微积分试卷及答案4套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

(A) 若a x g x f x x =→)()(lim或∞，则a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞(B) 若a x g x f x x =''→)()(lim0或∞，则a x g x f x x =→)()(lim 0或∞ (C) 若)()(limx g x f x x ''→不存在，则)()(lim 0x g x f x x →不存在(D) 以上都不对6. 曲线223)(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。

(A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2)2(14--=x x y （ ）。

(A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线，又有垂直渐近线8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有(A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值9. 若ƒ(x )的导函数是2-x ，则ƒ(x )有一个原函数为 ( ) 。

x(A) x ln ； (B) x ln -； (C) 1--x ；(D) 3--x 三．计算题(共36分)1． 求极限xxx x --+→11lim（6分）2． 求极限xx x 1)(ln lim +∞→ （6分）3． 设0001sin 2sin )(>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x b x x ax x x f ，求b a ,的值，使)(x f 在(-∞，+∞)上连续。

(6分) 4． 设1+=+xy eyx ，求y '及0='x y （6分）5． 求不定积分dx xe x ⎰-2（6分）6． 求不定积分.42dx x ⎰-（6分）四．利用导数知识列表分析函数211x y -=的几何性质，求渐近线，并作图。

(14分)五．设)(x f 在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且1)21(,0)1()0(===f f f ，试证：(1) 至少存在一点)1,21(∈ξ，使ξξ=)(f ；(2) 至少存在一点),0(ξη∈，使1)(='ηf ；(3) 对任意实数λ ，必存在),0(0ξ∈x ，使得1])([)(000=--'x x f x f λ。

(12分)微积分试卷 (B)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的 条件。

2.若2sin x y =，则=dy 。

3. 函数0,tan ==x xxy 是第 类间断点，且为 间断点。

4. 若31lim1=-+→x bax x ，则a = ，b = 。

5. 在积分曲线族⎰xdx2中，过点（0，1）的曲线方程是 。

6. 函数x x f =)(在区间]1,1[-上罗尔定理不成立的原因是 。

7. 已知⎰-=x t dt e x F 0)(，则=')(x F 。

8. 某商品的需求函数为212PQ -=，则当p = 6时的需求价格弹性为=EPEQ。

二. 单项选择题 (每小题2分,共12分) 1. 若3lim=→βαx x ，则=-→αβα0lim x x （ ）。

(A) –2 (B) 0 (C)31 (D) 322. 在1=x 处连续但不可导的函数是（ ）。

(A) 11-=x y (B) 1-=x y (C))1ln(2-=x y(D)2)1(-=x y3. 在区间（-1，1）内，关于函数21)(x x f -=不正确．．．的叙述为（ ）。

(A)连续(B) 有界(C) 有最大值，且有最小值 (D) 有最大值，但无最小值4. 当0x →时，x 2sin 是关于x 的（ ）。

(A) 同阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 等价无穷小5. 曲线35x x y +=在区间（ ）内是凹弧 。

(A) )0,(-∞ (B) ),0(∞+ (C) ),(∞+-∞ (D) 以上都不对6. 函数xe 与ex 满足关系式（ ）。

(A) ex e x≤ (B) ex e x≥ (C) ex e x> (D) ex e x<三．计算题(每小题7分,共42分)7． 求极限xe x x x cos 1)1(lim 0--→。

8． 求极限nnn x2sin2lim ⋅∞→（x 为不等于0的常数）。

9． 求极限xx x x 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ 。

10． 已知yxe y +=1，求0='x y 及0=''x y 。

11． 求不定积分dx xx ⎰sin 。

12． 求不定积分dx x x ⎰+)1ln(。

四．已知函数21xx y +=，填表并描绘函数图形。

(14分)图形：五．证明题(每小题6分,共12分)1. 设偶函数)(x f 具有连续的二阶导函数，且0)(≠''x f 。

证明：0=x 为)(x f 的极值点。

2. 就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-sin 2π在开区间（0,2π）内根的个数，并证明你的结论。

《微积分》试卷（C 卷）一、单项选择题（每小题3分，共18分）1. 设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（ ）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-= 2. 已知()f x 在0x =的某邻域内连续，且()()000,lim21cos x f x f x→==-，则在0x =处()f x 满足（ ）A. 不可导B. 可导C. 取极大值D. 取极小值 3. 若广义积分()2ln kdx x x +∞⎰收敛，则（ ）A. 1k >B. 1k ≥C. 1k <D. 1k ≤ 4. )(lim 111=+-→x x eA ． 0 B.∞ C.不存在 D.以上都不对 5. 当0→x 时，x cos 1-是关于2x 的（ ）.A ．同阶无穷小.B ．低阶无穷小.C ．高阶无穷小.D ．等价无穷小. 6.函数)(x f 具有下列特征：0)0(,1)0(='=f f ，当0≠x 时，⎩⎨⎧>><<''>'0,00,0)(,0)(x x x f x f则)(x f 的图形为（ ）。

(A)(B) (C) (D)二、填空（每小题3分，共18分）1.sin lim x xx →∞= 。

2. 1-=⎰。

3. 已知0()f x '存在，则000()()limh f x h f x h h →+--= 。

4．设ln(1)y x =+，那么()()n yx = 。

5．220t x d e dt dx =⎰ 。

6．某商品的需求函数275Q P =-，则在P ＝4时，需求价格弹性为4P η== ，收入对价格的弹性是4P ER EP== 。

三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分） 1．arctan xx tdt →∞2． x x x x 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→3．1ln ex xdx ⎰4．6(1)dx x x +⎰5．求由 0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰所决定的隐函数()x y y =的导数.dxdy 6．已知sin xx是()f x 的原函数，求()xf x dx '⎰。

7．求由曲线3y x =与1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积。

8．求曲线2y x =与直线1y kx =+所围平面图形的面积，问k 为何时，该面积最小？四、(A 类12分) 列表分析函数xx y +=12函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。

解：(1) 函数的定义域D :),1()1,(+∞---∞ ，无对称性；(2) 0,2,0)1(22122=-==++='x x x xx y 得 ()3422)1(21)1)(2(2)1)(22(x x x x x x x y +=+++-++='' (3) 列表：(4) 垂直渐近线：1-=x ；斜渐近线：=y (5) 绘图，描几个点2(),21,1(),0,0(),4,2(--(B 类12分)列表分析函数)1ln(2x y +=函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。

解： ⑴ 函数定义域D :(-∞，+∞)，偶函数关于Y 轴对称； ⑵ 0,0122==+='x x xy 得()1,1,0)1()1)(1(2122)1(22122222=-==+-+=+⋅-+=''x x x x x x xx x y 得 ⑶ 列表：(极小值f ⑷ 该函数无渐近线；⑸ 绘图，描几个点：（0，0），（-1，ln2），（1，ln2）五、（B 类8分） 设()f x 连续，证明：()()() 0 0 0xu x f t dt du x u f u du ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰证明：令dt t f x F x u⎰⎰=00)()( du u f u x x G x)()()(0⎰-= 只需证明)()(x G x F '='（3分）dt t f x F x⎰='0)()(du u uf du u f xx G xx⎰⎰-=0)()()(du u f x xf x xf du u f x G x x⎰⎰=-+='0)()()()()(所以)()(x G x F '=' （8分） （A 类8分）设)(x f 在[a, b ]上连续在(a ,b )内可导且0)(<'x f),(,)(1)(b a x dt t f a x x F x a ∈-=⎰试证（1）)(x F 在(a ,b )内单调递减x(2) )()()()(0b f a f x f x F -<-<证（1）ax f(ξf(x)a)(x a)(x f(ξa)f(x)(x a,x a x dtt f x f a x x F 2xa--=----∈---='⎰)))()()()()(2）（积分中值定理ξ 由0)(<'x f 知)(x f 单调减,即在(a ,b )内当x <ξ时有))(ξf(x f <又0)>-a (x 可得 0)(<'x F .即)(x F 在(a ,b )内单调减.f(x)f(ξx f dt t f a x x f x F x a >---=-⎰）积分中值定理因)()(1)()()2(又由)(x f 单调减 知,f(b)f(x)f f(a)>>>)(ξ于是有f(b)f(a)f(x)F(x)0-<-<《微积分》试卷（D 卷）一、单项选择题（每小题3分，共18分）1. 设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（ ） A. 0,1a b == B. 2,1a b ==- C. 3,2a b ==- D.1,2a b =-=2. 当0→x 时，x cos 1-是关于2x 的（ ）.A ．同阶无穷小.B ．低阶无穷小.C ．高阶无穷小.D ．等价无穷小.3. 若广义积分() 2ln k dxx x +∞⎰收敛，则（ ）A. 1k >B. 1k ≥C. 1k <D. 1k ≤4. )(lim 111=+-→x x eA ． 0 B.∞ C.不存在 D.以上都不对5.函数)(x f 具有下列特征：0)0(,1)0(='=f f ，当0≠x 时，⎩⎨⎧>><<''>'0,00,0)(,0)(x x x f x f 则)(x f 的图形为（ ）。