题库 特殊三角形 四边形问题

（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB
上向点 B 运动，另一个点 N 从点 D 与点 M 同时出发，以每
秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运
动，当点 M 到达点 B 时，点 M、N 同时停止
运动，问点 M、N 运动到何处时，△MNB 面
积最大，试求出最大面积.
第 1 题图
与 A、B 重合)，过 P 作 y 轴的平行线，记
该直线右侧与△ABC 围成的图形面积为
S，试确定 S 与 t 的函数关系式.
第 2 题图
3. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 A(-3，2)，B(0，
-2)，其对称轴为直线 x= 5 ，C(0，1 )为 y 轴上一点，直线 AC
设 E(x， 1 x2- 5 x-2)，其中-3<x<5， 66
则 P(x，- 1 x+ 1 )， 22
第 3 题解图①
∴PE=- 1 x+ 1 -( 1 x2- 5 x-2)=- 1 x2+ 1 x+ 5 ，
2 26 6
6 32
∴S△ADE=S△AEP+S△DEP
= 1 ×(5+3)×(- 1 x2+ 1 x+ 5 )
3-3 2 )时，△BCP 为等腰三角形.
（3）∵抛物线对称轴为 x=2.
设运动时间为 t，则 AM=t，BM =2-t，DN=2t，
S△MNB= 1 BM×DN= 1 (2-t)×2t=-t2+2t=-(t-1)2+1，
2
2
∴当运动时间为 1 秒时△MNB 的面积最大，此时 M(2，0)、
N(2，2)或(2，-2).最大面积为 1
∴P(0，3＋3 2 )或(0，3-3 2 )；
②当点 B 为等腰三角形顶点时，OC=OP，∴P(0，-3)；
③当点 P 为等腰三角形顶点时，BC 垂直平分线与 y 轴交点即
点 P，∵△OCB 是等腰三角形，∴BC 垂直平分线与 y 轴交点
为原点 O，∴P(0，0)，
综上所述点 P 的坐标为(0，0)、(0，-3)、(0，3＋3 2 )或(0，
2. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-2，0)，B(4，0)，
C(0，3)三点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在 y 轴上是否存在点 M，使△ACM 为等腰三角形，若
存在，请直接写出所有满足要求的点 M 的坐标；若不存在，
请说明理由；
（3）若点 P(t，0)为线段 AB 上一动点(不
2
（3）存在.
理由如下：∵四边形 APBQ 是正方形，
∴PQ 垂直且平分 AB，AB 垂直且平分 PQ，且 PQ=AB，
设 PQ 与 x 轴交点为点 N，则 PN= 1 AB=2， 2
∴点 P 的坐标为(1，2)或(1，-2).
设过 A、B 两点的抛物线的解析式为
y=a(x+1)(x-3)，
将点(1，2)代入得 a=- 1 ， 2
解得 a= 1 ，b=- 5 ，c=-2，
6
6
∴抛物线解析式为 y＝ 1 x2- 5 x-2. 66
（2）解：如解图①，在线段 AD 下方找一点 E，过点 E 作
EP∥y 轴交 AD 于点 P，
设直线 AD 的解析式为 y＝mx+n(m≠0)，
把
A(-3，2)，C(0，
1 2
)分别代入得
-3m+n=2
SBCO BO
即 SBDP = ( 4 t )2 ，
6
4
∴S=S△BPD= 3 t2-3t+6(0≤t<4)；
8
如解图③，当点 P 在 y 轴左侧时，
第 2 题解图③
设直线与 AC 交与点 E，
∵OA=2，OC=3，∴S△AOC=3，
∵OP=-t，AP=t+2，∴ AP = t 2 ，
AO 2
AF2=( 5 +3)2+(t-2) 2， 2
DF2=(5- 5 )2+(-2-t) 2， 2
第 3 题解图②
①AD2+AF2＝DF2 时，△ADF 是直角三角形，∠DAF=90°，
则 80+( 5 +3) 2+(t-2) 2=(5- 5 )2+(-t-2) 2，
2
2
解得 t＝13，此时 F 点坐标为( 5 ，13). 2
②AD2+DF2＝AF2 时，△ADF 是直角三角形，∠ADF=90°，
则 80+(5- 5 )2+(-t-2) 2=( 5 +3) 2+(t-2) 2，
2
2
解得 t＝-7，此时 F 点坐标为( 5 ，-7). 2
③DF2+AF2＝AD2 时，△ADF 是直角三角形，∠AFD＝90°，
则( 5 +3) 2+(t-2) 2+(5- 5 )2+(-t-2) 2=80，
3 13
6
∴OM1=OC-CM1=3-13 = 5 ， 66
∴M1 的坐标是(0， 5 )， 6
当 CA=CM2= 13 时，则△AM2C 是等腰三角形，
则 OM2=3+ 13 ，M2 的坐标是(0，3+ 13 )，
当 CA=AM3= 13 时，则△AM3C 是等腰三角形，
则 OM3=3，M3 的坐标是(0，-3)， 当 CA=CM4= 13 时，则△AM4C 是等腰三角形， 则 OM4= 13 -3，M4 的坐标是(0，3- 13 )， 综上，满足要求的点 M 的坐标为(0， 5 )，(0，3+ 13 )、(0，
∵ S APE = ( AP )2 ，∴ SAPE = ( AP )2 ，
S AOC AO
3 AO
∴S△APE= 3(t 2)2 ， 4
∴S=S△ABC-S△APE=9- 3(t 2)2 =- 3 t2-3t+6(-2<t<0).
4
4
3. （1）解：根据题意得：9a-3b+c=2，c=-2，- b = 5 ， 2a 2
2
2
5. （1）解:把 A(0，2)、B(3，2)分别代入 y=x2+bx+c，得
c=2 9 + 3b
+
c=2
，解得
b= c=2
3
，
∴抛物线的解析式为 y=x2-3x+2，
当 y=0 时，x2-3x+2=0，解得 x1=1，x2=2，
∴抛物线与 x 轴的交点坐标为(1，0)、(2，0). （2）解:存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平 行四边形. ∵A(0，2)，B(3，2)， ∴AB∥x 轴，且 AB=3， 要使 A、B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形， 则只要 CD=AB=3. 当 C 点坐标为(1，0)时 ，D 坐标为(4，0)； 当 C 点坐标为(2，0)时 ，D 坐标为(5，0). ∴存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边 形，D 点的坐标为(4，0)或(5，0). （3）解:设当时间为 t 时，B、D、E 在同一条直线上，此时 得 D(2t，0)，E(0，t)， 设直线 DE 的解析式为 y=kx+b(k≠0)，
2
2
解得 t＝± 71 ，此时 F 点坐标为( 5 ， 71 )或( 5 ，- 71 )
2
22
2
2
综上所述，F 点的坐标为( 5 ，13)、( 5 ，-7)、( 5 ， 71 )或( 5 ，
2
2
22
2
- 71 ). 2
4. 解：（1）∵抛物线与 x 轴交于点 A(-1，0)，B(3，0) ，
∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
6 -3)或(0，3- 13 ).
图①
图②
第 2 题解图
（3）如解图②，当点 P 在 y 轴上或 y 轴右侧时，设直线与
BC 交与点 D，
∵OB=4，OC=3，∴S△C=6，
∵BP=BO-OP=4-t，∴ BP = 4 t ，
BO 4
∵△BDP∽△BCO，∴ SBDP = ( BP )2 ，
两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M′.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 AM′与此抛物线的另一个交点为
C，求△CAB 的面积；
（3）是否存在过 A、B 两点的抛物线，
第 4 题图
其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，使得四边形 APBQ 为正方 形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理 由. 5. 抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(0，2)、B(3，2)两 点，若两动点 D、E 同时从原点 O 分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个 单位长度，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度. 第 5 题图 （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、 B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由； （3）问几秒钟时，B、D、E 在同一条直线上？
2
6 32
=- 2 (x-1)2+ 32 ，
3
3
当 x＝1 时，△ADE 的面积最大，最大面积为 32 ，此时 E 点 3
坐标为(1，- 8 ). 3
（3）解：存在.抛物线对称轴为直线 x= 5 ， 2
设 F( 5 ，t)，如解图②，∵A(-3，2)，D(5，-2)， 2
∴AD2=(5+3)2+(-2-2)2=80，