2016届山东省青岛第五十八中高三12月月考三数学(理)试卷

保密★启用前2016届山东省青岛第五十八中高三12月月考三数学（理）试卷2015.12第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，有一项是符合题目要求的. 1.已知全集为R ，集合A={1|()12xx ≤}，B={|2x x ≥}，B C A R I =( ) A ． [0,2] B ．[0,2) C ．(1,2) D ． (1,2] 2.命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是( )A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠ B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠ C ．若0a ≠且0b ≠，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠ 3.偶函数()f x 在[]0,2上递减，则()12211 , log , log 42a f b f c f ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 大小为 ( ) A.c a b >> B. a c b >> C. b a c >> D. a b c >> 4.平面直角坐标系内，若曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,-∞-B ． ()1,-∞-C ．()+∞,1D ．()+∞,25.在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线，α、β为不同的两个平面 ①m ⊥α，n ∥α⇒m ⊥n ②m ∥n ，n ∥α⇒m ∥α ③m ∥n ，n ⊥β，m ∥α⇒α⊥β④m ∩n=A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.为了得到函数3cos 2y x =图象，只需把函数3sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点（ ） A.向右平行移动12π个单位长度 B. 向右平行移动6π个单位长度 C.向左平行移动12π个单位长度D. 向左平行移动6π个单位长度7.已知锐角α的终边上一点P （sin 40︒，1cos40+︒），则α等于（ ） A ．010 B ．020 C ． 070 D ．0808.三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC =，BC AD ⊥， 则三棱锥的外接球的表面积( ) A. 5π B. 94π C. 6π D. 9π9.过点()2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线倾斜角的范围是( ) A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦10.对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x '⋅<⋅恒成立，则下列不等式错误．．的是( ）A. 34f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()cos 13f f π⎛⎫>21⋅⎪⎝⎭C. ()14f f π⎛⎫<⋅⎪⎝⎭D. 426f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.若向量a ，b 的夹角为150,42a b a b ==+=o，则___________.12.函数12y x=-的定义域是________.13.△ABC 的面积为AB ＝5， AC ＝8，则BC 等于 ．14.已知偶函数()f x 满足)(1)1(x f x f -=+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，若区间[]1,3-上，函数()()g x f x kx k =--有3个零点，则实数k 的取值范围是_________.15.定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()'()()f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为区间[,]a b 上的“中值点”． 下列函数中： ①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()()2f x x =-在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为 ．（写出所有．．满足条件函数序号） 三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别()()(),,,2sin cos sin a b c f x x A x B C =-++()x R ∈， 函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （I ）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域； （II ）若7a =且sin sin 14B C +=，求△ABC 的面积。

17．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中， 底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC =90°， 平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =21AD =1，CD =3.PABC D Q M（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）设PM=t MC ，若二面角M-BQ-C 的平面角的 大小为30°，试确定t 的值.18.（本题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点()()1,n n a a n N *+∈在函数3y x =的图象上，且326.S =（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）在1n n a a +与之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19. （本题满分12分）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时间x （小时）的关系为124()sin()336f x x a a π=-+，[0,24]x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且3[0,]4a ∈，若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，记作()M a （1）令4sin()336t x π=，[0,24]x ∈，试求t 的取值范围 （2）试求函数()M a 。

（3）市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前该市的污染指数是否超标？20.（本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e =，直线1y x =+经过椭圆C 的左焦点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足向量OA OB tOP +=uu r uu u r uu u r（其中O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数()()()32ln 13x f x ax x ax a R =++--∈. （I ）若()2x f x =为的极值点，求实数a 的值；（II ）若()[)4y f x =+∞在，上为增函数，求实数a 的取值范围； （III ）当1a =-时，方程()()3113x bf x x--=+有实根，求实数b 的最大值.保密★启用前2015—2016学年第一学期单元测试高三数学（理）参考答案2015.12一、选择题（1-5） B D A D C （6-10）D C C B D二、填空题11. 2 12. [)()1,22,+∞U13.7或12914. 1142k<<15、①④三、解答题16.注意事项：1.本答案只作参考之用；具体评分标准由阅卷老师制定。

2.“尽信书，不如无书”，希望同学们不唯答案为是，积极思考出更出色的解答。

133t x t t y z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩17.解：（I ）∵AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ．又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴BQ ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． ………6分 （II ）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ． 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则面BQC 的法向量为(0,0,1)n =r；(0,0,0)Q ，3)P ，3,0)B ，(3,0)C -． 设(,,)M x y z ，则(,,3)PM x y z =u u u u r ，(13,)MC x y z =---u u u u r，∵PM tMC =u u u u r u u u u r ，∴ (1)(3)3(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）， ∴ ………10分 在平面MBQ 中，3,0)QB =u u u r ，33()1t t QM t =-+u u u u r ， ∴ 平面MBQ 法向量为3,0,)m t =u r．∵二面角M-BQ-C 为30°，cos30n m n m ︒⋅===r u r r u r ， ∴ 3t =． 18.19.[ 解]（1）由024x ≤≤ 得 20363x ππ≤≤当036x π= 即0x =时min 0t = 当362x ππ=即18x =时max 43t =所以t 的取值范围是4[0,]3…………………………3分 （2）令()g t t a =- ，4[0,]3t ∈ 当23a <时，即203a ≤<时，max 444()()333g t g a a ==-=-当23a ≥时，即2334a ≤≤时，max ()(0)0g t g a a ==-=所以43()a M a a ⎧-+⎪=⎨⎪+⎩2032334a a ≤<≤≤ …………………………7分（3）当23[,]34a ∈时，易知()M a 单调递增所以3()()24M a M ≤=< 当2[0,)3a ∈时，'()1M a =-由'()0M a = 得14a =1[0,)4a ∈时，'()0M a > ()M a 单增；当12(,)43a ∈时，'()0M a < ()M a 单减所以函数max 14119()()243412M a M ==-=< 所以没有超标 答：目前该市的污染指数没有超标 …………………………12分20、解：（I ）直线1+=x y 与x 轴交点为)0,1(-,1=c …………………1分2c e a ==1,2==∴b a ．……………………………3分 故椭圆C 的方程为1222=+y x ．…………………………………………………… 4分 （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在. 设AB ：(2)y k x =-，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=.422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+…………………………………………………7分∵OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++， ∴22216(12)k t k =+ ………………………………………………………………11分2222161616422112222k t t k k ==<=<<+++，则-，∴t 的取值范围是为)2,2(-. …………………………13分。