微积分试题
微积分试题及答案
微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
解析：首先，我们需要求函数f(x)的导数。
对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数等于2ax + b。
因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导数即为 f'(x) = 6x - 2。
接下来，我们需要求在 x = 2 处的导数。
将 x = 2 代入导数公式，得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。
答案：函数f(x)在x = 2处的导数为10。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。
解析：我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。
首先，我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分，然后将结果相加即可。
根据积分的基本性质，∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x)，所以：∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加，得到定积分的结果：∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案：函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。
3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。
解析：要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程，我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。
首先，我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。
微积分试卷及答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b= 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分测试题
微积分测试题一、选择题1. 下列函数中，是一次函数的是（）A. y = x^2 - 3x + 1B. y = √xC. y = sin(x)D. y = e^x2. 函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的驻点是（）A. (1, -1)B. (1, 1)C. (2, -4)D. (2, 4)3. 函数 f(x) = ln(x) 在 x = 1 处的极限值是（）A. 1B. 0C. ∞D. -∞4. 函数 f(x) = sin(x) 在π/2 处的导数值是（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 曲线 y = x^3 在 x = 2 处的切线斜率为（）A. 12B. 8C. 4D. 2二、计算题1. 计算函数 f(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 2 的导函数 f'(x)。
2. 计算曲线 y = sin(2x) 与 x 轴围成的面积。
3. 求函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 4 在 x = 1 处的导数值和二阶导数值。
4. 计算函数 f(x) = e^x 的定积分∫[0, 2] f(x) dx。
5. 求函数 f(x) = ln(x) 在 x = 3 处的斜率。
三、证明题1. 证明函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π/2] 上递增。
2. 证明函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 在 x = 2 处存在局部最小值。
3. 证明函数 f(x) = ln(x) 在 x = e 处存在斜率为 1 的切线。
4. 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导，若 f'(x) = 0 在 (a, b) 内有多个根，则证明 f(x) 在 (a, b) 内有多个驻点。
5. 证明函数 f(x) = e^x 的反函数 g(x) = ln(x)。
四、应用题1. 抛物线 y = ax^2 + bx + c 经过点 (1, 5) 和 (2, -4)，求其解析式。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
微积分试题及答案
微积分试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. 0B. 2C. 4D. 8答案：C2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x dx \) 的值是：A. 0B. 0.5C. 1D. 2答案：B二、填空题1. 若 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \)，则 \( f'(x) \) 等于__________。
答案：\( 9x^2 - 4x + 1 \)2. 曲线 \( y = x^3 \) 与直线 \( y = 6x \) 相切的点的横坐标是__________。
答案：2三、简答题1. 请说明如何求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数。
答案：函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数可以通过对数函数的导数公式求得，即 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
2. 计算定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \)。
答案：首先找到 \( e^x \) 的原函数，即 \( e^x \) 本身。
然后根据定积分的计算法则，代入上下限得到 \( e^e - e \)。
四、计算题1. 求曲线 \( y = x^2 + 3x - 2 \) 在 \( x = -1 \) 处的切线斜率及切点坐标。
答案：首先求导得到 \( y' = 2x + 3 \)。
将 \( x = -1 \) 代入得到切线斜率 \( m = 1 \)。
切点坐标为 \( (-1, 0) \)。
2. 计算由曲线 \( y = x^2 \)，直线 \( y = 4x \) 及 \( x \) 轴所围成的平面图形的面积。
答案：首先求出两曲线的交点，然后计算定积分 \( \int_{0}^{2} (4x - x^2) dx \)，结果为 \( \frac{16}{3} \)。
五、证明题1. 证明 \( \frac{d}{dx} [(x^2 + 1)^5] = 10x(x^2 + 1)^4 \)。
微积分试卷及规范标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
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华中科技大学武昌分校2009—2010学年第二学期 《微积分》试卷（A ）（理工本科类）闭 卷专业班级：_________学号：_________姓名：__________总分一．填空题。
（每小题3分，共30分）1. 已知{}{}7,2,4,6,1,3==AC AB ,则=BC 。
2．经过点)1,3,2(P 且与平面：012=+-+z y x 垂直的直线方程 。
3. 设)3ln(2y x z +=，则=∂∂xz ，=∂∂yz 。
4. 设)sin(22y x z +=，则=dz 。
5. 球心为()3,2,1，半径为2的球面方程是 。
6. 曲线⎩⎨⎧==-01:22z y x C 绕y 轴旋转一周所成旋转曲面的方程是 。
7. 改变二次积分的积分顺序：1(,)0y dy f x y dx =⎰⎰。
8. 若曲线C 为圆周：)0(222>=+a a y x ，则⎰=+Cds y x )(22 。
9. 幂级数∑∞=132n nnn x 的收敛半径=R 。
10．将二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x f I )(22化为极坐标系下的二次积分，其中D 为上半圆盘：0,222≥≤+y x y x ，则=I 。
二．选择题。
（每小题3分，共18分）1. 下列方程中表示圆锥面的方程是 （ ）装 订 线（A ）222=-+zy x （B ）1222=--z y x（C ） 0222=-+z y x （D ）0222=++z y x2. 已知()()dy xy bx dx xy ay du 4222+++=，则b a ,的值必为 （ ） （A ）1,1==b a （B ）2,1==b a (C)1,2==b a (D)2,2==b a3. 设D 是由曲线21x y -=和x 轴所围成的平面区域，下面积分值为0的是 （ ）（A ）dxdy y x D⎰⎰cos 2（B ）dxdy x y D ⎰⎰cos 2（C ）dxdy y x D ⎰⎰sin 2（D ）dxdy x y D⎰⎰sin 24. 已知级数∑∞=+-11)1(n n n a ),2,1,0( =>n a n 具有21lim =∞→n n a ，则级数∑∞=+-11)1(n n n a （ ）（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）可能绝对收敛，可能条件收敛 （D ）发散 5.),(y x F 在全平面上有连续偏导数且曲线积分⎰-Lydy xdx y x F ))(,(与路径无关，则（ ）（A ）0='+'y x F x F y （B ）0='-'y x F x F y （C ）0='+'y x F y F x （D ）0='-'y x F y F x 6),(y x f 在()00,y x 处存在0),(,0),(0000='='y x f y x f y x ，则),(y x f 在),(00y x 必（ ） （A ）连续 （B ）可微 （C ）取得极值 （D ）A,B,C 都不对三．计算下列各题。
（每小题6分，共18分） (1)设v y x u uv z =+==,, （2）设函数),(y x z z =由方程：求y z x z ∂∂∂∂,。
1333=++z y x 给出，求yz x z ∂∂∂∂,。
（3）求曲面22y x z +=在点)5,2,1(P 处的切平面方程和法线方程。
四．证明：()()()00a x adx f y dy a x f x dx =-⎰⎰⎰ （5分）五．计算下列各题。
（每小题6分，共24分） 1. 一本长方形的书，每页所印文字要占2150cm ，上，下边空白各留cm 5.1宽，左，右两侧空白各留cm 1宽，问：每页纸的长，宽各为多少时耗纸最省。
2． 计算二重积分dxdy y x I D⎰⎰+=22，其中D 是圆周122=+yx 所围平面区域。
3． 求曲线积分⎰-++=Cdy x y dx y x I )()(2222，其中曲线C 为直线,0=yx y x ==,1所围三角形区域D 的边界逆时针方向。
4．将函数x1展开成)2(-x 的幂级数，并注明其收敛区间。
六．计算曲面积分⎰⎰-+-+=Sdxdy z yzdzdx dydz z x I )8(24)18(2，其中S 是由曲线⎩⎨⎧=≤≤-=0)31(,1x z z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面，其法矢量与z 轴正向的夹角2π>r 。
（5分）华中科技大学武昌分校2009—2010学年第二学期 《微积分》试卷（B ）（理工本科类）闭 卷专业班级：_________学号：_________姓名：__________总分三．填空题。
（每小题3分，共30分）1. 已知)4,3,2(),3,2,1(B A ,则=AB 。
2．经过点)1,1,1(P 且与平面：012=+-+z y x 平行的平面方程 。
3. 设)ln(y x z +=，则=∂∂xz ，=∂∂yz 。
4. 设)sin(y x z +=，则=dz 。
5. 球心为()0,0,0，半径为1的球面方程是 。
6. 曲线⎩⎨⎧==-01:22z y x C 绕x 轴旋转一周所成旋转曲面的方程是 。
7. 改变二次积分的积分顺序：1(,)0x dx f x y dy =⎰⎰。
8. 若曲线C 为圆周：)0(222>=+a a y x ，则⎰=Cds 。
9. 幂级数∑∞=131n nnx 的收敛半径=R 。
10．将二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x f I )(22化为极坐标系下的二次积分，其中D 为圆盘：122≤+y x ，则=I 。
四．选择题。
（每小题3分，共18分）1. 下列方程中表示圆柱面的方程是 （ ）装 订 线（A ）222=-+zy x （B ）1222=--z y x（C ） 122=+y x （D ）0222=++z y x 2. 已知dy xy bxdx xy aydu )2()2(22+++=，则b a ,的值必为 （ ）（A ）1,1==b a （B ）2,1==b a (C)1,2==b a (D)2,2==b a 3. 设D 是由曲线21yx -=和y 轴所围成的平面区域，下面积分值为0的是 （ ）（A ）dxdy y x D⎰⎰cos 2（B ）dxdy x y D ⎰⎰cos 2（C ）dxdy y x D⎰⎰sin 2（D ）dxdy x y D⎰⎰sin 24. 已知级数∑∞=+-11)1(n n n a ),2,1,0( =>n a n 具有0lim ≠∞→n n a ，则级数∑∞=+-11)1(n n n a （ ） （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）可能绝对收敛，可能条件收敛 （D ）发散 5.),(y x F 在全平面上有连续偏导数且曲线积分⎰+Lydy xdx y x F ))(,(与路径无关，则（ ）（A ）0='+'y x F x F y （B ）0='-'y x F x F y （C ）0='+'y x F y F x （D ）0='-'y x F y F x 6.设函数f (x , y )在点（x 0, y 0）处取得极值,则极值点（x 0, y 0）是（ ）（A ）一定是驻点（B ）一定是不可导点（C ）可能是驻点或不可导点（D ）三．计算下列各题。
（每小题6分，共18分）(1)设22++=y x z （2）设函数),(y x z z =由方程：求y z x z ∂∂∂∂,。
1222=++z y x 给出，求yz x z ∂∂∂∂,。
（3）求曲面xy z -=3在点)0,1,2(P 处的切平面方程和法线方程。
四．证明：()()00a a ady f x dx xf x dx y=⎰⎰⎰ （5分）五．计算下列各题。
（每小题6分，共24分） 1. 求xy y x z 333-+=的极值。
2．计算二重积分dxdy y xI D⎰⎰+=)(22，其中D 是圆周122=+y x 所围平面区域。
3． 求曲线积分⎰-++=Cdy x y dx y x I )()(2222，其中曲线C 为直线,0=xx y y ==,1所围三角形区域D 的边界逆时针方向。
4．求幂级数∑∞=+0)1(n n x n 的和函数，并注明收敛区间。
六．计算⎰⎰-+-Sxzdxdy xydxdz dydz x 24)1(2，S 是xoy 平面上的曲线⎩⎨⎧≤≤==)0(0a y z e x y绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面，其法向量与x 轴正向夹角为钝角的一侧。
（5分）华中科技大学武昌分校200 7 —200 8 学年第 二 学期 《 微积分 》试卷（理工类本科）闭 卷专业班级：_________学号：___ ______姓名：__________一、填空题。
………………………………（每小题3分，共18分）1．若矢量{}1,2,-=k a 和矢量{}1,1,2--=b 垂直，则=k 。
2．设22),(y x xy y x f ++= ，则偏导数=')1,1(x f 。
3．积分⎰⎰=1),(xxdy y x f dx I 在变换积分次序后的形式为=I 。
4．椭球面632222=++z y x 在点)1,1,1(A 处的切平面的法矢量为 。
5．若c 表示圆周：)0(222>=+a a y x ，则曲线积分⎰=+Cds y x )(22 。
6. 幂级数∑∞=⋅12n nn n x的收敛半径为=R 。
二、单项选择题。
………………………………（每小题3分，共12分） 1．设矢量{}7,4,4-=PQ ，如果终点的坐标为)7,1,2(-Q ，则起点P 的坐标： A ．(6,-5,14) B.(-6,5,-14) C.(-2,3,0) D.(2,-3,0) ( ) 2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,22y x y x y x xyz 在原点0（0，0）处 （ ）A ．偏导数不存在且不连续 B.连续，但偏导数不存在 C ．偏导数存在但是不连续 D.连续且偏导数存在，但不可微3．若函数),(y x F 在平面单连通域D 内有连续偏导数，C 为D 内任意分段光滑封闭曲线，装 订 线且⎰=+Cxdy ydx y x F 0))(,(，则 （ ）A ．0='+'x y F y F x ；B.0='-'x y F y F x ；C.0='+'y x F y F x ；D.0='-'y x F y F x 。