抽象函数奇偶性对称性周期性总结
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
单调性、奇偶性、周期性、对称性、抽象函数知识点(函数性质)
f (x1) f (x2 )
f ( x1 x2 x2 ) f (x2 )
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 )
f ( x1 x2 )
3. f (xy) f (x) f ( y)
f (x1)
f (x2 )
f ( x1 x2
x2 )
f (x2 )
f ( x1 ) x2
求此函数的周期。
1. f (x y) f (x) f ( y)
f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) 2. f (x y) f (x) f ( y)
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如果在所有的周期中存在着一个最小的 正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.
如：潮汐现象的函数中，12h、24h、36h 都是 一个周期，但是最小的是12h，所以这 函数的最小正周期是12h.
注意：今后所称周期，若无特别说明，均指 函数的最小正周期。
3.诱导公式1：终边相同角的同名三角函数值 相等
抽象概括：
1.函数的周期性 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的 常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
f(x+T)=f(x) 都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数， T叫做函数的一个周期，称y=f(x)具有周期性。
①常数T≠0，不一定是正数； ②如果T 为函数的一个周期，那么T的整数倍nT 也是函数的周期； ③对定义域内任意x， f(x+T)=f(x)都成立；
由此，你能得出正弦、余弦、正切函数 的周期性的哪些结论？
(1) f (x a) f (x a)
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
高中数学函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组一、同一函数的函数的奇偶性与对称性：奇偶性是一种特殊的对称性1、奇偶性:1 奇函数关于0,0对称,奇函数有关系式0)()(=-+x f x f2偶函数关于y 即x=0轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =-2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性1函数的轴对称：函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+,则函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==,即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称;得证;说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ,纵坐标相等;∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称,∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称,∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f -=∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称,∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f +=-2函数的点对称：函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 若写成：c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称证明：设点),(11y x 在)(x f y =上,即)(11x f y =,通过b x f x a f 2)()2(=+- 可知,b x f x a f 2)()2(11=+-,所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称 得证;说明: 关于点),(b a 对称要求横坐标之和为2a ,纵坐标之和为2b ,如())a x a x +-与（ 之和为 2a ;3函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称;但在曲线cx,y=0,则有可能会出现关于b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称;4复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数y ＝fgx 为偶函数,则fg －x ＝fgx;复合函数y ＝fgx 为奇函数,则fg －x ＝－fgx;性质2、复合函数y ＝fx ＋a 为偶函数,则fx ＋a ＝f －x ＋a ；复合函数y ＝fx ＋a 为奇函数,则f －x ＋a ＝－fa ＋x;性质3、复合函数y ＝fx ＋a 为偶函数,则y ＝fx 关于直线x ＝a 轴对称; 复合函数y ＝fx ＋a 为奇函数,则y ＝fx 关于点a,0中心对称;总结：x 的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程总结：x 的系数一个为1,一个为-1,fx 整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心;总结：x 的系数同为为1,具有周期性;二、两个函数的图象对称性1、()y f x =与()y f x =-关于X 轴对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以()y f x =-经过点11(,)x y -∵11(,)x y 与11(,)x y -关于X 轴对称,∴11()y f x =与()y f x =-关于X 轴对称. 注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=,即它们关于2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称,∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称;注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y -换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=,即它们关于0=x 对称;()(())()g x f x f x -=--=3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y -∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称,∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称;注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=,即它们关于a x =对称;4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y -∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称,∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称.注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+,即它们关于a y =对称;5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点a,b 对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --∵11(,)x y 与11(2,2)a x b y --关于点a,b 对称,∴)2(2)(x a f b y x f y --==与关于注：换种说法：)(x f y =与()2(2)y g x b f a x ==--若满足b x a g x f 2)2()(=-+,即它们关于点a,b 对称;(2)2(2(2))2()g a x b f a a x b f x -=---=-6、)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2b a x +=对称; 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以()y f a x =-经过点11(,)a x y -,()y f b x =-经过点11(,)b x y +,∵11(,)a x y -与11(,)b x y +关于直线2b a x +=对称, ∴)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2b a x +=对称; 三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在;一、 同一函数的周期性、对称性问题即函数自身一、函数的周期性：对于函数)(x f y =,如果存在一个不为零的常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期;如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期;1、周期性：1函数)(x f y =满足如下关系式,则T x f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+等式右边加负号亦成立 D 、其他情形2函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+,则可推出 )](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以 得到)(x f y =的周期为2b-a,即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”3如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T,且可以推出对称 轴为kT T x 22+=)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为 )0(kT ，)(z k ∈以上0≠T如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为)0,22(kT T +)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ 以上0≠T4如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+0≠T ,则函数)(x f y =是 以4T 为周期的周期性函数;如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+ 0≠T ,则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数;定理1：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(,且()x b f x b f -=+)(其 中b a ≠,则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理2：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(,且()x b f x b f --=+)( 其中b a ≠,则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(,且()x b f x b f --=+)(其 中b a ≠,则函数()x f y =以()b a -4为周期.定理4：若函数fx 的图像关于直线x=a 和x=b 都对称,则fx 是周期函数,2b-a 是它的一个周期未必是最小正周期;定理5：若函数fx 的图像关于点a,c 和b,c 都成中心对称,则fx 是周期函数,2b-a 是它的一个周期未必是最小正周期;定理6：若函数fx 关于点a,c 和x=b 都对称,则fx 是周期,4b-a 是它的一个周期未必是最小正周期;定理7：若函数fx 满足fx-a=fx+aa>0,则fx 是周期函数,2a 是它的一个周期;定理8：若函数fx 满足fx+a=-fxa>0或fx+a=)(1x f 或fx+a=－)(1x f 则fx 周期函数,2a 是它的一个周期; 定理9：若函数)0,1)(()(1)(1)(>≠-+=+a x f x f x f a x f ,则fx 是周期函数,4a 是它的一个周期;若fx 满足)0,1)(()(1)(1)(>≠+-=+a x f x f x f a x f ,则fx 是周期函数,2a 是它的一个周期;。
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称，则函数 f(x)必为期函数，且 T＝4|a－b|
6、函数对称性的应用
（1）若 y f (x)关于点（ h, k)对称，则 x x / 2h, y y / 2k ,即
f (x) f (x/ ) f (x) f (2h x) 2k
f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) f (2h xn ) f (2h xn1 ) f (2h x1 ) 2nk
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1
x1
2
x
1关于（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R,
x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a＝0 时的特例。
2、复合函数的奇偶性 定义 1、 若对于定义域的任一变量 x，均有 f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数 y ＝f[g(x)]为偶函数。 定义 2、 若对于定义域的任一变量 x，均有 f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函 数 y＝f[g(x)]为奇函数。 说明：
设 y f (x), x a,b或x b,a a,b
①若 f (x) f (x), 则称y f (x)为奇函数； ②若 f (x) f (x)则称y f (x)为偶函数 。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：
①点 A(x, y)与B(2a x,2b y)关于点(a,b)对称； ②点A(a x,b y)与B(a x,b y)关于(a,b)对称； ③函数y f (x)与2b y f (2a x)关于点(a,b)成中心对称；
7、 f (x a) 1
y f (x) 的期为T 2a
f (x) 1
8、 f (x a) 1 f (x) y f (x) 的期为T 4a 1 f (x)
9、 f (x 2a) f (x a) f (x)
y f (x) 的期为T 6a
10、若 p 0, f ( px) f ( px p ) , 则T p .
推论 3、 f (x) f (2a x) y f (x) 的图象关于直线 x a 对称 2、 f (a x) f (b x) 2c y f (x) 的图象关于点 (a b , c) 对称
2
推论 1、 f (a x) f (a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称
2
2
11、 y f (x) 有两条对称轴 x a 和 x b (b a) y f (x) 期T 2(b a)
推论：偶函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 期T 2a
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 期T 2(b a)
1、 f (a x) f (b x) y f (x) 图象关于直线 x (a x) (b x) a b 对称
2
2
推论 1： f (a x) f (a x) y f (x) 的图象关于直线 x a 对称
推论 2、 f (x) f (2a x) y f (x) 的图象关于直线 x a 对称
A2 B2
A2 B2
Ax By C 0 成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数 y f (x) 图象本身的对称性（自身对称） 若 f (x a) f (x b) ，则 f (x) 具有期性；若 f (a x) f (b x) ，则 f (x)
具有对称性：“同表示期性，反表示对称性”。
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
四、用函数奇偶性、期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析 问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
④函数b y f (a x)与b y f (a x)关于点(a,b)成中心对称；
⑤函数F（x, y) 0与F(2a x,2b y) 0关于点(a,b)成中心对称。
（2）轴对称：对称轴程为： Ax By C 0 。
Word 资料
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① 点A(x, y)与B(x/ , y / ) B(x 2A(Ax By C) , y 2B(Ax By C)) 关 于
1.求函数值
例 1.（1996 年高考题）设 f (x) 是 (,) 上的奇函数， f (2 x) f (x), 当
0 x 1时， f (x) x ，则 f (7.5) 等于（-0.5）
（A）0.5;
（B）-0.5;
（C）1.5;
（D）-1.5.
例 2．（1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知 f (x) 是定义在实数集上的函数，且
.
抽象函数的对称性、奇偶性与期性常用结论
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数 符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定 的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接 点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难， 所以做抽象函数的题目需要有谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵 活运用的能力
A2 B2
A2 B2
直线 Ax By C 0成轴对称；
②函数 y f (x)与y 2B(Ax By C) f (x 2A(Ax By C)) 关于直线
A2 B2
B2
Ax By C 0 成轴对称。
③ F(x, y) 0与F(x 2A(Ax By C) , y 2B(Ax By C)) 0 关于直线
x a,b,T b a 。把 y f (x)沿x轴平移KT K(b a) 个单位即按向量
a (kT,0)平移，即得y f (x) 在其他期的图像：
y f (x kT), x kT a, kT b。
f
(x)
f f
(x) (x
kT)
xa, b xkT a, kT b
2、奇偶函数：
2
2
(当n 2k 1时，必有x1 2a x1, x1 a)
（四）常用函数的对称性
三、函数期性的几个重要结论
1、 f (x T ) f (x) ( T 0 ) y f (x) 的期为T ， kT ( k Z )也是函数的期
2、 f (x a) f (x b) y f (x) 的期为T b a
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .
Word 资料
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性质 5 若函数 y＝f(x)同时关于直线 x＝a 与 x＝b 轴对称，则函数 f(x)必为期
函数，且 T＝2|a－b|
性质 6、若函数 y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数
f(x)必为期函数，且 T＝2|a－b|
性质 7、若函数 y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 x＝b 轴对
1、期函数的定义：
对于 f (x) 定义域的每一个 x ，都存在非零常数T ，使得 f (x T ) f (x) 恒成立，则
称函数 f (x) 具有期性，T 叫做 f (x) 的一个期，则 kT （ k Z, k 0 ）也是 f (x) 的期，所
有期中的最小正数叫 f (x) 的最小正期。
分段函数的期：设 y f (x) 是期函数，在任意一个期的图像为 C: y f (x),
Word 资料
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2、奇函数 y f (x) 与 y f (x) 图象关于原点对称函数 3、函数 y f (x) 与 y f (x) 图象关于 X 轴对称 4、互为反函数 y f (x) 与函数 y f 1(x) 图象关于直线 y x 对称 5.函数 y f (a x) 与 y f (b x) 图象关于直线 x b a 对称
Word 资料
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（1）复数函数 f[g(x)]为偶函数，则 f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是 f[－g(x)]＝ f[g(x)]，复合函数 y＝f[g(x)]为奇函数，则 f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是 f[－g(x)] ＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则 f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a) 为奇函数，则 f(－x＋a)＝－f(a＋x)
Word 资料
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3、 f (x a) f (x) y f (x) 的期为T 2a
4、 f (x a) 1
y f (x) 的期为T 2a
f (x)
5、 f (x a) 1
y f (x) 的期为T 2a
f (x)