++->恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为6cos .ρθ=（1）若直线l的参数方程中2t=的时，得到M点，求M的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点()1,1+.P，l和曲线C交于A,B两点，求11PA PB23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2 1.f x x x=++-（1）求不等式()5f x≥的解集；（2）若关于x的不等式()22≥-的解集为R,求实f x m m数m的取值范围.。

黑龙江省高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析

黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2z ai =-+(,a R i ∈是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且6z z ⋅=，则=a AB．C ．2D ．2-2．全集[]1,10U =，集合{|(1)(8)0}A x x x =--≤和[]2,10B =，则()UA B =（）A ．()2,8B ．[]2,8C ．[][]1,28,10⋃D ．[)(]1,28,10⋃3．平面直角坐标系中角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫ ⎪⎝⎭（）A ．110B ．15C ．45D ．9104．二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（） A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题正确的个数是（）①)0a b ab +≥>②若0a b >>，0c d << 则ac bd <；③不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >； ④若i a 、i b 和()1,2i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a xb xc ++>解集相同”的充分不必要条件． A ．1B ．2C ．3D ．46．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =则A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-9．已知平面l αβ=，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥D ．若m l ⊥，则m β⊥10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（） A ．12B ．23C ．34D ．4511．已知向量,a b 满足1,a a b =⊥，则向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为（） A ．a B ．1 C ．-1 D ．a -12．已知函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,1]B ．()[),11,-∞-⋃+∞C ．(,1){1}-∞-D ．(){}1,01-二、填空题13．已知(2,1),(,1)a b λ=-=-，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是___________.14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为___________.（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=） 15．过抛物线2:4C x y =的焦点Fl ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则MF =______．三、双空题16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y 与时间x 之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．四、解答题17．（1）已知数列{}n a 的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的首项为a 1=1，递推公式为an=1+11n a - (2)n ≥，写出这个数列的前5项 18．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，丙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）． 20．点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. （1）求点P 的轨迹方程；（2）记点P 的轨迹为C ，过F 的直线l 与曲线C 交于点,M N ，与抛物线24y x =交于点,A B ，设(1,0)D -，记DMN 与DAB 面积分别是12,S S ，求21S S 的取值范围. 21．已知函数()2e ex xf x =和()221g x x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求证：当1x <时()()f x g x <；当1x >时()()f x g x >； (3)若存在12x x <，使得()()12f x f x =，证明122x x +>.22．已知双曲线C 的中心在原点，(1,0)D. (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值. 23．已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()242f x f x -+<；（2）若()()2133f x f x m m -++≥+对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案与解析1．A【详解】试题分析：2(2)(2)46z z ai ai a ⋅=-+--=+= 和 22a = ，z 对应点在第二象限，则0a >，所以a =A ．考点：复数的运算． 2．D【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算．【详解】{|(1)(8)0}A x x x =--≤[1,8]=，[]2,10B = ∴[]2,8A B ⋂=. ∵[]1,10U =，∴()[)(]1,28,10UA B ⋂=⋃.故选：D ． 3．B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r == 所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 4．C【分析】根据给定条件求出幂指数n 的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解. 【详解】因为1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即10n =于是得101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为1010102110101C ()()C r r r rr r r r a T ax x bx b ---+==⋅依题意得10210323101023C 3C a a b b--⋅=⋅⋅，化简得8ab =所以ab 的值为8. 故选：C 5．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；【详解】解：对于①，当0a >，0b >时a b +≥当且仅当a b =时取等号，若1a =-、1b 满足0ab >，显然a b +<对于②，若0a b >>，0c d <<则0c d ->->，故ac bd ->-，故ac bd <，故②正确；对于③，使不等式110x +>，整理得10x x +>，故0x >或1x <-，所以不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >，故③正确；对于④，不等式210x x ++>与220x x ++>的解集都为R ，但是1112≠ 若111111==---，则不等式210x x ++>与210x x --->的解集不相同故若i a 、i b 和(1,2)i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是 “不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B ． 6．C【分析】根据统计图逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A 正确；对于B ，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，5720.921935.5>⨯ 所以B 正确；对于C ，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为23595.8316635.3<⨯，所以C 错误；对于D ，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而123595.87865.35720.93⨯≈>，所以D 正确故选：C 7．D【分析】结合二次函数的性质求解函数()f x 的单减区间为3[,)2a +∞，即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，列出不等关系求解即可.【详解】由题意，函数()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为32ax = 故函数()f x 的单减区间为3[,)2a+∞ 即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，故312a ≤解得：23a ≤则a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8．C【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯= ()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .9．D【分析】A 选项.由线面平行的性质可判断；B 选项.由线面平行的判定可判断；C 选项.由线面垂直的性质可判断D 选项.由线面垂直的判定定理可判断. 【详解】A 选项：//m β,由l αβ=，又m α⊂，则由线面平行的性质可得//m l ，故A 正确．B 选项：//m l ，由l αβ=，m β⊄，l β⊂由线面平行的判定可得//m β，故B 正确． C 选项：由l αβ=，则l β⊂，又m β⊥所以m l ⊥，故C 正确．D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误．故选：D 10．B【分析】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R ，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.【详解】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R 则24S R π=球2222226S S S R R R R πππ=+=⋅+⨯=圆柱侧底所以23S S =球圆柱故选：B. 11．A【分析】根据给定条件，求出(2)a b a -⋅，再借助投影向量的意义计算作答.【详解】因1,a a b =⊥，则2(2)21a b a a b a -⋅=-⋅=，令向量2a b -与向量a 的夹角为θ 于是得(2)|2|cos ||||||a ab a a a b a a a a θ-⋅-⋅=⋅= 所以向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A 12．A【分析】画出函数()f x 的图象，使用换元法，令()t f x =，并构造函数()22=-+-g t t at a a ，通过t 的范围，可得结果.【详解】当0x ≥时()1xf x xe -=，则()()'11-=-x f x x e令()'0f x >，则01x ≤<令()'0f x <，则1x >所以函数()f x 在[)0,1递增，在()1,+∞递减则()()min 11==f x f ，且当0x ≥时()0f x > 函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩图象如图关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根令()t f x = ()22=-+-g t t at a a则①0=t ，t=1所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=-=⎪⇒=⎨=-+-=⎪⎩②()0,1t ∈ ()(),01,∈-∞⋃+∞t 由()()2110=-≥g a则函数()g t 一个根在()0,1，另外一个根在(),0∞-中所以()20001=-<⇒<<g a a a综上所述：(0,1]a ∈ 故选：A【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题. 13．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据a 与b 夹角为钝角可得(2,1)(,1)0a b λ⋅=-⋅-<，求得λ的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.【详解】根据题意可得：(2,1)(,1)210a b λλ⋅=-⋅-=--< 可得12λ>-当2λ=，a b =-时，a 与b 方向相反夹角为180，不符题意所以12λ>-且2λ≠故答案为1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差ξ（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，则0,2μσ== 于是得(22)0.6827P ξ-<<= (44)0.9545P ξ-<<= 所以1(24)(0.95450.6827)0.13592P ξ<<=-=.故答案为：0.1359 15．4【分析】先求出直线l ，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A ，B 处的切线方程，再求出点M 的坐标，进而可求出MF【详解】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，则直线l 为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x --=则12124x x x x +==- 由214y x =，得12y x '=，则过点11(,)A x y 的切线的斜率为112x所以过点11(,)A x y 的切线方程为21111()42x y x x x -=-，即211124x y x x =-同理可得过22(,)B x y 的切线方程222124x y x x =-两切线方程联立，得221212112424x x x x x x -=-，得121()2x x x =+= 所以2111212111()12244x y x x x x x =⋅+-==-所以点M 的坐标为)1-所以4MF =故答案为：416． () 2.5sin()5372f x x π=+ 4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出ω，再由最值计算出A 和b ，最后由最大值处的数据计算出ϕ，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为()sin()f x A x b ωϕ=++由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟所以2372T ππω== max min ()()7.5 2.5 2.522f x f x A --=== max ()7.5 2.55b f x A =-=-= (186) 2.5sin()57.52f πϕ=++= 0ϕ∴= 则该函数的表达式为：() 2.5sin()5372f x x π=+.由题可知，水深为4 2.25 6.25+=米以上时安全令() 6.25f x ≥解得62310x ≤≤即安全时间为31062248-=分钟，约4小时. 故答案为：() 2.5sin()5372f x x π=+；4.17．（1）=2n a n ；（2）1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 【分析】（1）Sn =n 2+n ，21(2)n S n n n -=-≥ 两式相减即得解；（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n 221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得=2n a n ，又11=2a S =所以=2n a n 适合1n =.所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .（2）由题得1=1a ，2a =1+11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=. 所以数列的前5项为1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 18．(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，， ()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴= 19．(1)12(2)分布列见解析，()4516E X =【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.（2）依题意X 的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.（1）解：用A 表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， k C 表示“第k 局丙获胜” 则()()()()12123213P A P A A P A A A P A A A =++11111111111222222222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）解：依题意X 的可能取值为2、3、4所以()()()()121212111111322244448P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()1231231231231231234P X P A B C P AC B P B A C P BC A P C A B P C B A ==+++++1113624416=⨯⨯⨯= ()()()7312416P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为所以()373452348161616E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）22143x y +=（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（112=，化简即可求出；（2）当直线l 的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l 的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】（112= 化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=. （2）依题意21AB S S MN= ①当l 不垂直于x 轴时设l 的方程是()()10y k x k =-≠联立()21 4y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++= 设()11,A x y ， ()22,B x y 则212224k x x k ++= ()2122412k AB x x k +=++=；联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得：()22223484120k x k x k +-+-= 设()33,M x y ，()44,N x y 则2342834k x x k +=+ 234241234k x x k -=+()2212134k MN k +==+ 则2221234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫===+∈+∞ ⎪⎝⎭②当l 垂直于x 轴时易知AB 4= 223b MN a== 此时1243AB S S MN ==综上，21S S 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.21．(1)单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，最大值为2，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+--，求导，根据导数的正负，判断()h x 的单调性，结合()10h =，即可证明结论；（3）作出函数()2e e x x f x =，()221g x x x =-++的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵()()()()()22e e 2e e 2e 1e e x x x x x x x f x ''--'== ∴当1x <时0f x ，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞；当1x >时()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.∴函数()f x 的最大值为()12f =，无最小值.(2)证明：设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+-- 则()()()()21e e 2e 122e e x x xx x h x x ---'=+-= ∴()0h x '≥，当且仅当1x =时等号成立∴函数()h x 单调递增，又()10h =∴当1x <时()0h x <，即()()f x g x <当1x >时()0h x >，即()()f x g x >.(3)证明：结合（1）（2）作出函数()2e e xx f x =，()221g x x x =-++的大致图象：当x →-∞时()f x →-∞；当x →+∞时()0f x →令()()12f x f x m ==，则()012m f <<=.又∵二次函数()g x 的图象开口向下，最大值为()12g =∴存在34x x <，使得()()()()3412g x g x f x f x ===.结合（2）的结论以及图象知3142x x x x <<<∵函数()g x 的图象关于直线1x =对称∴342x x +=∴12342x x x x +>+=【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.22．(1)2212y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线AB 方程及A ，B 的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于y 的一元二次方程，根据韦达定理得出12,y y 的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.（1）因双曲线C 的中心在原点，一个顶点是(1,0)D ，则设双曲线C 的方程为：2221(0)y x b b -=>，则c()双曲线C 的渐近线为y bx ±=焦点()到渐近线y bx ±=的距离为d =b =所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程：3x ty =-由22322x ty x y =-⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)12160t y ty --+= 当2210t -≠时222(12)64(21)16(4)0t t t ∆=--=+>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y ，则所以1212221216,2121t y y y y t t +==-- 1122(1,),(1,)DA x y DB x y =-=-因此，12121212(1)(1)(4)(4)DA DB x x y y ty ty y y ⋅=--+=--+21212(1)4()16t y y t y y =+-++222216(1)481602121t t t t +=-+=-- 所以DA DB ⋅为定值0.23．（1）()2,2,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭；（2）[]4,1-. 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()()242f x f x -+<的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出()()13f x f x -++的最小值，得出关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式()(24)2f x f x -+< 即2222x x --+<等价于12222x x x <-⎧⎨-+++<⎩或122222x x x -≤≤⎧⎨-+--<⎩ 或22222x x x >⎧⎨---<⎩；解得<2x -或223x -<≤或2x >，即<2x -或23x >-（2）由题知(1)(3)31(3)(1)4f x f x x x x x -++=-+--+≥+= (1)(3)f x f x ∴-++的最小值为4234m m ∴+≤解得41m -≤≤∴实数m 的取值范围为[4-，1]．。

2017年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷理科

2017年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．162．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣15．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.99876．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K的值为10，则判断框内可填入的条件是（）A．x＞50？ B．x＞90？ C．x＞100？D．x＞200？9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）A．96里B．48里C．12里D．6里10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A．B．C．D．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，则|PF2|+|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则=．15．下列命题中，正确的命题有．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n=．﹣1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若曲线为参数）与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；（2）若M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．2017年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【考点】16：子集与真子集．【分析】由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得x，根据x∈Z，可得x，A．即可得出．【解答】解：由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得﹣1≤x＜2，又x∈Z，可得x=﹣1，0，1，∴A={﹣1，0，1}．∴集合A的子集的个数为23=8．故选：B．2．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z得答案．【解答】解：Z==，则复数Z的共轭复数是：．故选：D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知可得p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．【解答】解：p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣1【考点】DB：二项式系数的性质．==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，【分析】T r+1＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出．==（﹣1）r x r，【解答】解：T r+1当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（1﹣1）2=0．故选：A．5．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.9987【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性得出P（X＞2300），从而可得P（X≤2300）．【解答】解：P=0.9974，∴P（X＞2300）=（1﹣0.9974）=0.0013，∴P（X≤2300）=1﹣0.0013=0.9987．故选D．6．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据几何概型的概率计算公式得出阴影部分的面积，再根据定积分的几何意义得出答案．3=6，【解答】解：矩形部分的面积为S矩形=2×由题意可知：==，=．∴S阴影=∴=S阴影=．故选B．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用数量积公式求向量夹角，得到所求．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，设PA=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），P（2，2，2）．所以E（3，1，），F（3，3，），所以=（3，1，），=（﹣1，3，），所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为：=；故选：C．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K的值为10，则判断框内可填入的条件是（）A．x＞50？ B．x＞90？ C．x＞100？D．x＞200？【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，K=0执行循环体，x=3，K=2不满足条件，执行循环体，x=9，K=4不满足条件，执行循环体，x=21，K=6不满足条件，执行循环体，x=45，K=8，不满足条件，执行循环体，x=93，K=10由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出K的值为10．可得判断框内可填入的条件是：x＞90？故选：B．9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）A．96里B．48里C．12里D．6里【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴=6．故选：D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，所以几何体的体积为：=；故选C．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由函数g（x）=在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减，函数h（x）=cos在[0，4]单调递减，可得函数在[0，2），（2，4]上单调性，即可求得a，b即可．【解答】解：函数g（x）=，函数g（x）是函数y=向右平移2个单位，向上平移1个单位，故函数g（x）在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减；对于函数h（x）=cos，由2k（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函数h（x）在[0，4]单调递减．∴函数在[0，2）上单调递减，故其最大值为f（0）=a，∴a=1，函数在（2，4]上单调递减，其最小值为f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，故选D．12．P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，则|PF2|+|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，依题意，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，从而可求得|PF2|+|PQ|的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的a=b=，c=2，一条渐近线l方程为x﹣y=0，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，∴|PF2|=|PF1|+2，∴|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，可得F1（﹣2，0）到l的距离d==，∴|PQ|+|PF2|的最小值为2+=3．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为10．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0），代入三点的坐标，解方程可得d，e，f，再化为标准式，可得圆的半径，进而得到直径．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0）圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），可得，解方程可得d=﹣2，e=4，f=﹣20，即圆的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，即为（x﹣1）2+（y+2）2=25，即有圆的半径为5，直径为10．故答案为：10．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设出向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，以及三角函数的平方关系得到cosα，再由数量积公式求得．【解答】解：设向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，得到，整理得到sin，代入sin2α+cos2α=1得到cosα=，所以||===；故答案为：15．下列命题中，正确的命题有②④．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点判断①错误；根据方差是表示数据波动大小的量，判断②正确；用相关指数R2刻画回归效果时，R2越接近1说明模型的拟合效果越好判断③错误；根据系统抽样原理求出第1组中抽取的号码值，判断④正确．【解答】解：对于①，回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，∴①错误；对于②，因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，∴②正确；对于③，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，∴③错误；对于④，根据系统抽样原理，样本间隔为=8，第16组抽出的号码为15×8+a0=126，解得a0=6，即第1组中抽取的号码为6号，④正确．综上，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n=．﹣1【考点】8E：数列的求和．【分析】对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，求得n=1的情况，当n≥2时，将n换为n﹣1，相减求得b n=n，可得a n•b n=n•2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：∵数列{a n}满足，由b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，①令n=1，则b1a1=2﹣﹣1，解得b1=．∵b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，当n≥2时，b1a n﹣1+b2a n﹣2+…+b n﹣2a2+b n﹣1a1=2n﹣1﹣（n﹣1）﹣1，将上式两边同乘公比2得，b1a n+b2a n﹣1+…b n﹣1a2=2n﹣n﹣1．②①﹣②可得：b n a1=n，（n≥2），由a1=2，可得b n=n，对n=1也成立，则a n•b n=n•2n，T n=（1•2+2•22+3•23+…+n•2n），可得2T n=（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1），两式相减可得﹣T n=（2+22+23+24+…+2n﹣n•2n+1）=（﹣n•2n+1），化简可得T n=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）解△BCP，利用BCP中，，在△ABC中，由正弦定理求得；（2）利用正弦定理和余弦定理，分别解△BCD，求得∠CDB．【解答】解：（1）在△BCP中，在△ABC中，由正弦定理得：，所以，船的航行速度是每小时千米．（2）在△BCD中，由余弦定理得：，在△BCD中，由正弦定理得：，所以，山顶位于D处南偏东1350．18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元，由此能求出甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式f（n），g（n）．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为45，从而乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为115元，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．由此推荐小赵去乙快递公式应聘．【解答】解：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n 的函数关系式为：y=70+n，n∈N+，∴f（n）=y=70+n，n∈N+．乙快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：．∴g（n）=．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，，，所以X的分布列为：②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45，所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70+45×1=115（元），由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．故推荐小赵去乙快递公式应聘．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出A1B⊥AC，AB⊥AC，从而AC⊥平面A1ABB1，由此能证明AC ⊥BB1．（2）过点A作AY∥A1B，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AB⊥AC，A1B∩AB=B，∴AC⊥平面A1ABB1，∵BB1⊂平面A1ABB1，∴AC⊥BB1．解：（2）过点A作AY∥A1B，∵A1B⊥平面ABC，∴AY⊥平面ABC，又AB⊥AC，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），由，得B1（4，0，2），C1（2，2，2），M为B1C1的中点，M（3，1，2），，设平在ABM的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得平面ABM的法向量，，平面ABA1的法向量，∴，设二面角M﹣AB﹣A1的平面角为θ，由图知θ锐角，∴二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，点Q在FO的垂直平分线上，运用点到直线的距离，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（2）设A，B的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my﹣1，并代入到y2=4x 中，运用韦达定理，可得m和λ，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出AB的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（，0），根据题意，点Q在FO的垂直平分线上，所以点Q到准线x=﹣的距离为，所以C：y2=4x．（2）设，①设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=4，②由①②可得4m2==λ++2，由2≤λ≤3可得y=λ++2递增，即有4m2∈[，]，又AB中点（2m2﹣1，2m），所以直线AB的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），令y=0，可得．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，求a，b的值，利用导数的正负讨论f（x）在[0，π]上的增减性；（2）由（Ⅰ）的单调性，设，推导F（x）的单调性，由x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，结合单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，f（x）的导数为f′（x）=2﹣2ax﹣bsinx，可得⇔⇔，所以，①当时，1﹣x≥0，1﹣sinx≥0，可得f′（x）＞0，所以f（x）在为增函数；②当时，，所以f（x）在为减函数；（2）由（1）得f（x）在为增函数，在上为减函数，所以，由f'（x）在恒为负，，设，则，所以F'（x）＞0，所以F（x）在递增，，当时，f（x）＜f（π﹣x），所以f（x1）＜f（π﹣x1），又f（x2）=f（x1），所以，又f（x）在上为减函数，所以x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，所以，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若曲线为参数）与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；（2）若M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数），可得（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，则，代入化简即可得出．【解答】解：（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，得，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，则，∴．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数）则（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+c osθ+1，令，则，那么，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出x的范围，结合不等式的解集，求出对应a的值即可；（2）求出x+y=1﹣z，根据z的范围，求出u的最小值即可．【解答】解：（1）|ax﹣1|≤2⇒﹣2≤ax﹣1≤2⇔﹣1≤ax≤3，当a＞0时，，当a＜0时，，此时无解，当a=0时，也无解．（2）由x+y+z=1⇒x+y=1﹣z，z∈（0，1），则，所以，此时．2017年8月10日。

哈尔滨2017年高三第三次模拟考试数学试题(理)含答案

VP ABE VP CDF
______（其中 VP ABE 、 VP CDF 分别为四面体 P — ABE 、 P — CDF 的体积）.
15.已知数列
an 满足 an n2 4n cos nπ ，则 an 的前 50 项的和为______.
2 2 M 2,3 16.已知圆 C : x y 25 ，过点作直线 l 交圆 C 于 A ， B 两点，分别过 A ， B 两

（Ⅰ）求 m 值和
2017 年高三第三次模拟考试
理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
的离心率 e2 的范围是（
3 5 , A. 2 3 5 ,2 B. 3
）
2,3 C.
3 ,3 D. 2
ABC

2 ， P 在面 ABC 的射影为
11.三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 满足 BA BC ，
9 AC 的中点，且该三棱锥的体积为 2 ，当其外接球的表面积最小时， P 到面 ABC 的距离为（）

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2017年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 若复数i z 21+=，则复数z 的模等于A. B. 2 C. D.2. 设集合{})1(log 2-==x y x A ，{x y y B -==2，则=B AA.(]2,0B.()2,1C.()∞+，1D. (]2,13. 已知数列{}n a ,那么“对于任意的n N *∈，点),(n n a n P 都在曲线xy 3=上”是“数列{}n a 为等比数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 对于平面α和不重合的两条直线n m 、，下列选项中正确的是 A ．如果,α⊂m n ∥α，n m 、共面，那么m ∥n B ．如果,α⊂m n 与α相交，那么n m 、是异面直线C ．如果,α⊂m α⊄n ，n m 、是异面直线，那么n ∥αD. 如果α⊥m ，mn ⊥，那么n∥α5. 若圆()()22211x y r -++=上有且只有两个点到直线10x y -+=,则半径r 的取值范围是A.B.C. D.6. 下面几个命题中，真命题是A.“若y x >,则yx 11<”的否命题；B.“1>∀a ，函数x y a log =在定义域内单调递增”的否定；C.“π是函数x y sin =的一个周期”或“2π是函数x y 2sin =的一个周期”；D.“1≤+y x ”是“1≤+y x ”的必要条件7. 执行如图所示的程序框图，若输出16=S ，则框图中①处可以填入A.2>nB.4>nC.6>nD.8>n8. 已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是 A.21 B.53 C.52 D.519. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n S n -22=，则数{}n a 2的前10项和等于A.380B.390C. 400D. 41010. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A.π36B.π30C.π29 D.π2011. 已知函数3sin()(πω-=x x f ()0>ω，若函数()f x 在区间⎪⎭⎫⎝⎛ππ23，上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是24 3 俯视图正视图侧视图A.911,32[ B. ]911,65[ C. 43,32[ D. ]65,32[ 12. )(x f 为定义在R 上的偶函数，)(x f '为其导函数，当时，有0<x成立，x e x x f x f =+')()(e f 1-)1-(=且，则下列结论正确的是A.()f x 在)0(∞+，单调递增B.()f x 在)0(∞+，单调递减C.()f x 在)0,(-∞有极大值D.()f x 在)0,(-∞有极小值第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13.二项式6)2xx +（的展开式中常数项为14. 已知随机变量X 服从正态分布),5.1(2σN ，(X 2.5)0.78P ≤=，则(X 0.5)P ≤=15. 已知P 为ABC ∆内一点，满足=++−→−−→−−→−PC PB PA 20，则PAB ∆和ABC ∆的面积比为 16.已知)2,1(23)1(1≥>-+-=-n b b b b n a n n ，若对不小于4的自然数n ，恒有不等式n n a a >+1成立，则实数b 的取值范围是17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222sin sin sin sin A C B A C +-=⋅.（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11=BC ，()cos A C -=，求线段DC 的长.18．（本小题满分12分）为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：（Ⅱ）请根据4月1日，4月2日，4月3日这3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，预测温差为16C ︒时，种子发芽的颗数.（参考公式：∑∑==--=ni i ni ii xn x yx n yx b1221ˆ，x b y aˆˆ-=）19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为边长为2的菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且F A F C =．（Ⅰ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅱ）求二面角B FC D --的余弦值.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：E 12222=+bx a y ()0>>b a 经过点()0,3A 和点()2,0B ，斜率为k ()0≠k 的直线经过点()02，P 且交E 于N M ,两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当AOM ∆与AON ∆面积比值为λ，求实数λ的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数1()4ln ()f x x ax a x=-+∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在(0,)+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设n m <<0，求证：()2ln ln4n m n m -<-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，将圆:O 422=+y x 上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的21，得到曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线αθ=()0≥ρ与圆O 和曲线C 分别交于点B A ,，求AB 的最大值.23. （本小题满分10分）已知函数()21f x tx tx =--+（R a ∈）（Ⅰ）当1t =时，解不等式1)(≤x f ；（Ⅱ）若对任意实数t ，()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，m c b a ≤++ .四模理科数学答案一、选择题：1-12：ACAAB DDCDC BA 二、填空题13. 240； 14. 0.22； 15. 1:2； 16. ），（∞+3三、解答题17. 解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a cb +-=所以cos B =. 因为()0,B π∈，所以6B π=..............................................6分（Ⅱ）由条件.由()()cos sin A C A C -=⇒-=AD x =，则CD x =， 11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠.512xx =⇒=.所以5AD DC ==...................12分 18.解：（Ⅰ）10712523=-=C C P ；……………… 4分（Ⅱ）325^-=x y ； ……………… 9分（III ）16=x 时，37^=y ，种子发芽数为37 ………………12分 19解：（Ⅰ）因为FB //,ED ⊂ED 平面,EAD ⊄FB 平面EAD ,所以FB //平面EAD同理BC //平面EAD , …………………………..3分又⊂=⋂FB B BC FB ,平面EAD ,BC ⊂平面EAD ,所以平面FBC /平面EAD 又⊂FC 平面FBC ,所以FC //平面EAD ………………………….6分（Ⅱ）设O BD AC =⋂,易证⊥FO 平面ABCD ,又BD AC ⊥ 以O 为圆心,OF OC OB ,,分别为z y x ,,轴,建立空间直角坐标系,则易得平面FCB 的一个法向量为)1,1,3(1=n ,平面FCD 的一个法向量为)1,1,3(2-=n ,……………………8分则二面角余弦值为51…………………………………….12分20. 解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为13422=+x y …………………………..4 （Ⅱ）设点M ()11,y x ，N ()22,y x⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y x y ，有0416)43(222=+++k ky y k 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+43443162221221k k y y k k y y 且()40043162562222<<⇒>+-=∆k k k k (6)21y yS S AON AOM =∆∆21y y λ=⇒()⎩⎨⎧=+=+⇒22212211y y y y y y λλ 有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+22222243414316-y k k y k kλλ()λλ2214364+=+⇒k …..…………….……………….8 那么有实数λ的范围是()()347,11,34-7+⋃ (12)21．解：（Ⅰ）()()241,14134f x a f a a x x''=--=--=-=，所以，1a =-. …………………………..3分.（Ⅱ）由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x ≥-+在()0,+∞恒成立.设()()214,0,g x x x x=-+∈+∞，则()max a g x ≥⎡⎤⎣⎦。

()()21244,g x x ⎛⎫=--+∈+∞ ⎪⎝⎭，所以4a ≥. ………………………….7分（III ）因为0m n <<，不等式()2ln ln ln ln 4n m n m n m -<⇔-<-即lnn m <令t =1t >，则21ln 22t t t <-,即214ln 40t t t -+<. 令()()214ln 41h t t t t t =-+≥，由（Ⅱ）知，()214ln 4f x x x x=-+在()0,+∞上单调递减，所以当1t >时，()()130h t h <=-<.故当0m n <<时，不等式()2ln ln 4n m n m -<-成立。