2015-2016 山东泰安高三上学期期末试题 数学理科
山东省泰安市数学高三上学期理数期末考试试卷
山东省泰安市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·临沂模拟) 设，则z的虚部是（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·腾冲模拟) 设D为△ABC所在平面内一点， =3 ，则（）A . =﹣ +B . = ﹣C . = +D . = -3. （2分） n个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（）A . ↓→B . →↑C . ↑→D . →↓4. （2分） (2017高一下·汽开区期末) 中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器--商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其几何体体积为13.5（立方寸），则图中x 的为（）A . 2.4B . 1.8C . 1.6D . 1.25. （2分）已知命题p：f（x）= + 为奇函数；命题q：∀x∈（0，），sinx＜x＜tanx，则下面结论正确的是（）A . p∧（￢q）是真命题B . （￢p）∨q是真命题C . p∧q是假命题D . p∨q是假命题6. （2分） (2017高一下·鸡西期末) 过点且平行于直线的直线方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·汕头期末) 设数列满足，且，若表示不超过的最大整数，（例如，），则（）A . 2020B . 2019C . 2018D . 20178. （2分） (2019高二下·大庆月考) 函数的大致图象是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·重庆期中) 空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF= ，则异面直线AD，BC所成的角的补角为（）C . 90°D . 30°10. （2分）(2018·山东模拟) 已知函数，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（）A .B .C .D .11. （2分）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn ，且，则的值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·江西模拟) 在平面五边形中，，，，，且 .将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积为（）A .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知实数x、y满足不等式组，则z=2x+y的最大值为________14. （1分） (2016高一下·徐州期末) 函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为________．15. （1分） (2019高三上·瓦房店月考) 在下列命题中，正确命题的序号为________（写出所有正确命题的序号）．①函数的最小值为；②已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；③定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则；④已知函数，则是有极值的必要不充分条件；⑤已知函数，若，则．16. （1分） (2018高二下·四川期中) 若对都有恒成立，则实数的取值范围为________三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高二上·南通开学考) 如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是，点E，F 在直径AB上，且．（1）若，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地种植果树的最大面积．18. （5分） (2019高三上·汉中月考) 记等差数列的前项和，已知 .（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围.19. （10分）(2018·河北模拟) 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．20. （5分） (2018高二上·綦江期末) 已知椭圆C: 的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.21. （15分）(2018·内江模拟) 已知函数，曲线在点处的切线方程为： .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的最小值.22. （10分） (2019高二上·扶余期中) 已知直线l与椭圆交于A，B两点.（1）若线段AB的中点为，求l的方程；（2）若斜率不为0的直线l经过点，证明：为定值.23. （10分） (2019高三上·广东月考) 已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷
2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷 命题学校：东北育才一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）1.已知集和{}0232=+-=x x x A ，{}24log ==x x B ，则=B A ( ) A.{}2,1,2- B.{}2,1 C.{}2,2- D.{}22.若复数()()i a a a z 3322++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A.3-B.13或-C. 1-3或D. 13．已知向量()31,=a ，()m ,2-=b ，若a 与2b a +垂直，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.21-D.21 4.直线()0112=+++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,432,4 5.若数列{}n a 的通项公式是()()231--=n a n n ，则=+⋯++1021a a a （ ）A.15B.12C.12-D.15-6.已知四棱锥ABCD P -的三视图如图所示，则四棱锥ABCD P -的四个侧面中面积最大的值是（ ）A.3B.52C.6D.87.右图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（ ）A.2>nB.3>nC.4>nD.5>n8.已知集合{}4,3,2,1=A ,{}7,6,5=B ,{}9,8=C .现在从三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成（ ）个集合A.24B.36C.26D.279.已知点()02，P ，正方形ABCD 内接于⊙O :222=+y x ，N M 、分别为边BC AB 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，ON PM ⋅的取值范围为（ ）A.[]11-，B.[]22-， C.[]22-， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222-， 10.设双曲线13422=-y x 的左，右焦点分别为21,F F ,过1F 的直线交双曲线左支于B A ,两点，则22AF BF +的最小值为（ ） A.219 B.11 C.12 D.16 11.已知球O 半径为5，设C B A S 、、、是球面上四个点，其中︒=∠120ABC ,2==BC AB ,平面⊥SAC 平面ABC ，则棱锥ABC S -的体积的最大值为（ ） A.33 B.23 C.3 D.33 12．已知函数()1323+-=x x x f ，()⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,860,412x x x x x x x g ，则方程()[]0=-a x fg（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A.个3B.个4C.个5D.个6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设0,0>>b a ，3是a 3与b 3的等比中项，其中b a 11+的最小值为 14.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的二项展开式中，x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 15.设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上，满足[][]5022=+y x 的点()y x P ,所形成的图形的面积为16.定义区间()(][)[]d c d c d c d c ,,,,、、、的长度均为()c d c d >-，已知事数0>p ，则满足不等式111≥+-xp x 的x 构成的区间长度之和为 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知函数()()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 232 (1) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 的最小值和最大值 (2) 设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3=c ，()0=C f ，若向量()A ,sin 1=m 与向量()B ,sin 2=n 共线，求b a ,的值18.（本小题满分12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是31每次测试通过与否互相独立.规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.（1） 求该学生考上大学的概率；（2） 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望ξE .19.（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，E 为DC 的中点，现将DAE ∆沿AE 折起，使平面⊥DAE 平面ABCE ，连BE DC DB ,,（1） 求证：ADE BE 平面⊥（2） 求二面角C BD E --的余弦值20．（本小题满分12分） 已知21F F 、分别为椭圆()01:22221>>=+b a bx a y C 的上、下焦点，其中1F 也是抛物线ADEy x C 4:22=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且351=MF (1) 求椭圆1C 的方程； (2) 当过点()3,1P 的动直线l 与椭圆1C 相交于两个不同点B A ,时，在线段AB 上取点Q ，满=证明：点Q 总在某定直线上.21.（本小题满分12分）设函数()x x xa x f ln +=，()323--=x x x g 其中R a ∈. （1） 当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f P 处的切线方程；（2） 若存在[]2,0,21∈x x ，使得()()M x g x g ≥-21成立，求整数M 的最大值；（3） 若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t s 、都有()()t g s f ≥，求a 的取值范围.选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且ABC PAC ∠=∠(1) 求证：PA 是⊙O 的切线； (2) 如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求BCE ∠sin23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线l的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x ，()0>r 为参数，θ (1) 求圆心C 的一个极坐标；(2) 当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为324.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()R x x x x f ∈-+-=3212(1) 解不等式()5≤x f ；(2) 若()()mx f x g +=1的定义域为R ，求实数m 的取值范围.。
高三上学期期末联考数学(理)试题答案.docx
2015—2016学年度第一学期期末联考高三数学（理科）参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1-5 DABBC 6-10 ABDCA 11-12 BD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 1- 14. ()7,3- 15. 15 16. []1,2-三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 【答案】(1) [,],63k k k Z ππππ-+∈ ；(2)233+． 【解析】(1)∵()cos cos 2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.………………………5分 (2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B AC ππ=--=.∴113sin 22242ABC S ac B ∆+==⋅=. ……………………………10分 18.解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1．又121AA AC =，可得DC 12+DC 2＝CC 12， 所以DC 1⊥DC ．而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD ．BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC ．…………………………………………………5分 （2）由（I ）知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA uu u r 的方向为x 轴的正方向， CA u u u r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．由题意知A 1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C 1(0,0,2)．则1(0,0,1)A D =-u u u u r，(1,1,1)BD =-u u u r ，1(1,0,1)DC =-u u u r , 设(,,)=n x y z 是平面A 1B 1BD 的法向量，则100n BD n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u u r ，即⎩⎨⎧==+-00z z y x ,可取n ＝(1,1,0)． 同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，10m BD m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u ur 可取m ＝(1，2，1).3cos <>==g n m n,m n m . 故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°……………………………12分19.(1)解：所有可能的申请方式有43种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2242C 种，………………………………3分从而恰有2人申请A 片区房源的概率为224428327C =…………………………5分(2)ξ的所有可能取值为1、2、3421322324424121342431(1);327()14(2);3274(3)39p C C C C C p C C C p ξξξ===+======………………………………9分 所以ξ的分布列为ξ 1 2 3P127 142749()123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯=………………………………12分20.【解析】（1）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(30)-，，(30)，为焦点，长半轴长为2 的椭圆．故曲线C 的方程为2214x y +=．………………………………5分 （2）因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．x yz则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 整理得032422=--+my y m ）（·········7分.0)4(12)2(22>++=∆m m 由设).,(),,(2211y x B y x A 解得 432,432222221++-=+++=m m m y m m m y 则.4342212++=-m m y y 因为21.21y y OE S AOB-=∆31324322222+++=++=m m m m 10分设.3,3,1)(2≥+=+=t m t tt t g 则)(t g 在区间],3[+∞上为增函数所以.334)(≥t g 所以23≤∆AOB S ，当且仅当0=m 时取等号，即23=∆AOB S 所以AOB S ∆的最大值为23·································12分 注：第（2）问也可用韦达定理.21. 解：(1)由题意0,()x a f x e a '>=-, 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<;当(l n,)x a ∈+∞时,()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减,在(l n ,)a +∞单调递增 即()f x 在l n x a =处取得极小值,且为最小值,其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- (2)()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立,即在x ∈R 上,m i n()0f x ≥. 由(1),设()l n 1.g a a aa =--,所以()0g a ≥. 由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减,∴()g a 在1a =处取得最大值,而(1)0g =. 因此()0g a ≥的解为1a =,∴1a = (3)由（2）得1+≥x e x，即x x ≤+)1ln(，当且仅当0=x 时，等号成立，令)(1*∈=N k kxEAD OBC则，)11ln(1k k +>即)1ln(1k k k +>，所以),...,2,1(ln )1ln(1n k k k k=-+> 累加得))(1ln(1...31211*∈+>++++N n n n选做题（本题满分10分）22. 解：（1）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥即CE ． 因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ． 所以AE 是⊙O 的切线．……5分（2）由（1）可得△ADE ∽△BDA ，所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD，则BD ＝2AD ，所以∠ABD ＝30，从而∠DAE ＝30，所以DE ＝AE tan 30＝233．由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，所以4＝233× (233＋CD )，所以CD ＝433．……10分23. 解：（1）221:22C x y +=，:24l x += ………5分 （2）设)2,sin Qθθ，则点Q 到直线l 的距离2sin()42sin 2cos 44333d πθθθ+-+-==≥ ………8分当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时,Q 点到直线l 23。
山东省泰安二中高三数学上学期12月月考试卷 理(含解析
2015-2016学年山东省泰安二中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．∅2．如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．四边形EFGH可能为梯形3．下列命题中正确的个数是（）①若￢P是q的必要而不充分条件，则P是￢q的充分而不必要条件；②命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x02＜0”；③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题；④命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”A．1个B．2个C．3个D．4个4．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．5．如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．16π B．12π C．8πD．4π6．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．7．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．9．如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则•=（）A．8 B．10 C．11 D．1210．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数，则= ．12．若存在x∈[2，3]，使不等式≥1成立，则实数a的最小值为．13．已知与的夹角为120°，若，且，则在方向上的正射影的数量为．14．已知函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x+1）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上单调．若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{a n}的前25项之和为．15．已知函数f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，sin2x），f（x）=•，（x∈[0，]）（1）求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a 的值．17．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣，]上的值域．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．19．端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S ﹣EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合（如图所示）．（Ⅰ）求证：平面SEG⊥平面SFH；（Ⅱ）当AE=时，求二面角E﹣SH﹣F的余弦值．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．2015-2016学年山东省泰安二中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．∅【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；集合．【分析】求解函数的值域化简A，求解对数不等式化简B，然后取交集得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x+1}=R，B={x|lnx＜0}=（0，1），∴A∩B=（0，1）．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，考查了函数值域的求法，训练了对数不等式的解法，是基础题．2．如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．四边形EFGH可能为梯形【考点】直线与平面平行的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，利用反证法能证明FG∥EH；由EH⊥平面A1ABB1，得到EH⊥EF，从而得到四边形EFGH为矩形，故B正确，D错误；将Ω从正面看过去，是一个五棱柱．【解答】解：若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，与EH∥B1C1矛盾，所以FG∥EH，故A正确；由EH⊥平面A1ABB1，得到EH⊥EF，可以得到四边形EFGH为矩形，故B正确；将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，故C正确；因为EFGH截去几何体EFGHB 1C1后，EH B1C1CF，所以四边形EFGH不可能为梯形，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．下列命题中正确的个数是（）①若￢P是q的必要而不充分条件，则P是￢q的充分而不必要条件；②命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x02＜0”；③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题；④命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】本题考到命题的等价性，含有一个量词的命题的否定，复合命题的真假判断和逆否命题的概念【解答】①正确：这两个命题是等价的命题，体现了原命题和逆否命题的等价②正确：这是含有一个量词的命题的否定，否定的规则是改变量词再否定结论③不正确：p和q只要有假命题p∧q就是假命题，不需要两个都是假命题④正确：逆否命题是同时否定条件和结论再把条件和结论互换正确命题的个数是3，选C【点评】①要理解命题的等价性②要会含有一个量词的命题的否定规则③要掌握复合命题的真值表④要分清否命题和逆否命题4．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．5．如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．16π B．12π C．8πD．4π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；立体几何．【分析】该几何体是一个三棱锥，底面是等腰直角三角形，根据公式求解即可【解答】解：由几何体的三视图知，几何体如图所示的三棱锥，∵几何体的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形，∴AB=BC=CD=1，且∠ABC=∠BCD=∠ABD=90°，可以看作是从长方体中截得的一部分，故外接球的直径是长方体的对角线，为2，故外接球的表面积为：4=12π，故选：B．【点评】本题考查学生的空间想象能力，分析出几何体是形状是解答的关键，难度不大，是基础题6．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：的几何意义为区域内的点P到原点O的直线的斜率，由图象可知当直线过B点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大，由，解得，即A（3，2），此时OA的斜率k=，即的最大值为．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．7．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件可得3（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，化简求得cosα+sinα=，再平方即可求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，即3（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，或cosα﹣sinα=0（不合题意，舍去），∴1+sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】在锐角△ABC中，利用sinA=，S△ABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题．9．如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则•=（）A．8 B．10 C．11 D．12【考点】向量在几何中的应用．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，，代入向量的数量积公式计算．【解答】解：以BC为x轴，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图∵AB=3，AC=6，∠BAC=90°，BC=3，∵=，sinC=cosB∴sinB=2cosB，∵sin2B+cos2B=1∴sinB=，cosB=∴A（，），E（，0），F（2，0）．∴=（，﹣），=（，﹣），∴•=•+（﹣）2=10．故选B．【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，建立合适坐标系是解题的关键，属于基础题．10．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数，则= ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：函数，，====．故答案为：．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．12．若存在x∈[2，3]，使不等式≥1成立，则实数a的最小值为．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由已知得a≥2x﹣，令y=2x﹣，由导数性质得y=2x﹣，在[2，3]上是增函数，由此能求出实数a的最小值．【解答】解：∵存在x∈[2，3]，使不等式≥1成立，∴1+ax≥x•2x，即a≥2x﹣，令y=2x﹣，则y′=2x ln2+＞0，∴y=2x﹣，在[2，3]上是增函数，∴当x=2时，y取得最小值，y min=22﹣=，∴a≥，即实数a的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想和导数性质的合理运用．13．已知与的夹角为120°，若，且，则在方向上的正射影的数量为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；数学模型法；平面向量及应用．【分析】，可得•=﹣﹣2=0，可得，即可得出．【解答】解：∵，∴•=﹣﹣2=0，∵=2，=cos120°=﹣，∴4+﹣2=0，解得=．∴在方向上的正射影的数量===，故答案为：．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的投影，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x+1）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上单调．若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{a n}的前25项之和为25 ．【考点】数列的函数特性．【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列．【分析】由已知得函数f（x）图象关于直线x=1对称，从而得到a6+a20=2，由此能求出结果．【解答】解：∵函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x+1）=f（1﹣x），∴函数f（x）图象关于直线x=1对称，又函数f（x）在[1，+∞）上单调，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），∴a6+a20=2，∴S25=（a6+a20）=25．故答案为25．【点评】本题考查等差数列的前25项之和的求法，是中档题，注意函数性质和等差数列的性质的合理运用15．已知函数f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导，得f′（x）=ax2+2ax﹣3a=a（x+3）（x﹣1），要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（﹣3）f（1）＜0，再进一步计算即可．【解答】解：∵f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1∴f′（x）=ax2+2ax﹣3a=a（x﹣1）（x+3），令f′（x）=0，解的x=1或x=﹣3，要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（﹣3）f（1）＜0，∵f（﹣3）=a（﹣3）3+a（﹣3）2﹣3a（﹣3）+1=9a+1，f（1）=a+a﹣3a+1=1﹣a，∴（9a+1）（1﹣a）＜0，即（a+）（a﹣）＞0，解的a＜﹣，或a＞故答案为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【点评】本题考查函数与导数的应用，利用导数判断函数的单调性，函数值的变化从而确定其性质．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，sin2x），f（x）=•，（x∈[0，]）（1）求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a 的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=cos（2x+）+1，由余弦函数的有界性即可求值域．（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又结合范围0＜B＜π，即可解得B的值，由正弦定理可求sinC，解得C，解得A，即可解得a的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=•=2﹣sin（2x+）﹣2sin2x=2﹣（sin2xcos+cos2xsin）﹣（1﹣cos2x）=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1．…∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴﹣1≤cos（2x+）≤，从而有0≤f（x）≤，所以函数f（x）的值域为[0，]．…（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又因为0＜B＜π，所以＜B+，从而B+=，即B=．…因为b=1，c=，所以由正弦定理得sinC==，故C=或，当C=时，A=，从而a==2，当C=时，A=，又B=，从而a=b=1综上a的值为1或2．…（用余弦定理类似给分）．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了余弦函数的图象和性质，正弦定理，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣，]上的值域．【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦函数公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x﹣），由2k≤2x﹣≤2k，k∈Z即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到函数g（x）=2cosx，结合范围x∈[﹣，]，由余弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）f（x）=（sin2x+cos2x）+•（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），由2k≤2x﹣≤2k，k∈Z即可解得f（x）的单调递增区间为：[k，k]（k∈Z）…6分（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到y=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+），再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）=2sin （x+）=2cosx，∵x∈[﹣，]，∴x=0时，g（x）max=2，x=时，g（x）min=﹣1．∴函数y=g（x）在[﹣，]上的值域为：[﹣1，2]…12分【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2﹣a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2（Ⅱ）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②﹣①得，a2（a2﹣a1）=a2③若a2=0，则由①知a1=0，若a2≠0，则a2﹣a1=1④①④联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或（Ⅱ）当a1＞0，由（Ⅰ）可得当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴=令由（Ⅰ）可知==∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b7=当n≥8时，∴数列的前7项和最大，==7﹣【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．19．端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S ﹣EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合（如图所示）．（Ⅰ）求证：平面SEG⊥平面SFH；（Ⅱ）当AE=时，求二面角E﹣SH﹣F的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，从而EG⊥FH，EG⊥FH，EG⊥SO，由此能证明平面SEG⊥平面SFH．（Ⅱ）过O作OM⊥SH交SH于M点，连EM，证明∠EMO为二面角E﹣SH﹣F的平面角，即可求得结论．【解答】（1）证明：∵折后A，B，C，D重合于一点O，∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，∴SE=SG，∴EG⊥SO，又∵SO、FH⊂平面SFH，SO∩FH=O，∴EC⊥平面SFH，又∵EG⊂平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．…（Ⅱ）解：过O作OM⊥SH交SH于M点，连EM，∵EO⊥平面SFH，∴EO⊥SH，∴SH⊥面EMO，∴∠EMO为二面角E﹣SH﹣F的平面角．…当AE=时，即OE=Rt△SHO中，SO=5，SH=，∴OM==，Rt△EMO中，EM==，∴cos∠EMO==，∴所求二面角的余弦值为．…【点评】本小题考查空间中直线与平面的位置关系、二面角的余弦值等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a n，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，b n=T n﹣T n﹣1，求出b n；（Ⅱ）写出c n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n，∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，P n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=．当n为奇数时，（法一）n﹣1为偶数，P n=P n﹣1+c n=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，（法二）P n=（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）=．∴．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，得其导函数在[e2，+∞）上大于等于0恒成立，把变量a分离出后得a≥﹣1﹣lnx，然后利用函数的单调性求﹣1﹣lnx在[e2，+∞）上的最大值，答案可求；（Ⅱ）把函数f（x）的解析式代入f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x，整理后得k，问题转化为对任意x∈（1，+∞），k恒成立，求正整数k的值．设函数h（x）=，求其导函数，得到其导函数的零点x0位于（3，4）内，且知此零点为函数h（x）的最小值点，经求解知h（x0）=x0，从而得到k＜x0，则正整数k的值可求．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，∴a≥﹣1﹣lnx．又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴﹣1﹣lnx∈（﹣∞，﹣3]．∴a≥﹣3；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即x•lnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，也就是k（x﹣1）＜x•lnx+ax﹣ax+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．则问题转化为k对任意x∈（1，+∞）恒成立，设函数h（x）=，则，再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上为增函数，∵m（1）=1﹣ln1﹣2=﹣1，m（2）=2﹣ln2﹣2=﹣ln2，m（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，m（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣ln4＞0．∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，∴在（1，x0）上递减，x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴在（x0，+∞）上递增，∴h（x）的最小值为h（x0）=．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0+1=x0﹣1，代入函数h（x）=得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值和最小值中的应用，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（Ⅱ）时如何求解函数h（x）=的最小值，学生思考起来有一定难度．此题属于难度较大的题目．。
山东省泰安市高三数学上学期期末考试 理
泰安市2011届高三期末考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R，则正确表示集合M={ x∈R｜0≤x≤2}和集合N={ x∈R｜x2-x=0}关系的韦恩（Venn）图是2.命题：“若-1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是A.若x≥1或x≤-1，则x2≥1B.若x2＜1，则-1＜x＜1C.若x2＞1，则x＞1或x＜-1D.若x2≥1，则x≥1或x≤-13.同时满足两个条件：①定义域内是减函数②定义域内是奇函数的函数是A. f(x)=-x｜x｜B. f(x)= x3C. f(x)=sin xD. f(x)=ln x x4.设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是A.若mα，m n，则nαB.若m⊂α，n⊂α，mβ，nβ，则αβC.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则nβD.若α⊥β，m⊥α，n m，n⊄β，则nβ5.已知x，y满足条件503x yx yx-+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，+，，则z=13yx-+的最大值A.3B.76C.13D.-236.已知双曲线22221x ya b-=的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于A.5x 2-45y 2=1B.22154x y -= C.22154y x -= D. 5x 2-54y 2=1 7.等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 3+ a 7- a 10=8, a 11- a 4=4,则S 13等于 A.152 B.154 C.156 D.1588.若把函数sin y x x =-的图象向右平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A.3π B.23π C.6π D.56π 9.已知a ，b ，c ∈R +，若c a ba b b c c a+++，则A.c ＜a ＜bB. b ＜c ＜aC. a ＜b ＜cD. c ＜b ＜a10.设函数f (x )=313log ,0log (),0x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩若f (m )＜f (-m )，则实数m 的取值范围是A.（-1，0）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（0，1）11.已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )=x 2+2xf ′(2），则f (-1）与f (1）的大小关系为 A. f （-1）= f （1） B. f （-1）＞f （1） C. f （-1）＜ f （1） D.不确定12.在△ABC 中，AB =2，AC =1，BD =DC ，则AD BD ⋅的值为 A.-23 B. 23 C.-34 D. 34二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.）13.由两条抛物线y 2=x 和y =x 2所围成的图形的面积为 .14.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为 .15.已知A (1,2)，B (3,4)，C (-2,2)，D (-3,5)，则向量AB 在向量CD 上的投影为 .16.圆心在曲线2(0)y x x=上，且与直线2x +y +1=0相切的面积最小的圆的方程为 .三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17.（本小题满分12分） 已知2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+- （Ⅰ）求函数f (x )的单调增区间（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a =1，b +c =2,f (A )=12，求△ABC 的面积.18.（本小题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面PAD ，△APD 是直角三角形， ∠APD =90°，四边形ABCD 是直角梯形，其中BC AD ，∠BAD =90°，AD =2 BC ，且AB=BC =PD=2，O 是AD 的中点，E ，F 分别是PC ，OD 的中点. （Ⅰ）求证：EF平面PBO ；（Ⅱ）求二面角A - PF - E 的正切值. 19.（本小题满分12分）已知数列{a n }和{b n }满足： a 1=λ，a n+1=23a n +n -4，b n =（-1）n （a n -3n+21），其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； （Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b n }是等比数列. 20.（本小题满分12分）某企业科研课题组计划投资研发一种新产品，根据分析和预测，能获得10万元～1000万元的投资收益.企业拟制定方案对课题组进行奖励，奖励方案为：奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y= f (x )模拟这一奖励方案. （Ⅰ）试写出模拟函数y= f (x )所满足的条件；（Ⅱ）试分析函数模型y= 4lg x -3是否符合奖励方案的要求？并说明你的理由. 21.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y ab a b+=的离心率为e 12）（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y =kx+m (k ≠0，m ＞0)与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积的最大值及此时直线l 的方程. 22.（本小题满分14分）已知函数32(1)()ln (1)x x x f x a x x ⎧-+=⎨≤⎩（Ⅰ）求f (x )在［-1，e ］（e 为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）对任意给定的正实数a ，曲线y= f (x )上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？高三数学试题（理）参考答案及评分标准一、选择题题 号 12345678910 11 12 答 案 BDADADCCAD B C 二、填空题13.1315. 516. (x -1)2+(y -2)2=5 三、解答题17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为f (x )=2sin(2)2cos 16x x π-+-=12cos2cos222x x x -+12cos22x x + =sin(2)6x π+………………………………………………………（3分） 所以函数f (x )的单调递增区间是〔,36k k πππ-π+〕（k Z ∈）……………………（5分）(Ⅱ)因为f (x )=12，所以1sin(2)62A π+=又1302666A A ππππ+，所以 从而52,663A A πππ+==故……………………………………………………………（7分）在△ABC 中，∵a =1,b +c =2,A =π3∴1=b 2+c 2-2bc cos A ,即1=4-3bc .故bc =1……………………………………………………………………………………（10分）从而S △ABC =1sin 2bc A =……………………………………………………………（12分） 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取BP 中点G ，连EG ，由E 为PC 中点故EG 1,2BC 又F 为OD 中点 ∴OF =1122ODBC ∴EGOF ，故四边形OFEG 为平行四边形…………（3分）∴EF ∥GO 则EF ∥面PBO ……………………………（4分）(Ⅱ) 连CO ，OP ，则BA ∥CO ，又AB ⊥AD ，面ABCD ⊥面APD∴CO ⊥面APD 故面COP ⊥面APD ………………………………………………………（6分）过E 作EN ⊥OP 于N ，则EN ⊥面APD 过N 作NH ⊥PF 于H ，连EH ，则EH ⊥PF ，故∠NHE 为二面角A -PF -E 的平面角……………………………………（8分）由于E 为PC 中点，故EN=12CO=12AB=1 ∵∠APD=90°，AD =4，PD =2由O 为AD 的中点，故OD =2，又F 为OD 的中点，可知PF ⊥AD 从而NH ∥OD 又N 是DP 的中点 ∴H 为PF 的中点 ∴NH=12OF=12……………………………………………………………………………（11分）∴tan ∠NHE=NENH=2 ∴二面角A -PF -E 平面角的正切值为2. ………………………………………………（12分）19.解：（Ⅰ）证明 假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22= a 1a 3，……（2分）即22224443449490,3999λλλλλλλ⎛⎫⎛⎫-=-⇔-+=-⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾.所以 对于任意λ，{a n }不是等比数列. ………………………………………………（6分）(Ⅱ)证明 因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3（n +1）+21］=(-1) n +122143n a n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-22(1)(321).33n n n a n b -⋅-+=-……………………………………………………（10分）又λ≠-18，所以b 1=-(λ+18)≠0. ………………………………………………………（11分）由上式知b n ≠0，所以12(*).3n n b n N b +=-∈ 故当λ≠-18时，数列{ b n }是以-(λ+18)为首项，-23为公比的等比数列. ………（12分） 20. 解：（Ⅰ）由题意，模拟函数y =f (x )满足的条件是：（1） f (x )在［10，1000］上是增函数；（2）f (x )≤9；（3）f (x )≤15x . …………（3分）(Ⅱ)对于y =4 lg x-3,显然它在［10，1000］上是增函数，满足条件（1），…………………（4分）又当10≤x ≤1000时，4lg10-3≤y ≤4lg1000-3,即y ∈［1，9］，从而满足条件（2）. ……（5分） 下面证明：f (x )≤15x ，即4lg x-3≤15x 对于x ∈［10，1000］恒成立. ……………………（6分） 令g (x )= 4lgx-3-15x (10≤x ≤1000),则g ′(x )=4120lg .lg1055e xx x--= ………………（8分）∵e1lg lg 10,20lg 10,10,2ee ∴=∴≥则x∴20lg e -x ＜0，∴g ′(x ) ＜0对于x ∈［10，1000］恒成立.∴g(x )在［10，1000］上是减函数…………………………………………………………（10分）∴g(x )在［10，1000］时，g (x )≤g(10=4lg10-3-15×10=-1＜0， 即4lg x-3-15x ≤0，即4lg x -3≤15x 对于x ∈［10，1000］恒成立.从而满足条件（3）. 故函数模型y =4lg x-3符合奖励方案的要求. …………………………………………………（12分）21.解：（Ⅰ）∵∴ a ∴b 2=a 2-c 2=14 a 2故所求椭圆为：222241x y a a+=…………………………………………………………………（1分）又椭圆过点12） ∴22311a a += ∴a 2 =4. b 2=1 ∴2214x y +=……………（3分）(Ⅱ)设P （x 1,y 1）, Q （x 2,y 2）,PQ 的中点为（x 0,y 0）将直线y =kx +m 与2214x y += 联立得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2-4=0222216(41)0,41k m k m ∆=+-+即 ①又x 0=12120224,214214x x km y y my k k+-+===++………………………………………（5分）又点［-1，0）不在椭圆OE 上， 依题意有0001,(1)y x k-=---整理得3km =4k 2+1 ②……………………………………………………………………（7分）由①②可得k 2＞15，∵m ＞0, ∴k ＞0,∴k8分）设O 到直线l 的距离为d ，则S △OPQ=1122d PQ ⋅==（10分） 当211,2OPQ k =∆时的面积取最大值1，此时k2m = ∴直线方程为y……………………………………………………………（12分）22.解：（Ⅰ）因为f (x )=32(1)ln (1)x x x a x x ⎧-+⎨≥⎩① 当-1≤x ＜1时，f ′(x )=- x (3x -2)，解f ′(x )＞0得0＜x ＜23：解f ′(x ) ＜0得-1＜x ＜0或23＜x ＜1 ∴f (x )在（-1，0）和（23，1）上单减，在（0，23）上单增，从而f (x )在x=23处取得极大值f (23)=427…………………………………………………（3分）又∵f (-1)=2，f (1)=0，∴f (x )在［-1，1)上的最大值为2. …………………………………………………………（4分） ② 当1≤x ≤e 时，f (x )=a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；当a ＞0时，f (x )在［1，e ］单调递增；∴f (x )在［1，e ］上的最大值为a. ……………………………………………………………（6分）∴当a ≥2时，f (x )在［-1，e ］上的最大值为a ；当a ＜2时，f (x )在［-1，e ］上的最大值为2. ………………………………………………（8分）（Ⅱ）假设曲线y = f (x )上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，不妨设P （t , f (t )）(t ＞0),则Q （-t ，t 3+t 2），且t ≠1………………………………………………………………（9分） ∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形 ∴OP OQ ⋅=0，即- t 2+f (t )（t 3+t 2）=0（*）…………………………………………………（10分）是否存在P ，Q 等价于方程（*）是否有解.① 若0＜t ＜1，则f (x )=- t 3+t 2，代入方程（*）得：- t 2+（-t 3+t 2）（t 3+t 2）=0，即：t 4-t 2+1=0，而此方程无实数解，………………………………………………………（11分）②当t ＞1时，∴f (t )=a ln t ，代入方程（*）得：- t 2+ a ln t ·（t 3+t 2）=0， 即：1(1)l n ,t t a=+……………………………………………………………………………（12分）设h (x )=(x+1)ln x (x ≥1),则h ′(x )=ln x+1x+1＞0在［1,+∞)恒成立. ∴h (x )在［1,+∞)上单调递增，从而h (x )≥h (1)=0，则h (x )的值域为［0,+∞). ∴当a ＞0时，方程1a=（t+1）ln t 有解，即方程（*）有解. ……………………………（13分）∴对任意给定的正实数a ，曲线y =f (x )上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上. ………………………………………………（14分）。
山东省泰安市2016届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}2．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，且a1a3=16，则a11+a12+a13等于（）A．75 B．90 C．105 D．1203．已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β5．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．（﹣1，5）6．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．7．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．（，]10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα=．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a2+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．18．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2=6，S4=30，n∈N*，数列{b n}满足b n•b n+1=a n，b1=1（I）求a n，b n；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和为T n．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积；（Ⅱ）求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C：的右顶点A（2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k1（k1≠0）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2，求证：k1•k2为定值．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：．2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选B．2．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，且a1a3=16，则a11+a12+a13等于（）A．75 B．90 C．105 D．120【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两个根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，由此求出公差，从而能求出a11+a12+a13的值．【解答】解：∵{a n}是公差为正数的等差数列，a1+a3=10，且a1a3=16，∴a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两个根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，∴2+2d=8，解得d=3，∴a11+a12+a13=3a1+33d=3×2+33×3=105．故选：C．3．已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．5．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和，而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），故选：B．6．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF2为等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故选C．7．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断．【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选：B．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=a x+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．（，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a2+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f（x）=x2+2x，可得图象关于x=﹣1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x≠﹣1）的图象关于直线x=﹣1对称，进而可得四个根关于直线x=﹣1对称，由此可得其和．【解答】解：由题意可得f（x）=x*2=x2+2x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣1，函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到，而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，故方程为f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，也关于直线x=﹣1对称，不妨设x1与x2对称，x3与x4对称，必有x1+x2=﹣2，x3+x4=﹣2，故x1+x2+x3+x4=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而tanA=，由于0＜A＜π，所以A=．…4分（Ⅱ）由题意可得：=+•（﹣）﹣=+﹣•﹣=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∵bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…12分17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，∵点P为矩形ABCD对角线交点，∴在△ACD中，PG AD，又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，∴四边形EFPG是平行四边形，∴FP∥EG，又FP⊄平面ECD，EG⊂平面ECD，∴FP∥平面ECD．解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），∴=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），∵=0，=0，∴AH⊥平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC的法向量=（x，y，1），则，∴=（2，﹣1，1），cos＜＞===，∴二面角B﹣EC﹣A的大小为．18．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2=6，S4=30，n∈N*，数列{b n}满足b n•b n+1=a n，b1=1（I）求a n，b n；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a n=a1q n﹣1=2n；再由n换为n+1，可得数列{b n}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b n；（Ⅱ）讨论n为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（I）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意可得a1+a1q=6，a1+a1q+a1q2+a1q3=30，解得a1=q=2（负的舍去），可得a n=a1q n﹣1=2n；由b n•b n+1=a n=2n，b1=1，可得b2=2，即有b n+1•b n+2=a n=2n+1，可得=2，可得数列{b n}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有b n=；（Ⅱ）当n为偶数时，前n项和为T n=（1+2+..+）+（2+4+..+）=+=3•（）n﹣3；+当n为奇数时，前n项和为T n=T n﹣1=3•（）n﹣1﹣3+=（）n+3﹣3．综上可得，T n=．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积；（Ⅱ）求科技园区面积的最大值．【考点】扇形面积公式；弧度制的应用．【分析】（Ⅰ）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB 所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC地块的面积；（Ⅱ）设出点D为（x，x2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|==2，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又x2=x3=，∴此曲边三角形ABC地块的面积为S﹣x2=×（8+4）×2﹣=；梯形ACBM（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0，）时，S（x）单调递增，x∈（，2）时，S（x）单调递减，∴x=时，S（x）取得最大值是S （）=﹣﹣+8×=；∴科技园区面积S 的最大值为．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（4k 12+1）x 2﹣8k 12x +4k 12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB 的斜率k 2=﹣，由此能证明k •k ′为定值﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，+=1， a 2﹣b 2=c 2，解得b=1，即有椭圆方程为+y 2=1； （Ⅱ）证明：设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k 1（x ﹣1），由，可得：（4k 12+1）x 2﹣8k 12x +4k 12﹣4=0，因为点B （1，0）在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即△＞0恒成立．设点E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=．因为直线AE 的方程为：y=（x ﹣2），直线AF 的方程为：y=（x ﹣2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+））．直线PB的斜率为k2==（+）=•=•=•=﹣．所以k1•k2为定值﹣．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f（x）=lnx+x，要证当x＞1时，，即证lnx＞k（1﹣）﹣1（x＞1），即为xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），g′（x）=2+lnx﹣k，由，x＞1，可得lnx＞0，2﹣k≥0，即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，可得g（x）＞g（1）=1+2k≥0，故当x＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：．由e f（x0+1）﹣2x0﹣1+x02=e ln（x0+1）﹣x0+x02=（x0+1）•e﹣x0+x02．即对于b∈（0，1），存在正数x0，使得（x0+1）•e﹣x0+x02﹣1＜0，从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，H′（x）=e﹣x﹣（x+1）•e﹣x+bx=x（b﹣e﹣x），令H′（x）＞0，解得x＞﹣lnb，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣lnb，则x=﹣lnb为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．故H（x）的最小值为H（﹣lnb）=（﹣lnb+1）e lnb+ln2b﹣1=ln2b﹣blnb+b﹣1，再令G（x）=ln2x﹣xlnx+x﹣1，（0＜x＜1），G′（x）=（ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1=ln2x＞0，则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）=0，则H（﹣lnb）＜0．故存在正数x0=﹣lnb，使得．。
2015-2016学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷(理科)
则集合 A∩∁UB=（
）
A．{3} B．{2，5}
C．{2，3，5}
D．{2，3，5，8}
2．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ A．y=log2（x+5）B． C．y=﹣
） D．y= ﹣x
3．以下四个命题中正确命题的个数是（
）
（1）∃x∈R，log2x=0；（2）∀x∈R，x2＞0；（3）∃x∈R，tanx=0；（4）∀x∈R，3x＞0．
则 a1an﹣a1an﹣1=a1（an﹣an﹣1）=a1d＞0， 是必要条件； 若 a1d＞0，则数列{a1an}是递增数列即数列{ 是充分条件， 故选：A． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查数列的性质以及复合函数的单调性问题，是一道基 础题． }为递增数列，
6．设四边形 ABCD 为平行四边形，| 则 A．20 =（ B．15 ） C．9 D．6
）
A．（0，
] B．（0，
] C．[
，π） D．[
，π）
【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出 cosA，将得出的不等式 变形后代入表示出的 cosA 中，得出 cosA 的范围，由 A 为三角形的内角，根据余弦函数的 图象与性质即可求出 A 的取值范围． 【解答】解：利用正弦定理化简 sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC 得：a2≤b2+c2﹣bc， 变形得：b2+c2﹣a2≥bc， ∴cosA= ≥ = ，
）的图象上所有的点（
）
个单位长度 个单位长度
9．已知 f（x）= x2+cosx，f′（x）为 f（x）的导函数，则 y=f′（x）的图象大致是（
泰安市2015届高三第一次模拟数学试题(理)含答案
高三第一轮复习质量检测数 学 试 题（理科）2015.3一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2,,1,2,3,M m N ==则“3m =”是“M N ⊆”的 A.充分而不必条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 是虚数单位，3,,1ia b R a bi i+∈+=-，则a b +等于 A. 1-B.1C.3D.43.设随机变量ξ服从正态分布()()()3,4232N P a P a ξξ<-=>+，若，则实数a 等于 A.73B.53C.5D.34.设等差数列{}n a 的前n 项和为25911,2n S a a a =-+=-，若，则当n S 取最小值时，n 等于 A.9 B.8 C.7D.65.根据如下样本数据得到的回归方程为.7.9y bx a a x =+=若，则$每增加1个单位，y 就 A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位 C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位6.已知O 是坐标原点，点()21A -，，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅uu r uuu r的取值范围是A. []0,1B. []0,2C. []1,0-D. []1,2-7.已知,m n 是满足1m n +=，且使19m n+取得最小值的正实数.若曲线y x α=过点2,3P m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则α的值为 A. 1-B.12C.2D.38.某校开设A 类课3门，B 类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A.15 种 B.30种 C.45种 D.90种 9.如图是函数()2f x x ax b =++的图象，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是A. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,2C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,310.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]()12,063xx f x ⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭时，，若在区间(]2,6-内关于x 的()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是A. ()1,2B. ()2,+∞C. (D.)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.已知()sin cos 0,,tan αααπα-=∈=则 ▲ . 12.若关于x 的不等式23mx -<的解集为5166x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则m= ▲ . 13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线垂直于直线:250l x y --=，双曲线的一个焦点在l 上，则双曲线的方程为 ▲ .14.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为10，则输出s 的值为 ▲.15.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S 、，体积分别为12υυ，，若它们的侧面积相等，且1122169S S υυ=，则的值为 ▲ . 三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 16.（本小题满分12分）已知函数()()21cos cos 0,2f x x x x x R ωωωω=-->∈的图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）若ABC ∆三个内角A 、B 、C的对边分别为()0,sin a b c c f C B ===、、，且3sin A ，求a ，b 的值.17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：21n n S a += （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()()11211n n n n a b a a ++=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18. （本小题满分12分）下表为某专业的学生的毕业综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知80~90分数段的学生数为21人.（I ）求该专业毕业生综合能力测试成绩在90~95分数段内的人数；（II ）现欲将90~95分数段内的毕业生派往甲、乙、丙三个单位，若向甲单位派往两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率分为35.求90~95分数段内男女各几人？ （III ）在（II ）的结论下，设随机变量ξ表示派往乙单位的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图正方形ABCD 的边长为BDEF 是平行四边形，BD 与AC 交于点G ，O 为GC 的中点，FO FO =⊥平面ABCD.（I ）求证:AE//平面BCF ；（II ）求证：CF ⊥平面AEF ；（III ）求二面角A CF B --余弦值的大小.20. （本小题满分13分）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0. （I ）求()f x 的解析式；（II ）若对任意[)0,x ∈+∞不等式()1mxf x x x ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围. 21. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为，点()00,R x y 是椭圆上任意一点，从原点O 引圆()()()222000:22R x x y y x -+-=≠的两条切线分别交椭圆C 于点M 、N.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）求四边形OMRN 面积的最大值.。