高二上期末数学试卷(理)(有答案)

高二上期末数学试卷(理)(有答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，则a5的值是（）A．9 B．13 C．17 D．212．下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b3．若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知命题P：∀x＞2，x3﹣8＞0，那么￢P是（）A．∀x≤2，x3﹣8≤0 B．∃x＞2，x3﹣8≤0 C．∀x＞2，x3﹣8≤0 D．∃x≤2，x3﹣8≤05．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（﹣）﹣=（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．2977．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°8．已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]9．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．10．已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）A．B．2 C．D．11．若f（x）=x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小值为4B．f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增C．f（x）的最大值为4D．f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（，）B．[，]C．（，+∞）D．[，+∞）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．不等式＞0的解集是．14．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是三角形．15．公差非0的等差数列{a n}满足a3=6且a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的公差d=．16．设x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC﹣csinA=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．18．等差数列{a n}中，a3=3，a1+a4=5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．19．（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程．20．已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．22．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，则a5的值是（）A．9 B．13 C．17 D．21【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】由题目给出的数列的通项公式直接代入n的值求a5的值．【解答】解：由数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，得a5=4×5﹣3=17．故选C．【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了由数列的通项求某一项的值，是基础的计算题．2．下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题．3．若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，【解答】解：若a=2，则（a﹣2）（a+4）=0，是充分条件，若（a﹣2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．4．已知命题P：∀x＞2，x3﹣8＞0，那么￢P是（）A．∀x≤2，x3﹣8≤0 B．∃x＞2，x3﹣8≤0 C．∀x＞2，x3﹣8≤0 D．∃x≤2，x3﹣8≤0【考点】命题的否定；全称命题．【专题】规律型．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题P为全称命题，其否定为特称命题，则￢P：∃x＞2，x3﹣8≤0，故选B．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（﹣）﹣=（）A．B．C．D．【考点】向量的减法及其几何意义．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量的三角形法则即可得出．【解答】解：（﹣）﹣=﹣=，故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d 的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．7．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA与题中等式比较，可得cosA=﹣，结合A是三角形的内角，可得A的大小．【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA又a2=b2+c2+bc，∴cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=150°，故选：D．【点评】本题考查了余弦定理的应用，特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．8．已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，当直线经过点A（0，1）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z max=2．z min=0﹣1=﹣1．∴﹣1≤z≤2，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．9．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．【解答】解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a＞5）得：b=5，则a==，由椭圆的定义可得，△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题．10．已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）A．B．2 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A在抛物线外可得到|PA|+d的最小值为|AF|，再由两点间的距离公式可得答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F坐标（1，0）因为点A（3，4）在抛物线外，根据抛物线的定义可得|PA|+d的最小值为|AF|=故答案为：2【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．11．若f（x）=x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小值为4B．f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增C．f（x）的最大值为4D．f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减【考点】对勾函数．【专题】作图题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接画出对勾函数f（x）=x+的图象的大致形状，由图象得答案．【解答】解：函数f（x）=x+的定义域为{x|x≠0}，函数的图象如图，由图可知，函数在定义域上无最小值，故A错误；f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故B正确；函数在定义域上无最大值，故C错误；f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故D错误．故选：B．【点评】本题考查对勾函数的图象和性质，熟记的图象是关键，是基础题．12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（，）B．[，]C．（，+∞）D．[，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：已知双曲线﹣=1的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，即有≥，由e2===1+≥，∴e≥，故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，考查离心率的范围的求法，解题时要注意渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．不等式＞0的解集是{x|﹣1＜x＜，x∈R}．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】不等式＞0说明：1﹣2x 和x+1是同号的，可等价于（1﹣2x）（x+1）＞0，然后解二次不等式即可．【解答】解：不等式＞0等价于（1﹣2x）（x+1）＞0，不等式对应方程（1﹣2x）（x+1）=0的两个根是x=﹣1 和x=．由于方程对应的不等式是开口向下的抛物线，所以＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}故答案为：{x|﹣1＜x＜，x∈R}【点评】本题考查分式不等式的解法，考查转化思想，计算能力，是基础题．14．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是等腰三角形．【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】等式即2cosBsinA=sin（A+B），展开化简可得sin（A﹣B）=0，由﹣π＜A﹣B＜π，得A﹣B=0，故三角形ABC是等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，即2cosBsinA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，即sin（A﹣B）=0，∵﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，故△ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰．【点评】本题考查两角和正弦公式，诱导公式，根据三角函数的值求角，得到sin（A﹣B）=0，是解题的关键．15．公差非0的等差数列{a n}满足a3=6且a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的公差d=2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式即可得到结论．【解答】解：∵a1，a2，a4成等比数列，a3=6，∴a1=6﹣2d，a2=6﹣d，a4=6+d，则（6﹣d ）2=（6﹣2d ）（6+d ），即3d 2=6d ，解得d=2或d=0（舍），故答案为：2．【点评】本题主要考查等差数列的公差的计算，根据条件建立方程组是解决本题的关键．16．设x ＞0，y ＞0且x+y=1，则的最小值为 9 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】先把转化成=（）（x+y ）展开后利用均值不等式进行求解，注意等号成立的条件．【解答】解：∵x ＞0，y ＞0且x+y=1，∴=（）（x+y ）=1+4++≥5+2=9，当且仅当=，即x=3，y=6时取等号，∴的最小值是9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则．属于基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足acosC ﹣csinA=0．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得： sinAcosC ﹣sinCsinA=0，即可解得tanC=，从而求得C 的值；（Ⅱ）由面积公式可得S △ABC ==6，从而求得得a 的值，由余弦定理即可求c 的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得： sinAcosC ﹣sinCsinA=0． …因为0＜A ＜π，所以sinA ＞0，从而cosC=sinC ，又cosC ≠0，…所以tanC=，所以C=．…（Ⅱ）在△ABC中，S△ABC==6，得a=6，…由余弦定理得：c2=62+42﹣2×=28，所以c=2．…【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．18．等差数列{a n}中，a3=3，a1+a4=5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由解得a1与d，再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用a n=n，a n+1=n+1，可得，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）1=n．（Ⅱ）∵a n=n，∴a n+1=n+1，∴，∴=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本方法，属于中档题．19．（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=，得到抛物线方程；（2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），代入点（，﹣），（，），可得方程组，求出m，n，即可求双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），∵抛物线的准线方程为x=﹣，∴=，解得p=，故所求抛物线的标准方程为y2=x．（2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），代入点（，﹣），（，），可得，∴m=1，n=，∴双曲线的标准方程为x2﹣y2=1．【点评】本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，考查双曲线方程，属于基础题．20．已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx﹣a+2=0的两根分别为﹣1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax﹣a+2）＞0，由此讨论﹣1与的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3）∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2=0的两根，∴可得，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x﹣a+2=（x+1）（ax﹣a+2），∵a＞0，∴①若，即a=1，解集为{x|x≠﹣1}．②若，即0＜a＜1，解集为．③若，即a＞1，解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB 垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE 中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．22．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的离心率，结合椭圆的定义及隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合，得到A，B的横坐标的乘积再由y1y2=（kx1+m）（kx2+m）求得A，B的纵坐标的乘积，最后把△OAB的面积转化为含有k，m的代数式可得为定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，可得，即a=，又2a=|AF1|+|AF2|=，∴a=，c=2，∴b2=4，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，∵，∴，∴，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∴，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，即4k2+2=m2，设原点到直线AB的距离为d，则====，∴当直线斜率不存在时，有A（），B（），d=2，S△OAB=．即△OAB的面积为定值2．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．。