三角函数-4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(教师)

109响水二中高三数学（理）一轮复习教案 第四编 三角函数及三角恒等变换 主备人 张灵芝 总第17期§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础自测1.（2008·常州模拟）sin 2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的值为 . 答案 22.sin210°= . 答案 21-3.已知tan α=21,且α∈⎪⎭⎫⎝⎛23,ππ，则sin α的值是 .答案 55-4.若θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin⎪⎭⎫⎝⎛-θπ23= .答案1035.已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为 .答案 53-例题精讲例1 已知f (α)=)sin()tan()tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;(1)化简f (α); (2)若α是第三象限角，且cos 5123=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求f (α)的值.解 (1) f （α）=αααααsin tan )tan (cos sin -∙∙=-cos α.(2)∵cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23πα=-sin α,∴sin α=-51,cos α=-65251522-=-,∴f (α)=652.例2 已知-2π＜x ＜0,sin x +cos x =51.(1)求sin x -cos x 的值； （2）求xx 22sincos1-的值.解 （1）方法一 联立方程：110⎪⎩⎪⎨⎧=+=+　x x x x 1cos sin 51cos sin 22 ②①由①得sin x =51-cos x ,将其代入②，整理得25cos 2x -5cos x -12=0∵-2π＜x ＜0,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x ,所以sin x -cos x =-57方法二 ∵sin x +cos x =51,∴(sin x +cos x )2=251⎪⎭⎫⎝⎛,即1+2sin x cos x =251,∴2sin x cos x =-2524，∵(sin x -cos x )2=sin 2x -2sin x cos x +cos 2x=1-2sin x cos x =1+2524=2549 ①，又∵-2π＜x ＜0,∴sin x ＜0,cos x ＞0,∴sin x -cos x ＜0 ②由①②可知：sin x -cos x =-57.(2)由已知条件及（1）可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+57cos sin 51cos sin x x x x ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x ,∴tan x =-43.，又∵xx x x xx 222222sincoscos sin sincos1-+=-=xxx xxx 222222cos sincoscoscos sin-+=xx 22tan 11tan-+=72543114322=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫⎝⎛-例3 已知tan α=2,求下列各式的值： (1)ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--;(2)αααα2222cos9sin4cos 3sin 2--;(3)4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α. 解 （1）原式=19243229tan 43tan 2-=-⨯-⨯=--αα.（2）759243229tan43tan 2cos9sin4cos 3sin 222222222=-⨯-⨯=--=--αααααα.(3)∵sin 2α+cos 2α=1,∴4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α=αααααα2222cossincos5cos sin 3sin4+--=114523441tan 5tan 3tan422=+-⨯-⨯=+--ααα.111巩固练习1.化简)sin()cos(23sin )2cos()tan(αππαπααπαπ----⎪⎭⎫ ⎝⎛+---.解 原式=[][])sin()cos(2sin )(cos )tan (απαπαππαππα+-∙+⎪⎭⎫⎝⎛-+∙-+∙-=[]αααπαπαsin )cos (2sin )cos()tan (∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--∙--∙-=αααααsin cos )cos (cos tan ∙--∙∙-=αααsin cos tan ∙-=ααsin cos cos sin a a∙-=-1.2.已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π).求值：（1）tan θ;(2)sin θ-cos θ;(3)sin 3θ+cos 3θ.解 方法一 ∵sin θ+cos θ=51,θ∈(0,π),∴(sin θ+cos θ)2=251=1+2sin θcos θ，∴sin θcos θ=-2512＜0.由根与系数的关系知，sin θ,cos θ是方程x 2-51x -2512=0的两根，解方程得x 1=54,x 2=-53.∵sin θ＞0,cos θ＞0,∴sin θ=54,cos θ=-53.∴(1)tan θ=-34.(2)sin θ-cos θ=57.(3)sin 3θ+cos 3θ=12537.方法二 （1）同方法一.（2）（sin θ-cos θ）2=1-2sin θ·cos θ=1-2×⎪⎭⎫⎝⎛-2512=2549.∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ-cos θ＞0,∴sin θ-cos θ=57.(3)sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θcos θ+cos 2θ)=51×⎪⎭⎫⎝⎛+25121=12537.3.已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:(1)θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-; (2)41sin 2θ+52cos 2θ.解 由已知得cos(θ+k π)≠0,∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2. （1）10tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θθθθθθ.(2)41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cossincos52sin 41++=2571tan52tan 4122=++θθ.回顾总结 知识112方法 思想课后作业一、填空题1.α是第四象限角，tan α=125-，则sin α= .答案 135-2.（2008·浙江理）若cos α+2sin α=-5,则tan α= .答案 23.（2008·四川理）设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎝⎛34,3ππ4. α是第四象限角，cos α=1312，则sin α= .答案 135-5.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .答案 26.若sin α+cos α=tan α ⎪⎭⎫⎝⎛<<20πα，则α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ7.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .答案5628.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--∙+∙+--∙+∙+= .答案 1 二、解答题 9.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π-α); (2)[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -∙++-+++ (n ∈Z ).113解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=21,又∵α是第四象限角，∴sin α=-23cos12-=-α.（1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］=sin(-α)=-sin α=23.（2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -∙++-+++=)2cos()2sin()2sin()2sin(απαπαππαππ+-∙++--+++n n n n=αααπαπcos sin )sin()sin(∙+-++=αααπαcos sin )sin(sin ∙---=αααcos sin sin 2∙-=αcos 2-=-4.10.化简：αααα6644sincos1sin cos 1----.解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos)sin(cossincos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos3sin cos2222222=+∙αααααα.方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos1(sin )cos1)(cos 1(-++--+-一 当k 为偶数时，解 方法设k =2m (m ∈Z ),则方法二 由(k π+α)+(k π-α)=2k π, ［(k -1)π-α］+［(k +1)π+α］=2k π,114得sin(k π-α)=-sin(k π+α), cos ［(k -1)π-α］=cos ［(k +1)π+α］ =-cos(k π+α),sin ［(k +1) π+α］=-sin(k π+α).12.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值：（1）sin α-cos α;。